1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG ANH TUẤN MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên – 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Leonardo Pisano Bogollo (1170–1250), biết đến với tên Leonardo Pisa Fibonacci nhà toán học người Ý tài ba thời Trung Cổ Fibonacci có công giới thiệu hệ đếm Hindu – Ả Rập Châu Âu đặc biệt tiếng với dãy số mang tên Ông, dãy Fibonacci, Ông người nghiên cứu dãy số sách Liber Abbaci (sách tính toán) xuất năm 1202 Dãy Fibonacci dãy số đẹp toán học Dãy Fibonacci xuất nhiều lĩnh vực tự nhiên, với nhiều tính chất đẹp ứng dụng quan trọng Một phát triển quan trọng dãy Fibonacci dãy Lucas Sau Fibonacci, nhiều nhà khoa học nghiên cứu dãy Fibonaci: Cassini (1625–1712), Catalan (1814–1894), Lucas (1842–1891), Binet (1857–1911), D’Ocagne (1862– 1938),…Và nhiều hệ thức dãy Fibonacci mang tên nhà khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng chưa có nhiều, có vài luận văn dãy Fibonacci, nhiên nhiều vấn đề thú vị dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng chưa đề cập Vì việc nghiên cứu phổ biến kiến thức đề tài này, theo thú vị cần thiết Mục đích nghiên cứu Tập hợp chứng minh hệ thức cho dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng Bố cục luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Luận văn Một số hệ thức dãy Fibonacci suy rộng gồm hai chương Chương Dãy Fibonacci suy rộng Chương trình bày số kiến thức dãy Fibonacci, dãy Fibonacci suy rộng số dãy số liên quan Chương Một số hệ thức dãy Fibonacci suy rộng Chương tập hợp chứng minh hệ thức cho dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương I DÃY FIBONACCI SUY RỘNG 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng thực chất phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Vì vậy, mục trình bày công thức nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai trường hợp hai nghiệm phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt Kiến thức đủ để áp dụng vào dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng 1.1.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình có dạng Aun Bun Cun (1.1.1) 0, n 1,2, , A 0, B, C số 1.1.2 Công thức nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình (1.1.1) có phương trình đặc trưng A B C (1.1.2) Mệnh đề 1.1 Giả sử phương trình (1.1.2) có hai nghiệm phân biệt Khi phương trình (1.1.1) có nghiệm un C1 n C2 n , (1.1.3) C1 C2 số bất kì, gọi số tự Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chứng minh Vì A B hai nghiệm phương trình (1.1.2) nên C A B C Thay (1.1.3) vào phương trình (1.1.1) ta được: Aun Bun Cun A C1 C1 n n A n C2 B B C1 C n C2 n C2 A n C C1 B C n C2 n C1, C2 Vậy (1.1.3) nghiệm phương trình (1.1.1) Nếu biết điều kiện ban đầu u0 u1 ta tìm hai số tự C1 C2 , nghiệm hoàn toàn xác định Ví dụ1.1 Tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai un 3un với điều kiện ban đầu u0 7, u1 (1.1.4) 28un Giải: Phương trình đặc trưng phương trình (1.1.4) 28 7, Vậy nghiệm tổng quát phương trình (1.1.4) un Với n ta có u0 C1.7 n C1 C2 hay C1 C2 C2 n Với n ta có u1 C1.7 C2 hay 7C1 4C2 C1 C2 7C1 4C2 Giải hệ phương trình ta C1 2; C2 Vậy nghiệm phương trình (1.1.4) với điều kiện ban đầu u0 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 7, u1 http://www.lrc.tnu.edu.vn n un = 2.7 n + 1.2 Các phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt 1.2.1 Dãy Fibonacci 1.2.1.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci dãy cho phương trình sai phân tuyến tính cấp hai un un un 0, n = 1,2, , với điều kiện ban đầu u0 (1.2.1) 0, u1 =1 Công thức (1.2.1) viết dạng un un un , n = 1,2, , u0 0, u1 = 1.2.1.2 Công thức số hạng tổng quát dãy Fibonacci Phương trình đặc trưng (1.2.1) có nghiệm , Công thức nghiệm tổng quát phương trình (1.2.1) un C1 n C2 n , C1 C2 số tự Với u0 0, u1 ta có C1 C2 C1 C2 0; C1 C2 1 ; Vậy số hạng tổng quát dãy Fibonacci có công thức Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn n un n Ta chứng minh un n 5 n Thật vậy, với n n ta có: u1 1 5 2 5 1, u2 5 Với n 3, theo định nghĩa dãy Fibonacci theo qui nạp ta có n un un un n n n 2 n n n n n 5 n Như vậy, dãy un dãy Fibonacci Fn thỏa mãn F0 n Fn , n n 0, F1 n , nghiệm phương trình bậc hai Để tôn vinh Fibonacci, người ta thường kí hiệu dãy Fibonacci dạng dãy Fn Từ sau ta sử dụng kí hiệu Fn cho dãy Fibonacci 1.2.2 Dãy Lucas 1.2.2.1 Định nghĩa Dãy Lucas dãy cho phương trình sai phân tuyến tính cấp hai un un un 0, n = 1,2, , với điều kiện ban đầu u0 2, u1 =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.2) Như vậy, dãy Lucas có phương trình đặc trưng 0, hoàn toàn trùng với phương trình đặc trưng dãy Fibonacci Hai dãy số khác điều kiện ban đầu 1.2.2.2 Công thức số hạng tổng quát dãy Lucas Công thức nghiệm tổng quát phương trình (1.2.2) un n C1 n C2 , C1 C2 số tự Với u0 2, u1 ta có C1 C2 C1 C2 C1 1, C2 n Vậy công thức tổng quát dãy Lucas un Kí hiệu L0 Ln n dãy Lucas Khi ấy, số hạng tổng quát dãy Lucas 2, L1 Ln n n , nghiệm phương trình , 1.2.3 Dãy Jacobsthal 1.2.3.1 Định nghĩa Dãy Jacobsthal dãy cho phương trình sai phân tuyến tính cấp hai un un u0 2un , n = 1,2, , 0, u1 =1 1.2.3.2 Công thức nghiệm tổng quát dãy Jacobsthal Phương trình đặc trưng (1.2.3) Phương trình đặc trưng có nghiệm 2 1, 2 Công thức nghiệm tổng quát phương trình (1.2.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.3) un Với u0 C1 n n C2 0, u1 ta có C1 C2 C1 C2 , C2 C1 Vậy công thức tổng quát dãy Jacobsthal un Kí hiệu J n J0 n n dãy Jacobsthal Khi ấy, số hạng tổng quát dãy Jacobsthal 0, J1 J n 3 n n , nghiệm phương trình , 1.2.4 Dãy k Fibonacci 1.2.4.1 Định nghĩa Dãy k Fibonacci dãy cho hệ thức truy hồi Fn kFn F0 Fn , n =1,2, , (1.2.4) 0, F1 =1 1.2.4.2 Công thức tổng quát dãy k Fibonacci Phương trình (1.2.4) có phương trình đặc trưng k2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm k , k2 k Công thức nghiệm tổng quát phương trình (1.2.4) Fn Với F0 C1 n n C2 0, F1 ta có C1 C2 C1 C2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN C1 k2 , C2 k2 http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 Vậy Fn k k n n , nghiệm phương trình , Với k ta trở dãy Fibonacci 1.2.5 Dãy k Lucas 1.2.5.1 Định nghĩa Dãy k Lucas dãy đuợc cho hệ tthức truy hồi Ln kLn L0 Ln , n =1,2, , (1.2.5) 2, L1 = k 1.2.5.2 Công thức hệ số tổng quát dãy k Phương trình đặc trưng (1.2.5) k Lucas Phương trình đặc trưng có nghiệm k2 k k2 k , Công thức nghiệm tổng quát phương trình (1.2.5) Ln Với L0 2, L1 C1 C2 C1 C2 Vậy Ln n C2 n k ta có k n C1 n C1 1, C2 , , nghiệm phương trình k Với k ta trở dãy Lucas 1.2.6 Dãy k Jacobsthal 1.2.6.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal dãy cho hệ thức truy hồi J n kJ n J0 J n , n = 1,2, , 0, J1 = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.6) 49 Hệ thức 2.3.3 n Gn 1Gn Gn2 cd a2 (2.3.3) , ab b2 Chứng minh Ta có Gn 1Gn Gn2 c n = cd d n n n n = c = n 2 n n d n n = n n c n n 2cd n 2 d n Do n Gn 1Gn Gn2 Đặc biệt, Ln Ln L2n n 1 Hệ thức 2.3.4 (Koshy, 1998) 5Gn k Gn L2 n k n k (2.3.4) L2 k Chứng minh Ta có 5Gn k Gn k c n k d n k c2 2n d2 2n 2n n k c 1 n k n k n k cd 2n 5L2 n d n k 2k 2k L2 k L2 k Vậy 5Gn k Gn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN k L2 n n k L2 k http://www.lrc.tnu.edu.vn 50 Hệ thức 2.3.5 (Koshy, 1998 ) Gn2 Gn2 3a b G2 n (2.3.5) F2 n Chứng minh Ta có Gn2 Gn2 n c n d n c n d c2 n 2 d2 n (1 ) 2cd c2 n 2 d2 n (1 ) c2 n 3a b G2 n d2 n F2 n n 1 (*) 3a b c 2n d 2n 2n 2n c d c 2n d 2n 2n 2n c2 2n d2 2n (**) Từ (*) (**) suy điều phải chứng minh Hệ thức 2.3.6 (Umansky, 1956) Gn2 Gn2 (2.3.6) 4Gn 1Gn Chứng minh Ta có Gn2 4Gn 1Gn c2 2n d2 2n 2cd c2 2n d2 2n 2cd L2 n L2 n 5Gn2 n n 20 L2 n n d c n d n n c2 n d2 n cd n c2 n d2 n cd n L2 n n c 20 L2 n d n n n n n c c n d n c2 n d2 n 2cd n 5L2 n n Vậy Gn2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Gn2 4Gn 1Gn http://www.lrc.tnu.edu.vn 51 Hệ thức 2.3.7 (Horadam, 1971) Gn2 Gn2 Gn2 Gn2 (2.3.7) Chứng minhTa có Gn2 Gn2 n c n d n c n d c2 2n d2 2n c2 2n d2 2n c2 2n d2 2n c2 2n d2 2n L2 n L2 n 30 L2 n Gn2 Gn2 n 2cd 40 L2 n c n n d n c d n 2 c2 2n d2 2n c2 2n d2 2n 2 c2 2n d2 2n c2 2n d2 2n 10 L2 n 10 L2 n 30 L2 n 2cd n 1 40 L2 n Vậy Gn2 Gn2 Gn2 Gn2 Hệ thức 2.3.8 (Tagiuri, 1901) Gn k Gn Gn2 k n k Fk2 (2.3.8) Chứng minh Ta có Gn k Gn c2 2n cd cd cd Gn2 k d2 n k n k c 2n n-k cd n k n k n k 2k n k k d n k n k k c n k n k n-k n k d c2 2n c d2 n 2n d n 2cd n n 2cd k n k 2k n k Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN k k http://www.lrc.tnu.edu.vn 52 Vậy Gn k Gn Gn2 k n k 1 Fk2 Hệ thức 2.3.9 Gm 1Gn GmGn 1 n (2.3.9) Fm n Chứng minh Ta có Gm 1Gn c c2 c2 GmGn m m d m n d2 m n m n cd m n cd n 5cd 1 n m m n m n n d m cd m m 1 n m n m n m c m cd m n n 1 n c m n d2 cd n n n m d n d n m n n n c m m 1 m n m n Vậy Gm 1Gn GmGn 1 n Fm n Hệ thức 2.3.10 (D Zeitlin, 1965) Gn2 3Gn2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Gn2 n http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.3.10) 53 Chứng minh Ta có Gn2 3Gn2 Gn2 n c c2 2n d2 c2 2n c 2n n 2cd n d 3d c 2n c2 d 2n n d2 2n n 2cd 2n n 1 n 10cd n 5.2cd 5.2 2n d2 n d n n 2cd 3c 6cd n n 1 Vậy Gn2 3Gn2 Gn2 n Hệ thức 2.3.11 (Ruggles, 1963) Gn Gm Fn (2.3.11) Gm 1Fn m m Chứng minh Ta có Gm Fn m Gm 1Fn m c m m d c n d n m c n c m c n c n n m n d m d c n c n m d n n n c d d n d d n n d n m d m c n d n m 1 c n m c n m c n m m d m n m n m m n m n 1 Do Gn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Gm Fn m Gm 1Fn m http://www.lrc.tnu.edu.vn n m 54 Hệ thức 2.3.12 Gm (2.3.12) Gm Fn Gm 1Fn n Chứng minh Ta có Gm Fn Gm 1Fn c m c m n c m c m n c m c m d n m n d n c n d m n c m n d m n n m \ d c m n n d m m n d d d n m n n m n d m 1 n m m n c m n Do Gm Gm Fn Gm 1Fn n Hệ thức 2.3.13 (Koshy, 1998) Gn r Gn Gn r Gn r r L2 n 2abL2 n b2 L2 n L2r 2 n r (2.3.13) Chứng minh Ta có Gn r Gn Gn r Gn r a Fn2 a L2 n L2 r a L2 n L2 n Fn2 r r b L2 n 2abL2 n aFn r b Fn2 r n r 2abL2 n 2 bFn r 2 Fn2 r 4a 2 L2 r b L2 n L2 r n r n r n r 4b bFn r 2ab Fn b L2 n L2 r aFn r r r Fn r Fn r 2ab L2 n L2 r n r 4ab Fn r 1 n r n r Vậy Gn r Gn r Gn r Gn r Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2 n 2abL2 n b2 L2 n L2 r n r http://www.lrc.tnu.edu.vn 55 2.4 Một số hệ thức dãy Lucas Hệ thức 2.4.1 (Tadlock, 1965) L2 k L2 j L2 L2k k j j k j (2.4.1) Chứng minh Ta có L2 k L2 j 2k 2k 2j 2j 1 = 2k j 2k j = 2k j 2k j 2k 2j 2j k j k j 2k j k j k k j Mà Cộng trừ với L2 k L2 j 2k k j j k j k k j k j j k k j k j j k k j k j j k 2k j j k 2k j , biểu thức trở thành 2k 2j 2j 1 = 2k j = k j =L2 2k j k j k j 2j k j 2k j j k 2k j k j =L2 k j k j k j 2k j 2k j k j j k j k k j k j k j k j k j k j =L2 k j L2k j k j Vậy L2 k L2 j L2 k j L2k j k j Hệ thức 2.4.2 L2n Fn2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n (2.4.2) http://www.lrc.tnu.edu.vn 56 Chứng minh Ta có L2n n n 2n 2n 2n 2n 2n 2 2n n n n n n n n n n Fn2 L2n Fn2 n Vậy n Nhận xét Từ Hệ thức 2.4.1 Hệ thức 2.4.2 ta dễ dàng chứng minh L2k L2k j j n L2k 5Fk2 j j 5Fk2 j L2k j Hệ thức 2.4.3 (Tadlock, 1965) L2 L2 k L2 j 2j 2j 5Fk2 j k j (2.4.3) Chứng minh Ta có: L2 k L2 j 2k 2k 1 = 2k j = k j 2k j k j 2j =L2 k j k j 2k j 2k j k j k j =L k j k j k j j k 2k j k j 2k j k j j k k j k j =L2 k j Fk2 j Vậy L2 k L2 j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2 k j 5Fk2 j http://www.lrc.tnu.edu.vn j k k j 57 Hệ thức 2.4.4 (Tadlock, 1965) L2 j 1L2 j 5Fk2 j L2k j (2.4.4) Chứng minh Ta có L2 k L2 j 2k 2k 2j 2j 1 = 2k j k 2k j j =5 k k j k j k j k j k 2j 2k j 2k j 2k j k j j k j k k j 2k j k j k j = 5F 2 k j k j k j = 5F k j j = 5F j 5L2k j k j Vậy L2 j 1L2 j 5Fk2 j L2k j Hệ thức 2.4.5 (Hoggatt, 1965) Ln Ln n L2 n 1 (2.4.5) Chứng minh Ta có n Ln Ln n n 2n 2n 2n 2n n Ln Ln L2 n n n n n n L2 n n Vậy n Hệ thức 2.4.6 (Koshy, 1998) Ln Ln Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2n n (2.4.6) http://www.lrc.tnu.edu.vn 58 Chứng minh Ta có Ln Ln L2n n n 2n n 2n n n n n n n n n 2n 2n n n 2 2 n n Ln Ln n Vậy L2n n 2m 2n n Hệ thức 2.4.7 (Lind&Hoggatt, 1964) L2 m L2 n L2m n L2m m n (2.4.7) Chứng minh Ta có 2m L2 m L2 n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n L2m 2n 2m 2n 2n 2m 2n 2m 2n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n L2m n m n 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n m n n 2m m n m n m n m n 2n 1 m n Vậy L2 m L2 n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2m n L2m n m n http://www.lrc.tnu.edu.vn 59 Hệ thức 2.4.8 (Koshy, 1998) L2 m L2 n L2 m (2.4.8) L2 m n 2n Chứng minh Ta có 2m L2 m L2 n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n L2 m 2n 2m 2n 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n 2m 2n L2 m n 2n Vậy L2 m L2 n L2 m 2n L2 m n Hệ thức 2.4.9 (Blazej, 1975) 5F2 n F2 n (2.4.9) L4 n 18 Chứng minh Ta có F2 n F2 n 2n 2n 2n 2n 3 2n 2n 2n 2n 4n 2n 2n 2n 4n 4n 2n 4n 4n 2n 4n 4n 2n 2n 2n 4n 3 3 18 Vậy 5F2 n F2 n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN L4 n 18 http://www.lrc.tnu.edu.vn 60 2.5 Một số hệ thức khác dãy Fibonacci Ngoài hệ thức trên, hệ thức phong phú hệ thức dãy Fibonacci (xem [4]) 1) (Zeitlinand Parker, 1963) : Fn3 - 3Fn3 - Fn3 3Fn3 2) Fm Fn - Fm k Fn 3) m 4) m m Fn m Fn m 5) Fn k m Fm Fn m Fn m Fn m n k 8) 4F3n n n n n Fk k n n Fn3 -1 Fn F3n Fn Fn 9) (Candido, 1905) : F Fn4 n 10) (Raine, 1948) : Fn Fn Fn4 2 Fn Fn 11) (Everman et al., 1960) : Fn h Fn 12) Fn Fn Fn 13) Fn3 Fn3 2 Fn 2 F22n - Fn Fn Fn n h k Fh Fk Fn Fn3 3Fn 1Fn Fn 15) (Mana, 1969) : Fm s t k Fn n Fn3 14) (Halton, 1965) : Fm k Fm 16) Fr Fm Fn m 6) (Halton, 1965) : F3 n 7) F3n Fm Fn3 Fr 1Fs 1Ft n k Fm s Fm Fm 1Fn Fr Fs Ft Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN s m s Fs Fk s Fm 1Fn Fr 1Fs 1Ft http://www.lrc.tnu.edu.vn 61 17) (Halton, 1965) : 5Fm2 18) (Halton, 1965) : 5Fm2 m Fm2 r F2 r m Fr2 r Fm2 r Fm3 r 19) (Halton, 1965) : Fm F2 m F3 r Fm2 r Fn2 Fm2 r Fm2 r Fm2 r 1 Fm2 r m Fm3 r Fn2 1 Lm Fr3 20) (Swamy, 1966) : Fn2 Fn2 4 Fn2 21) (Carlitz, 1967): Fn5 Fn5 Fn5 5Fn 1Fn Fn Fn2 22) (Carlitz, 1967) : Fn7 Fn7 Fn7 Fn 1Fn Fn Fn2 n n 23) (Koshy, 1998) : Fn Ln m Fn m Ln m F2 m 24) (Koshy, 1998) : Fn Ln Fn F2 n m Ln Ln m m Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN F2 m F2 n m Fm F2 n L2 n m m n Fm n m Fm F2 m m L2 m http://www.lrc.tnu.edu.vn 62 KẾT LUẬN Với mục đich nghiên cứu hệ thức dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng, luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày số kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp hai trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt (các dãy Fibonacci dãy Fibonacci suy rộng) Dựa theo tài liệu tiếng Anh, tập hợp, phát biểu chứng minh hệ thức cho dãy Fibonacci, dãy Lucas dãy Fibonacci suy rộng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Tạ Duy Phượng, Phạm Thị Hồng Lý (2008), Một số dạng toán thi học sinh giỏi giải toán máy tính điện tử, tái lần thứ hai Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, tr 66 – 68 Tiếng Anh Benjamin Sharpe (1965), "On sums Fx2 ±Fy2 ", The Fibonacci Quartely, Number 1, Volume 3 John H Halton (1965), "On a general Fibonacci Identity," The Fibonacci Quartely, Number 1, Volume Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, Wiley –Iinterscience; edition, USA Sheryl B Tadlock (1965), "Products of odds," The Fibonacci Quartely, Number 1, Volume Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn 24 2.2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci Mục này chứng minh một số hệ thức trong dãy Fibonacci, tuy đã được John H Halton trình bày trong [3] từ năm 1965, nhưng chúng còn chưa được trình bày trong các tài liệu bằng tiếng Việt Từ “ Hệ thức mới ” ở đây được hiểu theo nghĩa như vậy 2.2.1 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci Dãy Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi Fn 1 F0 Fn Fn... n , trong đó 0 C1 1, C2 1 k 2 là nghiệm của phương trình , 2 k 2 0 Với k 1 ta trở về dãy Jacobsthal 1.2.8 Dãy Fibonacci suy rộng 1.2.8.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci suy rộng là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi Gn 1 Gn Gn 1 , n G0 1,2, , (1.2.8) a, G1 b 1.2.8.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy Fibonacci suy rộng Công thức hệ số tổng quát của phương trình (1.2.8) là Gn bFn aFn 1 , trong đó Fn là số hạng... 1 2n 1 2n 2n 2n 2 2n 1 2n 1 2n 1 2 5F2 n 1 Vậy L2n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2n 1 5F2 n 1 http://www.lrc.tnu.edu.vn 2n 2 20 Chương 2 MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG Trong chương này, để cho tiện, ta kí hiệu dãy Fibonacci như sau: Fn 1 F0 Fn Fn 1 , n = 1,2, , 0, F1 =1 2.1 Dãy Fibonacci Ta đã biết một số hệ thức về các số Fibonacci sau đây (Sharpe, 1965) : Fn2 2 k + Fn2 =... d Vậy n 1 c Gn n 1 d 5 n 1 c d n 1 1.3.2 Hệ thức Catalan cho dãy Fibonacci Cho k là số nguyên dương và n k Ta có Fn k Fn Fn2 k 1 n k 1 Fk2 (1.3.4) 1.3.3 Hệ thức D’Ocagne cho dãy Fibonacci Fm Fn 1 n Fm 1.Fn 1 Fm n (1.3.5) 1.3.4 Hệ thức Cassini cho dãy Fibonacci n Fn2 1 Fn 2 Fn 1 2n 3 (1.3.6) 1.4 Các đẳng thức liên quan giữa dãy Fibonacci và dãy Lucas Hệ thức 1.4.1 (Hoggatt, 1969) Ln Ln 2 4 n 1 5... công thức đúng với mọi số tự nhiên n 1 1.2.9 Dãy k Fibonacci suy rộng 1.2.9.1 Định nghĩa Dãy k Fibonacci suy rộng được cho bởi hệ thức truy hồi Fn 1 kFn F0 2 Fn 1 , n = 1,2, , (1.2.9) 2, F1 = 0 1.2.9.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k Fibonacci suy rộng Phương trình (1.2.9) có phương trình đặc trưng là k 2 0 k2 8 , 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là 2 k2 8 2 k Công thức nghiệm tổng quát của... Vậy công thức được chứng minh 1.2.10 Dãy Fibonacci tổng quát 1.2.10.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi un 1 u0 pun qun 1 , n = 1,2, , a, u1 = b (1.2.10) Chọn p, q, a, b thích hợp ta sẽ được các dãy: Fibonacci, Lucas, Jacobsthal,… 1.3 Các đẳng thức tiêu biểu trong dãy Fibonacci tổng quát 1.3.1 Công thức Binet 1.3.1.1 Công thức Binet cho dãy Fibonacci Công thức Binet’s... Binet’s của dãy Fibonacci được cho bởi n Fn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN n , (1.31) http://www.lrc.tnu.edu.vn 15 1 trong đó 2 5 2 1 , 5 2 1 là các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 0 1.3.1.2 Công thức Binet cho dãy Lucas Công thức Binet của dãy Lucas được cho bởi công thức n Ln 1 trong đó 2 5 2 1 , 5 2 n , (1.3.2) là các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 0 1.3.1.3 Công thức Binet cho dãy Fibonacci. .. 0, F1 =1 Để thuận tiện trong việc chứng minh các hệ thức, chúng ta đưa thêm vào khái niệm số Fibonacci với chỉ số âm như sau: Từ công thức (2.2.1), ta suy ra Fn 1 Fn 1 Fn Từ công thức trên, lần lượt cho n 0, 1, 2, , ta được : F1 F0 1 F1 F0 1 0 1, F2 F11 F0 F3 F2 1 F1 F2 1 F4 F3 1 F2 F5 F4 1 F3 F1 0 1 1, 1 2, F3 1 2 3, F4 1 2 2 3 5, ., Fn 1 n 1 Fn Ta có thể chứng minh công thức trên bằng quy nạp như... có 0, k 0 (2.2.17) Từ trên ta có hệ thức tổng quát Fmk Fn = 1 k kr h k h 1 Frh Frk mh Fn kr hm (2.2.18) h 0 2.2.2 Một số hệ quả suy ra từ (2.2.18) Hệ quả 2.2.2.1 Trong (2.2.18) với mọi số nguyên k , r và m k F k Fn m h 0 k h 1 Chứng minh Trong (2.2.18) thay m k m F Fn 1 kr k h 0 Theo hệ thức F n k n h h k h r m 1 Fr F Fn m 1 k h F h Frk mh Fn r kr -hm kr k h 0 1 F km F n n 1 n ta có (2.2.19) n ta được... 1.2.7.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal–Lucas là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi J n 1 kJ n J0 2 J n 1 , n = 1,2, , (1.2.7) 2, J1 = k 1.2.7.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k Jacobsthal – Lucas Phương trình đặc trưng của (1.2.7) là 2 0 2 k k2 8 , 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là k k2 8 2 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.7) là Jn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN C1 n C2