Đang tải... (xem toàn văn)
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy logic thông qua dạy học chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch.
A ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh Trong trình giảng dạy mơn Tốn cấp THCS 10 năm qua trình tự học, tự rèn thân, tơi thường xun quan sát, tìm hiểu khó khăn, vướng mắc học sinh thân việc nâng cao lực tư tốn học Dưới giúp đỡ đồng nghiệp nỗ lực không ngừng thân gặt hái kết đáng mừng việc rèn luyện khả tư toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc lớp mà giảng dạy trường thơng qua loại tốn chứng minh Những kết thu báo hiệu phương pháp thực mang tính khả thi cao nên tơi mạnh dạn hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả tư logic thông qua dạy học chứng minh toán học học sinh Trường THCS Nga Thạch B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong sống ngày, có so sánh, phán đốn, suy lý sở ý niệm, khái niệm tượng vật xung quanh Đó tư lơgic Tư lôgic suy nghĩ, nhận xét, đánh giá cách xác, lập luận có Như tính lơgic bắt buộc khoa học.Và Tốn học nghành khoa học lí thuyết phát triển sở tuân thủ nghiêm ngặt quy luật tư lơgic hình thức.Có nghĩa xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lơgic, nói rõ phương pháp tiên đề Theo phương pháp đó, xuất phát từ khái niệm nguyên thuỷ tiên đề dùng quy tắc lôgic để định nghĩa khái niệm khác chứng minh vấn đề khác Vì Tốn học coi mơn thể thao trí tuệ, giúp nhiều việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải vấn đề, giúp rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Bởi vậy, nhiệm vụ quan trọng bậc việc giảng dạy tốn học trường phổ thơng "Dạy suy nghĩ" Phải có suy nghĩ xác hoạt động mang lại hiệu mong muốn Hoạt động học tập mơn tốn lại cần đến suy nghĩ xác tối đa Như rèn luyện khả tư lôgic cho học sinh q trình dạy tốn vấn đề tối thiểu cần thiết đáng để đầu tư công sức II THỰC TRẠNG Trong lên lớp từ tiếp nhận giảng dạy đầu năm học thường xuyên quan tâm để ý đến câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày em vấn đề, câu hỏi mà nêu Kết cho thấy đa số học sinh thể rõ non yếu, thiếu chặt chẽ Các em thiếu hẳn kỹ phân chia vấn đề để xem xét cách đầy đủ khả xảy Đặc biệt khâu trình bày tự luận tốn địi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu khả tư lơgic tốn học cịn non Không thân mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp đon vị bạn phản ánh thực trạng chung Thực tế tham gia chấm đợt khảo sát chất lượng, thi chọn học sinh giỏi gặp sai lầm tương tự q trình tư khơng hợp lơgic mang lại Vì vậy, tơi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả tư lôgic thông qua dạy học chứng minh toán học học sinh Trường THCS Nga Thạch " III.CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN: - CÁC GIẢI PHÁP Nghiên cứu mặt lý luận khái niệm liên quan đến khả tư lơgic, tư lơgic tốn học Khả tư lơgic tốn học học sinh THCS Tìm hiểu mối quan hệ khả tư lơgic kết học tập mơn Tốn học sinh THCS Tìm hiểu chế hình thành phát triển kỹ tư lơgic tốn học học tập mơn Tốn Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Tốn mà ẩn chứa nhiều khả phát triển tốt tư lơgic tốn học cho học sinh Thu thập, phân tích, tổng hợp tiến hành thể nghiệm biện pháp đối tượng học sinh THCS lớp giảng dạy Phân tích thành công, thất bại nguyên nhân thành cơng thất bại từ rút kinh nghiệm, lựa chọn cải tạo biện pháp hình thành phát triển khả tư lơgic tốn học cho học sinh cho hiệu -TỔ CHỨC THỰC HIỆN I Làm rõ khái niệm 1.Tư lơgic nói "chìa khố" để tối ưu hoá khả phát triển cá nhân khả hoạch định cơng vịêc cách có hiệu Chứng minh tốn học thao tác lơgic dùng để lập luận tính đắn phát biểu, tính chất hay mệnh đề Rèn luyện khả tư lơgic học tốn rèn luyện khả linh hoạt, sáng tạo suy nghĩ, khả phân tích, suy luận, chứng minh tình huống, vấn đề tốn học vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đưa chọn lựa hợp lý phương án giải cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp tối ưu II Khả tư lơgic tốn học học sinh trường sở nói riêng, học sinh THCS nói chung Các em thiếu hẳn kỹ phân chia vấn đề để xem xét cách đầy đủ khả xảy Chẳng hạn: • Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp em biết: "Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước nó" Và " Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước" Tuy nhiên hỏi học sinh: " Chứng minh số số nguyên tố ta làm ? " Học sinh trả lời được: " Muốn chứng minh số số nguyên tố ta chứng tỏ hợp số" Như học sinh tỏ rõ khiếm khuyết việc phân tích cấu trúc lơgic khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh tốn • Hoặc gặp tốn: Cho số : * Tìm * để * chia hết cho 2, cho cho Khơng học sinh xét * để * chia hết cho Rồi lại xét * để * chia hết cho Trong trường hợp học sinh không phân tích chất dấu phẩy (,) từ "và" toán Thực chúng phép hội lơgic tốn học • Đơn giản ta cho học sinh viết gọn kí hiệu câu diễn đạt sau: "x số lớn bé 4" Trong thực tế ban đầu học sinh viết: x > x (Yếu tố lơgic tốn "ngầm" chứa " tuyển hai hàm mệnh đề" vấn đề lơgic tốn học Tuy nhiên lý sư phạm nên giáo viên khơng thể trình bày tường minh mà phải khéo léo hướng dẫn ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn) • Ngay học sinh lớp 8, không ý đến việc rèn luyện tư lơgic sai lầm diễn thường xun Thí dụ giải phương trình ( x − 3)( x + ) = tích số: Tơi gặp học sinh trình bày sau: ( x − 3)( x + ) = ⇒ 2 x − = x + = ⇒ x = x = −7 Rõ ràng học sinh mắc lỗi sử dụng dấu " ⇒ " lỗi dấu " { " ( Thực chất dấu " ⇒ " phép "Kéo theo" , dấu " { " hay liên từ "và " "Phép tuyển" lơgic tốn học ) • Khơng có số học đại số,trong hình học, học sinh mắc nhiều lỗi khơng kém.Thí dụ: Từ kết luận " Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB" Nhiều học sinh kết luận " Nếu MA = MB M trung điểm đoạn thẳng AB" Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh nhau" Nhiều học sinh sai lầm rút kết luận: "Hai góc đối đỉnh" Trong hai tình hình học học sinh sử dụng quy tắc suy diễn không hợp lơgic v.v v.v Khi trình bày mơn Toán cấp THCS, đặc điểm lứa tuổi yêu cầu cấp học người ta có phần châm chước, nhân nhượng tính lơgic Cụ thể : Mơ tả(không định nghĩa) số khái niệm nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng minh ) số mệnh đề tiên đề, chấp nhận số chứng minh chưa chặt chẽ Tuy vậy, nhìn chung chương trình tốn THCS mang tính lơgic, hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức xếp chuỗi mắt xích liên kết với chặt chẽ Bởi học sinh muốn lĩnh hội kiến thức tốn học phải có trình độ phát triển tư phù hợp với yêu cầu chương trình Cụ thể phải nhận thức mối liên hệ mệnh đề tốn học, biết suy luận để tìm tính chất từ tính chất biết, vận dụng kiến thức để giải tập đa dạng Như vậy, rõ ràng học sinh phải biết phân tích cấu trúc định nghĩa khái niệm, mệnh đề, biết vận dụng kiến thức thông qua việc sử dụng quy tắc suy luận lôgic mà sách giáo khoa lại thể dạng không tường minh Bằng chứng cụ thể chương trình tốn trường THCS nhiều kí hiệu ngơn ngữ lơgic tốn đưa vào sử dụng(Chẳng hạn: ∀, ∃, ⇒, ⇐, ⇔, ≡ , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ định, chứng minh phản chứng ), nhiên lí sư phạm, chương trình khơng có chương nào, chí khơng có dạy riêng vấn đề lơgic tốn học Các kí hiệu ngơn ngữ, liên từ lơgic tốn giới thiệu hình thành trình học tập phần kiến thức liên quan.(Khi cần đến chúng giới thiệu, cung cấp hướng dẫn sử dụng) Các phương pháp suy luận, chứng minh, quy tắc kết luận lôgic thông thường hình thành cách "ngấm ngầm " thơng qua hàng loạt hoạt động cụ thể chứa đựng chúng q trình học tập mơn Do đó, điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa kế hoạch dạy học quy định hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS, muốn cho học sinh học tốn có hiệu người thầy giáo dạy tốn phải khéo léo dạy cho học sinh cách tư lôgic Khả tư lơgic khơng đích cần đạt mà phương tiện giúp học sinh học tốt mơn tốn Tuy nhiên, trình bày, kiến thức lơgic tốn học "chạy ngầm " sách giáo khoa nên thầy trò sử dụng đến cách thường xuyên khơng nhấn mạnh, khơng làm "nổi " lên chưa đọng lại trí óc em chưa hình thành thói quen sử dụng rèn luyện Nhận thức rõ vai trị to lớn, tầm quan trọng hàng đầu tư lôgic hiệu học tập mơn tốn học sinh phổ thơng nói chung, học sinh THCS nói riêng nên q trình dạy học mơn Tốn đặc biệt loại tốn chứng minh, tơi ln để ý đến khả tư lôgic em so sánh cách làm khác giáo viên tác động đến khả Tôi phát học loại toán chứng minh địi hỏi em phải có kỹ tư lơgic chặt chẽ mơi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ cho em III Tìm hiểu thực tế mối quan hệ khả tư lôgic kết học tập mơn Tốn học sinh THCS Khi tìm hiểu thực tế thấy: Những học sinh học tốt môn Tốn em có khả tư lơgic Ngược lại, rèn luyện thường xuyên khả hiệu học tập mơn Tốn nâng lên rõ rệt Đặc biệt học sinh làm tốt dạng toán chứng minh em thực có có khả tư lơgic IV.Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa THCS thực hoạt động rèn luyện tư lôgic cho em Nhìn chung hầu hết nội dung chương trình sách giáo khoa "ngầm chứa" yếu tố tư lôgic Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện tập hay tập tổng hợp ơn tập chương địi hỏi giáo viên phải có ý thức khai thác rèn luyện thường xuyên để tìm chọn biện pháp tốt phù hợp với đối tượng học sinh mà giảng dạy Tuy nhiên mặt lý luận thực tiễn giảng dạy môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh tốn học khả tư lơgic học sinh rèn luyện tốt V Thu thập, phân tích, tổng hợp tiến hành thể nghiệm biện pháp đối tượng học sinh THCS lớp giảng dạy Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy nhiệt tình trao đổi học hỏi chun mơn bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn rút biện pháp sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư logic tốn học tốt qua loại tốn chứng minh Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp Có nhiều phương pháp chứng minh Tuy nhiên giáo viên cần cho học sinh tiếp xúc, làm quen rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp Để có hiệu quả, giáo viên cần trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả chuyển đổi ngôn ngữ tốn Sau hình thành em kỹ sử dụng kết luận lôgic tuân theo quy tắc lôgic 1.1 Rèn luyện khả chuyển đổi ngơn ngữ tốn từ lời sang kí hiệu, hình vẽ ngược lại Việc phiên dịch tốn từ ngơn ngữ thơng thường sang kí hiệu tốn học, hình vẽ ngược lại có ý nghĩa quan trọng Không giúp cho em nắm cấu trúc toán (cái cho biết, phải tìm) mà cịn giúp em dễ dàng phân biệt phần khác điều kiện, từ tìm hướng huy động kiến thức có liên quan Như góp phần cho việc rèn luyện khả tư có lơgic Dẫn chứng: Ví dụ 1: Ngay từ tốn "Vỡ lịng" sau: "Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo nhau" Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình diễn đạt nội dung tốn kí hiệu (ở tốn giả thiết, kết luận) D C A B k GT ABCD hình chữ nhật KL AC = BD Hay: ( Nếu ABCD hình chữ nhật ) ⇒ (AC = BD) Với cách viết học sinh thấy rõ cấu trúc toán "Khoanh vùng" kiến thức cần huy động Như em suy nghĩ cách hợp lí Hay tốn phức tạp chút: 1.2.Giúp học sinh nắm vững chất lôgic loại toán chứng minh trực tiếp Các thao tác kết luận lôgic theo quy tắc thông thường không dạy tường minh chương trình THCS.Vì học sinh lĩnh hội chúng cách ẩn tàng thông qua trường hợp cụ thể Thường dùng nhiều quy tắc có sơ đồ sau: từ A suy B, A B 1.3 Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích tốn từ trình bày tốt lời giải Ngồi ra, học sinh bước đầu nắm bắt tinh thần phương pháp chứng minh giáo viên trình bày dạng sơ đồ để giúp học sinh nhìn rõ q trình suy luận Và từ sơ đồ học sinh học kỹ phân tích để trình bày giải cách lơgic Ví dụ 2: Chứng minh định lý đường trung bình tam giác: "Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba" * Vẽ hình phân tích làm rõ cấu trúc mệnh đề cần chứng minh có dạng: (AD = DB) (DE // BC) ⇒ (AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất "phép hội" lơgic tốn học ) Hìnhvẽ A D B E F C * Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ trình suy luận Ví dụ 3: "Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên m a + b chia hết cho m" * Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh sau a:m (Với a,b,m ∈ Z) b:m (GT) (Khái niệm) (GT) (Khái niệm) a = m.k b = m.q (k ∈ Z) ) (q∈ Z) a + b = m.k +m.q (Tính chất phân phối phép nhân phép cộng) a + b = m(k +q) (khái niệm ) a+b:m (KL) 10 Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải tốn cách có sở hơn, trình bày chặt chẽ Như em bước đầu biết suy nghĩ, phân tích tốn để tìm cách giải cách lôgic Sau học sinh nắm cách tư phân tích tốn hướng dẫn giáo viên cho em làm tập củng cố kỹ : Bài tập tương tự: Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh mệnh đề sau dạng sơ đồ: a) Các đoạn thẳng song song chắn hai đường thẳng song song b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vng góc chúng hai góc nhọn Cùng với việc nhấn mạnh làm bật quy tắc thông dụng từ A suy B, A B thơng qua ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội cách ẩn tàng, giáo viên cần quan tâm đến việc dùng ví dụ cụ thể để giúp em có thêm vốn tri thức phương pháp cách chứng minh khác bác bỏ mệnh đề chứng minh gián tiếp Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề Về phương pháp, bác bỏ mệnh đề A phải xác định A sai cách vạch rõ từ A (và số mệnh đề thừa nhận đúng) lấy làm tiền đề, rút kết luận lôgic mệnh đề sai B Mệnh đề B sai mệnh đề A sai.Tuy nhiên phải thơng qua hệ thống ví dụ để hình thành phương pháp Ví dụ 4: Chứng tỏ kết luận sau sai: "Mọi số bình phương nó" * Trước hết cần giúp em viết gọn kí hiệu: ∀ x (x2 = x) 11 * Cho học sinh tìm giá trị cụ thể x mà mệnh đề sai (chẳng hạn x = ) mệnh đề B là: 22 = Nhưng 22 = nên mệnh đề sai Ta nói cách làm phản thí dụ Ví dụ 5: Chứng tỏ mệnh đề sau sai: "Có hình đa giác lồi có góc nhọn" Giáo viên phân tích cho học sinh rõ cách suy luận sau: Có đa giác lồi có góc nhọn R ⇓ ⇓ Đa giác có góc ngồi góc tù ⇓ Tổng góc ngồi đa giác lớn góc vng S1 ⇓ S Theo phân tích ta có: R ⇒ S1 S1 ⇒ S, R ⇒ S (Đây quy tắc bắc cầu phép kéo theo (Suy ra)) S mệnh đề sai (Trái với định lý biết): Tổng góc ngồi đa giác lồi góc vng, R sai Trong nhiều trường hơp để chứng minh mệnh đề Q đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định Q Nếu phủ định Q sai Q Làm có nghĩa chứng minh gián tiếp mệnh đề Q hay gọi chứng minh phản chứng Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho em cách suy luận hợp lý giải toán Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau" 12 Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P Q ⇒ R Vì giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒(a // b) thông qua cách viết : (a ⊥ c) (b ⊥ c) suy (a//b) Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ a b Xét khả xảy toán: - a // b - a cắt b Từ lập phủ định mệnh đề này, tức là: (a ⊥ c) (b ⊥ c) suy (a không song song với b) (giả sử a cắt b I ) Ta có a⊥b b⊥c a cắt b I ⇒ Qua I có hai đường thẳng a, b vng góc với c (S) Mệnh đề S sai trái với định lý chứng minh (Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước) S sai, : (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (akhong // b) sai Do (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒(a // b) Trong số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo mệnh đề cho Ví dụ 7: Chứng minh rằng: "Trong tam giác, đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn" Về mặt lơgic ta viết gọn: ( B > C ) ⇒ (AC > AB) (Theo hình vẽ) 13 A C B Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh xét khả xảy quan hệ AC AB: AC = AB AC < AB AC > AB Từ suy cần chứng minh : (AC khơng lớn AB) ⇒ ( B không lớn C ) Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm qúa trình suy luận(Sơ đồ ): AC khơng lớn AB (AC ≤ AB) AC < AB (Định lý thuận) B