Bài tập Đại Số Tuyến Tính MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PT TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1:  1 1 3   a) Cho A    B     4 5 6  1    Tính AB, BA, AAT , AT A  2 1 3 2 5 1  b) Cho ma trận A   1  ; B    ; C    ; D               3 2      Hãy tính: 5A – 3B + 2C + 4D A+ 2B – 3C – 5D Bài 2: 1 2  Cho ma trận A   8 Hãy tìm ma trận X cho:    2  a) A  X  I b) A  X  I Bài 3: Trong M ( ) cho ma trận   5i 2i   i 1  i  B ; C    6i  i    2i   3i    Tìm A  M ( ) cho A  3B  2C Bài 4: Tìm x, y, z w biết rằng:   x  y x y  x 3       z w   1 2w   z  w Bài 5: -1- Bài tập Đại Số Tuyến Tính 0 0 Cho ma trận A   0  0 0  0 1  0 0 Hãy tính ma trận: a) A2 ; A3 ; A4 b) AAT ; AT A Bài 6: 0  Cho A  0  Tính A2 , A3   0 0  Bài 7: Tính Ak , k  biết rằng:  1  1  a) A   b) A      2  0  cos   sin   e) A     sin  cos    1 c) A    0   1 1   d) A  1 1  1 1   1 0   f) A   1  0 1   Bài 8: Chứng minh rằng: 2 0  a) A    nghiệm p( x)  x3  3x   0 1 a b  b) B    M ( K ) nghiệm q( x)  x  (a  d ) x  (ad  bc)  K[ x]  c d  Bài 9: Xác định hạng ma trận sau: -2- Bài tập Đại Số Tuyến Tính  1 3 1    a) 1 b)  6      3    2 1  1 e)  1 1  1 1 1 1  1  5 4  1 2 1 f)  3  5 1 1 1 1 2   c)  3 1    1 9  2 1 1  2   d)  1 13     2 6 10  2 1 2  4 4  5 Bài 10: Tìm biện luận hạng ma trận sau theo tham số m,n: 3  m c)  1  2 1 3  m 5m m    m 10m  a) m b)  2m    1 m   m 2m 3m  4 m 0 n     10  n m 0  d) 0 n m 0 17     1  0 n m 1 Biện luận theo tham số m hạng ma trận sau: 1 5 2  10  1   a) A  b) B    11 13 16  3    10 16 22 26 m  5  1  m 1 c)  1 m  1 8 1 0  4 1  5 m 1 1 1 1 1  1  Bài 11: Xác định α để ma trận sau có hạng nhỏ nhất: 3  A  1  3 1  0  2 -3- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 12: Với giá trị m  hạng ma trận sau  1  a) A   m 2     6 3 3  1 1     b) B   m   c) C   12 m     m 12   15 m  10  Bài 13: m 1  Cho ma trận A   m m  Tìm điều kiện m để rank(A) <    1 m  Bài 14: 1 1 2 1 Cho A   B   Hãy tính ( B1 AB)k , k     1  2 Bài 15: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1  a) A   1      0 1 2  0   b) A  3 c) A     2 1   1 1  1  2 1 1 1  1 1  1 1 1 1 1 1  e) A    f) A   sin a cos a  d) A     cos a sin a  1 1 0  1 1 1        0 1 1 1 1   5 g) A     3 Bài 16: 4 5 Cho A   Chứng minh A2  A  I  , suy A khả nghịch tìm A1   4 3 -4- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 17: Tìm điều kiện tham số để ma trận sau khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo tương ứng nó: 1 a bc  a) A  1 b ca    1 c ab  a b  b) A   ab     b a  Bài 18: Tính định thức sau: a) b) sin  cos  f) sin  cos  1 1 a 1 b 1 c a b c r) 1 v) 1 1 1 1 sin  cos   cos  sin  d) a c  di c  di b 1 b 3 c 2 d 4 w) 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y) 1 1 1 s)   i   i   i   i a b c l) c a b b c a     o)  2   p)   2  1 i 1 i n) i 1 i a e) 5 k) 2 1 2sin  cos  2sin   g) 2cos   2sin  cos  ax x x b x x m) x x x cx q) c) 1 1 1 1 1 1 a t) b c 0 d 1 z) 1 0 0 Bài 19: Chứng minh: a bc 2a 2a a) 2b bca 2b  ( a  b  c )3 2c 2c c a b -5- 1 0 0 Bài tập Đại Số Tuyến Tính (b  c) a2 b) a2 b2 (c  a ) b2 c2 c2  2abc(a  b  c)3 ( a  b) Bài 20: Dùng tính chất định thức để chứng minh đẳng thức sau: a1 a) a2 a3 b1 b2 b3 a1 x  b1 y  c1 a1 b1 a2 x  b2 y  c2  a2 b2 a3 x  b3 y  c3 a3 b3 c1 c2 c3 a1  b1 x a1  b1 x c1 a1 b1 b) a2  b2 x a2  b2 x c2  2 x a2 b2 a3  b3 x a3  b3 x c3 a3 b3 a1  b1 x a1 x  b1 c) a2  b2 x a2 x  b2 a3  b3 x a3 x  b3 c1 c2 c3 c1 a1 b1 c2  (1  x ) a2 b2 c3 a3 b3 c1 c2 c3 Bài 21: Giải phương trình sau theo ẩn x x2 a) 0 x3 x4 x2  0 3 x 1 x 1 x x 1 x2 0 x 1 0 x x x2 b) 0 x5  x100 Bài 22: Các số 204, 527, 255 chia hết cho 17 Chứng minh rằng: A  chia hết cho 17 5 -6- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 23: Không khai triển, tính định thức: a b c bc b c a ca c a b ab 1 1 Bài 24: Không khai triển định thức chứng minh rằng: x y z 1 x y z z y  x z2 z2 y2 x2 z y x y2 x2 Bài 25: Chứng minh rằng: a a2 b) b b  (b  a)(c  a )(c  b) c c2 a bc a) b ca  (b  a)(c  a)(c  b) c ab 1 c) a b c  (a  b  c)(b  a)(c  a)(c  b) a b3 c Bài 26: Hãy tính định thức sau cho biết ma trận tương ứng khả nghịch: a) a a2 a2 a a a2 x  2 x  3x  b) x  3x  4 x  3x  5 x  10 x  17 -7- 1 x x c) x 1 x x x 1 Bài tập Đại Số Tuyến Tính a  b  c a  b b  2c  2a d) b  c  a b  c c  2a  2b c  a  b c  a a  2b  2c a 1 e) b 1 c 1 d 1 0 a b f) c a c b b c a c b a g) a a a a a b b a b c b c a b c d Bài 27: Áp dụng ma trận nghịch đảo Hãy giải phương trình ma trận sau: 1 2 3 5 a)  X    3 4 5 9  3   3      b)  4  X  10   1  10      Bài 28: Xét xem hệ phương trình tuyến tính sau có hệ Cramer không giải chúng: 2 x1  x2  x3  4;  a) 3 x1  x2  x3  11; 3 x  x  x  11   x1  x2  3x3  x4  6;  2 x1  x2  x3  3x4  4; b)  3x1  x2  x3  x4  4; 2 x1  3x2  x3  x4  8 Bài 29: Giải hệ phương trình sau:  x1  x2  x3  6;  a) 2 x1  x2  x3  16; 5 x  x  x  16  7 x1  x2  3x3  15;  x1  x2  x3  1;   b) 5 x1  x2  x3  15; c)  x1  x2  x3  4; 10 x  11x  x  36  x  x  x  2 3   3 x1  x2  x3  5;  d) 2 x1  x2  x3  1; 2 x  x  x  11   x1  x2  x3  x4  2;   x1  x2  3x3  x4  2; e)  2 x1  3x2  x3  x4  2;  x1  x2  x3  x4  -8- Bài tập Đại Số Tuyến Tính 2 x1  x2  x3  x4  5;   x1  x2  3x3  x4  1; f)  3 x1  x2  x3  x4  8; 2 x1  x2  x3  3x4   x1  x2  x3  x4  5;   x1  x2  3x3  x4  3; g)  4 x1  x2  x3  3x4  7; 3 x1  x2  3x3  x4  2 x1  x2  3x3  x4  4;  3x1  3x2  3x3  x4  6; h)  3x1  x2  x3  x4  6; 3x1  x2  3x3  x4  Bài 30: Giải biện luận hệ pt sau: mx1  x2  x3  1;  a)  x1  mx2  x3  m;   x1  x2  mx3  m ax1  x2  x3  4;  b)  x1  bx2  x3  3;  x  x  x   3 x1  x2  x3  x4  3;  2 x1  3x2  x3  x4  5; d)   x1  x2  x3  20 x4  11; 4 x1  x2  x3  x4   x1  ax2  a x3  a ;  c)  x1  bx2  b x3  b3 ;   x1  cx2  c x3  c mx1  x2  x3  x4   x1  mx2  x3  x4 e)   x1  x2  mx3  x4  x  x  x  mx   1;  m;  m2 ; f)  m3  x1  x2  x3  1;  ax1  bx2  cx3  d ;  2 2 a x1  b x2  c x3  d Bài 31: Dùng thuật toán Gauss Gauss-Jordan để giải hệ pt sau:  x1  x2  3x3  x4  2;  a) 2 x1  x2  x3  x4  1; 5 x  12 x  x  x    7;  x1  x2  x2  x3  x4  5;  b)   x1  x2  x3  x4   x2  x4  10 -9- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 32: Cho hệ phương trình: 5 x1  x2  x3  x4  3;  4 x1  x2  3x3  x4  1;  8 x1  x2  x3  x4  9; 7 x1  3x2  x3  17 x4   Xác định giá trị tham số  cho: a) Hệ phương trình có vô số nghiệm b) Hệ phương trình vô nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 33:  1;  x1  x2  x3  Cho hệ phương trình  x1  x2  kx3  3;  x  kx +3 x  2  Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vô số nghiệm b) Hệ phương trình vô nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 34:  kx1  x2  x3 =1;  Cho hệ phương trình  x1  kx2  x3  1;  x  x + kx =1  Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vô số nghiệm b) Hệ phương trình vô nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm -10- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 35: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3 Bài 36: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16 Bài 37: y +z m mx   Cho hệ phương trình 2 x  (1  m) y  (1  m) z  m  x  y  mz 1  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Bài 38: ax  y  z  2  Cho hệ phương trình ax  y  z  , a, b tham số 3x  y  z  b  a) Xác định a, b để hệ hệ Cramer, giải tìm nghiệm hệ b) Tìm a, b để hệ vô nghiệm c) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm Bài 39: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm: ax  y  z  a   x  by  z  b  x  y  cz  c  -11- Bài tập Đại Số Tuyến Tính KHÔNG GIAN VECTƠ -o0o Bài 1: Trong không gian vectơ ℝ4 , cho hệ vectơ sau: {u1  (1,2, 1, 2); u2  (2,3,0,1); u3  (1,2,1,3); u4  (1,3, 1, 2)} (a) Tìm điều kiện tham số a để vectơ x  (7,14, 1, a) tổ hợp tuyến tính hệ cho (b) Tìm sở số chiều không gian sinh hệ vectơ {ui }, i  1, ,4 Bài 2: Cho V K - không gian vectơ Chứng minh rằng: (a) Nếu vectơ x, y, z  V độc lập tuyến tính x  y, y  z, z  x độc lập tuyến tính (b) Nếu vectơ x, y, z  V độc lập tuyến tính x  y, y  z, z  x có độc lập tuyến tính hay không? (c ) Xét tính độc lập tuyến tính vectơ ℝ3 : x  (1,0,2); y  (2,1, 4); z  (3,1, 6) Bài 3: Trong ℝ4 , cho tập F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  0; x1  x3} (a) Chứng tỏ F không gian (b) Tìm sở số chiều F Bài 4: Trong R , cho tập F  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4  0; x1  x2} (a) Chứng tỏ F không gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều F Bài 5: Trong không gian 𝑀2 (ℝ) ma trạn vuông cấp 2, cho tập 4   (a) Chứng tỏ F không gian 𝑀2 (ℝ) (b) Tìm sở số chiều F 2 F  { X  M ( ) / AX  0} ,trong đó, A    1 Bài 6: Trong ℝ4 , cho hai tập -12- Bài tập Đại Số Tuyến Tính U  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4  0}; V  { y  ( y1 , y2 , y3 , y4 ) / y1  y2  y3  y4  0} (a) Chứng tỏ U, V không gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều U  V Chứng tỏ U  V  Bài 7: Trong ℝ4 , cho hai hệ vectơ: W  {(1,1,1,1);(1,1, 1, 1);(1, 1,1, 1);(1, 1, 1,1)}; U  {(1,1,0,1);(2,1,3,1);(1,1,0,0);(0,1, 1, 1)} (a) Chứng tỏ W, U sở ℝ4 (b) Tìm tọa độ vectơ x  (1,2,1,2)  sở W Bài 8: Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau:  x  y  z  3t  3 x  y  z  4t    4 x  y  z  3t  3 x  y  24 z  19t  Bài 9: Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau: 2 x  y  z  t  x  y  2z   2 y  z  t   x  y  t    x  y  z  t  Bài 10: Gọi W1 W2 không gian nghiệm hệ phương trình sau ℝ:  x1  x3  x4  x  x     x1  x2  x4   x2  x3  Tìm sở số chiều cho không gian W1 ,W2 ,W1  W2 ,W1  W2 Bài 11: Trong ℝ - không gian vectơ P2 [ x] , cho tập M  {x2  x  1;2 x  1;3} -13- Bài tập Đại Số Tuyến Tính (a) Chứng minh M sở P2 [ x] (b) Tìm tọa độ vectơ u  x  x  sở Bài 12: Trong ℝ3 , cho sở: U  {u1  (1,1,1); u2  (1,1,0); u3  (1,0,0)}; V  {v1  (2,1, 1); v2  (3,2,5); v3  (1, 1,1) (a) Tìm tọa độ vectơ x  (2,4,6) sở U (b) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 13: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1  {(a, b, c, d ) / b  2c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / a  d , b  2c} Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1  W2 ;W1  W2 Từ đó, chứng minh W1  W2  Bài 14: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1  {(a, b, c, d ) / a  2b  c  d  0};W2  {(a, b, c, d ) / 2a  2b  c  d  0} (a) Chứng minh W1 ,W2 không gian (b) Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1  W2 Bài 15: Trong không gian vectơ ℝ5 , xét hệ gồm vectơ u1  (1,1, 2,1,4); u2  (0,1, 1,2,3); u3  (1, 1,0, 3,0) (a) Tìm sở số chiều không gian sinh vectơ u1 , u2 , u3 (b) Tìm giá trị m để vectơ x  (1, m,1, m  3, 5) W Khi đó, tìm tọa độ vectơ x sở {u1 , u2 , u3} Bài 16: Trong không gian ℝ3 , cho W không gian sinh hệ vectơ sau: W  {u1  (1,2, 1); u2  (3,1, 2); u3  (4,1,1); u4  (2,4, 2)} (a) Tìm sỏ số chiều W (b) Chứng tỏ không gian sinh hai vectơ u1 u với không gian sinh hai vectơ u3 u -14- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 17: Trong M ( ) , cho hai không gian con: a  b  a c  d F  {A   / a, b  }; G  {   a  b 2a  c  d (a) Xác định tập F  G (b) Tìm sở số chiều F  G 2c  / c, d  } $ c  5d  Bài 18: Trong không gian ℝ4 , cho vectơ: u1  (1,1,0,0); u2  (1,1,1,1); u3  (0, 1,0,1); u4  (1,2, 1, 2) Gọi E không gian sinh hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } (a) Tìm sở số chiều E (b) Tìm điều kiện cần đủ để vectơ x  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  E Bài 19: Trong không gian M ( ) , cho tập b  a F  {A    / a, b  } b a  b (a) Chứng tỏ F không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều F Bài 20: Trong không gian vectơ ℝ𝑛 , cho tập V có dạng: V  {x  ( x1 , , xn )  n / x1  x2  (a) Chứng minh V không gian (b) Tìm sở số chiều V n Bài 21: Cho hệ phương trình tuyến tính a  x  y  2t 2 x  y  z  5t  b  c  x  y  5t 3x  y  3z  9t  d  2 x  y  z  2t  e Xét W  {(a, b, c, d , e) / hệ phương trình (*) có nghiệm } -15-  xn  0} (*) Bài tập Đại Số Tuyến Tính Tìm sở số chiều W Bài 22: (a) Cho hệ vectơ 1 , 2 , , m độc lập tuyến tính Chứng minh hệ vectơ 1  1; 2  1   ; ; m  1      m độc lập tuyến tính (b) Trong không gian ma trận vuông cấp hai M ( ) , cho vectơ sau: 1 3 1 u  ; u1     2 2 Hỏi u có phải tổ hợp tuyến tính 0 1 1  1 ; u2   ; u3      0 0 0  1 u1; u2 ; u3 không? Bài 23: Trong không gian P1[ x] , xét sở B  {6  3x;10  x}; B  {2;3  x} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở B' (b) Tìm tọa độ p  4  x sở B, từ suy tọa độ p sở B’ Bài 24: Trong không gian ℝ3 với tích vô hướng tắc, cho không gian F  {(a, b, c) / a  b  c  0} (a) Tìm sở số chiều F (b) Với giá trị m x  (2, 2, m) trực giao với không gian F? Bài 25: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 , cho không gian vectơ W  {(a, b, c, d )  R / a  b  c  0; a  b  d  0} (a) Tìm sở W (b) Tìm tất vectơ trực giao với W Bài 26:  3  Trong không gian M ( ) , cho ma trận A     1  Ta gọi tập W  { X  M ( ) / AX  0} (a) Chứng minh W không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều W -16- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 27: Trong không gian vectơ ℝ3 , cho hai hệ vectơ: U  {(1,1,1);(1,1,2);(1,2,3)}; V  {(2,1, 1);(3,2, 5);(1, 1, m)} (a) Xác định m để V sở (b) Tìm tọa độ vectơ u  (1,0,0) sở U (c) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 28: Cho hệ phương tŕnh tuyến tính x  y  2z  t   2 x  y  z  t   x  y  z  mt   (a) Tìm tập nghiệm hệ phương trình (b) Gọi W không gian nghiệm hệ cho Với giá trị m W có số chiều lớn 1? Bài 29: Trong không gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ 3, xét hai sở sau: U  {1; x; x ; x3};V  {1;( x  1);( x  1)2 ;( x  1)3} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V (b) Tìm tọa độ vectơ f ( x)  x3  x  sở V Bài 30: Gọi A  {(0,1,0, 2),(1,1,0,1),(1, 2,0,1),( 1,0, 2,1)} B  {(1,0,2, 1),(0,3,0,2),(0,1,3,1),(0, 1,0,1)} hai sở ℝ4 (a) Tìm ma trận chuyển từ sở A sang sở B (b) Tìm tọa độ   (2,0,4,0) sở B Bài 31: Trong không gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ hay (a) Chứng minh hai hệ vectơ U  {u1  1; u2  x; u3  x ; u4  x 3} -17- Bài tập Đại Số Tuyến Tính V  {v1  1; v2  ( x  2); v3  ( x  2) ; v4  ( x  2)3} hai sở P3[ x] (b) Hãy tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 32: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vô hướng thông thường, cho vectơ: 1 7 x  (1,1,1,1); y  (2, 2, 2, 2); z  ( , ,  , ) 2 2 (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 33: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vô hướng thông thường, cho vectơ x  (0,1,1,1); y  (3, 2,1,1); z  (3,3, 4,1) (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 34: Trong không gian Euclide ℝ3 , cho hai không gian con: U  {x  / x1  x2  x3  0; x1  x2  x3  0};V  {x  (a) Tìm sở số chiều U ;V ;U  V (b) Hỏi U V có trực giao không? Vì sao? Bài 35: Trong không gian Euclide , cho tập con: W  {x  / x1  x2  x3  0} (a) Chứng tỏ W không gian (b) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn W -18- / x2  x3  0} Bài tập Đại Số Tuyến Tính CHÉO HOÁ MA TRẬN -o0o Bài 1:  3 Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A      Bài 2:  Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A   3   Bài 3: Xác định đa thức đặc trưng ma trận sau ℝ 1 0 a A   0  0 2 1 b B   0  0 4  4  0 4 9  6  5   3 Bài 4: Xác định đa thức đặc trưng ma trận sau ℝ  a A   a  b a b b B   c  d a c b c   b c a d d a c b d  c  b   a Bài 5: -19- 2   4  Bài tập Đại Số Tuyến Tính  Cho ma trận A    4 2  a Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) A b Xác định giá trị riêng  i A c Xác định chiều sở không gian véc tơ riêng EA (i ) d Xác định sở S ℝ2 gồm véc tơ riêng A Bài 6:  11 5 5   Cho ma trận A   5    3 3 a Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) A b Xác định giá trị riêng  i A c Xác định chiều sở không gian véc tơ riêng EA (i ) d Xác định sở S ℝ3 gồm véc tơ riêng A Bài 7: 1 0 Cho ma trận A   1  1 1 1  1 0  1 a Xác định đa thức đặc trưng f A (t ) A b Xác định giá trị riêng  i A c Xác định chiều sở không gian véc tơ riêng EA (i ) d Xác định sở S ℝ4 gồm véc tơ riêng A Bài 8: -20- Bài tập Đại Số Tuyến Tính 7 9 1 8 4   sau A  0 6   1  0 Cho ma trận A trường số thực a Tính det A b Tính det( A  I ) với   c Tính det f ( A) biết f ( x)  x n  x  Bài 9:  1 Chéo hoá ma trận A  7 5   6 1   Bài 10: 1 0 Chéo hóa ma trận A   1  1 1 1  1 0  1 Bài 11:  1 7 Cho ma trận A   2 8  4 16 5  12  a Chéo hoá ma trận A b Hãy tính luỹ thừa ma trận An -21- Bài tập Đại Số Tuyến Tính ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1: Cho 𝑓: ℝ3 → ℝ3 ánh xạ tuyến tính cho f (1,1, 2)  (1, 2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2, 2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức f , nghĩa tìm f ( x1 , x2 , x3 ) Bài 2: Tìm ánh xạ tuyến tính  : [t ]  [t ] cho (1)   t , (1  t )  1  2t , (2  t )   2t Bài 3: Tìm ánh xạ tuyến tính  : M ( )  M ( ) cho ( X i )  Yi , 1  1  2   11  X1   , X2   , X3   , X4       3  5  9 13 17 25 1  1  1   1 Y1   , Y2   , Y3   , Y4       3  2 4 2 3  3 Bài 4: Tìm ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 cho Imf sinh (1, 2,3) (4,5,6) Bài 5: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định f ( x, y, z )  ( x  y, y  z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định f ( x, y, z )  ( x  y  z, y  z, x  y  z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 7: -22- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định f ( x, y, z, t )  ( x  y  z  t , x  z  t , x  y  3z  3t ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 8: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định ( x, y, z, s, t )  ( x  y  z  3s  4t , x  y  z  5s  5t , x  y  5z  s  2t ) a Tìm sở chiều tập ảnh  b Tìm sở chiều hạt nhân  Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ3 [𝑡 ] → ℝ3 [𝑡 ] xác định ( f (t ))  f (t ) a Tìm sở chiều tập ảnh  b Tìm sở chiều hạt nhân  Bài 10: Cho ánh xạ tuyến tính  : M ( )  M ( ) xác định ( X )  XA  AX , 1  A  3  a Tìm sở chiều hạt nhân  b Tìm sở chiều tập ảnh  Bài 11: Xác định ánh xạ tuyến tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu a f :  xác định f ( x, y)  ( x  y, x  y) b f :  xác định f ( x, y )  (2 x  y,3x  y) Bài 12: Cho toán tử tuyến tính f ℝ3 xác định sau: f ( x1 , x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 ) -23- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Với a số thực a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f ) [...]... (b) Tìm một cơ sở và số chiều của V n Bài 21: Cho hệ phương trình tuyến tính a  x  y  2t 2 x  4 y  z  5t  b  c  x  3 y  5t 3x  7 y  3z  9t  d  2 x  8 y  4 z  2t  e Xét W  {(a, b, c, d , e) / hệ phương trình (*) có nghiệm } -15-  xn  0} (*) Bài tập Đại Số Tuyến Tính Tìm một cơ sở và số chiều của W Bài 22: (a) Cho hệ vectơ 1 , 2 , , m độc lập tuyến tính Chứng minh rằng... trường số thực a Tính det A b Tính det( A  I 4 ) với   c Tính det f ( A) biết rằng f ( x)  x n  x 2  1 Bài 9:  3 1 Chéo hoá ma trận A  7 5   6 6 1 1  2  Bài 10: 1 0 Chéo hóa ma trận A   1  1 0 1 1 1 1 1  1 1 0  1 0 1 Bài 11:  1 7 Cho ma trận A   2 8  4 16 5 6  12  a Chéo hoá ma trận A b Hãy tính luỹ thừa ma trận An -21- Bài tập Đại Số Tuyến Tính. .. tham số a để vectơ x  (7,14, 1, a) là một tổ hợp tuyến tính của hệ đã cho (b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ {ui }, i  1, ,4 Bài 2: Cho V là một K - không gian vectơ Chứng minh rằng: (a) Nếu 3 vectơ x, y, z  V là độc lập tuyến tính thì x  y, y  z, z  x là độc lập tuyến tính (b) Nếu 3 vectơ x, y, z  V là độc lập tuyến tính thì x  y, y  z, z  x có độc lập tuyến tính. .. chiều của tập ảnh của f b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f Bài 7: -22- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định bởi f ( x, y, z, t )  ( x  y  z  t , x  2 z  t , x  y  3z  3t ) a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f Bài 8: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định bởi ( x, y, z, s, t )  ( x  2 y  z  3s... chiều của tập ảnh của  Bài 11: Xác định các ánh xạ tuyến tính nào dưới đây là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu a f : 2  2 xác định bởi f ( x, y)  ( x  y, x  2 y) b f : 2  2 xác định bởi f ( x, y )  (2 x  4 y,3x  6 y) Bài 12: Cho toán tử tuyến tính f trên ℝ3 xác định như sau: f ( x1 , x2 , x3 )  ((a  1) x1  x2  x3 ; x1  (a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 ) -23- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Với... rằng F là một không gian con của ℝ4 (b) Tìm một cơ sở và số chiều của F Bài 5: Trong không gian 𝑀2 (ℝ) các ma trạn vuông cấp 2, cho tập 4  2  (a) Chứng tỏ rằng F là một không gian con của 𝑀2 (ℝ) (b) Tìm một cơ sở và số chiều của F 2 F  { X  M 2 ( ) / AX  0} ,trong đó, A    1 Bài 6: Trong ℝ4 , cho hai tập con -12- Bài tập Đại Số Tuyến Tính U  {x  ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1  x2  x3  x4... 4 3 Bài 4: Tìm ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 sao cho Imf sinh bởi (1, 2,3) và (4,5,6) Bài 5: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  y, y  z ) a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f b Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định bởi f ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  z, x  y  2 z ) a Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh... Tìm một cơ sỏ và số chiều W (b) Chứng tỏ rằng không gian con sinh bởi hai vectơ u1 và u 2 bằng với không gian con sinh bởi hai vectơ u3 và u 4 -14- Bài tập Đại Số Tuyến Tính Bài 17: Trong M 2 ( ) , cho hai không gian con: a  b  a c  d F  {A   / a, b  }; G  {   a  b 2a  c  d (a) Xác định tập F  G (b) Tìm một cơ sở và số chiều của F  G 2c  / c, d  } $ c  5d  Bài 18: Trong không... tập Đại Số Tuyến Tính ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1: Cho 𝑓: ℝ3 → ℝ3 là ánh xạ tuyến tính sao cho f (1,1, 2)  (1, 2,3), f (2,1,1)  (0,1,1), f (2, 2,3)  (0, 1,0) Hãy xác định công thức của f , nghĩa là tìm f ( x1 , x2 , x3 ) Bài 2: Tìm ánh xạ tuyến tính  : 3 [t ]  3 [t ] sao cho (1)  1  t , (1  t 2 )  1  2t , (2  t )  4  2t Bài 3: Tìm ánh xạ tuyến tính  : M 2 ( )  M 2 ( ) sao... z  3 , trong đó a, b là các tham số 3x  2 y  z  b  a) Xác định a, b để hệ trên là hệ Cramer, giải và tìm nghiệm của hệ đó b) Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm c) Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm Bài 39: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm: ax  y  z  a   x  by  z  b  x  y  cz  c  -11- Bài tập Đại Số Tuyến Tính KHÔNG GIAN VECTƠ -o0o Bài 1: Trong không gian vectơ ℝ4 , ... (*) Bài tập Đại Số Tuyến Tính Tìm sở số chiều W Bài 22: (a) Cho hệ vectơ 1 , 2 , , m độc lập tuyến tính Chứng minh hệ vectơ 1  1; 2  1   ; ; m  1      m độc lập tuyến tính. .. 12  a Chéo hoá ma trận A b Hãy tính luỹ thừa ma trận An -21- Bài tập Đại Số Tuyến Tính ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1: Cho