Hình học 12 TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN -hoctoancapba.com CÁC DẠNG TỐN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A ) AB  AB    x B  x A    y B  y A 2   z B  z A   a  b  a1  b1 , a  b2 , a3  b3  k.a  ka1 , ka2 , ka3  a  a12  a 22  a32    A,B,C ba đỉnh tam giác  [ AB, AC ] ≠   SABC = [AB, AC]  Đường cao AH =  Shbh = [AB, AC]  2.S ABC BC  Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành  Chứng minh A,B,C không thẳng hàng  a1  b1  a  b  a  b2 a  b   ABCD hbh  AB  DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện: a.b  a1 b1  a b2  a3 b3  a1 a a3   b1 b2 b3 a // b  a  k b  a  b         12 a, b, c khơng đồng phẳng  a  b c  13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠  x kxB y A kyB z A kzB  M A , ,  1 k 1 k   1 k 14 M trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  z B  M A , ,  2   15 G trọng tâm tam giác ABC  x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C  G A , , , 3   16 Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) 17 M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz 18 M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz 1 a12  a 22  a32 19 S ABC  AB  AC  2 20 V ABCD  ( AB  AC ).AD 21 V ABCD A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /   Đường cao AH tứ diện ABCD V  S BCD AH  AH  3V S BCD a  b  a.b   a1 b1  a b2  a3 b3   a a3 a3 a1 a1 a   10 a  b   , ,  b b b b b b 3 1   11 a, b, c đồng phẳng  a  b c   [ AB, AC ] AD ≠    Vtd = [AB, AC] AD Thể tích hình hộp :   V ABCD A/ B / C / D /  AB; AD AA / Dạng4: Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc mp : ta có a d  n   Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () H hình chiếu M đường thẳng (d)  Viết phương trình mp qua M vuông góc với (d): ta có n  a d  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Dạng : Điểm đối xứng 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp  Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1)  H trung điểm MM/ 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:  Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2)  H trung điểm MM/ Hình học 12 MẶT PHẲNG TĨM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến mp :    n ≠ véctơ pháp tuyến   n   Cặp véctơ phương mp :     a // b cặp vtcp   a , b //        Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]  Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm A,B,C :  qua A ( hay B hay C ) °  ° Cặp vtcp: AB , AC    vtpt n  [ AB , AC ] Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : °  qua M trung điể m AB   vtpt n  AB Dạng 3: Mặt phẳng  qua M  d (hoặc AB) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) =  () : Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) 5.Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z   1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến 6.Phương trình mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d (1): A1x + B1y + C1z + D1 = (2): A2x + B2y + C2z + D2 = Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = Vò trí tương đối hai mp (1) (2) : °  cắt   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 A B C D °  //      A2 B2 C2 D2 A B C D °       A2 B2 C2 D2 ª     A1 A2  B1 B2  C1C2  9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = d(M, )  Ax o  By o  Cz o  D A  B2  C2 10.Góc hai mặt phẳng :   n1 n cos( ,  )    n1 n qua M °    Vì   (d) nên vtpt n  a (AB) d Dạng 4: Mp qua M // : Ax + By + Cz + D = °  qua M  Vì  //  nê n vtpt n   n  Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/)  Điểm M ( chọn điểm M (d)) a d  a  Mp chứa (d) nên Mp song song (d/) nên a d /  b ■  Vtpt n  a d , a d /  Dạng Mp qua M,N   : ■ Mp qua M,N nên MN  a ■ Mp  mp nên n  b qua M (hay N) °    vtpt n  [ MN , n ]  Dạng Mp chứa (d) qua ■ Mp chứa d nên a d  a ■ Mp qua M  (d ) A nên AM  b qua A °  (Cách 2: sử dụng chùm mp)  vtpt n  [ a , AM] d Hình học 12 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN TĨM TẮT LÝ THUYẾT CÁC DẠNG TOÁN 1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua  M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B (hayB) quaA (d ) ad  AB  Vtcp x  x o  a 1t  (d) : y  y o  a t ; t  R z  z  a t o  Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song () qua A 2.Phương trình tắc (d) (d) : x  xo a  y  yo a2  z-z a3 (d ) Qui ước: Mẫu = Tư û= qua A (d ) A x  B1 y  C1z  D1  (d) :  A x  B y  C z  D   B1 Véctơ phương a    B2 C1 C1 , C2 C2 A1 A1 , A2 A2 B1 B2      (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /   d chéo d’  [ a d , a d / ] MN ≠ (không đồng phẳng)   d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ] MN =    /  d,d’ song song  { a d // a d / M  ( d ) }   d,d’ trùng  { a d // a d / M  ( d / ) }  Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d / Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d )  Kc đường thẳng :  n d  d (d ; d / )   Viết pt mp chứa (d) vuông góc mp quaM  (d )  (  )  (d )  a  a d           n  b   n   [a d ; n ]  ª (d / ( ) ) (  ) Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A vuông góc (d1),(d2) (d ) qua A   vtcp a  [ a d1  ,a d2 ] Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 :   + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d) [a d ; AM ]  d= ad Dạng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d =    [a d ; a d / ].MN với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Dạng 8: PT d //  cắt d1,d2 : d = 1  2 với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 //  [a d ; a d / ]   Vì (d)  ( ) nê n vtcp a   d,d’ cắt  [ a d , a d / ]  [ a d , a d / ] MN =0 5.Khoảng cách :  Dạng4: PT d’ hình chiếu d lên  : d/ =    4.Vò trí tương đối đường thẳng :  d  a Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vuông góc mp 3.PT tổng quát (d) giao tuyến mp 1 2   Vì (d) // () nê n vtcp a  6.Góc : (d) có vtcp a d ; ’ có vtcp a d / ; ( ) có vtpt n  a d a d / Góc đường thẳng : cos(d,d' )   ad ad /   ad n Góc đường mặt : sin(d, )    ad n Dạng 9: PT d qua A  d1, cắt d2 : d = AB với mp qua A,  d1 ; B = d2   Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =    với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P) Hình học 12 MẶT CẦU CÁC DẠNG TOÁN TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 2 (1) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (2) ( với a  b  c  d  )  2 2 Tâm I(a ; b ; c) R  a  b  c  d 2.Vò trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2  : Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :  d > R : (S)   =   d = R :  tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, : tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu tâm I mp)  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vuông góc mp : ta có a d  n   Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()  d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2   : Ax  By  Cz  D  *Tìm bán kính r tâm H đường tròn: + bán kính r  R2  d2 ( I ,  ) + Tìm tâm H ( hchiếu tâm I mp)  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vuông góc mp : ta có a d  n   Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () 3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu x  x o  a1t  d : y  y o  a t (1) z  z o  a t  (S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm 2 Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A ª S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R (1) 2  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Tâm I trung điểm AB  Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp Pt mặ t cầ u tâ m I (S ) R  d(I, )  A.x  B y  C z  D I I I A2  B  C Dạng 4: Mặt cầu tâm I tiếp xúc () (S ) tâ m I R  d(I, ) Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d Dạng 6:Mặt cầu qua A,B,C tâm I € (α) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (2) A,B,C  mc(S): tọa tọa A,B,C vào (2) I(a,b,c) (α): a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A   Tiếp diện  mc(S) A :  qua A, vtpt n  IA Dạng 8: Mặt phẳng  tiếp xúc (S)   + Viết pt mp vuông góc  : n  a   ( A, B, C ) + Mp : Ax + By + Cz + D = + Tìm D từ pt d(I ,  ) = R Dạng 9: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) // đt a,b :    n  [ a ,b ]  pt : Ax  By  Cz  D  từ d(I,  )  R  D Dạng 10: Mp chứa  tiếp xúc mc(S) : thuộ c chù m mp a   R  d(I, )  m, n Hình học 12 ... Hình học 12 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN TĨM TẮT LÝ THUYẾT CÁC DẠNG TOÁN 1.Phương trình tham số... Hình học 12 MẶT CẦU CÁC DẠNG TOÁN TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình mặt cầu tâm...Hình học 12 MẶT PHẲNG TĨM TẮT LÝ