Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài báo này, một phương pháp mới được phát triển gần đây đó là phương pháp phần tử chuyển động dùng để phân tích ứng xử động của tấm dày Mindlin trên nền Pasternak chịu tải trọng di động. Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu tấm. Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm. Tất cả các phương trình chuyển động cũng như các ma trận kết cấu của phần tử tấm được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi. Để đảm bảo được sự liên tục và chính xác của lời giải, mô hình nền Pasternak được sử dụng trong nghiên cứu. Các ví dụ số liên quan đến ứng xử động lực học của tấm được triển khai nhằm phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị lớn nhất và hình dáng biến dạng của tấm như vận tốc lực di chuyển, độ cứng của nền và chiều dày tấm.
PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM MINDLIN TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG DYNAMIC RESPONSES OF MINDLIN PLATES RESTING ON THE PASTERNAK FOUNDATION SUBJECTED TO MOVING LOAD USING MOVING ELEMENT METHOD TÓM TẮT Cao Tấn Ngọc Thân, Lương Văn Hải, Nguyễn Trọng Phước Giới thiệu Trong báo này, phương pháp phát triển gần phương pháp phần tử chuyển động dùng để phân tích ứng xử động dày Mindlin Pasternak chịu tải trọng di động Theo phương pháp này, chia nhỏ thành “phần tử chuyển động” Những phần tử chuyển động thật so với đứng yên mà chuyển động giả tưởng với lực di chuyển kết cấu Do đó, phương pháp tránh việc cập nhật véctơ tải trọng tương ứng với mô hình Tất phương trình chuyển động ma trận kết cấu phần tử xây dựng hệ trục tọa độ chuyển động với vận tốc không đổi Để đảm bảo liên tục xác lời giải, mô hình Pasternak sử dụng nghiên cứu Các ví dụ số liên quan đến ứng xử động lực học triển khai nhằm phân tích yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị lớn hình dáng biến dạng vận tốc lực di chuyển, độ cứng chiều dày Với phát triển khoa học công nghệ, kết cấu sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực hàng không, giao thông, dân dụng Trong lĩnh vực này, kết cấu thường mô tựa đàn hồi chịu tải trọng động Kim Rosset (1988) [1] phân tích ứng xử vô hạn đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi sử dụng phương pháp Fourier transform Kim (2004) [2] thực phân tích ứng xử động đàn nhớt Winkler chịu tải trọng động sử dụng phương pháp Fourier transform Fryba (1999) [3] nghiên cứu dao động riêng vô hạn hữu hạn cho điều kiện biên khác Huang Thambiratnam (2001) [4] trình bày phương pháp dải hữu hạn để xử lý ứng xử kết cấu cố định đàn hồi chịu tải trọng động với vận tốc biến đổi Javad (2013)[5] sử dụng phương pháp Eigenfunction Expansion Method (EEM) để nghiên cứu ổn định ứng xử động lực học Mindlin chịu tải trọng di động Từ khóa:Phương pháp phần tử chuyển động, Mindlin, Pasternak, tải trọng di chuyển Trong thực tế, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method) sử dụng rộng rãi để giải nhiều toán phức tạp Wu cộng (1987) [6] nghiên cứu phản ứng động kết cấu với yếu tố ảnh hưởng chiều dài tấm, vận tốc, gia tốc ban đầu tải trọng di chuyển Taheri Ting (1990) [7] phân tích ứng xử đàn hồi chịu tải trọng động phương pháp FEM Trong phương pháp phần tử hữu hạn, tất ma trận kết cấu thực hệ trục tọa độ cố định Khi tải trọng di chuyển từ phần tử sang phần tử khác véctơ tải trọng phải cập nhật sau bước thời gian Đồng thời, tải trọng tiến tới biên vượt khỏi biên toán Tất nhược điểm FEM minh họa Hình ABSTRACT In this paper, a recent method, namely the moving element method (MEM) is employed to analyze the dynamic response of the Mindlin plates resting on the Pasternak foundation under a moving load By using this method, the plate is discretized into “moving element” These moving elements are not physical elements fixed to the plate but are conceptual elements that “flow” with the moving load through the plate Thus, the proposed method eliminates the need of keeping track the location of moving load with respect to the plate The governing equations of motion as well as structural matrices of moving elements are formulated in a relative coordinate system travelling at a constant speed Considering the continuity of foundation, Pasternak foundation model is employed in this study Numerical examples are conducted to investigate the effects of various parameters on deflected shapes, maximum displacement of the plates such as the speed of moving load, the stiffness of foundation and the thickness of plates Keywords: Moving element method, Mindlin plate, Pasternak foundation, moving load ThS Cao Tấn Ngọc Thân Nghiên cứu sinh, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM PGS.TS Lương Văn Hải, TS Nguyễn Trọng Phước Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM Email:lvhai@hcmut.edu.vn Điện thoại: 0944282090 Để khắc phục nhược điểm phương pháp phần tử hữu hạn, Koh cộng (2003) [8] đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM – Moving Element Method) việc khảo sát ứng xử động hệ thống tàu–ray Phương pháp giải khó khăn phương pháp FEM Koh cộng (2007) [9] khảo sát dao động bán không gian đàn hồi phương pháp MEM Xu cộng (2009) [10] áp dụng phương pháp việc phân tích dao động ngẫu nhiên Kirchhoff Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác Tran cộng (2013) [11] áp dụng MEM để khảo sát đến ứng xử động tàu cao tốc-ray tàu tăng tốc giảm tốc Nhi cộng (2014) [12] phân tích ứng xử động Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Phương trình chuyển động kết cấu thiết lập hệ trục tọa độ tương đối chuyển động vận tốc với lực di chuyển Ưu điểm phương pháp MEM minh họa Hình Trang Hình Mô hình phương pháp FEM truyền thống Hình Mô hình Mindlin Pasternak Hình Quy ước chiều dương chuyển vị w chuyển vị Hình Mô hình phương pháp MEM Trong mô hình Winkler, hoạt động độc lập lò xo nên ứng xử không liên tục bỏ qua biến dạng cắt Để khắc phục hạn chế Winkler, Vlasov and Leont’ev (1966) [13] phân tích ứng xử dầm hai thông số Pasternak Yang (1972) [14] phân tích ứng xử Pasternak sử dụng kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn sai phân hữu hạn Trong báo này, phương pháp MEM sử dụng để phân tích động lực học Mindlin tựa Pasternak chịu tải trọng động Các phương trình chuyển động tấm, ma trận kết cấu thiết lập hệ tọa độ tương đối chuyển động vận tốc lực Đồng thời, thông số vận tốc lực di chuyển, chiều dày tấm, hệ số đàn hồi, hệ số cắt ảnh hưởng đến chuyển vị phân tích Các kết thu tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu thiết kế kết cấu chịu tải trọng động thực tiễn Cở sở lý thuyết Xét Mindlin đặt Pasternak với chiều dài L , chiều rộng B có đặc trưng vật liệu module đàn hồi E , trọng lượng riêng ρ , hệ số Poision ν Nền Pasternak mô xoay Reissner-Mindlin Rời rạc hóa miền toán Ω thành N e phần tử tứ giác chín nút Q9 cho Ω= Ne Ωe với e =1 Ω i ∩ Ω j = ∅, i ≠ j Tất phần tử gắn vào hệ trục cố định ( x, y ) đánh số từ 1-9 Hình Hình Phần tử Q9 tọa độ tổng thể Từ hệ trục tổng thể ( x, y ) , tất phần tử Q9 quy hệ tọa độ tự nhiên Hình Các hàm dạng nội suy phần tử Q9 hệ tọa độ tự nhiên cho bởi: hình lò xo với thông số: hệ số module đàn hồi k w hệ số module cắt k g minh họa Hình Với giả thuyết Mindlin chịu biến dạng uốn lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục toạ độ Oxyz chọn cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung bình Ω ⊂ R trục z vuông góc với mặt phẳng Tấm dựa giả thuyết Mindlin, với w độ võng tấm, β x , β y góc xoay pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục Oy Ox hệ tọa độ địa phương với quy ước chiều dương cho Hình 4, Ω mặt trung hòa h độ dày Các thành phần u , v w tương ứng chuyển vị theo Hình Phần tử Q9 tọa độ tự nhiên phương x , phương y , phương z ; wo chuyển vị mặt trung hòa (giả thuyết biến dạng màng: u= v= ) o o Trang N1 = N3 = 4 (ξ − 1)(η − 1) ξη , (ξ + 1)(η + 1) ξη , N2 = N4 = 4 ) (η − 1)η , N6 = − η ( ) (η + 1)η , N8 = − η 2 N7 = − ξ ( N9 = 1−ξ )(1 − η ) ( ) (ξ + 1) ξ ( ) (ξ − 1) ξ (1) σ = σ b + σ s = Dzκ b + Gk 1− v N 0 N 1 0 1 γ (6) h h m = ρ 0 12 0 ∫ κ b Db κ b d Ω + ∫ γ T T D s γd Ω (7) Thay (6) vào (7), phương trình viết lại: Ω Ω (8) Db ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn, cho bởi: ν Eh ν Db = 12 (1 − ν ) −ν 0 0 (12) β y ] nội suy từ hàm dạng [ T chuyển vị nút: (13) u = Nd N ma trận hàm dạng chuyển vị xác định N1 N=0 0 N2 0 N9 N1 0 N2 N9 N1 0 N2 0 [ β x1 d = w1 β y1 β x2 w2 β y2 w9 β x9 (14) N9 d véctơ chuyển vị nút: β y9 ] T (9) N w ma trận chứa hàm dạng: (17) Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không đổi V Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, hệ tọa độ ( r , s ) gắn liền với tải trọng di động thiết lập Mối quan hệ hai trục tọa độ xác định sau : (18) r= x − Vt (19) y=s ( x, y ) hệ tọa độ cố định, ( r , s ) hệ tọa độ chuyển động; V t vận tốc thời gian di chuyển tải trọng Khi trường chuyển vị đạo hàm riêng hệ tọa độ chuyển động biểu diễn sau: ∂u ( x , t ) ∂u ( r , t ) ∂u ( r , t ) u == −V + ∂t ∂r ∂t (20) ∂ u ( x, t ) ∂ u ( r, t ) ∂ u ( r, t ) ∂ u ( r, t ) = u = V − 2V + 2 ∂t ∂t ∂r ∂t ∂t 2 ∂w ( x , t ) ∂w ( r , t ) ∂w ( r , t ) −V + w == ∂t ∂r ∂t (10) (15) Chuyển vị đứng w nội suy từ chuyển vị nút phần tử: (16) w = N wd Ma trận D s ma trận vật liệu ứng với biến dạng cắt, xác định bởi: Ehk 1 Ds = (1 + ν ) 0 h 12 N w = [ N1 0 N 0 N 0 ] Ω {δ d}T ∫ BTb Db Bb d Ω + ∫ BTs D s B s d Ω {d} 0 điểm u = w β x hệ số hiệu chỉnh cắt Nguyên lý công ảo áp dụng để thiết lập phương trình chuyển động toán Pasternak Công nội ảo tính toán theo công thức sau: WI T Bằng cách sử dụng hàm dạng, véctơ chuyển vị (4) (5) −ν module đàn hồi trượt k = Ω ] tải trọng phân bố tấm, k w , k g module đàn hồi module cắt nền, m E module đàn hồi, ν hệ số poison, G WI = (11) ∫ ( δ w )k g ∇ wd Ω ma trận khối lượng xác định bởi: 0 N, x N,x = 0 N, y , Bs N, y N , y N , x E Ω b = [ p ( x, y ) Quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke sau: D= Ω Ω 1 ν ν 0 Ω + Biến dạng bao gồm biến dạng uốn biến dạng cắt Các thành phần biến dạng cho công thức sau: (2) ε =ε s +ε b =zκ b +γ đó: (3) κ b = B b u, γ = B s u Bb ∫ bδ ud Ω − ∫ ( δ u )mudΩ − ∫ ( δ w )k w wd Ω = WE (ξ − 1)(η + 1) ξη ( N5 = − ξ Công ngoại ảo tính sau: (ξ + 1)(η − 1) ξη (22) ∂ w ( x, t ) ∂ w ( r, t ) ∂ w ( r, t ) ∂ w ( r, t ) w = = V − 2V + 2 ∂t ∂r ∂r ∂t ∂t 2 ∂ w(r,s) ∇ = w ∂r 2 (21) ∂ w(r,s) (23) + ∂s (24) Trang u = w β x T = w β y , u βy βx T Thay (20) (21) vào (11), phương trình viết lại: ∫ bδ ud Ω − ∫ ( δ u ) m u − 2V Ω Ω WE = ∂u ∂r ∂ u +V ∂r dΩ (25) ∂ w ∂ w − ∫ ( δ w ) k w wd Ω + ∫ ( δ w ) k g + d Ω ∂s ∂r Ω Ω 2 Bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin, ma trận khối lượng độ cứng phần tử cho bởi: Fe = ∫ p Ν dr ds Ω Me = ∫Ν T (26) mNdrds Ω ∫ Bb DbBbdrds + ∫ B s Ds B s drds T Ke ( T Ω Ω T ) ( ),rr đạo + ∫ mV N N ,rr + k w N w N w − k g N w N w,rr − k g N w N w, ss drds T Ω T ( ),r T đạo hàm bậc theo r , hàm bậc hai theo r , ( ),ss phương pháp MEM phương pháp FEM nhỏ kết phương pháp MEM đáng tin cậy 3.2 Khảo sát ứng xử Pasternak thay đổi vận tốc lực di chuyển V Trong toán này, thông số kích thước sử dụng toán 3.1 với vận tốc ban đầu lực di chuyển V = 55.56m / s Ảnh hưởng vận tốc lực di chuyển đến ứng xử động học kết cấu xem xét bốn trường hợp V1 = V , V2 = 2V , V3 = 4V V4 = 8V Độ võng dọc theo trục lực di chuyển thể Hình 8, tương ứng với trọng tâm xe (x=15m) vận tốc lực di chuyển tăng từ đến lần Hình cho thấy vận tốc lực di chuyển tăng dần chuyển vị tăng dần Cụ thể vận tốc lực di chuyển tăng lần chuyển vị tăng 1.42 lần (tương đương với 42%) đạo hàm bậc hai theo s Sau tổng hợp ma trận kết cấu véc tơ tải trọng cho toàn tấm, phương trình động lực học hệ có dạng: + Ku = (27) Mu F M K ma trận khối lượng độ cứng tổng thể hệ, F véctơ tải trọng tổng thể hệ Các ví dụ số Để chứng minh tin cậy phương pháp đề xuất yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử tấm, ví dụ số phân tích tĩnh ứng xử động thực so sánh với kết phương pháp FEM 3.1 Kiểm chứng phương pháp Trong toán này, mô hình chữ nhật Mindlin tựa Pasternak với điều kiện biên ngàm cạnh (C-CC-C) khảo sát Tấm có kích thước: dài L = 30 m , rộng B = 10 m dày h = 0.5m Các thông số vật liệu 10 lượt k w = 9.5 × 10 (N/m ) , Hình Chuyển vị ứng với vận tốc lực di chuyển V thay đổi cho E = 1.51×10 N / m hệ số Poison ν =0.35 Tấm đặt Pasternak với hệ số đàn hồi hệ số cắt lần k g = 2.375 × 10 (N/m ) Tải trọng tập trung P = 2000N tác dụng Hình Chuyển vị theo thời gian ứng với vận tốc lực di chuyển V thay đổi Hình thể giá trị chuyển vị theo thời gian vị trí điểm đặt lực Kết phân tích cho thấy ứng với giá trị vận tốc V tăng dần biên độ chuyển vị tăng dần, đồng thời chu kì chuyển vị giảm tương ứng xấp xỉ số lần tăng vận tốc V Điều lý giải lực di chuyển với vận tốc lớn dao động nhanh, tương đương với chu kì dao động giảm Hình Chuyển vị theo phương x Hình thể kết chuyển vị từ phương pháp MEM phương pháp FEM Biểu đồ cho thấy sai số 3.3 Khảo sát chuyển vị Pasternak so với chuyển vị đàn nhớt Winkler Trong toán này, ảnh hưởng Pasternak phân tích thông qua việc so sánh chuyển vị chịu tải trọng chuyển động đặt Pasternak đàn Trang nhớt truyền thống Các thông số kích thước vật liệu sử dụng giống toán 3.1 Tấm chịu tải trọng tập trung P = 2000N di chuyển dọc theo phương x với vận tốc V = 27.78m / s Tấm đặt Pasternak với hệ số đàn hồi hệ số cắt k w = 9.5 × 10 (N/m ) , k g = 2.375 × 10 (N/m ) đàn nhớt Winkler với hệ số k w = 9.5 × 10 (N/m ) , cw = × 10 (N.s/m ) Hình 10 thể so sánh chuyển vị dọc theo trục lực di chuyển trường hợp đàn nhớt Pasternak Từ kết cho thấy chuyển vị Pasternak nhỏ chuyển vị đàn nhớt (chuyển vị giảm 1.28 lần, từ 2.303x10-6m xuống 1.79x10-6m) Chuyển vị Pasternak giảm so với đàn nhớt làm việc đồng thời lò xo (tương tác lực cắt lò xo hệ thống) Hình 11 Chuyển vị thay đổi tỉ số hệ số k g / kw 3.5 Khảo sát ứng xử Pasternak thay đổi chiều dày Trong toán này, thông số sử dụng toán 3.1 với chiều dày ban đầu h = 0.5m Ảnh hưởng chiều dày đến ứng xử động lực học xem xét bốn trường hợp h1 = h , h2 = 1.2h , h3 = 1.6h , h4 = 2h Độ võng dọc theo trục lực di chuyển thể Hình 12 tương ứng trọng tâm xe đặt (x=15m) Hình 10 So sánh chuyển vị chịu tải trọng di động Pasternak đàn nhớt Winkler 3.4 Khảo sát ứng xử Pasternak thay đổi hệ số k w , k g Trong toán này, thông số tải trọng tác dụng lên sử dụng giống toán 3.1 Để khảo sát ảnh hưởng thông số hệ số đàn hồi k w hệ số cắt k g Pasternak, chuyển vị Mindlin khảo sát với trường hợp hệ số đàn hồi k w thay Hình 12 Chuyển vị dọc theo trục lực di chuyển đổi k w1 = 0.5k w , k w2 = k w , k w3 = k w , đồng thời chiều dày h thay đổi thay đổi hệ số cắt từ k g = (nền Winkler) đến Hình 12 thể chiều dày tăng dần chuyển vị giảm dần Cụ thể chiều dày tăng từ 0.5m đến 1m chuyển vị giảm 2.59 lần (giảm từ k g = k w Hình 11 thể biểu đồ quan hệ chuyển vị Mindlin tương ứng với tỉ số k g / k w thay đổi Từ kết Hình 11 cho thấy tăng hệ số cắt k g chuyển vị giảm Khi hệ số đàn hồi k w nhỏ ảnh hưởng hệ số cắt k g lớn, hệ số đàn hồi k w lớn ảnh hưởng hệ số k g giảm dần Điều thể hệ số đàn hồi lớn có khuynh hướng làm việc đàn hồi nên hệ số cắt không đóng góp tích cực −6 −7 2.22 × 10 m xuống 8.6 × 10 m ) Kết hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý kết cấu chiều dày tăng độ cứng tăng, chuyển vị giảm đáng kể Giá trị chuyển vị lớn tương ứng với chiều dày thay đổi thể Hình 13 Từ kết cho thấy, chiều dày bé chiều dày ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị (khi chiều dày tăng từ 0.5m đến 1m chuyển vị giảm 2.59 lần) Nhưng chiều dày lớn (2m trở lên) chiều dày không ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị (chiều dày tăng từ 2m đến 8m −7 −8 chuyển vị giảm từ 2.69 × 10 m đến 4.5 × 10 m ) Điều giải thích chiều dày lớn độ cứng lớn nên ứng với tác động nhỏ lực chuyển vị giảm không đáng kể Vì cần phải tối ưu hóa chiều dày Trang thiết kế kết cấu vượt qua chiều dày tối ưu có tăng chiều dày tác dụng đáng kể mà gây lãng phí vật liệu Hình 13 Chuyển vị lớn chiều dày thay đổi Kết luận Trong báo việc phân tích ứng xử động Mindlin Pasternak chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM thực Thông qua kết nghiên cứu, số kết luận quan trọng rút sau: -Phương pháp MEM tỏ hiệu việc phân tích ứng xử động kết cấu khắc phục nhược điểm mà phương pháp FEM gặp phải -Ảnh hưởng Pasternak đến chuyển vị so với đàn nhớt phân tích Chuyển vị Pasternak giảm nhiều so với đàn nhớt Điều ảnh hưởng làm việc đồng thời lò xo Pasternak -Trong Pasternak, hệ số đàn hồi nhỏ ảnh hưởng hệ số cắt lớn, hệ số đàn hồi lớn ảnh hưởng hệ số cắt giảm dần Điều thể hệ số đàn hồi lò xo lớn có khuynh hướng làm việc đàn hồi nên ảnh hưởng hệ số cắt không đóng góp tích cực - Khi vận tốc lực di chuyển tăng chuyển vị tăng chu kì dao động giảm tương ứng số lần tăng vận tốc Chuyển vị giảm chiều dày tăng chiều dày vượt qua chiều dày tối ưu chuyển vị giảm không đáng kể 10 11 12 13 14 A V Javad, N Ali, D R Mohammad and H E Mohsen (2013) Vibration Analysis of Mindlin elastic plate under moving mass excitation by eigenfunction expansion method, Thin-Walled Structures; 62:53–64 J S Wu, M L Lee and T S Lai (1987) The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 124(9): 1010-1017 M R Taheri and E C Ting (1989) Dynamic response of plates to moving loads: structural impedance method, Computers and Structures, 33(6):1379-1393 C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng (2003) Moving element method for train-track dynamics, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 56:1549–1567 C G Koh, G H Chiew and C C Lim (2007) A numerical method for moving load on continuum, Journal of Sound and Vibration, 300:126–138 W T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F W Williams (2009) 2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with Kelvin foundation, Latin American Journal of Solids and Structures, 6:169-183 K K Ang, M T Tran, and V H Luong (2013) Track vibrations during acceleration and deceleration phases of high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific Conference on Structural Engineering and Construction EASEC-13, Sapporo , Japan Võ Hoàng Nhi, Lương Văn Hải, Trần Minh Thi (2014) Phân tích ứng xử Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, Người Xây Dựng, 11&12:91-97 V Z VLASOV and N N LEONT’EV (1996) Beams, Plates, Shells on Elastic Foundations (translated from Russian), Israel Program for Scientific Translations, Available from the Clearinghouse of U.S Dept of Commerce T.Y.Yang (1972) A finite element analysis of plate on a two parameter foundation model, Computers and structures, Vol.2, pp.593-614 Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHQG-HCM) khuôn khổ Đề tài mã số C2015-20-17: “Phân tích động lực học đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động ” Tài liệu tham khảo S M Kim and J M Roesset (1998) Moving loads on a plate on elastic foundation, Journal of Engineering Mechanics, 124(9):1010–1017 S M Kim (2004) Buckling and vibration of plate on elastic foundation subject to in-plane compression and moving loads, International Journal of Solids and Structures, 41(20):5647-5664 L Fryba (1999) Vibration of solid and structures under moving loads, Thomas Telford, London M H Huang and D P Thambiratnam (2001), Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads, Engineering Structures; 23(9):11341141 Trang