BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

29 1.5K 1
BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài Tích phân suy rộng Giới thiệu tổng quan Tích phân suy rộng có cận vô tận Tích phân hàm số không bị chặn Một số tiêu chuẩn hội tụ IV TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng có cận vô tận Định nghĩa: a) Giả sử f(x) xác định [a,+∞ ] khả tích trên[a,b] với b ∈ [a,∞ ] Nếu tồn giới hạn hữu hạn vô giới hạn gọi tích phân suy rộng f(x) [a,∞ ] ký hiệu Vậy: Khi tích phân suy rộng hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, tích phân suy rộng không tồn vô ta nói tích phân suy rộng phân kỳ b) Hoàn toàn tương tự, hàm số f(x) xác định (-∞ ,a] khả tích [c,a] với c∈ (-∞ ,a] ta định nghĩa tích phân suy rộng f(x) (-∞ ,a] bởi: c) Đối với hàm số f(x) xác định (-∞ ,+∞ ) ta định nghĩa tích phân suy rộng bởi: tích phân hội tụ tích phân suy rộng: Ví dụ: hội tụ 1)Tính 2) Tính Cho b ∈ [o+∞ ), ta tính phương pháp tích phân phần Đặt: Suy ra: Vậy Do tích phân suy rộng phân kỳ 3) Tính Ta có: Suy mà (áp dụng quy tắc l' hospitale) Vậy: 4) Xét hội tụ phân tích suy rộng: Tích phân tính theo trường hợp α sau: α =1 b → +∞ Vậy phân kỳ α >1 nên Vậy tích phân hội tụ với α >1 α a α tham số Với α = 1, ta có: ⇒ Vậy tích phân I4 phân kỳ α =1 Với α ≠ 1, ta có: Suy ra: + Nếu α < tích phân I4 hội tụ + Nếu α > tích phân I4 phân kỳ Vì I4 = + ∞ 3.Một số tiêu chuẩn hội tụ Trong phần ta phát biểu số tiêu chuẩn hội tụ tích suy rộng Định lý 1: (i) Cho f(x) ≥ [ a,+ ∞ ) Khi tích phân cho: (ii) Cho f(x) ≥ [a,b] có M > cho: hội tụ có M > Khi tích phân hội tụ Định lý 2: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a,+∞ ) f(x) ≤ g(x) với x đủ lớn Khi đó: (i) Nếu hội tụ (ii) Nếu phân kỳ hội tụ phân kỳ Định lý 3: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a, +∞ ) và: hội tụ ⇒ (i) Nếu l = ta có ⇒ Phân kỳ hội tụ, và: phân kỳ (ii) Nếu l = + ∞ ta có: hội tụ ⇒ hội tụ ,và phân kỳ ⇒ phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0 ,+ ∞ ) ta có hai tích phân suy rộng phân kỳ hội tụ Định lý 4: Cho f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c ∈ [a,b) Giả sử f (x) ≤ g(x) lân cận trái b Khi ta có: (i) Nếu hội tụ (ii) Nếu phân kỳ hội tụ phân kỳ Định lý 5: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c∈ [a,b), và: (i) Nếu l= ta có: hội tụ ⇒ hôi tụ phân kỳ ⇒ phân kỳ (ii) Nếu l=+ ∞ ta có: hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ hội tụ phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0, +∞ ) Thì hai tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ: 1) Xét hội tụ Với x > ta có: Vì 2/3 < nên phân ky ø Suy ra: phân kỳ 2) Xét hội tụ Khi x → + ∞ ta có: hội tụ mà hội tụ Vậy hội tụ 3) Xét hội tụ Khi x → 0, ta có: ⇒ mà hội tụ nên tích phân suy rộng I hội tụ IV TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng có cận vô tận Định nghĩa: a) Giả sử f(x) xác định [a,+∞ ] khả tích trên[a,b] với b ∈ [a,∞ ] Nếu tồn giới hạn hữu hạn vô giới hạn gọi tích phân suy rộng f(x) [a,∞ ] ký hiệu Vậy: Khi tích phân suy rộng hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, tích phân suy rộng không tồn vô ta nói tích phân suy rộng phân kỳ 2) Ta có: Xét tích phân suy rộng: Ta có: ⇒ J1 Phân kỳ I2 phân kỳ 3) Ta có Vậy I3 hội tụ 4) b > a α tham số Với α = 1, ta có: ⇒ Vậy tích phân I4 phân kỳ α =1 Với α ≠ 1, ta có: Suy ra: + Nếu α < tích phân I4 hội tụ + Nếu α > tích phân I4 phân kỳ Vì I4 = + ∞ 3.Một số tiêu chuẩn hội tụ Trong phần ta phát biểu số tiêu chuẩn hội tụ tích suy rộng Định lý 1: (i) Cho f(x) ≥ [ a,+ ∞ ) Khi tích phân cho: hội tụ có M > (ii) Cho f(x) ≥ [a,b] có M > cho: Khi tích phân hội tụ Định lý 2: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a,+∞ ) f(x) ≤ g(x) với x đủ lớn Khi đó: (i) Nếu hội tụ hội tụ (ii) Nếu phân kỳ phân kỳ Định lý 3: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a, +∞ ) và: hội tụ ⇒ (i) Nếu l = ta có Phân kỳ ⇒ hội tụ, và: phân kỳ (ii) Nếu l = + ∞ ta có: hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ hội tụ ,và phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0 ,+ ∞ ) ta có hai tích phân suy rộng phân kỳ hội tụ Định lý 4: Cho f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c ∈ [a,b) Giả sử f (x) ≤ g(x) lân cận trái b Khi ta có: (i) Nếu hội tụ (ii) Nếu phân kỳ hội tụ phân kỳ Định lý 5: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c∈ [a,b), và: (i) Nếu l= ta có: hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ hôi tụ phân kỳ (ii) Nếu l=+ ∞ ta có: hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ hội tụ phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0, +∞ ) Thì hai tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ: 1) Xét hội tụ Với x > ta có: hội tụ Vì 2/3 < nên phân ky ø Suy ra: phân kỳ 2) Xét hội tụ Khi x → + ∞ ta có: mà hội tụ Vậy hội tụ 3) Xét hội tụ Khi x → 0, ta có: ⇒ mà hội tụ nên tích phân suy rộng I hội tụ IV TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng có cận vô tận Định nghĩa: a) Giả sử f(x) xác định [a,+∞ ] khả tích trên[a,b] với b ∈ [a,∞ ] Nếu tồn giới hạn hữu hạn vô giới hạn gọi tích phân suy rộng f(x) [a,∞ ] ký hiệu Vậy: Khi tích phân suy rộng hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, tích phân suy rộng không tồn vô ta nói tích phân suy rộng phân kỳ b) Hoàn toàn tương tự, hàm số f(x) xác định (-∞ ,a] khả tích [c,a] với c∈ (-∞ ,a] ta định nghĩa tích phân suy rộng f(x) (-∞ ,a] bởi: c) Đối với hàm số f(x) xác định (-∞ ,+∞ ) ta định nghĩa tích phân suy rộng bởi: tích phân hội tụ tích phân suy rộng: Ví dụ: 1)Tính 2) Tính hội tụ Cho b ∈ [o+∞ ), ta tính phương pháp tích phân phần Đặt: Suy ra: Vậy Do tích phân suy rộng phân kỳ 3) Tính Ta có: Suy mà (áp dụng quy tắc l' hospitale) Vậy: 4) Xét hội tụ phân tích suy rộng: Tích phân tính theo trường hợp α sau: α =1 b → +∞ Vậy phân kỳ α >1 nên Vậy tích phân hội tụ với α >1 α a α tham số Với α = 1, ta có: ⇒ Vậy tích phân I4 phân kỳ α =1 Với α ≠ 1, ta có: Suy ra: + Nếu α < tích phân I4 hội tụ + Nếu α > tích phân I4 phân kỳ Vì I4 = + ∞ 3.Một số tiêu chuẩn hội tụ Trong phần ta phát biểu số tiêu chuẩn hội tụ tích suy rộng Định lý 1: (i) Cho f(x) ≥ [ a,+ ∞ ) Khi tích phân cho: (ii) Cho f(x) ≥ [a,b] có M > cho: hội tụ có M > Khi tích phân hội tụ Định lý 2: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a,+∞ ) f(x) ≤ g(x) với x đủ lớn Khi đó: (i) Nếu hội tụ hội tụ (ii) Nếu phân kỳ phân kỳ Định lý 3: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,b] với b ∈ [a, +∞ ) và: (i) Nếu l = ta có hội tụ ⇒ hội tụ, và: ⇒ Phân kỳ phân kỳ (ii) Nếu l = + ∞ ta có: hội tụ ⇒ hội tụ ,và phân kỳ ⇒ phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0 ,+ ∞ ) ta có hai tích phân suy rộng phân kỳ hội tụ Định lý 4: Cho f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c ∈ [a,b) Giả sử f (x) ≤ g(x) lân cận trái b Khi ta có: (i) Nếu hội tụ (ii) Nếu phân kỳ hội tụ phân kỳ Định lý 5: Giả sử f(x) g(x) không âm khả tích [a,c] với c∈ [a,b), và: (i) Nếu l= ta có: hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ (ii) Nếu l=+ ∞ ta có: hôi tụ phân kỳ hội tụ ⇒ phân kỳ ⇒ hội tụ phân kỳ (iii) Nếu l ∈ (0, +∞ ) Thì hai tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ: 1) Xét hội tụ Với x > ta có: Vì 2/3 < nên phân ky ø Suy ra: phân kỳ 2) Xét hội tụ Khi x → + ∞ ta có: mà Vậy hội tụ hội tụ hội tụ 3) Xét hội tụ Khi x → 0, ta có: ⇒ mà hội tụ nên tích phân suy rộng I hội tụ [...]... cũng hội tụ IV TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1 Tích phân suy rộng có cận vô tận Định nghĩa: a) Giả sử f(x) xác định trên [a,+∞ ] và khả tích trên[a,b] với mọi b ∈ [a,∞ ] Nếu tồn tại giới hạn là hữu hạn hoặc vô cùng thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a,∞ ] ký hiệu là Vậy: Khi tích phân suy rộng là hữu hạn thì ta nói là tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, nếu tích phân suy rộng không tồn... khả tích trên [c,a] với mọi c∈ (-∞ ,a] ta định nghĩa tích phân suy rộng của f(x) trên (-∞ ,a] bởi: c) Đối với hàm số f(x) xác định trên (-∞ ,+∞ ) ta định nghĩa tích phân suy rộng bởi: và tích phân này hội tụ khi các tích phân suy rộng: và là hội tụ Ví dụ: 1)Tính 2) Tính Cho b ∈ [o+∞ ), ta tính Suy ra: Vậy bằng phương pháp tích phân từng phần Đặt: Do đó tích phân suy rộng là phân kỳ 3) Tính Ta có: Suy. .. bằng phương pháp tích phân từng phần Đặt: Suy ra: Vậy Do đó tích phân suy rộng là phân kỳ 3) Tính Ta có: Suy ra mà (áp dụng quy tắc l' hospitale) Vậy: 4) Xét sự hội tụ của phân tích suy rộng: Tích phân này được tính theo 3 trường hợp của α như sau: α =1 khi b → +∞ Vậy là phân kỳ α >1 do nên Vậy tích phân hội tụ với α >1 α

Ngày đăng: 20/12/2016, 01:58

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan