Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Chương 6: DÒNG CHẢY THẾ VÀ LỰC NÂNG LỰC CẢN PHẦN A: DÒNG CHẢY THẾ Trong chương này, lưu chất nghiên cứu lưu chất lý tưởng (không tồn tính nhớt), không r r nén (khối lượng riêng, ρ=const), chuyển động không quay ( ω = ) Chuyển động lưu chất thoả mãn điều kiện nêu gọi chuyển động lưu chất không nén Chuyển động chuyển động không gian chiều Tuy nhiên, chương chủ yếu tập trung vào chuyển động hai chiều, hay gọi chuyển động phẳng Trong thực tế lưu chất luôn tồn tính nhớt Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động lưu chất lý tưởng đóng vai trò quan trọng số lý sau đây: Khi lưu chất chuyển động với số Re > 1, miền ảnh hưởng tính nhớt tồn lớp mỏng sát biên, gọi lớp biên Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng tính nhớt đến chuyển động phần tử lưu chất bé, đó, ta xem dòng lưu chất lưu chất lý tưởng Lưu chất lý tưởng áp dụng cho lưu chất nhớt, hay lưu chất chuyển động với số Re lớn, tính nhớt ảnh hưởng đến dòng chảy Trong thực tế có số lưu chất đặc biệt có độ nhớt không nhiệt độ nhỏ nhiệt độ tới hạn, chẳng hạn Helium, nhiệt độ nhỏ 2,17oK độ nhớt đột ngột giảm xuống Các loại lưu chất mang đặc tính này, gọi siêu lưu chất Về mặt lý thuyết, bỏ qua tính nhớt, phương trình vi phân chuyển động lưu chất đơn giản hơn, số trường hợp điều kiện định, ta tìm lời giải giải tích dễ dàng Các kết sử dụng để kiểm tra kết thực nghiệm số mô hình toán hiệu chỉnh mô hình vật lý Các lý thuyết chuyển động lưu chất lý tưởng áp dụng nhiều lãnh vực khí động, chuyển động sóng… 6.1 Chuyển động (chuyển động không quay) Trước vào nội dung chính, ta cần trình bày qua số khái niệm có liên quan đến chuyển động • Trường lực có thế: r Trường lực F gọi có thế, công thực dọc theo đường cong nối hai điểm, phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm Ta viết: r r r r W = ∫ F ds = ∫ F ds AmB AnB B n A m Hình 6.1 Ví dụ trọng lực trường lực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 112 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực • Trường vectơ có thế: r Một trường vectơ ( A ) gọi có thế, tích phân đường dọc theo đường cong nối hai điểm, phụ thuộc điểm đầu cuối mà không phụ thuộc đường cong nối hai điểm r r r r B r r A d s = A d s = ∫ A.ds ∫ ∫ AmB • A AnB Trường dòng chảy có thế: v Về mặt toán học, trường vận tốc u gọi có thế, ta tìm thấy hàm số vận tốc φ cho thỏa điều kiện sau: ∫ B A r r u ds = B ∫ dϕ A = φB – φA (6.1) Dòng chảy thoả phương trình (6.1) gọi dòng chảy Phương trình (6.1) viết lại sau: B ∫ (u B x A dx + u y dy + u z dz ) = ∫ ( A ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz ) ∂x ∂y ∂z (6.2) Từ ta suy ra: ux = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ; uy = ; uz = ∂y ∂x ∂z hay, dạng vectơ, ta viết: r r r u = ∇ ϕ = gr ad ϕ (6.3a) (6.3b) Đối với chuyển động phẳng mặt xoy, phương trình (6.3a) trở thành: ux = ∂ϕ ∂ϕ ; uy = ∂x ∂y (6.3c) Công thức (6.3a) viết hệ tọa độ trụ (r, θ, z) sau; ur = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ; uθ = ; uz = ∂r r ∂θ ∂z (6.4a) Đối với chuyển động phẳng mặt xoy, phương trình (6.4a) trở thành: ur = ∂ϕ ∂ϕ ; uθ = ∂r r ∂θ (6.4b) Ta tìm vi phân toàn phần φ sau: + Trong hệ tọa độ Descartes: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 113 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực dφ = ∂ϕ ∂ϕ dx + dy ∂x ∂y dφ = ux.dx + uy.dy (6.3d) + Trong hệ tọa độ cực: dφ = ∂ϕ ∂ϕ dr + dθ ∂r ∂θ dφ = ur.dr + r.uθ.dθ (6.4c) 6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyển động Như chứng minh Chương 3, phương trình Euler (3.38b) phương trình Bernoulli áp dụng với điểm trường chuyển động ổn định, chịu tác dụng trọng lực (lực khối có thế), lưu chất lý tưởng (không ma sát), không nén chuyển động (không quay), sau: p + γz + ρu = E = const (6.5) 6.1.2 Hàm vận tốc 6.1.2.1 Định nghĩa dòng chảy hàm vận tốc Dòng chảy trường dòng chảy cho tồn hàm số vận tốc φ(x,y,z,t) [hay φ(x,y,z) chuyển động ổn định] thỏa phương trình (6.3a) hệ toạ độ Descartes (oxyz) hay thỏa phương trình (6.4a) toạ độ trụ (r, θ, z), thoả phương trình (6.3b) dạng vectơ 6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy r Lấy r o t hai vế phương trình vectơ (6.3b), ta được: r r r r r o t( u ) = ro t ( gr a d (ϕ ) ) Công thức toán học cho ta: r r r ro t ( gr a d (ϕ ) ) = r r r Suy ra: r o t( u ) = Mà r ω = r r r r o t.u = (6.6) Vậy: dòng chảy dòng chảy không quay ™ Ghi chú: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 114 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Xét hệ toạ độ cực (r, θ) r • Toán tử Grad (φ ) toạ độ cực: r ∂φ r ∂φ r Grad (φ ) = ir + iθ ∂r r ∂θ r r • Toán tử ro t (u ) toạ độ cực: với φ (r, θ) r r ⎡ ∂ (r.uθ ) ∂u r ⎤ r ro t (u ) = ⎢ − k r ⎣ ∂r ∂θ ⎥⎦ (6.7) (6.8) r r k với u (u r , uθ ) , vectơ đơn vị trục oz trực giao với mặt phẳng trường chuyển động r • Toán tử Div (u ) toạ độ cực: r ⎡ ∂ (r.u r ) ∂uθ ⎤ + Div( u ) = ⎢ r ⎣ ∂r ∂θ ⎥⎦ r với u (u r , uθ ) (6.9) 6.1.2.3 Tính chất dòng chảy Dòng lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, phương trình liên tục cho ta: r Div( u ) = 0, Trong tọa độ Descartes, ta có: ∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂x ∂y ∂z (6.10) Thế (6.3a) vào phương trình (6.10), ta được: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + =0 ∂x ∂ y ∂ z (6.11a) Hay, ∇ 2ϕ = (6.11b) Đối với chuyển động phẳng mặt xoy, phương trình (6.11a) trở thành: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + =0 ∂x ∂ y (6.11c) Phương trình (6.11a), (6.11b) hay (6.11c) gọi phương trình Laplace, phương trình vi phân tuyến tính đạo hàm riêng phần bậc hai Có vô số lời giải thoả phương trình Laplace, lời giải cụ thể cần tìm kiếm phải thỏa mãn điều kiện biên định 6.1.2.4 Đường đẳng www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 115 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Đường đẳng đường cong không gian cho giá trị hàm số φ số Vì ta có: dφ=0 Î ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz = ∂x ∂y ∂z hay, ux.dx + uy.dy + uz.dz = (6.12) Phương trình (6.12) phương trình vi phân đường đẳng Tích phân phương trình vi phân này, ta phương trình đường đẳng 6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý đường đẳng B B B A A A r r ∫ dϕ = ∫ (u x dx + u y dy + u z dz ) = ∫ u.ds =ΓAB = ϕB - ϕA (6.13) Vậy hiệu hai đường đẳng qua hai điểm A B lưu số vận tốc dọc theo đường cong nối hai điểm 6.1.3 Hàm dòng chuyển động phẳng Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiều, hàm dòng hàm cặp hữu ích sử dụng để nghiên cứu chuyển động phẳng Hàm dòng Ψ định nghĩa cho thỏa điều kiện sau: ux = ∂Ψ ; ∂y uy = - ∂Ψ ∂x (6.14) Với định nghĩa này, phương trình liên tục chuyển động hai chiều lưu chất không nén tự động thỏa mãn, vì: ∂u x ∂u y ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + = =0 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x (6.15) Đối với hệ tọa độ cực, công thức (6.14) trở thành: ur = ∂Ψ ; r ∂θ uθ = - ∂Ψ ∂r (6.16) Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta kết luận sau: • Luôn tồn hàm dòng, không phụ thuộc vào điều kiện dòng chảy quay hay không quay • Phương trình liên tục điều kiện cần đủ tồn hàm dòng • Trường vận tốc truy từ hàm dòng Ψ tự động thỏa phương trình liên tục Ta tìm vi phân toàn phần Ψ sau: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 116 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực + Trong hệ tọa độ Descartes ∂Ψ ∂Ψ dx + dy ∂x ∂y dΨ = dΨ = - uy.dx + ux.dy (6.14a) + Trong hệ tọa độ cực ∂Ψ ∂Ψ dr + dθ ∂r ∂θ dΨ = dΨ = - uθ.dr + r ur.dθ (6.16a) 6.1.3.1 Phương trình Laplace hàm dòng Trong trường hợp dòng phẳng, ta có: ∂u y ∂u x r r r r r ot ( u ) = ( ) k = ∂x ∂y Î ∂u y ∂u x =0 ∂x ∂y (6.17) Thế (6.14) vào (6.17), ta được: ∂ 2ψ ∂ 2ψ + =0 ∂x ∂ y ⇒ Δψ=0 (6.18) Như dòng phẳng, hàm dòng thỏa phương trình Laplace 6.1.3.2 Quan hệ đường Ψ = const đường dòng Phương trình có Ψ = const , suy dΨ = 0, suy ra: dψ = ∂Ψ ∂Ψ dx + dy = ∂x ∂y dψ = -uy.dx + ux.dy = ⇒ ( dy dx )ψ u = y ux C2 y (6.19) A (6.20) u C1 M B Phương trình (6.20) phương trình đường dòng Vậy đường cong có Ψ = const đường dòng 6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý đường dòng O Xét dòng chảy hai đường dòng C1 C2, gọi A www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 x Hình 6.2 117 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực B hai điểm C2 C1 Gọi M điểm đường cong nối hai điểm A r B Vận tốc M u Lưu lượng hai đường dòng C1 C2 tính sau: rr q = ∫ u n.ds AMB r Với ds đoạn vi phân nằm tiếp tuyến với đường cong qua A B, M Và n vectơ đơn vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, M Ta viết: r ds = (dx, dy) r n ds = (+dy, -dx) Và r r ds ⊥ n ds Vì Suy ra: q= rr ∫ u.n.ds = ∫ (u dy − u dx) = ∫ dψ = ψB - ψA AMB x (6.21) y AMB AMB Vậy, hiệu giá trị hàm dòng qua hai điểm lưu lượng qua ống dòng giới hạn hai đường dòng qua hai điểm 6.1.3.4 Sự trực giao họ đường dòng đường đẳng Tại giao điểm đường dòng đường đẳng thế, ta có: ux = ∂ϕ ∂Ψ = ; ∂x ∂y uy = - ∂Ψ ∂ϕ = ∂x ∂y ⇒ ∂ϕ ∂Ψ = -ux uy ∂x ∂x ; Ψ=const φ =const ∂ϕ ∂Ψ = uy ux ∂y ∂y ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ , ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎛ ∂Ψ ∂Ψ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ ∂x ∂y ⎠ Hình 6.3 ⇒ ∂ϕ ∂Ψ ∂ϕ ∂Ψ + =0 ∂x ∂x ∂y ∂y ⇒ ϕ⊥ψ Vậy, hai họ đường dòng đường đẳng trực giao 6.1.3.5 Hàm phức Vì hai hàm ϕ(x,y), hàm dòng ψ(x,y) thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết hàm biến phức, ta xây dựng hàm biến phức sau: W(z) = ϕ(x,y) + i.ψ(x,y) (6.22) Với z = x + i.y; với i số ảo ( i = − ), z biến ảo Hoặc z = r.eiθ = r(cosθ + isinθ) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 118 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực W(z) gọi phức dòng chảy Do người ta nghiên cứu trực tiếp dòng qua việc nghiên cứu hàm phức Khi cho trước hàm phức w(z), ta dùng phép biến đổi toán học để đưa dạng (6.22) Từ ta rút được: hàm phần thực hàm dòng phần ảo 6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng phẳng thông qua hàm dòng, hàm phức Khi giải toán có liên quan đến dòng phẳng, gặp hai loại toán sau: ™ Cho trước hàm ϕ(x,y), hàm dòng ψ(x,y) hàm phức w(z), xác định trường vận tốc dòng chảy Đây loại toán tìm đạo hàm: • Nhờ vào phương trình (6.22), ta tìm thấy hàm ϕ(x,y) hàm dòng ψ(x,y) • Nhờ vào công thức (6.3c), (6.4b), (6.14) (6.16) ta tìm thành phần vận tốc hệ toạ độ Descartes hay tọa độ cực điểm trường chuyển động • Để tìm áp suất điểm trường chuyển động, ta dùng phương trình Bernoulli (6.5) áp dụng điểm cần tìm điểm cho trước (po, uo), thường điểm xa vô • Dùng phương pháp vi tích phân, ta tìm lực dòng chảy tác dụng lên đoạn mặt cong dựa áp suất tìm bước Cần ý tính chất áp suất thủy động tác dụng vuông góc với mặt chịu lực dòng lưu chất lý tưởng (không có ma sát nhớt) • Tìm lưu lượng qua đọan cong (thực tế diện tích cong tạo đoạn thẳng (đường sinh) vuông góc với mặt phẳng xoy, có chiều dày m, trợt dọc theo đoạn cong) nối hai điểm A B, ta áp dụng công thức (6.21) v ™ Cho trước trường vận tốc u , yêu cầu tìm hàm ϕ(x,y) hàm dòng ψ(x,y) Đây loại toán tìm tích phân, giải phương trình vi phân Laplace (6.11c) (6.18) Trong trình lấy tích phân xuất hai số tích phân Hai số tích phân xác định cụ thể dựa vào hai điều kiện xa vô điều kiện biên • Điều kiện xa vô cùng: Điều kiện xa vô giá trị vận tốc áp suất nơi mà dòng chảy không chịu ảnh hưởng điểm đặc biệt, hay vật rắn • Điều kiện biên: Khi trường dòng chảy bị giới hạn thành rắn dọc theo đường cong Σ Điệu kiện biên có dạng sau: i) ψ = const, hay www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 119 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực ii) r ∂ϕ = (với n phương pháp tuyến biên ∑) ∂n ™ Phương pháp chồng chập nhiều chuyển động thế: Vì hàm ϕ(x,y) hàm dòng ψ(x,y) mô tả phương trình vi phân đạo hàm riêng loại tuyến tính, phương trình Laplace, nên ta chồng chập nhiều chuyển động đơn giản thành chuyển động phức hợp (tổng hợp nhiều dòng phẳng); phân tích chuyển động phức tạp thành nhiều chuyển động đơn giản Gọi ϕ1 ϕ2 hai chuyển động Cả hai thỏa phương trình Laplace: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + = 0, ∂x ∂ y (6.23a) ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + =0 ∂x ∂ y (6.23b) Rồi ta đạt chuyển động tổng hợp hai chuyển động là: ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chuyển động tổng hợp thỏa phương trình Laplace: ∂ (ϕ1 + ϕ ) ∂ (ϕ1 + ϕ ) + = 0, ∂x ∂2 y (6.24) Bởi phương trình (6.24) tương đương với hai phương trình (6.23a) (6.23b) cộng với 6.2 Các chuyển động phẳng 6.2.1 Chuyển động thẳng đều: Dòng chảy có vận tốc U hợp với trục ox góc α, ta có y U ux = U.cos(α), uy = U.sin(α) ϕ2 ϕ1 ψ1 ψ2 x • Xác định hàm dòng: Công thức (6.14a) cho: dΨ = - uy.dx + ux.dy, suy ra: Hình 6.4 Hàm dòng chuyển động dΨ = - U.sin(α).dx + U.cos(α).dy đó, Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] + C = uxy - uy.x + C Chọn Ψ=0 qua gốc tọa độ (0, 0), suy C=0 Khi ta hàm dòng: Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] = ux.y - uy.x (6.25) Ψ(r, θ) = ux.r.sin(θ) – uy.r.cos(θ) (6.25a) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 120 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực • Xác định hàm thế: Công thức (6.3d), cho: dφ = ux.dx + uy.dy = U.cos(α).dx + U.sin(α).dy φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] + C Chọn φ =0 qua gốc tọa độ (0, 0), suy C=0 Khi ta hàm thế: φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] = ux.x + uy.y (6.26) φ (r, θ) = ux.r.cos(θ) + uy.r.sin(θ) (6.26a) • Xác định hàm phức: Ta tìm thấy hàm phức cho chuyển động thẳng sau: W(z) = a.z (6.27) Trong đó, a = U.cos(α) - i.U.sin(α) (6.27a) 6.2.2 Nguồn giếng: • Điểm nguồn điểm trường dòng chảy mà có nguồn lưu chất với lưu lượng số đổ phía • Điểm giếng (điểm hút), ngược lại với điểm nguồn, điểm trường dòng chảy mà đó, lưu chất lấy với lưu lượng số • Cường độ điểm nguồn (hay giếng) lưu lượng thể tích nguồn hay giếng đơn vị chiều dày Cường độ điểm nguồn có giá trị dương, cường độ điểm hút có giá trị âm • Vận tốc dòng chảy xuyên qua tâm điểm nguồn giếng Thành phần vận tốc pháp tuyến với đường thẳng nối tâm không Đường đẳng thế, φ = C • Xác định hàm dòng: Xét nguồn đặt gốc tọa độ O(0, 0) Dùng hệ trục tọa độ cực, ta có: ur = q ; 2π r uθ = Đường dòng, Ψ = C (6.28) Áp dụng công thức (6.16a), ta có: dΨ = - uθ.dr + r ur.dθ Giải ra, ta được: Hình 6.5 Điểm nguồn www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 121 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực PHẦN B: LỰC NÂNG VÀ LỰC CẢN 6.4 Khái niệm: Trong phần này, ta nghiên cứu lực tác động vào cố thể di chuyển lưu chất Lực Archimede trọng lực hai lọai lực mặt lực khối tác động vào cố thể trạng thái tĩnh không xét đến Lưu chất có biên giới cố định hay tự do; hữu hạn hay vô hạn Lưu chất nén hay không nén Ở đây, ta xét lưu chất không nén Nếu phân bố ứng suất bao quanh cố thể xác định thông qua hàm số theo thời gian, ta có tòan hệ thống phương trình để nghiên cứu chuyển động, quỹ đạo độ ổn định cố thể Về mặt nguyên tắc, hệ thống phương trình tổng hợp phương trình Euler lưu chất lý tưởng; Navier-Stocks lưu chất thực Tuy nhiên việc giải hệ thống phương trình khó khăn, trường hợp cố thể có hình dạng đơn giản chuyển động tầng Thông thường ta cần tìm đại lượng tòan thể hệ số lực, hệ số quán tính lưu chất tác động lên cố thể thông qua kết thực nghiệm Khi lưu chất thực không nén chuyển động qua cố thể hay cố thể chuyển động lưu chất cố định, tồn hai lọai lực tác động lên bề mặt cố thể: lực áp suất tác động vuông góc với bề mặt; lực ứng suất ma sát tác động có phương tiếp tuyến với bề mặt Thành phần tổng lực chiếu phương thẳng góc với phương chuyển động gọi lực nâng Khi lấy tích phân thành phần lực nâng lực ứng suất tác động lên vi phân diện tích bề mặt cố thể tòan diện tích bề mặt bao quanh cố thể, ta lực nâng Và tương tự thành phần tổng lực chiếu phương chuyển động gọi lực cản Khi lấy tích phân thành phần lực cản lực ứng suất tác động lên vi phân diện tích bề mặt cố thể tòan diện tích bề mặt bao quanh cố thể, ta lực cản hình dạng Nếu cố thể chuyển động tạo sóng bề mặt lưu chất không nén được, lực cản ảnh hưởng tạo sóng gọi lực cản sóng Đối với lưu chất nén được, chuyển động tạo sóng nén, thành phần lực cản sóng tương ứng gọi lực cản sóng nén (shock wave) Đối với cánh hữu hạn (cánh chiều không gian), thành phần lực nâng tạo nên thành phần lực cản, gọi lực cản cảm ứng (induced drag), hay lực cản xóay Trong chuyển động ổn định (steady flow) lưu chất lý tưởng (μ=0), có thành phần áp lực hữu, nên lực cản thường không, trừ trường hợp lưu tuyến tự Tuy nhiên lực nâng xảy chuyển động lưu chất lý tưởng có chồng chập xóay tự chuyển động thẳng đều, trình bày phần chuyển động phẳng Thực ra, xóay (circulation), cường độ xóay cần phải có để tạo lực nâng lưu chất thực lý tưởng www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 142 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 6.5 Lực cản: Khi lực cản sóng lực cản cảm ứng, lực cản toàn thể lực cản hình dạng, lực cản áp suất lực cản ma sát, tổng hợp hai tùy vào hình dạng cố thể chuyển động Sự phát triển tách rời lớp biên đóng vai trò quan trọng lực cản ma sát, vùng vết hậu lưu sau vật thể (wake) phân bố áp suất bề mặt cố thể ảnh hưởng đến lực cản áp suất Hệ số lực cản định nghĩa sau: CD = FD (6.81) ρ U A Ở đây, A(m2) diện tích tiêu biểu: thường diện tích bề mặt ma sát, diện tích diện hay diện tích bình diện cố thể ρ (kg/m3): khối lượng riêng lưu chất U (m/s): vận tốc lưu chất FD(N) : lực cản CD hàm số phụ thuộc vào: • Hình dạng cố thể; • Số Reynolds (Re); • Số Mach (M); • Số Froude (Fr); • Độ nhám bề mặt; • Độ rối dòng lưu chuyển tự 6.5.1 Lực cản ma sát: Lực cản ma sát túy xảy trường hợp lưu chất chuyển động song song với bề mặt phẳng Hệ số ma sát trung bình Cf hay hệ số lực cản CD tùy thuộc vào điều kiện lớp biên tầng hay rối – tức tùy vào số Re Khi lớp biên tầng, Cf phụ thuộc vào ReXL: Re XL = Us X L ν (6.82) Khi lớp biên rối, Cf phụ thuộc vào ReXL, vị trí tới hạn, độ nhám bề mặt độ rối dòng tự a Tấm phẳng: i Lớp biên tầng phẳng trơn: ReXL < 5x105 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 143 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực • Theo Karman: Cf = 1,292.(ReXL)-1/2 • (6.83) Theo Blasius: Cf = 1,328.(ReXL)-1/2 (6.84) ii Lớp biên rối phẳng: Khi ReXL khoảng: 5x105 -:- 107: • Kết gần phương pháp Karman – Blasius: Cf = 0,072.(ReXL)-1/5 • (6.85) Kết thực nghiệm: Cf = 0,074.(ReXL)-1/5 (6.86) Khi ReXL khoảng: 107 -:- 109: • Kết phương pháp Schlichting: Cf = 0,455 [log10 (Re XL )]2,58 (6.87) Khi ReXL khoảng: 106 -:- 1010: • Kết thực nghiệm Schenherr: 0,242 Cf = log10 (Re XL C f ) (6.88) b Cố thể dạng lưu tuyến: Đây lọai cố thể có dạng bề mặt không tạo tách rời lớp biên Vì có trường hợp cố thể với hình dạng định, tạo tách rời lớp biên số Re thấp hay độ rối dòng tự thấp, lại không bị tách rời lớp biên số Re cao, hay độ rối dòng tự lớn Như vậy, lực cản cố thể có dạng lưu tuyến tùy thuộc vào điều kiện cụ thể Lực cản cố thể dạng lưu tuyến chủ yếu ma sát bề mặt i Lớp biên tầng: Số Reynolds, Re = U C ν (6.89) Với: U : vận tốc dòng lưu chất www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 144 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực C : Cung hay chiều dài Khi số Re < 105, tách rời lớp biên tầng xảy t < 0,1 c Kết thí nghiệm cho: ⎡ t ⎛ t ⎞2 ⎤ C D = 2.C f ⎢1 + + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ c ⎝ c ⎠ ⎥⎦ ⎧Re C < 10 ⎪ ⎨ t ⎪⎩ c < 0,1 (6.90) Với, t chiều dày cố thể; c chiều dài dây cung cố thể; Cf hệ số ma sát trung bình phẳng dài c (Cf tính mặt) ii Lớp biên rối: Ở số Re lớn trị số tới hạn để lớp biên trở thành rối, lớp biên không tách rời tỉ t số < 0,4 Trường hợp cố thể có dạng lưu tuyến, số Re thấp trị c số tới hạn có tượng tách rời lớp biên tầng cố thể có dạng phi lưu tuyến Kết thí nghiệm cho: ⎡ t ⎛t⎞ ⎤ C D = 2.C f ⎢1 + k + 60.⎜ ⎟ ⎥ c ⎝ c ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎧Re C > 10 ⎪ ⎨ t ⎪⎩ c < 0,4 (6.91) Ở Cf hệ số ma sát trung bình phẳng dài c lớp biên rối hệ số k tùy thuộc vào vị trí Xm điểm có chiều dày tối đa t k= Xm=0,3; k= 1,2 Xm=0,5; Khi Rec khỏang 105 -:- 107, hệ số lực cản tùy thuộc vào phân bố áp suất quanh bề mặt cố thể bất ổn lớp biên Thông thường CD khỏang lớn CD lớp biên tầng 6.5.2 Lực cản áp suất: a Lực cản áp suất túy xảy đặt phẳng thẳng góc với phương dòng chuyển động – Khi lực ma sát thẳng góc với phương chuyển động nên không tạo thành phần lực cản ma sát Nó ảnh hưởng đến bề dày lớp biên phân bố áp suất bề mặt phẳng Chính điều kiện lưu chất thực có ma sát làm lớp biên tách rời sau phẳng, tạo nên khác biệt áp suất lớn hai mặt phẳng Hệ số lực cản áp suất túy tùy thuộc vào hình dạng phẳng số Reynolds Nếu phẳng rộng b, dài vô hạn, phân bố áp suất sau: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 145 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực CP = P − P∞ ρU ∞2 (6.92) p-p∞ p-p∞ < 0 Cp b - 1,2 Hình 6.16 Lực cản phẳng chữ nhật đặt thẳng góc với phương chuyển động Đối với phẳng chữ nhật, hệ số lực cản CD tùy thuộc vào số Reb tỉ lệ hình học Khi Reb>1000 → CD = 1,16 với b L b = 0,4 -:- L Đối với phẳng tròn, ReD >1000 → CD = 1,12 b Cố thể có dạng phi lưu tuyến tức có hình dạng tách rời lớp biên Lực cản chủ yếu áp suất Ngòai trường hợp phẳng, có dạng bán trụ bán cầu Sau hệ số CD số cố thể có chiều dài lớn so với kích thước bề ngang, chiều vận tốc hướng từ xuống: 1,98 2,30 1,16 2,20 2,05 1,55 Hình 6.17 Hệ số CD cố thể có chiều dài lớn so với bề ngang www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 146 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Ví dụ 7: Tìm lực cản panô chữ nhật 2mx20m để sát mặt đất gió thổi với vận tốc 36 km/giờ thẳng góc với Giả sử không khí điều kiện tiêu chuẩn: hệ số nhớt động học không khí ν=0,137x10-4 m2/s; khối lượng riêng không khí ρ=1,29 kg/m3 b=4m b’=2m Hình 6.18 Hình Ví dụ GIẢI: Vận tốc gió: V = 36 km/giờ = 10 m/s - Trường hợp 1: Khi sát mặt đất, lực cản gió thổi panô đặt mặt đất vuông góc với phương vận tốc có chiều cao b’=2m, 1/2 lực cản gió thổi vào phẳng có chiều cao b = 2b’ đặt trường chuyển động gió (Xem Hình 6.18) → b = 4m Re b = V b ν = 2x106 Ta có: b/L = 4/20 = 0,2 Với Reb = 2x106 > 1000, b/L =0,2, từ biểu đồ Hình 6.16, ta suy CD = 1,2 Áp dụng công thức (6.81), ta có: FD = C D ρ - U2 (10) A → FD1 = 1,2x1,29x (20x2) = 3.096 N 2 Trường hợp 2: Khi cao, xa mặt đất: → b=b’= 2m →b/L = 0,1 → từ biểu đồ Hình 6.16, ta suy CD = 1,3 Từ ta tính lực FD2 = FD1 x (1,3/1,2) = 3.354 N 6.5.3 Lực cản hình dạng: Lực cản hình dạng tổng hợp lực cản ma sát lực cản áp suất, tùy thuộc vào hình dạng vật thể www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 147 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực a Hình trụ: Xét dòng chuyển động lưu chất vectơ vận tốc vuông góc với trục hình trụ Khi ReD < 0,5 : Lamb giải phương trình Navier-Stokes tìm hệ số lực cản: CD = 8π Re D − Re D ln(Re D ) (6.93) b Hình cầu: Khi ReD < 0,1 : Stokes giải phương trình Navier-Stokes tìm hệ số lực cản CD = FD = 3μUs.пD , tức 24 Re D (6.94) Oseen giải xác cho: CD = 24 ⎛ ⎞ ⎜1 + Re D ⎟ Re D ⎝ 16 ⎠ Khi ReD < (6.95) Khi ReD < 100 (6.96) Kết thực nghiệm cho thấy: 24 ⎛ ⎞2 CD = ⎜1 + Re D ⎟ Re D ⎝ 16 ⎠ Người ta ứng dụng kết Stokes (khi ReD < ) để đo hệ số nhớt động học lưu chất thí nghiệm rơi tự đơn giản sau: Xét hình cầu có khối lượng riêng ρc, đường kính D rơi lưu chất khối lượng riêng ρe, hệ số nhớt động lực học μ, đạt vận tốc giới hạn Us Xét cân lực: lực Archimede, trọng lượng lực cản, ta có: ρ e g μ= πD + 3μUs.пD = ρ c g πD , từ suy ra: gD ( ρ c − ρ e ) 18 (6.97) Tuy nhiên, khối cầu có đường kính Dc rơi ống trụ chứa lưu chất có đường kính Dt (không lớn đường kính cầu nhiều lần) vận tốc tới hạn Um đo nhỏ Us hình cầu rơi tự lưu chất vô hạn Do phải điều chỉnh Us từ Um: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 148 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực ⎛ D U s = ⎜⎜1 + 2,4 c Dt ⎝ ⎞ ⎟⎟.U m ⎠ (6.98) c Hệ số lực cản giảm số Reynolds tới hạn: Khi ReD > 103, lớp biên tầng tách rời khỏi bề mặt hình cầu hay trụ, tạo vùng vết hậu lưu lớn Hệ số lực cản không giảm theo số Reynolds tăng nữa, mà có giá trị gần số (hơi tăng tí), giá trị ReD = 300.000; lớp biên trở nên rối, bám trở lại bề mặt cố thể khỏang làm hậu lưu nhỏ lại Kết hệ số lực cản giảm đột ngột (Xem Hình 6.20a) Đối với hình trụ ReD tới hạn 5x105, hình cầu ReD tới hạn 3x105 Khi bề mặt cố thể nhám, hay dòng lưu tự có độ rối cao đáng kể, số Reynolds tới hạn giảm hơn, hệ số CD giảm số Reynolds tới hạn nhỏ 300.000 cho hình cầu, nhỏ 500.000 cho hình trụ H.6.19 Hệ số lực cản thực nghiệm https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient Hình 6.20a: Sự giảm hệ số lực cản số Re Khi lớp biên tách rời, chúng tạo xóay vùng vết hậu lưu hình trụ Các xóay tiếp tục phát sinh bên Việc làm ảnh hưởng đến phân bố áp suất bề mặt trụ, tính bất đối xứng tạo lực thẳng góc với phương chuyển động www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 149 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực lưu chất Lực đổi chiều liên tục theo chu kỳ phát sinh xóay Kết tạo dao động hình trụ - tiếng reo dây điện, thông (xem Hình 6.20b) n chu Hình 6.20b Sự tạo xóay hậu lưu bất đối xứng sau hình trụ Kết thực nghiệm cho thấy, số Strouhal S hàm số số Red S = n.d/Us (6.99) Với n chu kỳ giây, d khỏang cách vùng tách rời lớp biên Khi Red > 700, S số độc lập với Red • S = 0,21 cho hình trụ đường kính d • S = 0,18 cho chữ nhật cạnh d Khi Red < 700, S giảm nhanh Red nhỏ • S = 0,12 Red = 50 • S = 0,17 Red = 100 • S = 0,20 Red = 300 6.5.4 Lực cản sóng: Khi tàu thuyền chuyển động mặt nước, sóng bề mặt phát sinh mạn trước sau tàu thuyền Lực cản bao gồm: • Lực cản ma sát bề mặt; • Lực cản sóng, • Lực cản xóay đuôi (nhỏ bỏ qua tàu thuyền) Lực cản xóay đuôi vùng vết hậu lưu tàu thuyền thường chiếm phần tỉ lệ nhỏ thay đổi với số Reynolds Hệ số lực cản tòan thể CD trường hợp phụ thuộc vào số Re Fr CD = f(Re; Fr) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 150 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Theo điều kiện đồng dạng động lực học đòi hỏi tàu mô hình tàu thực phải có số Re số Fr để: CDm = CDt Nhưng tạo điều kiện vì: ⎛ Lm ⎜⎜ ⎝ Lt ⎞2 νm L ⎟⎟ = thực m =1 Lt νt ⎠ Froude giả thiết: CD = fn1(Re) + fn2(Fr) CD = CDms + CDsóng Trong lực cản ma sát bề mặt tính riêng theo giả thiết lực lực cản ma sát phẳng chiều dài, diện tích ứơt di chuyển vận tốc Phần lực cản lại gồm ảnh hưởng sóng xóay đuôi – độc lập với số Reynolds xác định từ mô hình số Froude Mô hình tàu thuyền thí nghiệm điều kiện số Froude ( Fr = U g.L ) Hệ số CDmô hình tính từ lực cản tòan thể đo mô hình Hệ số CDma sát tính theo phẳng với điều kiện số Re mô hình thí nghiệm mô hình Froude, từ ta tìm hệ số CDsóng Hệ số CD ma sát thực tính theo phẳng với điều kiện Rethực, cộng với CDsóng để có CD thực Dùng mô hình Froude CDmô hình = CD ma sát + CDsóng (Đo FD mô hình tính CD) = (Tính theo phẳng) + (thí nghiệm số Froude) Tính theo công thức FDms =1,63.A.V1,94 CDthực ← CD ma sát + ( CDsóng )thực (Tính theo phẳng) + C DS = (Đồng dạng Froude) (C DS )t (C DS )m FS ρ U L 2 FDthực = Tính theo công thức FDms =1,05A.V1,83 + ρ Fst = Fsm t ρm www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 =1 ⎛ Lt ⎜⎜ ⎝ Lm ⎞ ⎟⎟ ⎠ 151 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Thực điều kiện bề mặt tàu khó xác định xác để tính lực cản nhám ma sát bề mặt Bề mặt tàu thường nhám lên sau thời gian họat động Thực giả thiết phân biệt hai lọai lực cản không hòan tòan xác Tuy nhiên sai số tính từ phương pháp không đáng kể, mô hình Froude có giá trị ngành hàng hải 6.6 Lực nâng: 6.6.1 Lực nâng xóay: Như biết phần chuyển động phẳng, chuyển động hình trụ lưu chất lý tưởng chồng chập thêm xóay tự quanh nó, lưu chất tạo lực nâng, tác dụng lên hình trụ Hiện tượng gọi tượng Magnus Lưu chất thực có tượng Xét hình trụ lưu chất có khối lượng riêng ρ chuyển động với vận tốc U, chịu tác động cường độ xóay Γ, lực nâng đơn vị chiều dài trụ là: H.6.21 Lực nâng chuyển động chồng chập xóay tự quanh trụ tròn FL = ρ.U.Γ v v v Hay dạng vectơ: FL = ρ UxΓ (6.100) Hệ số lực nâng: CL = FL ρ U A (6.101) H.6.22a Lý tưởng xóay U + Ux = Vt Vận tốc lớn, áp suất nhỏ H.6.22b Lý tưởng có xóay U – Ux = Vđ Vận tốc nhỏ, áp suất lớn Phân tích thứ nguyên cho ta biết hệ số lực nâng phụ thuộc vào hình dạng cố thể, tùy vào góc tới vận tốc lưu chất tùy thuộc vào số Reynolds Re, số Mach M, số Froude Fr www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 152 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực CL = f(hình dạng cố thể; góc tới; Re; M, Fr) Định lý Kutta-Joukowski lực nâng hình trụ đem áp dụng cho dạng cánh khác H.6.23a Lực nâng cánh phẳng Joukowski tìm phương pháp tính tóan lưu để biến đổi vòng tròn thành dạng cánh nâng khác Như biến đổi lưu tuyến quanh hình trụ thành lưu tuyến quanh cánh nâng tính lực nâng lý thuyết cánh Đối với cánh phẳng (độ cong không) góc tới nhỏ, theo Joukowski: CL = 2п.Sin(α) (6.102a) H.6.23b hệ số lực nâng cánh cong α : góc hướng tới thực và hướng tới có lực nâng Khi cánh có độ cong khác không (cánh không đối xứng) ta có kết quả: CL = 2п.Sin(α-αo) (6.102b) Với αo : góc tới lực nâng H.6.23c Cánh cong có xóay Khi khởi động, lưu chất thực chuyển động quanh cánh tạo nên xóay việc dời điểm dừng xa cạnh sau cánh để xóay lại đằng sau Một xóay ngược lại xóay tiếp tục trì theo cánh Chính xóay tạo lực nâng cánh (Hình H.6.23c) Khi cánh có bề dài hữu hạn (cánh chiều) hay bề rộng thay đổi, xóay tạo thành vòng xóay kín hình chữ nhật (Hình H.6.24) H.6.24 xóay đuôi www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 153 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Xóay để lại đằng sau cánh gọi xóay đuôi Xóay đuôi thường tập trung hai mũi cánh (hai bên) phân bố suốt sau cánh (khi lực nâng phần tử cánh khác nhau) Tác dụng xóay đuôi tạo thành vận tốc xuống sau cánh cánh Kết góc tới lưu chất bị lệch hướng 6.6.2 Lực cản cảm ứng: Tỉ số sải cánh s chiều rộng c (cung) cánh: AR = s c (6.102a) Nếu AR hữu hạn, thành phần vận tốc xuống w xóay đuôi tạo làm cho phương vận tốc Ut bị lệch Lực nâng cánh thực thẳng góc với phương (Ut) - phân thành hai lực, lực nâng thẳng góc với phương vận tốc U, lực cản cảm ứng phương U Thành phần lực cản trường hợp (cánh có s hữu hạn) tăng lên lực cản cảm ứng Trong lực nâng không thay đổi Lực cản cảm ứng tùy vào góc lệch δ Góc δ lớn, lực nâng lớn Hệ số lực cản thông thường chia thành phần độc lập với CL thành phần phụ thuộc CL CD = CD0 + k C L2 (6.102b) H.6.25 Lực cản cảm ứng cánh có AR hữu hạn H.6.26 Nhiều lọai cánh thiết cho giản đồ CL ~ CD đặc biệt www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 154 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 6.6.3 Cánh chong chóng: Cánh chong chóng có dạng cánh nâng Ở vị trí bán kính r, vận tốc chuyển động quay u = r.ω, với ω vận tốc quay chong chóng Vận tốc theo phương hướng trục Va Vận tốc tổng cộng Vr tạo góc với mặt phẳng quay Nếu cánh nghiêng góc với mặt pẳng quay, góc tới là: α= - Ở vị trí r, bề rông cánh c, xét phần tử cánh từ r đến r + dr Diện tích phần tử cánh: dA = c.dr H.6.27 Mối quan hệ CL theo α Re H.6.28b Vận tốc sơ đồ vi phân lực cánh quay H.6.28a Vận tốc cánh quay Lực dòng lưu chất vận tốc Vr, tác dụng vào phần tử cánh dA gồm có thành phần lực nâng dFL thành phần lực cản dFD, tạo thành tổng lực dF dF phân làm hai thành phần: dFa theo phương dọc trục dFq theo phương tiếp tuyến dFL = 1 ρ Vr2 C L dA = ρ Vr2 C L c.dr 2 dFD = ρ Vr2 C D c.dr Với CD CL hệ số lực cản lực nâng tương ứng dFa = dFL cos( ) - dFD sin( ) = ρ Vr2 c.dr [CL cos( ) - CD sin( )] www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 155 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực dFq = dFL sin( ) + dFD cos( ) = ρ Vr2 c.dr [CL sin( ) + CD cos( )] Moment quay dFq tạo là: dM = r.dFq = ρ Vr2 c.r.dr [CL sin( ) + CD cos( )] Ta viết: dFa/dr = ρ Vr2 c [CL cos( ) - CD sin( )] ρ Vr2 c.r [CL sin( ) + CD cos( )] dM/dr = Nếu tính dFa/dr dM/dr vị trí bàn kính r vẽ đồ thị dFa/dr theo r, ta tích phân để tìm thấy giá trị lực Fa, tính cho n cánh, Fa = n ∫ (dFa / dr ).dr r2 (6.103) r1 Tương tự cho moment n cánh tạo ra: M a = n ∫ (dM a / dr ).dr r2 (6.104) r1 Từ công suất quay P = M.ω (6.105) Vận tốc dọc trục Va thường không thay đổi theo vị trí bán kính r trừ phần ngòai mũi cánh, góc nghiêng φ vận tốc tương đối giảm từ ngòai Khi góc tới α chọn hay thay đổi ít, góc nghiêng hợp lý cánh phải lớn, vị trí bán kính nhỏ bên giảm dần r tăng Nếu ω lớn để U lớn so với Va, góc nghiêng cánh nhỏ thay đổi vị trí bán kính lớn 6.6 Đo Lực nâng lực cản: Áp dụng phương pháp đồng dạng động lực học, hệ số lực nâng CL lực cản CD dạng vật thể, dạng cánh đo phương pháp thực nghiệm điều kiện đồng dạng hình học, đồng dạng Reynolds, đồng dạng Mach, hay đồng dạng Froude tương ứng Đối với cánh nâng, dạng cánh máy bay, hệ số lực nâng CL tính đo phương pháp thực nghiệm Dạng cánh NACA 0015 góc tới 8o có hệ số lực nâng CL tính theo lý thuyết 0,88; tính theo công thức 2п.sin(α) = 0,87; đo gián tiếp thí nghiệm 0,85 Tham khảo tài liệu: theory of Wing Abbott Doenhoff dạng cánh NACA www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 156 [...]... 0 Từ phương trình (6.60a) với uy = 0, ta suy ra được y = 0 Như vậy điểm dừng có thể xảy ra trên trục ox Cho y = 0 và ux = 0 vào phương trình (6.60) và giải ra ta được: U= qa π x − a2 ( 2 ) giải ra, ta tìm được hồnh độ của điểm dừng: x = ± a2 + qa πU (6.61) Vậy, ta có hai điểm dừng là A và B nằm trên trục ox, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O và có hồnh độ cho bởi phương trình (6.61) Phương trình (6.60a)... hợp của một dòng đều và một lưỡng cực • Hàm thế: Áp dụng phương trình (6.26a) và phương trình (6.47a), ta được: mo 1 cos(θ) 2π r ϕ = U.r.cos(θ) + (6.62) Đặt thừa số chung, ta được, ϕ = U.r.cos(θ)(1+ mo 1 ) 2πU r 2 (6.62a) Đặt: R2 = mo 2πU (6.63) Ta được: ϕ = U.r.cos(θ)(1+ R2 ) r2 (6.62b) • Hàm dòng: Áp dụng phương trình (6.25a) và phương trình (6.48a), ta được: ψ = U.r.sin(θ) - mo 1 sin(θ) 2π r (6.64)... thơng qua một hàm số theo thời gian, thì ta có thể có tòan bộ hệ thống phương trình để nghiên cứu về sự chuyển động, quỹ đạo và độ ổn định của cố thể Về mặt ngun tắc, đó là hệ thống phương trình tổng hợp các phương trình Euler đối với lưu chất lý tưởng; hoặc Navier-Stocks đối với lưu chất thực Tuy nhiên việc giải hệ thống phương trình này rất khó khăn, ngay cả đối với những trường hợp cố thể có hình dạng... ln(z-a) 2π 2π q ⎡z + a⎤ ln ⎢ 2π ⎣ z − a ⎥⎦ (6.58) (6.58a) • Nhận xét: ƒ Đường dòng khi Ψ = 0: Cho Ψ = 0 vào phương trình (6.57a), ta được: 9 Đường y = 0 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 128 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 9 Đường cong (C) có phương trình như sau: U.y - Hay q 2 ay arctg ⎛⎜ ⎜ x2 + y2 − a2 2π ⎝ ⎞= ⎟⎟ ⎠ 0 (6.59) ⎡ 2Uπ y ⎤ 2 ay tan ⎢ ⎥ = 2 q x... ∂ϕ ; uθ = ∂r r ∂θ áp dụng đối với phương trình (6.62b), ta được: ur = U.cos(θ)(1- R2 ); r2 (6.66a) r = R, suy ra ur = 0 uθ = -U.sin(θ)(1+ và R2 ) r2 (6.66b) r = R, do đó: uθ = -2U.sin(θ) (6.66c) uθ = 0, suy ra θ=0 và θ=π, vì vậy: + Hai điểm A và B là hai điểm dừng + Hai điểm C và D có vận tốc cực đại là uC = uD = 2U ƒ Sự phân bố áp suất trên (C): Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ... quanh trụ tròn quay www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 133 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực phương trình (6.72), giải ra ta sẽ tìm được r: Γ + Γ 2 − 16π 2 R 2U 2 rD = 4πU (6.73b) • Áp suất trên mặt trụ: Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ (C) và một điểm ở xa vơ cùng, ta có: U2 u2 p*∞ +ρ = p* +ρ 2 2 Δp* = p* - p*∞ = ρ U2 2 (6.74) [1 – (2sin(θ)+... phương trình liên tục lưu chất khơng ∂x ∂y nén được r r r r r ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ r ⎟⎟.k = (-3/2 – 1) k = -5/2 k ≠ 0 , chuyển động quay ro t (u ) = ⎜⎜ − ∂y ⎠ ⎝ ∂x Kết luận: Đây là chuyển động ổn định, hai chiều, và là chuyển động quay của lưu chất khơng nén được 2) Kiểm tra điều kiện liên tục và xác định vectơ vận tốc quay: ∂u x ∂u y r Div( u ) = = y2 + x2 ≠ 0, do đó chuyển động khơng thỏa phương trình liên... cực và điểm (1, 1) Lấy ρ = 1,2 kg/m3 Giải: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 137 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Phương trình của hàm dòng tổng hợp được tìm thấy bằng cách áp dụng phương trình (6.57a), với: a = -1m (vì điểm nguồn nằm bên phải, điểm giếng nằm bên trái, ngược chiều với trường hợp thành lập cơng thức); U = -25m/s (chuyển động ngược chiều... M(1, 1), thế vào, ta được: ux (M) = -25,636 m/s uy (M) = +1,273 m/s u(M)= (− 25,636)2 + 1.2732 = 25,667 m/s • Tính áp suất tại điểm M(1, 1): Áp dụng phương trình Bernoulli (6.5) giữa 2 điểm ở M và điểm ở xa vơ cùng, với giả thiết bỏ qua chênh lệch cao trình Ta có: pM + 1 1 1 1 ρ u M2 = p ∞ + ρ u ∞2 , suy ra: p M − p ∞ = ρ (u ∞2 − u M2 ) = 1,2(25 2 − 25,667 2 ) 2 2 2 2 Δp = -20,27 Pa • Tính xA và xB : Áp... + sin 2 (2.θ )] = ro2 Nghĩa là điểm M(x,y) sẽ chạy trên vòng tròn (C’) có tâm là M1, nằm trên trục hồnh (ox) có tọa độ tâm là Mo (ro,0) với bán kính là │ro│ Trong trường hợp bài tốn cho: mo = 4πm3/s và ψ = - 2m2/s Thế vào phương trình (6.79), ta được: ro = - mo 4π = =0,5 m 4πψ 4π 2 Vậy đường dòng là vòng tròn có tâm (0; 0,5m) nằm trên trục oy, có bán kính là ro = 0,5m Tương tự ta cũng có đường đẳng ... phương trình (6.3a) hệ toạ độ Descartes (oxyz) hay thỏa phương trình (6.4a) toạ độ trụ (r, θ, z), thoả phương trình (6.3b) dạng vectơ 6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy r Lấy r o t hai vế phương trình. .. chuyển động phẳng mặt xoy, phương trình (6.11a) trở thành: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + =0 ∂x ∂ y (6.11c) Phương trình (6.11a), (6.11b) hay (6.11c) gọi phương trình Laplace, phương trình vi phân tuyến tính đạo hàm... ∂x ∂y ∂z hay, ux.dx + uy.dy + uz.dz = (6.12) Phương trình (6.12) phương trình vi phân đường đẳng Tích phân phương trình vi phân này, ta phương trình đường đẳng 6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý đường đẳng