ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Khi nào thì sử dụng hàm số : Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm số) hoặc chúng không thể chuyển về được dạng cơ bản . - Nhẩm nghiệm 0 x x= - Chứng minh chỉ có các nghiệm đó bằng phương pháp đạo hàm  VD : Giải phương trình : 2 1 0 x x− − = (1)  Giải : Rõ ràng x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình vì PT(1) thỏa. ta chứng minh chỉ có hai nghiệm đó . Xét hàm số 2 1 ' 2 ln 2 1 x x y x y= − − ⇒ = − 2 1 ' 0 2 ln 2 1 0 log ln 2 x y x   = ⇔ − = ⇔ =  ÷   . Hàm số có duy nhất một cực trò Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình y=0 có nhiều nhất 2 nghiệm. Vậy x=0 và x=1 là các nghiệm của PT . 2. Xét phương trình dạng : f(x) = m (m là tham số) Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trò của hàm số y=f(x) và số nghiệm của PT là số giao điểm của hàm số y=f(x) với đường thẳng y=m . - Nếu f(x) đồng biến trên [ ] ;a b thì miền giá trò ( ) ( ) ( )f a f x f b≤ ≤ Phương trình : f(x) = m có nghiệm ( ) ( )f a m f b⇔ ≤ ≤ - Nếu f(x) nghòch biến trên [ ] ;a b thì miền giá trò ( ) ( ) ( )f b f x f a≤ ≤ Phương trình : f(x) = m có nghiệm ( ) ( )f b m f a⇔ ≤ ≤  VD1: Tìm m để phương trình : 2 3 1x x m+ + = có nghiệm.  Giải: Số nghiệm của phương trình 2 3 1x x m+ + = bằng số giao điểm của đồ thò hàm số 2 3 1y x x= + + và đường thẳng y=m cùng phương với trục hoành. Xét hàm số 2 3 1y x x= + + trên R 1 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK 2 2 2 3 3 1 3 ' 1 3 1 3 1 x x x y x x + + = + = + + ⇔ 2 ' 0 3 1 3y x x= ⇔ + = − 2 2 0 0 6 1 6 6 3 1 9 6 6 x x x x x x <  <  −  ⇔ ⇔ ⇔ =   ± ± + = = =    Với 6 6 −= x thì 6 3 y = Bảng biến thiên: Phương trình có nghiệm khi 6 3 m ≥  VD2: Đònh m để phương trình sau có đúng hai nghiệm : 4 4 4 4 4 6x x m x x m+ + + + + =  Giải : Đặt 4 4 4 0t x x m= + + ≥ Thu được phương trình : 2 2 6 0 2 3 0 0 t t t t t t t  =   + − =   ⇔ ⇔ = = −    ≥   ≥  Khi đó : 4 4 4 4 2 4 16x x m x x m+ + = ⇔ + + = 4 4 16x x m⇔ + − = − Xét hàm số : 4 3 4 16 ' 4 4y x x y x= + − ⇒ = + 3 ' 0 4 4 0 1y x x= ⇔ + = ⇔ = − và ( 1) 19f − = − Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy : Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;− +∞ và nghòch biến trên khoảng ( ) ; 1−∞ − Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 19 19m m⇔ − > − ⇔ <  VD3 : Đònh giá trò của m để phương trình sau có ngiệm : ( ) ( ) 4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − = (1) 2 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK  Giải : Điều kiện : 3 1x − ≤ ≤ . 3 3 4 1 1 (1) 4 3 3 1 1 x x m x x + + − + ⇔ = + + − + Nhận thấy rằng : ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 4 1 2 2 x x x x     + − + + − = ⇔ + =  ÷  ÷  ÷  ÷     Nên tồn tại góc 0; 2 π ϕ   ∈     sao cho : 2 2 3 2sin 2 1 t x t ϕ + = = + và 2 2 1 1 2cos 2 1 t x t ϕ − − = = + với [ ] tan ; 0;1 2 t t ϕ = ∈ 2 2 3 3 4 1 1 7 12 9 5 16 7 4 3 3 1 1 x x t t m m t t x x + + − + − + + = ⇔ = − + + + + − + Xét hàm số : [ ] 2 2 7 12 9 ( ) ; 0;1 5 16 7 t t f t t t t − + + = ∈ − + + ( ) [ ] 2 2 2 52 8 60 '( ) 0, 0;1 5 16 7 t t f t t t t − − − = < ∀ ∈ − + + . Suy ra hàm số nghòch biến trên đoạn [ ] 0;1 và 9 7 (0) ; (1) 7 9 f f= = Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn [ ] 0;1 khi và chỉ khi : 7 9 9 7 m≤ ≤ 3. Xét bất phương trình dạng : ( )f x m≤ ( m là tham số ) TH1 : Nếu f(x) đồng biến trên [ ] ;a b thì miền giá trò ( ) ( ) ( )f a f x f b≤ ≤ - Bất phương trình : ( )f x m≤ có nghiệm ( )f a m⇔ ≤ và - Bất phương trình : ( )f x m≤ có nghiệm [ ] ;x a b∀ ∈ ( )f b m⇔ ≤ TH2 : Nếu f(x) nghòch biến trên [ ] ;a b thì miền giá trò ( ) ( ) ( )f b f x f a≤ ≤ - Bất phương trình : ( )f x m≤ có nghiệm ( )f b m⇔ ≤ và - Bất phương trình : ( )f x m≤ có nghiệm [ ] ;x a b∀ ∈ ( )f a m⇔ ≤  VD : Cho bất phương trình : 2 2 2 24 2x x x x m− + ≤ − + (m là tham số) Tìm m để BPT thỏa [ ] 4;6x∀ ∈ −  Giải : 3 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK Đặt 2 2 24t x x= − + Tìm điều kiện của t : [ ] [ ] 4;6 0;5x t∀ ∈ − ⇒ ∈ Thu được bất phương trình : 2 24t t m+ − ≤ với [ ] 0;5t ∈ Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để 2 24t t m+ − ≤ , [ ] 0;5t∀ ∈ Xét hàm số 2 ( ) 24f t t t= + − trên đoạn [ ] 0;5 1 '( ) 2 1 0 2 f t t t − = + = ⇔ = . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn [ ] 0;5 . Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi trên đoạn [ ] 0;5 Max ( )f t m≤ ⇔ (5) 6 6f m m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ 4. Khi gặp hệ phương trình có dạng : ( ) ( ) ( , ) 0 f x f y g x y =   =  Cách giải : - Xét hàm số y=f(t) và nếu chứng minh được hàm số đơn điệu thì kết luận x=y. Khi đó đưa bài toán về giải hoặc biện luận PT : g(x,y) =0 theo một ẩn. - Nếu hàm số y = f(t) có một cực trò tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi đi qua a .Từ phương trình đầu suy ra x = y hoặc x,y nằm về hai phía của a.  VD1: Giải hệ phương trình : 3 1 1 (1) 2 1(2) x y x y x y  − = −    − =   Giải : Từ PT : 1 1 x y x y − = − (1) Xét hàm số đại diện : 1 ( ) ,( 0) '( ) 0 0f t t t f t t t = − ≠ ⇒ > ∀ ≠ . Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh . PT (1) có dạng f(x) = f(y) , 0x y∀ ≠ , suy ra x = y . Thế vào PT ( 2 ) ta được PT :      ± = −= ⇔=−−⇔=− 2 51 1 01212 33 x x xxxx 4 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK Hệ có nghiệm là: (-1;-1);         −−         ++ 2 51 ; 2 51 ; 2 51 ; 2 51  VD2 : Giải hệ phương trình : 2 2 ln(1 ) ln(1 ) 2 5 0 x y x y x xy y + − + = −   − + =   Giải : x > -1 ; y > -1 . ln(1 ) ln(1 )x y x y+ − + = − ⇔ ln(1 ) ln(1 )x x y y+ − = + − Xét hàm số đại diện : ( ) ( ) ln(1 ) ; 1; '( ) 1 t f t t t t f t t − = + − ∈ +∞ ⇒ = + . Ta có : '( ) 0 0f t t= ⇔ = . Hàm số đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghòch biến trong khoảng (0; )+∞ . ln(1 ) ln(1 ) ( ) ( )x x y y f x f y x y+ − = + − ⇔ = ⇔ = thay vào PT 2 2 2 5 0x xy y− + = ta có nghiệm x = y =0 . BÀI TẬP Bài 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − (ĐỀ THI ĐHKB-2004) Bài 2 : CMR với mọi giá trò của m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 2 8 ( 2)x x m x+ − = − (ĐỀ THI ĐHKB-2007) Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − (ĐỀ THI ĐHKA -2007) Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc [ ) 32;+∞ ( ) 2 2 2 2 1 4 2 log log 3 . log 3x x m x+ − = − (ĐH KTQS KA-2001) Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3     2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m+ + − − = (ĐH KA-2002 -TOÀN QUỐC) Bài 6 : Tìm m để [ ] 0;2∀∈ đều thoả bất phương trình sau 2 2 2 4 log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m− + + − + ≤ (ĐH SPHN KA- 2001) Bài 7: Giải phương trình : ( ) 2 3 1 2 3 1 log 3 2 2 2. 5 x x x x − −   − + + + =  ÷   (UD ĐH) II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – 5 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ  VD1: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số 2 2 sin cos 4 4 x x y = +  Giải: Cách 1: •Áp dụng BĐT Cauchy: 2 2 sin cos 4 4 2 4 4 x x + ≥ = Dấu đẳngthức xảy ra khi: 2 2 sin cos 4 4 4 2 x x x k π π = ⇔ = + min 4 4 2 k y f π π   = + =  ÷   •Mặt khác ta cũng có: 2 2 sin cos 4 1 4 1 x x  ≥  ⇔  ≥   ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin sin cos 4 1 0 4 1 4 1 0 4 1 0 x x x x  − ≥  ⇔ − − ≥ ⇔  − ≥   2 2 sin cos 4 4 5 x x + ≤ Dấu đẳngthức xảy ra khi: sin x=0 hoặc cosx=0.Suy ra: max 5y = Cách 2: 2 2 sin cos 4 4 x x y = + 2 2 sin 1 sin 4 4 x x− = + 2 2 sin sin 4 4 4 x x = + Đặt ( ) 2 sin 4 1 4 x t t= ≤ ≤ xét hàm số ( ) 2 4t f t t + = ( ) [ ] 2 2 2 4 ' 0 2 1;4 t t f t t t =  − ⇒ = = ⇔  = − ∉  Lập bảng biến thiên ta có giá trò lớn nhất bằng 5 và nhỏ nhất bằng 4.  VD2: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số 6 6 sin cos cos sin sin cos x x x x y x x + = +  Giải : Vì 2 2 sin cos sin cos 1,x x x x x+ ≥ + = ∀ nên 6 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK ( ) ( ) 5 5 6 6 2 2 sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1 sin cos sin cos x x x x x x x x y x x x x x x x x x x + + = = + + = − − 2 3 1 1 1 sin sin 2 sin 2 8 4 2 x x x − = − + Đặt : sin 2 ;0 1t x t= ≤ ≤ xét hàm số 3 2 1 1 1 ( ) 8 4 2 f t t t t − = − + với 0 1t≤ ≤ 2 2 3 1 1 '( ) 0 2 8 2 2 3 t f t t t t = −  −  = − + = ⇔  =  Ta có 2 5 1 (0) 0; ; (1) 3 27 8 f f f   = = =  ÷   Vậy ta kết luận : 2 5 2 1 1 ( ) sin 2 cos 4 cos 3 27 3 9 4 2 k Maxf t f x x x π α α   = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ± +  ÷   min ( ) (0) 0 sin 2 0 2 k f t f x x π = = ⇒ = ⇒ =  VD3 : Cho tam giác ABC thỏa : A > B > C . Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : sin sin ( ) 1. sin sin x A x B f x x C x C − − = + − − −  Giải: TXĐ ( ) [ ) ;sin sin ;D C A= −∞ +∞U ( ) ( ) 2 2 sin sin sin 1 sin sin sin '( ) . . 0 sin 2 sin sin sin x C A C x C B C f x x D x A x B x C x C − − − − = + > ∀ ∈ − − − − ( ) ( ) sin sin min sin 1 sin sin A B f x f A A C − ⇒ = = − − . III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Các bất đẳng thức thường sử dụng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức' title='ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức'>ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Các bất đẳng thức thường sử dụng='áp dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình' title='áp dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình'>DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Các bất đẳng thức thường sử dụng 1. Bất đẳng thức Cauchy 0, 0 ; 2 a b a b ab + ≥ ≥ ⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 7 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK 2. BĐT miền giá trò của hàm số sin và cosin : sin ( ) 1; cos ( ) 1;f x f x≤ ≤ 3. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , , ,a b c d R ac bd a b c d∈ ⇒ + ≤ + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a c b d = 4. Bất đẳng thức giá trò tuyệt đối Với mọi số thực a,b,ta có: |a+b| ≤ |a|+|b| (1) |a-b| ≤ |a|+|b| (2) |a+b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab ≥ 0. |a-b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab ≤ 0. * Chứng minh bất đẳng thức - Dùng các bất đẳng thức nêu trên - Dùng đạo hàm  VD2: Cho ba số dương bất kỳ a,b,c sao cho : 2 2 2 1.a b c+ + = CMR : 2 2 2 2 2 2 3 3 . 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + +  Giải : Giả thiết 2 2 2 1 0 , , 1a b c x y z+ + = ⇒ < < ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a c a b a b c a b c a a b b c c + + = + + + + + − − − = + + − − − Xét hàm số ( ) 2 ( ) 1f x x x= − trên đoạn [ ] 0;1 . Đạo hàm [ ] 2 1 '( ) 3 1 0 0;1 3 f x x x= − + = ⇔ = ∈ Ta có : 1 2 (0) 0; (1) 0; 3 3 3 f f f   = = = ⇒  ÷   [ ] 1 2 ( ) 3 3 3 0;1 Maxf x f   = =  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 a b c a a b b c c ⇒ + + ≥ − − − 8 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c= = = VD2: Cho 0a b ≥ > . CMR : 1 1 2 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +  ÷  ÷     (ĐH KD 2007)  Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 4 ln 1 4 1 1 2 2 1 4 1 4 . 2 2 a b b a b a a b a b a b a b + +     + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤  ÷  ÷     Xét hàm số: ( ) ( ) ( ) ln 1 4 , 0 x f x x x + = > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ln 4 1 4 ln 1 4 ' 0 0; 1 4 x x x x x f x x x − + + = < ∀ ∈ +∞ + Suy ra hàm số nghòch biến trên khoảng ( ) 0;+∞ và ( ) ( ) 0a b f a f b≥ > ⇒ ≤ ⇒ ĐPCM. BÀI TẬP Bài 1: Tìm k lớn nhất để BPT sau thỏa với mọi x thực : ( sin cos 1) sin cos sin 2 2.k x x x x x+ + ≤ + + + (UDĐH) Bài 2: Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 . 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       (ĐỀ THI ĐH KB 2007) Bài 3: Cho ba số không âm bất kỳ x; y; z sao cho x+y + z = 1 CMR : 7 0 2 27 xy yz zx xyz≤ + + − ≤ ( UD ĐH ) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức : ( ) 2 ln 1 , 0 2 x x x x+ > − ∀ > Bài 5: Tìm số dương nhỏ nhất α sao cho có một số dương β mà [ ] 0;1x∀ ∈ thỏa mãn bất đẳng thức sau đây : 1 1 2 x x x α β − + + ≤ − . Với α tìm được, hãy xác đònh giá trò nhỏ nhất của β thỏa điều kiện trên. 9 . QUYẾT ĐĂK LĂK ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Khi nào thì sử dụng hàm số : Đó.  (UD ĐH) II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – 5 ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ