Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đƣờng bậc hai tổng quát cịn xa lạ với học sinh THPT Vì vấn đề liên quan lạ khó hiểu vơí nhiều học sinh, Phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng bậc hai không ngoại lệ Nguyên nhân thiết kế chƣơng trình, học sinh học lên lớp 12 đƣợc tìm hiểu tiếp xúc với số đƣờng bậc hai Mặt khác xây dựng đƣờng bậc hai sách giáo khoa giới thiệu đƣờng bậc hai không tổng thể, mà chia loại cụ thể Nên dẫn đến tƣơng ứng với đƣờng ta phải xây dựng tồn lý thuyết đƣờng vấn đề liên quan, việc xuất nhiều khái niệm nhiều tính chất đƣờng lại làm cho học sinh thêm bối rối khó tiếp nhận vấn đề Ngồi đƣờng bậc hai lại có đặc điểm tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu chúng có nhiều điểm khác nhau, phƣơng pháp nghiên cứu xây dựng khác lại tạo cho em học sinh khó khăn việc phân định rõ ràng tính chất chất loại Với mục tiêu khơng để đƣờng bậc hai cịn xa lạ, đặc biệt vấn đề tiếp tuyến với đƣờng bậc hai khơng cịn khó khăn với em học sinh Bài viết xin trình bày hai phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng bậc hai tổng quát Trên sở triển khai cho đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách cho em học sinh với đƣờng bậc hai vấn đề liên quan đến đƣờng bậc hai II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1.MỤC TIÊU: Giúp cho học sinh có nhìn tổng quan đƣờng bậc hai nói chung đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT Rút gần khoảng cách em đƣờng bậc hai Đặc biệt tốn phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng bậc hai Trên sở học sinh vận dụng vào nghiên cứu vấn đề liên quan đến đƣờng bậc hai triển khai chƣơng trình THPT, cách tồn diện có hệ thống Mở cho học sinh nhìn mới, nhìn tồn diện đƣờng bậc hai vấn đề liên quan Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai NHIỆM VỤ Nhằm xây dựng vào tranh đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT cách cụ thể tổng quan Trên sở việc xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng bậc hai dạng tổng quát, giúp em học sinh tự triển khai cho đƣờng bậc hai bậc THPT đề cập việc em vận dụng em tự xây dựng lại hoàn toàn hệ thống lý thuyết, giúp em hiểu sâu chất đƣờng nét đẹp đƣờng bậc hai lí thú III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nhận thức thân vấn đề Hình học, Đại số Giải tích nói chung đƣờng bậc hai nói riêng Thơng qua tìm hiểu việc tiếp nhận thái độ nhận thức học sinh lớp 12 vấn đề đƣờng bậc hai chỉnh thể hoàn chỉnh so với vấn đề đƣờng bậc hai nghiên cứu chƣơng trình THPT IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Dựa Trên sở phƣơng pháp nghiên cứu ứng dụng Đại số Giải tích vào Hình học bậc THPT Trên sở việc tổng hợp tra cứu, nhận định thân, ý kiến đóng góp đồng nghiệp cho vấn đề phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai Tác giả phân tích vấn đề cách nghiêm túc, để tổng hợp lại thành viết V CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Dựa sở lí thuyết ứng dụng Đại số, Giải tích vào Hình học sơ cấp nói chung đƣờng bậc hai nói riêng Dựa vào khả tìm hiểu, nghiên cứu sử lý vấn đề đối tƣợng nghiên cứu Bài viết đƣợc chia làm hai phần: Phần I: Sử dụng phƣơng pháp Giải tích xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai trƣờng hợp tổng quát Phần II: Sử dụng phƣơng pháp Đại số xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai trƣờng hợp tổng quát Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí VI NỘI DUNG PHẦN I SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT A LÝ THUYẾT MỘT SỐ KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG - Cho đƣờng cong (C) có phƣơng trình y = f(x) có miền xác định D Điểm x0 thuộc D cho x0 có f’(x0) Khi đƣờng cong (C) có phƣơng trình tiếp tuyến : y – y0 = f’(x0)( x- x0 ) (*) f’(x0) hệ số góc phƣơng trình tiếp tuyến Bài tốn viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong (C) điểm M0 (x0; y0 ) yêu cầu ta tìm f’(x0) áp dụng phƣơng trình (*) cho ta phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 2.1 ĐƢỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT: Đƣờng bậc hai tập hợp (S) gồm tất điểm M(x;y) thảo mãn phƣơng trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = (S) (Trong A,B,C khơng đồng thời 0) 2.2 ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT - Trong chƣơng trình THPT đề cập đến đƣờng bậc hai Elíp, Hypebol, Parabol Đƣờng trịn đề cập đến chúng dạng tắc - Đƣờng bậc hai (S) phƣơng trình đƣờng bậc hai tổng quát cho tất đƣờng bậc hai nói ứng với giá trị số A, B, C, D, E, F S đƣờng Elíp Hypebol Parabol Đƣờng Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai trịn dạng tổng quát số đƣờng bậc hai khác chƣơng trình THPT khơng đề cập đến Cụ thể: Ta có (S)  A x   2 D E D2 E   C y    F    A C A C    B0  - Nếu ta có  (S) đƣờng trịn có AC 0  D   E  F        A  A   A  phƣơng trình dạng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = (C) B0   A0  - Nếu ta có:  C0  D   E        F   A   C  B0   A0  (S)  C0  D   E        F   A   C  Elíp (E) có phƣơng trình: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =   B0  - Nếu ta có  (S) Hypebol (H) có phƣơng A.C  2  D   E        F   A   C  trình Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =  A  B   C D  - Nếu ta có:   (S) Parabol có phƣơng trình  C  B     A E   Cy  2Dx  2Ey  F    Ax  2Dx  2Ey  F  (Chúng ta dễ dàng kiểm chứng kết luận trên) KHÁI NIỆM HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí 3.1 KHÁI NIỆM HÀM ẨN Cho phƣơng trình F(x;y) = (1) Nếu x thuộc miền mà tồn hàm số : y = f (x) cho F(x f(x)) = hàm y = f (x) đƣợc gọi hàm ẩn xác định phƣơng trình (1) 3.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN - Phƣơng trình F(x;y) = xác định y hàm ẩn x ( xem hàm khả vi) Lấy đạo hàm hai vế phƣơng trình F(x;y) = theo x ta đƣợc phƣơngtrình bậc y’ Từ phƣơng trình ta tìm đƣợc y’ ( tức đạo hàm hàm ẩn) - Chúng ta hiểu vấn đề cách đơn giản nhƣ sau: Từ F(x;y) = ta xem y hàm hợp biến x Đạo hàm hai vế phƣơng trình cho ta phƣơng trình bậc y’, giải phƣơng trình bậc tìm y’ ( Do mục tiêu ta toán viết phƣơng trình tiếp tuyến nhƣ giới thiệu ban đầu xác định f’ (x0 ), nên yêu cầu ta cần xác định y ‘ = f’ (x ) đƣờng bậc hai tai điểm M(x0; y0)) Ta lấy ví dụ minh hoạ yêu cầu VD1: Tìm y ‘ đƣờng bậc hai có phƣơng trình F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + = Xem y hàm hợp x, đạo hàm hai vế phƣơng trình theo x ta đƣợc 2x – + 2y y ‘ - y ‘ =  y ‘ =  2x  ;y 1 2y  x2 y2 VD2: Tìm y đƣờng bậc hai có phƣơng trình   a b ‘ Xem y hàm hợp x, đạo hàm hai vế phƣơng trình theo x ta x yy  yy  2x b2  2x         y  đƣợc   ; y  2 2y  a b b a a  Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai B BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong trƣờng hợp tổng quát) Bài toán: Cho đƣờng bậc hai : F(x;y) = (S) với F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F (A, B, C không đồng thời ) Điểm M(x0; y0)  (S ) , viết phƣơng trình tiếp tuyến với (S) M Lời giải: Xem y hàm hợp x, đạo hàm hai vế (1) ta đƣợc: F’(x;y)=0  y(2 Bx  2Cy  E )  Ax  By  D   y   Ax  2By  2By   2Cyy   2D  2Ey   Ax0  By0  D Ax  By  D  y( x0 )   Bx  2Cy  E Bx0  2Cy0  E Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai (S) y  y  y ( x )( x  x )  y  y0   Ax  By0  D ( x  x0 ) Bx0  2Cy0  E  Bx0 y  2Cy0 y  Ey  Bx0 y  2Cy02  Ey0  Ax 02  Ax x  Bx0 y  Bxy0  Dx0  Dx  Ax x  B( x0 y  xy )  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  (*) Vậy ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S) điểm M  Ax x  B( x y  xy )  Cy0 y  D( x  x )  E( y  y )  F  (*) Phƣơng trình (*) phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai (S) điểm M(x0; y0) trƣờng hợp tổng quát Để cho việc triển khai vào ứng dụng làm tập thuận lợi, rễ học rễ nhớ Ngƣời ta đặt cho phƣơng trình (*) tên phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai viết "Công thức phân đôi toạ độ" Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí Chúng ta vận dụng kết toán tổng quát cho đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT Từ tìm điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai tƣơng ứng PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong chƣơng trình THPT) 5.1 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRỊN a) Phương trình tiếp tuyến đường trịn điểm M Cho đƣờng tròn (C)và điểm M(x0; y0) nằm (C) vận dụng kết toán tổng quát viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) M Xét phƣơng trình đƣờng trịn cho hai dạng: Dạng1: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình 2 Ax + Ay + 2Dx +2Ey + F = A0  2  ĐK:  D    E   F   A   C  Phƣơng trình tiếp tuyến (C) ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ) Ax x  Ay y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  Dạng 2: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2 Dùng "Công thức phân đôi toạ độ " cho ta phƣơng trình tiếp tuyến là: (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2 b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Đƣờng thẳng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0, Đƣờng trịn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R (R > 0) Ta có: Phƣơng trình tiếp tuyến với (C) M (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2 (l ) tiếp tuyến (C) M hệ số hai đƣờng thẳng tỉ lệ với Bằng biến đổi đại số cho ta điều kiện d(I; l) = R ( d hàm khoảng cách) Hồn tồn với kết mà ta biết Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai 5.2 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP Trong chƣơng trình phổ thơng sách giáo khoa đề cập đến phƣơng trình đƣờng Elíp dạng tắc vấn đề nghiên cứu thực phƣơng trình tắc Trong viét mở rộng phạm vi nghiên cứa Elíp dạng tổng quát đầy đủ hơn, tất nhiên tập trung cho chủ đề dó phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp a) Phương trình tiếp tuyến Elíp điểm M -Xét phƣơng trình Elíp hai dạng Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = B0   A0  ĐK:  C0  D   E        F   A   C  B0   A0   C0  D   E        F   A   C  áp dụng Cơng thức phân đơi toạ độ : Khi phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp điểm M Elíp là: Ax x  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y )  F  Dạng 2: Phƣơng trình ( x  m) ( y  n)   Phƣơng trình tiếp tuyến với a2 b2 Elíp điểm M thuộc Elíp (áp Cơng thức phân đơi tạo độ ) ( x0  m)( x  m) ( y  n)( y  n)  1 a2 b2 b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Elíp (Ta cần xét trƣờng hợp E dạng tắc trƣờng hợp cịn lại sử dụng cơng thức đổi trục toạ độ chuyển dạng tắc đơn giản nhiều) Cho Elíp (E) có phƣơng trình: x2 y2  1 a b2 Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí Đƣờng thẳng (l ) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = áp dụng công thức phân đôi toạ độ cho ta phƣơng trình tiếp tuyến với E tai điểm M(x0; y0) x0 x y y  1 a2 b Khi để (l ) tiếp tuyến với E M(x0; y0) điều kiện cần đủ  A1 a x   x0 y0  C1     thay vào Phƣơng trình (E) cho ta điều kiện cần 2 B b C1 A1 a B1b y   C1 đủ là: A12 a  B12 b  C12 (Kết đƣợc trình bày sách giáo khoa hình giải tích 12) - Nhiệm vụ ta mở rộng cho đƣờng Elíp có phƣơng trình ( x  m) ( y  n)  1 tổng quát a2 b2 X  x  m X2 Y2  (E) :   a b Y  y  n Bƣớc 1: Đặt  Đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1 = (trong hệ toạ độ XIY E dạng tắc , nên ta có quyền áp dụng điều kiện xây dựng mục ) Bƣớc 2:áp dụng điều kiện để đƣờng thẳng (l) tiếp tuyến (E) A12 a  B12 b  ( A1m  B1n  C1 ) Chú ý : Đối với (E) có phƣơng trình dạng Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = B0   A0  ĐK:  C0  D   E        F   A   C  B0   A0  Để tìm điều kiện cần  C0  D   E        F   A   C  đủ cho đƣờng thẳng A1x + B1y + C1 = tiếp tuyến ta chuyển (E) dạng tổng quát ( x  m) ( y  n)   vận dụng công thức xây dựng a2 b2 5.2 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL a) Phương trình tiếp tuyến (H) điểm M (H) Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai -Xét phƣơng trình Hypebol hai dạng   B0  2 Dạng1: Ax + Cy + 2Dx +2Ey + F = ĐK:  A.C   D   E        F   A   C  Khi phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp điểm M(x0; y0) Elíp là: áp dụng " Cơng thức phân đôi toạ độ" ta đƣợc Ax0 x  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  Dạng 2: Phƣơng trình ( x  m) ( y  n)  1 a2 b2 áp công thức phân đôi toạ độ, phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp điểm M thuộc Elíp ( x0  m)( x  m) ( y  n)( y  n)  1 a2 b2 b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Hypebol Tƣơng tự nhƣ phần 5.2 Ta cần xét trƣờng hợp (H ) dạng tắc trƣờng hợp cịn lại sử dụng Công thức đổi trục toạ độ đƣa Hypebol dạng tắc đơn giản nhiều Cho Hypebol (H) có phƣơng trình: x2 y2  1 a2 b2 Đƣờng thẳng (l ) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = áp dụng "Công thức phân đơi toạ độ" cho ta phƣơng trình tiếp tuyến với Hypebol điểm M(x0; y0) x0 x y y  1 a2 b Khi để (l ) tiếp tuyến với (H) M(x0; y0) điều kiện cần đủ  A1 a  x0  x0 y0  C1    thay vào Phƣơng trình (H) cho ta điều 2 C1 A1 a B1b  y   B1b  C1 Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí kiện cần đủ là: A12 a  B12b  C12 ( Kết đƣợc trình bày sách giáo khoa hình giải tích 12) - Ta mở rộng cho đƣờng Hypebol có phƣơng trình tổng quát ( x  m) ( y  n)  1 a2 b2 X  x  m X2 Y2  (E) :   a b Y  y  n Bƣớc 1: Đặt  Đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= (Trong hệ toạ độ XIY (H) dạng tắc, nên ta có quyền áp dụng điều kiện xây dựng ) Bƣớc 2: áp dụng điều kiện để đƣờng thẳng (l) tiếp tuyến E A12 a  B12 b  ( A1m  B1n  C1 ) Chú ý : Đối với (H) có phƣơng trình dạng Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F =   B0  ĐK:  A.C   D   E        F   A   C  Để tìm điều kiện cần đủ cho đƣờng thẳng A1x + B1y + C1 = tiếp tuyến ta chuyển (E) dạng tổng quát ( x  m) ( y  n)  1 a2 b2 vận dụng công thức xây dựng 5.4 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA PARABOL a) Phương trình tiếp tuyến (P) điểm M (P) -Xét phƣơng trình Parabol dạng Dạng1: Dạng tắc y2 = 2px ( với p > 0) Điểm M(x0 ; y0) (P), phƣơng trình tiếp tuyến (P) M Ngày 15 tháng năm 2006 (P) Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ta đƣợc y0 y = p (x + x0) Tƣơng tự cho dạng cịn lại ta áp dụng Cơng thức phân đôi toạ độ thuận lợi cho ta kết VD1: (P) có dạng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = ĐK: CD  0) M(x0 ; y0) (P) Phƣơng trình tiếp tuyến M là: Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0 VD2: (P) có dạng y = ax2 + bx + c (a  0) Điểm M(x0 ; y0) (P) Phƣơng trình tiếp tuyến M là: y  y0 = ax0x  x0  x   c b b) Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến Parabol Phƣơng pháp xây dựng điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Parabol tƣơng tự nhƣ phần xây dựng điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Elíp cho ta kết sau: Cho đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = Dạng1: (P) có dạng y2 = 2px Điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Parabol là: 2A' C' = p.B12 Dạng2: (P) có dạng y2 = - 2px ( với p > 0) Điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2A' C' = p.B12 Dạng3: (P) có dạng x2 = 2py ( với p > 0) Điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2B' C' = p.A12 Dạng4: (P) có dạng x2 = - 2py ( với p > 0) Điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến Parabol là: - 2B' C' = p.A12  Cy  2Dx  2Ey  F  0; Chú ý: Nếu (P) dạng   Ax  2Dx  2Ey  F  0; C.D  AE  Để tìm điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng (l) tiếp tuyến (P) Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí ta làm nhƣ sau: Bước1: Chuyển phƣơng trình Parabol dạng  E E2  ;  C y    - 2Dx - F  C C    D D2  A x   2Ey F  ;    A A   C.D  AE  Bước2: Dùng công thức đổi trục toạ độ chuyển (P) dạng trình bày Chuyển phƣơng trình đƣờng thẳng (l) sang hệ toạ độ Bước 3: Trong hệ toạ đô áp dụng điều kiện cần đủ cho dạng cụ thể cho ta kết Nhƣ bạn ý cho đƣờng bậc hai xét nên xét chúng dạng tắc Còn dạng phức tạp khác nên dùng công thức đổi hệ trục toạ độ để chuyển chúng dạng tắc vận dụng cơng thức xây dựng phần đƣờng bậc hai xét dạng tắc Kết luận 1: Bằng phƣơng pháp giải tích ta xây dựng đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng bậc hai nói chung đƣờng bậc hai nghiên cứu chƣơng trình THPT nói riêng Trên sở vận dụng tìm điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai cụ thể xét chƣơng trình THPT PHẦN II SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG TRƢỜNG HỢP TỔNG QUÁT MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.ĐƢỜNG BẬC HAI: F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = (S) Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai PHƢƠNG TRÌNH TIP TUYN CA NG BC HAI Định nghĩa: ng thng (d) tiếp tuyến đƣờng bậc hai (S) Nếu d cát (S) tai hai điểm trùng d nằm trọn vện đƣờng (S), (Điểm trùng nói đến định nghĩa đƣợc gọi tiếp điểm) Trên cở sở định nghĩa ta xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai (S) điểm nằm (S) PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾT CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI Cho đƣờng bậc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0  x  x0  at  y  y  bt Điểm M(x0;yy0) (S) đƣờng thẳng d có phƣơng trình  (trong a,b không đồng thời 0) Xác định a,b để đƣờng thẳng d tiếp tuyến (S) Xét phƣơng trình giao điểm (S) d   x  x0  at     y  y  bt  Ax  2Bxy  Cy  2Dx  2Ey  F    A( x0  at )  B( x0  at )( y  bt )  C ( y  bt )  D( x0  at )  E ( y  bt )  F   Rt  Qt  P  0, (1)  P  A.a  Bab  Cb  Trong  Q  Aax0  B( ay0  bx0 )  Cby0  Da  Eb  R  Ax  2Bx y  Cy  2Dx  2Ey  F 0 0 0  Do M  (S) nên ta có Ax 02  2Bx y  Cy02  2Dx  2Ey  F  R = nên ta có (1) trở thành Rt2 + Qt = (2) Để d tiếp tuyến (S) phƣơng trình (2) phải có hai nghiệm trùng Cần đủ Q =  Aax0  B(ay0  bx0 )  Cby0  Da  Eb  Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí (Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = (3) Từ (3)  Ax  By0  D  ta chọn a, b tuỳ ý   Bx0  Cy0  E  - Nếu "Đối với đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT trƣờng hợp khơng xảy trƣờng hợp hàm bậc hai suy biến" - Nếu  Ax  By0  D   Bx  Cy  E  ta chọn   b  Ax  By0  D   a  ( Bx0  Cy0  E ) Khi phƣơng trình đƣờng thẳng d có dạng (Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= (4) Đặt Fx(x0; y0) = Ax0 + B y0 + D Fy(x0; y0) = Bx0 + C y0 + E (4) trở thành : Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0)= (5) Vậy phƣơng trình (5) phƣơng trình đƣờng thẳng d phƣơng trình tiếp tuyến cuả đƣờng bậc hai (S) điểm M Ta biến đổi (4) phƣơng trình: (4)  Ax0x+ B(x0 y + y0 x) + Cy0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = (6) (Cơng thức phân đơi toạ độ) "Hồn tồn giống kết Phần I xây dựng phƣơng pháp giải tích." VẬN DỤNG VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG CHƢƠNG TRÌNH THPT * §-êng trßn: Dạng: Đƣờng trịn (C) có phƣơng trình A0  2  Ax + Ay + 2Dx +2Ey + F = ĐK:  D    E   F  , M(x0; y0)  (C)  A   C  2 Ta có: Fx(x0; y0) = Ax0 + y0 + D Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E áp dụng phƣơng trình (5) cho ta phƣơng trình tiếp tuyến (C) tai M là: Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = Ngày 15 tháng năm 2006 Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai  (Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) =  Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = Vậy phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn (C) là: Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = Tƣơng tự cho đƣờng trịn có phƣơng trình (C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 Điểm M(x0; y0)  (C) Phƣơng trinhg tiếp tuyến với (C) M : (x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2 * Đối với đƣờng Elíp, Hypebol Parabol ta để viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng ta thực hoàn tồn tƣơng tự nhƣ phƣơng trình đƣờng trịn Tức cách áp dụng phƣơng trình (5) phƣơng trình (6) cho ta kết ngắn gọn * Giống nhƣ Phần I việc xây dựng điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai Kết cho ta hoàn toàn nhƣ kết xây dựng Phần I Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phƣơng pháp đại số ta xây dựng đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai điểm nằm trƣờng hợp tổng quát thiết lập đƣợc điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai VII KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: - Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng bậc hai trƣờng hợp tổng quát tìm đƣợc điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai trƣờng hợp đƣờng bậc hai xét chƣơng trình THPT - Kết xây dựng đƣợc vận dụng trực tiếp vào giải toán liên quan đến tiếp tuyến đƣờng bậc hai bậc THPT cách đơn giản tất nhiên hiệu trông thấy Ngày 15 tháng năm 2006 Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí - Vấn đề giải đƣợc nhiều vƣớng mắc lí luận nhận thức đƣờng bậc hai Đặc biệt vấn đề phƣơng trình tiếp tuyến - Nghiên cứu tổng thể tƣơng đói hồn chỉnh đối tƣợng hình học cỏ sở đại số giải tích mở cho bạn học sinh tầm nhìn khơng cho việc vận dụng thực hành mà cho nhận thức tổng quan qua lại đối tƣợng chỉnh thể hồn chỉnh khoa học tự nhiên - Toán học thật thú vị, tìm hiểu ta phát điều thật bí ẩn hấp dẫn Đơi khơng q khó q bí hiểm nhƣ lâu ta nghĩ, khó đơi lại gần ta mà ta chƣa khám phá Mong với lòng nhiệt tình tình u tốn học, phát nhiều điều lí thú hữu dụng toán học Hoằng Hoá, ngày 15 tháng năm 2006 Ngƣời viết: Giáo viên : Lê Văn Chí Ngày 15 tháng năm 2006 ... phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai B BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong trƣờng hợp tổng quát) Bài toán: Cho đƣờng bậc hai :... đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT Từ tìm điều kiện cần đủ để đƣờng thẳng tiếp tuyến đƣờng bậc hai tƣơng ứng PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI (Trong chƣơng trình THPT) 5.1 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP.. .Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến Đƣờng bậc hai NHIỆM VỤ Nhằm xây dựng vào tranh đƣờng bậc hai chƣơng trình THPT cách cụ thể tổng quan Trên sở việc xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến