bất đẳng thức

21 331 1
bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Chủ đề : Bất đẳng thức A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B; .; BABA B) Các tính chất: Quan hệ >; < . 1. Có tính chất bắc cầu. Nghĩa là: a) a>b và b>c thì a>c. b) a<b và b<c thì a<c. c) ba và cb thì ca . d) ba và cb thì ca . 2. Có tính chất phản xạ. Nghĩa là: ;: aaa hoặc aaa : . 3. Có tính chất phản xứng. Nghĩa là: a) ba và ab thì a=b. b) ba và ab thì a=b. C) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1. abba <> 2. mbmaba >> 3. a + c > b a > b c. 4. dbca dc ba +>+ > > . 5. a > b << >> 0 0 cbcac cbcac 6. . 0 0 bcac dc ba > > > 7. *) * ,0 + >> Znbaba nn . *) * ,0 <> Znbaba nn 8. *) .,0 * 22 Nnbaba nn >> *) ., * 1212 Nnbaba nn >> ++ 9. *) a >1 nm aa > với m > n ; m,n * N *) 0<a<1 nm aa < với m > n ; m,n * N 9. a>b và ab>0 ba 11 < . 10. *) .,0 2 Raa *) .0&,0 2 > aRaa 11. *) .,0 + Raa *) .,0 * + > Raa D) Các bất đẳng thức th ờng gặp : 1. abbaRba 2:, 22 + Dấu bằng khi a=b 2. Bất đẳng thức Cauchy. Với a 1 ,a 2 ,, a n + R : n nn aaanaaa 2121 +++ hoặc n n n aaa n aaa . . 21 21 +++ Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 1 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Hoặc . 21 21 n n n aaa n aaa +++ Dấu bằng khi a 1 =a 2 ==a n . 3. Bất đẳng thức Bunhiacốpki. 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) .() .)( .( nnnn babababbbaaa +++++++++ Với a 1 ,a 2 ,, a n ,b 1 ,b 2 ,, b n R . Dấu bằng khi: n n b a b a b a === . 2 2 1 1 4. Bất đẳng thức Bernonlly. Với .,1)1(:1, + ++ ZnnaaaRa n Dấu bằng khi và chỉ khi a = 0. E) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối: 1. = 0 0 a a a a a 2. *) .,0 Raa *) .,0 * Raa > *) aaa với Ra . Dấu bằng ở vế (1) khi a 0, ở vế (2) khi a 0 . 3. baba ++ Dấu bằng khi ab 0. 4. baba Dấu bằng khi ab 0. 5. baba + Dấu bằng khi ab 0. 6. ababba = Dấu bằng khi ab 0. 7. *) aX với a > 0 aXa . *) aX < với a > 0 aXa << . 8. *) aX với a > 0 aX aX . *) aX > với a > 0 > < aX aX . F) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức trong hình học: 1. Với ba điểm A,B,C tuỳ ý thì: AB + BC AC. Dấu bằng khi: A,B,C thẳng hàng. 2. Với mọi ba, : baba ++ Dấu bằng khi: ba, cùng phơng. 3. Với mọi ba, : baba ++ Dấu bằng khi: ba, cùng phơng. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức $1: Phơng pháp dùng định nghĩa. Để chứng minh: A B Ta lập hiệu A B và chỉ ra A B 0 hoặc B A 0. Từ đó kết luận: A B. Dấu bằng khi: A=B. VD 1 CMR: 2 + a b b a với ab > 0 . VD 2 CMR: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 với ab > 1. VD 3 CMR: 2233 abbaba ++ với ba, 0. Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 2 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức VD 4 CMR: 3344 abbaba ++ với ba, R . VD 5 Cho x,y .,; * RbaR CMR: (ax+by)(bx+ay) (a+b) 2 xy. VD 6 Cho a,b .2; + baR CMR: a 3 +b 3 a 4 +b 4 . VD 7 Cho a,b>0.CMR: ba a b b a ++ . $2: Phơng pháp chứng minh trực tiếp. Để chứng minh: A B Ta biến đổi: A =A 1 =A 2 ==B + C 2 Do C 2 0 Nên: A B. Dấu bằng khi: C=0. VD 1 CMR: 134 2 + aa với Ra . VD 2 CMR: 1 )1( 1 . 3.2 1 2.1 1 < + +++ nn với * Nn . VD 3 CMR: 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a với a,b,c,d > 0. $3: Phơng pháp chứng minh bằng so sánh. Để chứng minh A B Ta biến đổi : A=A 1 =A 2 ==A n . B=B 1 =B 2 ==B n Nếu A n B n thì A B. VD 1 CMR: 200 300 > 300 200 $4: Phơng pháp chứng minh bằng tính chất bắc cầu. Để chứng minh A B. Ta đi chứng minh A C và C B A B. Dấu bằng khi A=C=B. VD 1 CMR: a 2 a + 1 > 0 với Ra . VD 2 CMR: a 2 ab + b 2 0 với Rba , . VD 3 CMR: a 2 > 2(a-1) với Ra . VD 4 Cho a,b,c * + R . CMR: . ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + < + + + + + $5: Phơng pháp chứng minh bằng dùng giả thiết. VD 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). VD 2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a) (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) abc. b) a 3 +b 3 +c 3 +3abc a(b 2 +c 2 )+b(c 2 +a 2 )+c(a 2 +b 2 )> a 3 +b 3 +c 3 +2abc. VD 3 Cho a,b,c [ ] 2;1 và a+b+c=0 CMR: a 2 + b 2 + c 2 6. VD 4 Cho các số nguyên dơng: a,b,p,q,r,s Thoả mãn các điều kiện qr ps =1 Và s r b a q p << .CMR: b q + s. VD 5 Cho a,b,c R và a 2 +b 2 +c 2 = 1. CMR: 0 abc + 2(1 +a +b +c +ab +bc +ca). VD 6 Cho a 1 ,a 2 ,, a n [ ] 1;1 và 0 . 33 2 3 1 =+++ n aaa CMR: a 1 + a 2 ++a n 3 n . VD 7 Cho a,b,c [ ] 2;0 và a+b+c=3 CMR: a 2 + b 2 + c 2 5. $6: Phơng pháp chứng minh bằng phân tích số hạng. VD 1 CMR: )11(2 1 . 3 1 2 1 1 +>++++ n n với * Nn . VD 2 CMR: 2 )1( 1 . 23 1 2 1 < + +++ nn với * Nn . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 3 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức VD 3 CMR: 2 1 . 2 1 1 1 222 <+++ n với * Nn . $7: Phơng pháp chứng minh bằng quy nạp. B 1 Thử trực tiếp với n nhỏ nhất ( có trong bài toán ) bài toán đúng. B 2 Giả xử bài toán đúng với n=k ( với k lớn hơn n đã thử ). PCM: Bài toán đúng với n=k+1. a) Đẳng thức. VD 1 CMR: 1+2+3++ n = 2 )1( + nn . Với n * N VD 2 CMR: 1 2 +2 2 +3 2 ++ n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn . Với n * N b) Bất đẳng thức. VD 1 = = = n i i n i i n i i i a m a m 1 1 2 1 2 )( Với mọi a i ,m i >0,n * N VD 2 = = = n i k i n i k i n i k i k i a m a m 1 1 1 1 1 )( )( Với mọi a i ,m i >0,k * N VD 3 = = = n i i k n i k i n i i k i an m a m 1 2 1 1 )( Với mọi a i ,m i >0,k * N . $8: Phơng pháp chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh A B Ta giả sử A < B từ đây biến đổi dẫn đến trái với giả thiết của bài toán hoặc trái với một điều đã biết trớc đó. Kết lận A B đúng. VD 1 CMR: 2 + a b b a với ab > 0 VD 2 Cho a,b,c >0 và abc=1 CMR: a + b + c 3. VD 3 Cho a,b thoả a+b=2 Chứng tỏ ab<1 và a 4 +b 4 2. $9: Phơng pháp chứng minh bằng h m s A) S d ng miền giá trị . Để chứng minh B < f(x) < A Đặt y=f(x) xác định trên D Khi đó với mọi x thuộc D thì phơng trình f(x) y = 0 có nghiệm. Từ đó suy ra điều kiện: ( ) ABy ; hay B < f(x) < A. VD 1 CMR: 3 1 1 3 1 2 2 + ++ aa aa với a > 0, a R . VD 2 CMR: 3 1 12 12 2 2 > ++ + aa aa với a R . B) S d ng nh lý Lagrange . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 4 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Nếu y=f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba; thì: ( ) ab afbf cfbac = )()( )(:; , Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)<vế(II)<vế(III) mà vế(II) có thể viết thành: ab afbf )()( PP: Chỉ ra y=f(x) liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba; thì: ( ) ab afbf cfbac = )()( )(:; , hay a<c<b thì vế(I)<vế(II)<vế(III) C) S d ng tính đơn điệu của hàm số . hàm số y=f(x) XĐ trên (a;b) nếu: *) ( ) baxxf ;0)( , thì hàm số không giảm trên (a;b) (số điểm có f , (x)=0 là môt số hữu hạn ) *) ( ) baxxf ;0)( , thì hàm số không tăng trên (a;b) (số điểm có f , (x)=0 là môt số hữu hạn ) *) ( ) baxxf ;0)( , = thì hàm số không đổi trên (a;b) Bài toán II: Chứng minh bài toán: f(x)>0 );( bax PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra [ ) Dba ; Tính f(a) chỉ ra f(a) 0 Tính f , (x) và chỉ ra f , (x)>0 );( bax suy ra f(x)>f(a) );(0 bax D) S d ng Y min ;Y Max của hàm số. Bài toán III: Chứng minh bài toán: f(x) 0 1 Dx PP: Tìm tập XĐ: D chỉ ra DD 1 Tìm Y min với x D 1 Chứng tỏ 0 min Y từ đó suy ra 0)(: min1 = YxfyDx E) S d ng tính chất của hàm số lồi,lõm(BĐT JENSEN) . *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f ,, (x)>0 );( bax thì );(; .;; 21 baxxx n ta có: +++ +++ n xxx nfxfxfxf n n . )( .)()( 21 21 Dấu = khi x 1 =x 2 = .=x n *) Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 f ,, (x)<0 );( bax thì );(; .;; 21 baxxx n ta có: +++ +++ n xxx nfxfxfxf n n . )( .)()( 21 21 Dấu = khi x 1 =x 2 = .=x n Bài toán IV: Để CM: kxfxfxf n +++ )( .)()( 21 với );(; .;; 21 baxxx n Hoặc Để CM: kxfxfxf n +++ )( .)()( 21 với );(; .;; 21 baxxx n PP: Chỉ ra hàm số y=f(x) trên (a;b) thỏa mãn: f ,, (x)>0 );( bax hay f ,, (x)<0 );( bax và k n xxx nf n = +++ . 21 Bài tập 1: CMR 2 1 1 1 2 + + < xx x Bài tập 2: CMR 3 1 4 cos 1 2 cos1cos1cos2 22 2 + + + + x x x x Bài tập 3: CM các BĐT sau: a) 2 3 2 sin 2 sin 2 sin ++ CBA với A,B,C la số đo các góc trong của 1 tam giác b) a ab a b b ab << ln với 0<a<b c) ) 2 ;0(222 1tansin + + x xxx Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 5 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài tập 4: CMR ne xx n 2 1 1 < với n )1;0(, * xN ,e = x x x + + 1 1lim Bài tập 5: CMR a) * ;0;, 22 NnbaRba baba nn n + + + HD xét y=x n +(c-x) n với c>0 b) Rxqpxx ++ 0 4 khi và chỉ khi 43 27256 pq với Rqp , c) Nếu 43 27256 pq với Rqp , thì Rxpxqx ++ 01 34 d) ! . !2 1 2 n xx xe n x ++++> với n 0, * > xN ,e = x x x + + 1 1lim e) xx x xx <<> sin 6 :0 3 Bài 6: CMR nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn 3 thì (n+1)x n+2 -3(n+2)x n+1 +a n+2 =0 VN Bài 7: m>0;a,b,c bất kỳ thỏa 0 12 =+ + + + m c m b m a thì ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) $10: Phơng pháp chứng minh bằng biến đổi tơng đơng. VD 1 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 ab+bc+ca. VD 2 Cho a,b,c,d R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 +d 2 +1 a+b+c+d. VD 3 Cho a,b,c R . CMR: 4 2 a + b 2 + c 2 ab-ac+2bc. VD 4 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 +1 2a( ab 2 -a+c+1). VD 5 Cho a,b,c R . CMR: a 2 + b 2 + c 2 3 1 . Với a+b+c=1. VD 6 Cho a,b,c R . CMR: 3 2 a + b 2 + c 2 ab+bc+ca. Nếu abc=1 và a 3 >36. VD 7 Cho a,b R . CMR: ba ba + 22 2 2 . Nếu ab=1 và a>b. VD 8 Cho a,b R . CMR: a 2 + b 2 + 1 ab+a+b. VD 9 Cho a,b,c [ ] 1;0 . CMR: a 2 + b 2 + c 2 1+a 2 b+b 2 c+c 2 a. VD 10 Cho a,b,c [ ] 2;0 và a+b+c=3. CMR: a 2 + b 2 + c 2 5. $11: Phơng pháp chứng minh bằng hình học-vộc t. bài 1: 222222 2)()( zxzyxzyx +++++ HD: a (x+y;z); );( zyxb .Với: x,y,z R. Bài 2: mymxymx 2)()( 2222 ++++ HD: a (x-m; y); );( ymxb .Với: x,y,m R. Bài 3: 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 )()()()()()( bbaaybxaybxa ++++ Với: x,y,a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 R. HD: A(x;y), B(a 1 ;b 1 ), C(a 2 ;b 2 ). Bài 4: 222222 )()( dbcadcba ++++++ Với: a,b,c,d R HD: );(),;( dcvbau . Bài 5: 222222 )()( dbcadcba ++++ Với: a,b,c,d R HD: );(),;( dcvbau . Hoặc A(a;b), B(c;d) và có: OA+OB AB. Bài 6: 2222 . dbcacdab +++ Với: a,b,c,d R . HD: ).;(),;( dbvcau và có: vuvu . . Bài 7: Tìm giá trị N 2 của y= 2222 2222 qqxxppxx +++ Với: p,q R và p<0; q>0. HD: A(p;p); B(q;q); M(x;0) và có: MA+MB AB. Từ đó Miny= 2 (q-p) khi: M O. Tổng quát: Với: p,q R.Đặt A(x-p; )p , B(x-q; )q . Thì: OA+OB AB= 22 )()( qpqp + . Bài 8: Tìm giá trị LN & NN của: y= 2 14 x x + Với : x [ ] 2;0 HD: ).2;(),22;1( xxvu ta có: cos23),cos( 2 14 ==+= vuvu x xvu .Max y=3 2 khi: 9 2 22 2 1 = = x xx . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 6 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức khi đó vu // còn Min y= 2 khi đó v cùng phơng Ox hay 1- 0 2 = x 2 = x . Bài 9: )1(5383 22 ++ xxx HD: ).2;1(),4;3( 2 xxvu Và có: vuvu . Bài 10: Tìm giá trị N 2 của y= 13cos6cos2cos2cos 22 ++++ HD: A(1;1-cos ); B(3;4), C(1;0). 201 +=++= CBOCABOAy Bài 11: Chứng minh rằng: 2sinsincoscos 2244 +++ . )sin;0(),;(sin),cos;(cos: 2222 wovuHD và có: wvuwvu ++++ Bài 12: Chứng minh rằng: 2)(sinsinsin4)(sincoscos4 222222 +++ yxyxyxyx HD: M(2cosxcossy;sin(x-y)), N(-2sinxsiny;-sin(x-y)) và có: OM+ON MN . Bài 13: Chứng minh rằng: 1111 22 <+++< xxxx HD: M(x;0), ) 2 3 ; 2 1 (A , ) 2 3 ; 2 1 ( B và có: 1 = ABMBMA bằng khi OM//AB loại. Bài 14: Chứng minh rằng: 222222 zyzyzxzxyxyx +++++++ HD: ) 2 3 ; 2 (), 2 3 ; 2 ( z z xvy y xu + khi đó: VT= VPzy zy vu =++ + 22 )( 4 3 ) 2 ( Bài 15: Chứng minh rằng: 3 222 222222 + + + + + ca ca bc bc ab ab Với: a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc HD: ) 2 ; 1 (), 2 ; 1 (), 2 ; 1 ( ac w cb v ba u và: wvuwvu ++++ = 3) 111 (2) 111 ( 22 =+++++ cbacba Bài 16: Cho: x,y,u,v R và: x 2 +y 2 =u 2 +v 2 =1 chứng minh: 2)()(2 ++ vuyvux HD: );(),;( vuvubyxa + thì: VT= 2)()( 2222 =+++ vuvuyxba =VP Bài 17: Cho: a,b,c R và: >> > 0cb bca Chứng minh rằng: abcbccac + )()( HD: );(),;( ccavcbcu và có: abccacbcvuvu =++= Bài tập rèn luyệ n Bài 1: Cho a,b,c * + R . CMR: 6 + + + + + b ac a cb c ba . Bài 2: Cho a,b,c * + R . CMR: .9) 111 )(( ++++ cba cba Bài 3: Cho a,b * + R . CMR: . 411 baba + + Bài 4: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + x 3 . Bài 5: Cho a,b * + R . CMR: 222 3322 bababa + + ì + . Bài 6: Cho .0 ba . CMR: 11 + + b b a a . Bài 7: Cho a,b R . CMR: b b a a ba ba + + + + 111 . Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x +3)(5-x). Với 53 x . Bài 9: Với x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 1 2 x . Bài 10: Cho a,b,c R và a 2 +2b 2 +9c 2 =3. CMR: .692 ++ cba Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 7 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số: f(x) = xx + 41 . Bài 12: a) Cho a,b,c R . CMR: ).(3)( 2222 cbacba ++++ b) Cho a,b,c,d R v b<c<d c hoặc d<c<b. CMR: ).(8)( 2 bdacdcba +>+++ Bài 13: Cho a,b,c + R . CMR: .) 4 ( 4 abcd dcba +++ Bài 14: Cho a,b R và a 2 +b 2 =1. CMR: .2 + ba Bài 15: a) Cho a,b R và 4a - 3b = 15. CMR: .9 22 + ba b) Cho a,b R và 3a + 5b = 7. CMR: . 34 49 22 + ba c) Cho a,b R và 4a + b = 1. CMR: 5 1 4 22 + ba . Bài 16: Cho a,b R và 1,1 << ba . CMR: .1 abba +<+ Bài 17: a) Cho a,b + R . CMR: b b a a ba ba + + + ++ + 111 . b) Cho a,b + R và ab 1. CMR: ba ab + + + + 1 1 1 1 1 2 . c) Cho a,b,c,d>0, dcba và 1 bd .CMR: dcba abcd + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 . Bài 18: CMR: 2 1 2 1 . 2 1 1 1 >++ + + + nnn với * Nn . Bài 19: Cho a,b,c + R . CMR: .cabcabcba ++++ Bài 20: Cho a,b,c R . CMR: ).( 222222 cbaabcaccbba ++++ Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x x 1 + . Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 1 2 2 2 + + x x . Bài 23: Cho a R . CMR: 4 2 6 2 2 + + a a . Bài 24: a) Cho a,b,c * + R . CMR: .9 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + abccabbca b) Cho a,b,c * + R . CMR: . 2 111 222 abc cba abccabbca ++ + + + + + c) Cho a,b,c * + R . CMR: . 1111 333333 abc abcacabccbabcba ++ + ++ + ++ d) Cho a,b,c,d * + R . CMR: . 11111 444444444444 abcd abcdbadabcdbacabcddcbabcdcba +++ + +++ + +++ + +++ e) Tổng quát cho bài toán trên. Bài 25: Với x> -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2 2 + x . Bài 26: Với x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x 2 + x 1 . Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2-x)(2x+1). Với: -0,5< x < 2. Bài 28: Cho a,b 0 . CMR: a) 42 )()(16 babaab + . b) (1+a+b)(a+b+ab) 9ab. c) 3a 3 +7b 3 9ab 2 . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 8 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 29: Cho a,b R và a+b =2. CMR: .2 44 + ba Bài 30: a) Cho a,b * + R . CMR: 2 + a b b a . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .3 ++ a c c b b a c) Tổng quát bài toán trên. Bài 31: a) Cho a,b * + R . CMR: 4) 11 )(( ++ ba ba . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .9) 111 )(( ++++ cba cba c) Tổng quát bài toán trên. Bài 32: Cho a,b,c * + R và a+b+c = 1. CMR: c c b b a a + + + + + 1114 3 . Bài 33: a) Cho a,b,c 4 3 và a+b+c=3. CMR: .34343473 +++++ cba b) Cho a,b,c 4 1 và a+b+c=1. CMR: .14141421 +++++ cba Bài 34: Cho a,b R và a+b 0 . CMR: )(4))()(( 995533 babababa ++++ . Bài 35: a) Cho a,b,c R . CMR: 444 )( cbacbaabc ++++ . b) Cho a,b;x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR: 4444 )()()()3(3 z b a y b a x b aba ++++++ . Bài 36: Cho a,b,c,d R . CMR: a) 2222 ))(( dcbadcba +++++ . b) (a 2 +1)(b 2 +2)(c 2 +4)(d 2 +8) (ac+2) 2 (bd+4) 2 . Bài 37: a) Cho a,b * + R . CMR: 2 22 ) 2 ( 2 baba + + . b) Cho a,b,c * + R . CMR: .) 3 ( 3 2 222 cbacba ++ ++ c) Tổng quát bài toán trên. Bài 38: Cho a,b,c + R . CMR: .8))()(( abcaccbba +++ Bài 39: a) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 3 + + + + + ba c ac b cb a . b) Cho a,b,c,d * + R . CMR: 2 + + + + + + + ba d ad c dc b cb a . c) Cho a,b,c * + R . CMR: cbabaaccb ++ + + + + + 9222 . d) Cho a,b,c,m * + R và m>1. CMR: cbaba m ac m cb m xxxxxx ++ + + + + + 9222 133221 . e) Cho a,b,c,m,n * + R . CMR: nmnbma c namc b ncmb a + + + + + + 3 . Bài 40: Cho a,b,c * + R . CMR: 2 15 + + + + + + + + + + + ba c ac b cb a b ac a cb c ba . Bài 41: a) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . b) Cho a,b,c * + R . CMR: 2 222333 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 9 Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức c) Cho: a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: 2 9111 + + + + + baaccb . Bài 42: a) Cho a,b,c * + R . CMR: cba c ab b ca a bc ++++ . b) Cho a,b,c * R . CMR: b c a b c a c b b a a c ++++ 2 2 2 2 2 2 . c) Cho a,b,c * R . CMR: a c c b b a c b b a a c ++++ 2 2 2 2 2 2 . Bài 43: Cho a,b,c,d 0 . CMR: .6))(())(())(( 4 abcdcbdadbcadcba ++++++++ Bài 44: Cho a,b + R . CMR: .)1()1)(1( 2 abba +++ Bài 45: Cho a,b,c + R . CMR: .)1()1)(1)(1( 3 3 abccba ++++ Bài 46: a) Cho a,b,c R . CMR: .6)1()1()1( 222222 abcaccbba +++++ b) Cho a,b,c R . CMR: .0)()()( 222 ++ acaccbcbbaba Bài 47: a,b,c là độ dài của ba đoạn thẳng thoả mãn: a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 > 2 1 (a 4 +b 4 +c 4 ). CMR: Ba đoạn thẳng đó có thể dựng đợc một tam giác. Bài 48: CMR: n n n <+ ) 1 1( . Với: n N và n > 2. Bài 49: CMR: nn nn <+ + 1 1 . Với: n N và n 2. Bài 50: CMR: 3) 1 1(2 <+< n n . Với: n N và n 2. Bài 51: Cho a 1 ,a 2 >0; a 1 c 1 2 1 b và a 2 c 2 2 2 b . CMR: (a 1 +a 2 )(c 1 +c 2 ) (b 1 +b 2 ) 2 . Bài 52: Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 và a 1 +a 2 ++a n 2 1 .CMR: (1-a 1 )(1-a 2 )(1-a n ) 2 1 . Với: n N . Bài 53: Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 . CMR: (1+a 1 )(1+a 2 )(1+a n ) n n aaa .2 21 . Với: n N . Bài 54: a) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: 64) 1 1) .( 1 1)( 1 1( +++ cba . b) Cho: a 1 ,a 2 ,,a n 0 và a 1 +a 2 ++a n =1. CMR: n n n aaa )1() 1 1) .( 1 1)( 1 1( 21 ++++ . Với: n N . Bài 55: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi . a) CMR: .3pcpbpapp ++< b) CMR: 8(p-a)(p-b)(p-c) abc. c) CMR: cbacpbpap 222111 ++ + + . Bài 56: Cho a,b * + R và a 3 +b 3 =a-b . CMR: a 2 +b 2 <1 . Bài 57: Cho a,b,c * + R . CMR: 3 22 2 22 2 22 2 cba acac c cbcb b baba a ++ ++ + ++ + ++ . Bài 58: Cho a i ,bi,i= n,1 ; a i * , + RbR i và n n b a b a b a <<< . 2 2 1 1 CMR: n n n n b a bbb aaa b a < +++ +++ < . . 21 21 1 1 . Bài 59: Cho a i , i= n,1 ; a i + R và a 1 +a 2 ++a n =1.CMR: 2 1 113121 +++++ n aaaaaaaa nnn Bài 60: CMR: 1.3.5(2n-1) n n Với: n N Bài 61: Cho x,y,z + R và x+y+z=a. CMR: .8))()(( xyzzayaxa Bài 62: a) Cho a>b>0.CMR: 3 )( 1 + bab a . Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn. 10 [...]...Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 4 3 ( a b)(b + 1) 2 1 2 2 c) Cho a>b>0.CMR: a + b( a b) 2 b) Cho a>b 0.CMR: a + d) Cho a,b R, a 1 a 2 a 3 +1 & > 1 CMR: 3 4b( a b) 2 b e) Cho a1>>an>0 và 1 k N CMR: a1 + Bài 63: CMR:... n2 n(n +1) + + + = 1.3 3.5 ( 2n 1)(2n +1) 2( 2n +1) b) CMR: 12 22 32 100 2 + + + + < 26 1.3 3.5 5.7 199.201 Lu hành nội bộ 11 với n N * Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 1 1 1 n + + + = 1.5 5.9 ( 4n 3)(4n + 1) 4n + 1 1 1 1 1 + + + < CMR: 1.5 5.9 (4n 3)(4n + 1) 4 Bài 82: a) CMR: b) với n N * Bài 83: a) CMR: 1.1!+2.2!+3.3!++100.100! 3 4 > > n 1 n > n n + 1 với n N * Bài 100: a) Cho a,b R; a + b 0 CMR: Lu hành nội bộ a3 + b3 a+b 3 ( ) 2 2 12 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức b) Cho a,b R+ CMR: a +b a+b n ( ) 2 2 n n n Bài 101: CMR: (n + 1)(2n + 1) (n!) < 6 Bài 102: Gọi x2, x2 cx1 dx2 = 0 là nghiệm của hệ: x1 + x2 = 1 2 với n N với: c, d >0 CMR: x1x2... f(x,y)=(x-2y+1)2+(2x+ay+5)2 tuỳ theo a R Bài 118: Cho a,b,c,d R và a2 +b2 +c2 +d2 =1 CMR: (t2+at+b)2+(t2+ct+d)2 (2t2+1)2 Lu hành nội bộ 13 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức ab c 2 + bc a 3 + ca b 4 1 1 1 * + + < 0,9 Bài 119: Cho a,b,c,d R+ và a 3, b 4, c 2 CMR: abc 2 2 Bài 120: Cho a,b,c là ba cạnh của ABC vông tại A CMR: an>bn+cn với n N , n > 2 Bài 121:... f(x,y,z)= ( x + y + z) 6 xy 2 z 3 c) Cho x1,x2,,xn >0 Tìm Min f(x1,x2, ,xn)= Lu hành nội bộ 14 ( x1 + x 2 + + x n )1+ 2+ + n 2 3 n x1 x 2 x3 x n Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Bài 138: a) CMR: A=sin2xcosx 2 3 9 b) CMR: A=sinmxcosnx m m n n ( m + n) m + n Với mọi 1 m, n N 1 m 1 ) < (1 + ) n với mọi m < n N m n 2 +1 3 3 +1 n +1 + + + n < n + 1 với n N * Bài... p2+q2-a2-b2-c2-d2>0.CMR: (p2-a2-b2)(q2-c2-d2) (pq-ac-bd)2 2 2 2 2 Cho ai,bi với i= 1, n ; ai,bi R và a1 a 2 a3 a n > 0 Lu hành nội bộ 15 Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 CMR: (a1 a 2 a n )(b1 b2 bn ) (a1b1 a 2 b2 a n bn ) 2 e) Cho a,b R CMR: (a+b)2-ab+1 (a + b) 3 f) Cho a,b,c,d R CMR: (a2 -b2)(c2 d2) (ac bd ) 2 g) Cho tam giác... 167: Cho a,b,c R+ CMR: + 2 2+ 2 2 + + 2 2 b +c c + a a +b b+c c+ a a+b Bi 168: a) Cho tam giác ABC CMR: a4+b4+c4 16S2 16 Lu hành nội bộ Chủ biên: Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức 2 2 2 b) Cho tam giác ABC CMR: a b(a-b) +b c(b-c) +c a(c-a) 0 a1 a 2 a3 (1 a1 )(1 a 2 )(1 a 3 ) 1 Bi 169: a) Cho a1,a2,a3 0; CMR: (a1 + a 2 + a3 ) 2 (3 a1 a 2 a 3 ) 2 2 a1 a 2 a... Nguyễn văn Bốn Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Từ đó suy ra điều kiện: y ( B; A) hay B < f(x) < A 1 a2 + a +1 VD1 CMR: 3 với a > 0, a R 3 a2 a +1 2a 2 a + 1 1 VD2 CMR: với a R > 2a 2 + a + 1 3 Chủ đề: Bất đẳng thức B) S dng nh lý Lagrange f (b) f (a ) ba f (b) f (a ) Bài toán I: Chứng minh bài toán: vế(I)3 thì (n+1)xn+2-3(n+2)xn+1+an+2=0 VN Bài 7: a) a,b,c bất kỳ thỏa 4a+3b+3c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2) b) a,b,c bất kỳ thỏa 2a+3b+6c=0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) c)m>0;a,b,c bất kỳ: a b c + + = 0 thì ax2+bx+c=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) m + 2 m +1 m d) CMR: với mọi a,b,c,d acos4x+bcos3x+ccos2x+dcosx=0 . Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ Chủ đề: Bất đẳng thức Chủ đề : Bất đẳng thức A) Định Nghĩa: Bất đẳng thức là biểu thức có dạng: A>B; A<B; .; BABA . .,0 + Raa *) .,0 * + > Raa D) Các bất đẳng thức th ờng gặp : 1. abbaRba 2:, 22 + Dấu bằng khi a=b 2. Bất đẳng thức Cauchy. Với a 1 ,a 2 ,, a n + R

Ngày đăng: 19/06/2013, 01:25

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan