Phần II: Một số phơng trình lợng giác chuyển phơng trình lợng giác bậc Bài toán: Giải phơng trình lợng giác sau: (cos x sin x) 1, 2, sin2x + cos2x = + sinx 3cosx = tan x + cot x cot x 4 3, sin x + cos x = (tan x + cot x) 4, 2sin2(x - ) = 2sin2x tanx sin x 5, Tìm x 0; nghiệm phơng trình: cos3x 4cos2x + 3cosx = 6, (2cosx 1)(2sinx + cosx) = sin2x sinx 7, cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 8, sin2x + sin23x = cos22x + cos24x 9, sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x x 10, sinxcos4x sin22x = 4sin2( ) với x < 11, sin23x cos24x = sin25x cos26x 2 12, sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 13, 4sin3 x+ 3cos3x 3sinx sin2xcosx = 14, cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x 15, sinx + cosx + + sin2x + cos2x = 16, (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx 4) + 4cos2x = 17, sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x) 18, cosxcos2xcos4xcos8x = 19, 8cos3(x + ) = cos3x 16 11 20, tan2x tanxtan3x = 21, tan2x + cot2x + cot22x = x x 22, sin2( )tan2x cos2( ) = 23, sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 2 24, cot x tan x = 16(1 + cos x) 25, sin4x + cos4x = cot(x + )cot( x ) cos x 3(sin x + tan x) 26, 2tanx + cot2x = 2sin2x + 27, 2(1 + cos x) = sin x tan x sin x (1 + cos x ) + (1 cos x) 28, 29, cos3x.tan5x = sin7x tan x sin x = (1 + sin x) + tan x 4(1 sin x) 4 30, sin x + cos x = (tan x + cot x) 31, tan2x.cot22x.cot3x = tan2x cot22x + cot3x sin x 32, Tìm nghiệm ( ;3 ) phơng trình: sin( x + ) 3cos(x ) = + 2sinx 2 33, Tìm nghiệm (0; ) phơng trình sin24x cos26x = sin(10,5 + 10x) sin x + sin x + sin 3x 34, sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 35, = cos x + cos x + cos x + cos x 36, tan2x = 37, tan2x tan3x tan5x = tan2x.tan3x.tan5x sin x 4x 1 38, cos = cos2x 39, 2 sin(x + ) = + sin x cos x 40, 2tanx + cot2x = + 41, sin2x + sin22x + sin23x = sin x sin x 42, 43, 25 x (3 sin 2x + sin x) = + cos x = + sin x sin x cot x 44, 45, 3tan6x = 2tan2x cot4x =1 cos x sin x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 46, 2sin3x (1 4sin2x) = x x 48, sin4 + cos4 = x x 50, sin + cos = 2sinx 2 52, tan4x + = (2 sin 24x) sin x cos x 54, cos3x -4cos2x + 3cosx = 56, cos x(cos x 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 58, sin4x.sin7x = cos3xcos6x 47, cos3xcos3x + sin3xsin3x = 49, cos3x 4sin3x 3cosx.sin2x + sinx = 51, sin(3x - ) = sin2x sin(x + ) 4 x 53, tanx + cosx - cos x = sinx(1 + tan tanx) 55, tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 57, 2 cos3(x - ) 3cosx sinx = cos x 59, tan(x + ) 3tan2x = cos x 60, cos3x.cos3x sin3xsin3x = + 61, cos3x + cos2x cosx = 62, cos3x + sin3x + 2sin2x = 63, cotx + sinx(1 + tanxtan 64, cot2x = sin x + cos x x )=4 65, + sinx + cosx + tanx = 66, Tìm nghiệm x 0; thỏa mãn: cos x(cos x 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 67, tan2x + 8cos2xcot2x = cot2x 68, 2sinx + cosx = sin2x + x 3x x + ) ) 69, sin2x + cos2x + sinx 2cos = 70, sin( = 3sin( 71, sin9x + sin5x + 2sin2x = 72, sin8x + sin2x = cos3x cos7x 73, 2sinxcos2x + sin2xcos2x = sin4xcosx 74, cos34x = cos3xcos3x + sin3xsin3x tan x 75, cot x cos x cot x = cos x 76, = sin x + tan x cot x 4 (cos x sin x) 77, 78, sin x + cos x = (tan x + cot x) = sin x tan x + cot x cot x 3 3 79, sin x + cos x + sin xcotx + cos xtanx = sin x 80, sinx + cosx cos4x = 81, 3tan6x 2tan2x = 82, tanxsin2x 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) cot x sin x x 3x 83, sin - (sinx + sin ) = 84, sin(3x - ) = sin2xsin(x + ) 2 4 85, tanx + tan2x tan3x = 86, (1 tanx)(1 + sin2x) = + tanx 87, cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 88, (cosx sinx)cosxsinx = cosxcos2x 89, sin23x sin22x sin2x = x x 90, log (sin sin x ) + log (sin + cos x ) = 0 , 25 91, Tìm nghiệm thuộc 0; phơng trình sin24x cos26x = sin(10,5 + 10x) x 92, sin( 93, sin3xcosx = + cos x sin x + x ) = 2sin( ) 5 94, Tìm x thỏa mãn: cos (3x x 16 x 80 ) = 95, sin4x = tan4x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 96, + tanx = sinx + cosx 97, sin32xcos6x + sin6xcos32x = 98, cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 100, 3tan2x 4tan3x = tan23xtan2x 102, tan2x(1 sin3x) + cos3x = 4 104, 3sin2x + sin x + cos x = sin x + cos x sin x + cos x 106, Tìm x thỏa mãn: cos (3x x + 160 x + 800 ) = cos x 108, + cot2x = sin 2 x 110sin21,5x + sin2( 2,5 x ) = sin25,5x + sin2( 6,5 x) 4 sin x cot x 112, =1 cos x 99, 2sin3x(1 4sin2x) = 101, 2(sin3x + cos3x) = sinx + cosx 103, tanx = cotx + 2cot32x 114, sinxcosxcos2x = sin8x 115, sin3xcos3x sinxcos3x = 105, 2cos3x + sinxcosx + = 2(sinx + cosx) 107, sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = x 109, log sin cos x = 111, sin2x + sin22x + sin23x = 113, sin3x cos3x = cosx sinx 117, sin5x + sin9x + 2sin2x = 116, 4cosx 2cos2x cos4x = 118, 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x = cos4x(2sin2x + 1) sin x Bài toán 2: Tìm m để phơng trình: = m có hai nghiệm thuộc [ 0; ] sin x + Bài toán 3: Cho phơng trình f(x) = sinx + sin x + sin x Giải phơng trình f(x) = Bài toán 4: Cho f(x) = cos2xsin4x + cos2x Giải phơng trình f(x) = 2cosx(sinx + cosx) CMR: f ( x) x Bài toán 5: Cho phơng trình: sin x - cos x = Giải phơng trình Tìm nghiệm thỏa mãn: x < Phần III: Một số phơng trình lợng giác chuyển phơng trình lợng giác bậc hai Bài toán1: Giải phong trình sau: 1, Tìm nghiệm (0; ) phơng trình: 5(sinx + 2, cos23xcos2x cos2x = cos 3x + sin x ) = + cos2x + sin x 3, cos4x + sin4x + cos(x - Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 )sin(3x - ) =0 4 4, 5sinx = 3(1 sinx)tan2x 6, cos x( sin x + ) cos x = 1 + sin x 8, 8cos x + sin2x = 8cosx 1 = 2cos3x + sin x cos x x 3x x 3x 7, cosxcos cos - sinxsin sin = 2 2 2 9, 3cot x + 2 sin x = (2 + )cosx 5, 2sin3x - 2 ) + cos(2x - ) + 4sinx = + (1 sinx) 11, sin x + sin x cos x = 4 cos x 12, Cho f(x) = sinx + sin3x + sin5x Giải phơng trình f(x) = 17 5x x 13, sin8x + cos8x = cos22x 14, sin = 5cos3xsin 16 2 6x 8x 15, sin2x.(cotx + tan2x) = 4cos2x 16, cos + = cos 5 4 sin x + cos x = cos 4 x 17, tan ( x ) = tan x 18, tan( x ) tan( + x) 4 19, 48 = 20, sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + cos2x (1+ cot x cot x ) 4 cos x sin x cos x 21, cotx = 22, sin2x + 2tanx = + sin x sin x + tan x 2 23, cotx tanx + 4sin2x = 24, (1 tanx)(1 + sin2x) = + tanx sin x 25, sin4x = tanx 26, sin4x + sin4(x + ) + sin4(x ) = 4 27, tanx + cotx = 28, sin x (3 cos x) sin x = 1 sin x 1 29, 4cos4x + sin2x = 8cosx 30, + = cos x sin x sin x 4x 31, sin2x + sin(x - ) = 32, cos = cos2x x 33, (2sinx 1) = 4(sinx 1) cos(2x + ) sin(2x + )34, tan cosx + sin2x = 4 35, + 3tanx = 2sin2x 36, cotx = tanx + 2tan2x 3x 4x 37, cos 38, 3cos4x 2cos23x = + = cos 5 3x x 39, cos 40, cosx + tan = + = cos x 2 41, 3tan2x 4tan3x = tan23x tan2x 42, cosx.cos4x + cos2x.cos3x + cos24x = 43, cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 44, sin4x = tanx 13 x 3x 45, sin6x + cos6x = cos22x 46, sin( ) = sin( + ) 10 2 10 4 47, sin x + cos x = cot x 48, cos2x + cosx(2tan2x 1) = sin x sin x 10, cos(2x + Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 49, 3cos4x 8cos6x + 2cos2x + = 51, 5sinx = 3tan2x(1 sinx) 53, sin4x + cos4x + cos(x - )sin(3x - ) =0 4 2(cos x + sin x) sin x cos x 55, =0 sin x 57, (2sin2x 1)tan22x + 3(2cos2x 1) = sin x 59, tan( x) + =2 + cos x 61, 2sin2x(4sin4x 1) = cos2x(7cos22x + 3cos2x 4) (cos x sin x ) x + cos x ) + log (cos =0 63, log x x 65, cosx cos2( 3x )=0 x 67, tan cos x + sin x = 69, + sin3x + cos3x = sin x x 71, + cosx = 2tan 2 cos x sin x 52, cos23xcos2x cos2x = 50, cotx = tanx + 54, sinxcos2x + cos2x(tan2x 1) + 2sin3x = 56, 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 58, cos2x + cos4x = 2 60, sin x + sin x cos x = cos x sin x + cos 2 x = cos x 62, tan( x ) tan( + x) 4 64, sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 66, cos x + cos x = 68, tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 70, tan3(x - ) = tan x 72, sin3x + cos3x + 2cosx = 73, cos3x 4sin3x 3sin2xcosx + sinx = 74, cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 75, sin3x + cos2x = + 2sinxcosx sin x sin x 77, = 79, sin6x + cos6x = cos4x 81, cos2x + sin3x + cosx = 83, cos6x + 2 sin3xsin3x - cos4x = 85, sin2x = cos22x + cos23x 87, cos6x sin6x = cos x )=0 76, (1 + sinx)2 = cosx 3(sin x + tan x) 78, = + cos x sin x tan x 80, sin3x + sin2x = 5sinx 82, 4(sin3x cos2x) = 5(sinx 1) 84, 4cos3x + sin2x = 8cosx 86, cos6x sin6x = cos22x 89, 2cos2x 4cosx = với sinx 91, sin3x + cos2x = + 2sinxcosx 93, 4sin2x + 3tan2x = 95, 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 17 cos 2 x 16 99, cosxcos4x + cos2xcos3x = 101, 3tan2x + 4tanx + 4cotx + 3cot2x + = 97, sin8x + cos8x = 88, sin3(x + ) sin2(x + ) sin(x + 3 x 90, cos2x tan2x = cos x cos cos x tan x tan x 92, + + 83 = 16 94, + cos2x + cos3x = 2cosxcos2x 96, cos x( sin x + ) cos x = 1 + sin x ( ) ( ) 98, 2cos3x + cos2x + sinx = 100, 3cos4x 4cos2xsin2x + sin4x = 102, cos4x 5sin4x = Bài toán 2: Cho phơng trình cos2x (2m + 1)cosx + m + = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm ( ; ) 2 Bài toán 3: Cho phơng trình (cosx + 1)(cos2x mcosx) = msin2x (*) a Giải phơng trình m = -2 b Tìm m để (*) có nghiệm thuộc [0; ] Bài toán 4: Cho phơng trình: (1 a) tan2x + + 3a = (1) cos x a Giải phơng trình a = b Tìm a để phơng trình có nhiều nghiệm thuộc (0; ) Bài toán 5: Cho phơng trình cos4x + 6sinxcosx = m a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt [0; ] Bài 6: Cho phơng trình 4cos5xsinx 4sin5xcosx = sin24x + m a Biết x = nghiệm phơng trình Giải phơng trình trờng hợp đó? b Biết x = nghiệm phơng trình, tìm nghiệm phơng trình thỏa mãn: x4 3x2 + < Bài 7:Tìm a để hai phơng trình sau tơng đơng: 2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x 4cos2x cos3x = acosx + (4 a)(1 + cos2x) Bài 8: Cho phơng trình: cos4x = cos23x + asin2x (1) a Giải phơng trình a = b Tìm a để (1) có nghiệm thuộc (0; ) 12 Bài 9: Cho phơng trình sin6x + cos6x = asin2x (1) a Giải phơng trình a = b Tìm a để (1) có nghiệm 6 Bài 10: Cho phơng trình cos x + sin x = 2m tan x cos x sin x a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 11: Tìm m để phơng trình sin4x = m tanx có nghiệm x k Bài 12: Tìm m để phơng trình cos3x cos2x + mcosx = Có nghiệm thuộc ( ;2 ) Bài 13: Tìm m để phơng trình 4(sin4x + cos4x) 4(sin6x + cos6x) sin24x = m có nghiệm m 2m + Bài 14: Tìm m để phơng trình sin4x + cos4x + sin4x sin x = có hai nghiệm phân biệt thuộc ( ; ) 4 Bài 15: Tìm m để phơng trình sin6x + cos6x = m(sin4x + cos4x) có nghiệm Bài 16: Cho phơng trình cos4x = cos23x + asin2x Tìm a để phơng trình có nghiệm thuộc (0; ) 12 Bài 17: Tìm m để phơng trình 2sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = có nghiệm thuộc 0; Bài 18: Cho phơng trình: 4cos3x + (m 3)cosx = cos2x Giải phơng trình m = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt thuộc ; ( 2+ x + x ) Bài 19, Tìm nghiệm phơng trình: sin4x + cos4x = cos2x thỏa mãn: + log Bài 20: Cho phơng trình: sinx + cosx + 1 + + tan x + cot x = m cos x sin x Giải phơng trình với m = -2 Tìm m để phơng trình vô nghiệm 2 Bài 21: Giải biện luận: mcot2x = cos x sin x cos x + sin x Bài 22: Tìm m để phơng trình có nghiệm nhất: + sin2mx = cosx Bài 23: Cho y = 4x sin2x + cosx Giải phơng trình y = Bài 24: Tìm m để bất phơng trình: 2sin2x mcosx nghiệm x 0; Bài 25: Tìm m để f(x) có nghĩa với x: f(x) = sin x + cos x m sin x cos x x Bài 26: Tìm k để phơng trình 2sin2x + 6cos2( ) = 2k có nghiệm Giải phơng trình k = Bài 27, Tìm nghiệm phơng trình: sinx + cos2x = thỏa mãn cosx Bài 28: Cho phơng trình: 2cos2x + 3sinx + m = Giải phơng trình m = Tìm m để phơng trình có nghiệm x Bài 29: Tìm k để phơng trình - 4sin2x - 8cos2( ) = 3k có nghiệm Giải phơng trình đó? Bài 30: Tìm m để phơng trình: cos2x + mcosx + 2m + = có nghiệm Bài 31: Cho bất phơng trình: tan x + m.2 tan x 2m Giải bất phơng trình m = Tìm m để bất phơng trình vô nghiệm 6 Bài 32: Cho phơng trình: cos x + sin x = 2m tan x cos x sin x Giải phơng trình m = Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 33: Cho phơng trình: (1 a)tan2x + + 3a = cos x Giải phơng trình a = Tìm a để phơng trình có nhiều nghiệm thuộc 0; 6 Bài 34: Cho phơng trình: sin x + cos x 1) = 3sin6x Giải phơng trình k = Biện luận số nghiệm phơng trình với x ; 4 Bài 35: Cho phơng trình: + 2 tan x + 2 tan x = m Giải phơng trình m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thuộc ; 2 Bài 36: Cho phơng trình: 4cos5xsinx 4sin5xcosx = sin24x + m ( ) ( ) Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 Biết x = nghiệm phơng trình Tìm nghiệm phơng trình đó? Cho x = nghiệm phơng trình Tìm nghiệm phơng trình thỏa mãn: x4 3x2 + < Bài 37: Cho phơng trình: cos4x = cos23x + asin2x Giải phơng trình a = Tìm a để phơng trình có nghiệm x 0; 12 Bài 38: Tìm m để phơng trình: 4(sin4x + cos4x) 4(sin6x + cos6x) sin24x = m có nghiệm Bài 39: Cho phơng trình: cos4x + 6sinxcosx = m a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thuộc 0; Bài 40: Cho phơng trình: (cosx + 1)(cos2x mcosx) = msin2x a Giải phơng trình m = -2 b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; Bài 41: Cho phơng trình: 6sin2x sin22x = m cos22x a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 42: Cho phơng trình: sin4x + cos4x cos2x + sin 2 x + m = a Giải phơng trình m = -2 b Giải biện luận phơng trình Bài 43: Cho phơng trình: cos2x + 6sinx = 4m2 a Tìm m để phơng trình có nghiệm b Giải phơng trình m = Bài 44: Giải biện luận phơng trình: sin4x + cos4x + sin2x + m = Phần IV: Phơng trình bậc theo sin cos: asinu(x) + bcosu(x) = c Bài toán 1: 1, Tìm x ; thỏa mãn phơng trình: cos7x 2, 3sin3x - cos9x = + 4sin33x + cos x sin x 6, sin2x + 2cos2x = + sinx 4cosx 4, 8sinx = 8, sin2x cos2x = 3sinx+ cosx 10, 2cos3x+ cos2x + sinx = 12, 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 14, tanx 3cotx = 4(sinx + 16, cos4x + sin4(x + ) = 4 cosx) sin7x = - 3, tanx sin2x cos2x + 2(2cosx - )=0 cos x 5, 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 7, 2sin2x cos2x = 7sinx + 2cosx 9, (sin2x + cos2x)2 = cos(2x - ) cos x 11, + cot2x = sin 2 x 13, + sin32x + cos32x = sin4x 15, sin3x + cos3x = sinx cosx 17, 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 cos4x = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 x) 18, tan x = sin x + tan x 20, (2cosx 1)(sinx + cosx) = 22, 3sinx = - cosx + sin( 24, cosx + 19, 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x 21, 2cos2x = 23, 2cos3x + sinx = sin2x + cosx + sinx 26, sinx + cosx = cos2x =6 cos x + sin x + 30, 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 28, 3cosx + 4sinx + (cosx sinx) sinx + cosx = 25, cosx + sinx = cos x + sin x + 27, 4sin x = 3sinx - cos3x 29, cos7xcos5x 31, cos2x - sin2x = sin7xsin5x sin2x = + sin2x 32, 4sin2x 3cos2x = 3(4sinx 1) 33, tanx sin2x cos2x = - 4cosx + x (2 ) cos x sin ( ) 34, =1 cos x 35, cotx = 36, Tìm nghiệm thuộc ( 0; ) phơng trình: sin ) + 4sinx + = sin x sin x 39, = cos x cos x 37, 2sin(2x - 1 = 2 cos( x + ) cos x sin x 45, sin2x - 2 (sinx + cosx) = 47, 3(cotx cosx) 5(tanx sinx) = 49, (2cosx 1)(sinx + cosx) = 51, 3cos2x + sin2x = 4cosx 2sinx 43, sinx + cosx = cos x x cos x = + cos ( x ) 40, cos3x sin2x = (cos x sin x) 42, sin3x + cos3x = - sin x 44, sinx + sin2x = (cosx + cos2x) 46, cos2x + = 2(2 cosx)(sinx cosx) 48, 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x 50, 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 52, tanx 3cotx = 4(sinx + cos x) 54: cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx )= 4 cos x sin x cos x 58, = cos x + sin x 60, + cos3x + sin3x = sin2x 62, 4sin2x 3cos2x = 3(4sinx 1) 56: cos4x + sin ( x + 55: 2sin2x 2(sinx + cosx) + = 57, tanx sin2x cos2x + 2(2cosx - cos x + sin x sin x + tan x 38, sin3x + cos3x = sinx cosx 41, (sin3x + cos3x) = 2(sinx + cosx) 53: cos x )=0 cos x 59, 2sin3x cos2x + cosx = 61, 2sin4x = sinx + cos x 1 63, 2 sin( x + ) = + sin x cos x 65, tanx + = 2sinx + cos x 68, cos ( cos x) = + cos( sin x) 70, sinx + cosx + 2sinx + 2cosx + = 72, + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 64, 2sinx + cotx = 2sin2x + 67, (1 tanx)sin2x = 2tanx 69, 2cos3x + sin x + cos x = 71, cosx + sinx = cos2x 73, (1 + sin2x)(cosx sinx) = cos2x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 74, sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 75, Bài 2: Cho phơng trình: 2sin2 x sinxcosx cos2x = m a Tìm m để phơng trình có nghiệm b Giải phơng trình với m = Bài 3: Cho phơng trình cosx + m sinx = a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm m sin x m cos x Bài 4: Cho phơng trình: (1) = m cos x m sin x a Giải phơng trình m = b Khi m khác (1) có nghiệm thuộc [20 ; 30 ] sin x + cos x =1 + sin x sin x + cos x + =m sin x cos x + a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm + sin( x ) Bài 6: Cho phơng trình: tan = sin x + tan a Giải phơng trình với = b Tìm để phơng trình có nghiệm Bài 7: Tìm max, của: y = 3sin2x + 4sinxcosx 5cos2x + Bài 8: Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; : mcos22x 4sinxcosx + m = 1 Bài 9: Tìm miny với x 0; y = + sin x cos x cos x + sin x + Bài 10: Tìm max, y = cos x sin x + Bài 11: Tìm max, của: y = 4sin2x + sin(2x + ) Bài 12: Tìm m để phơng trình có nghiệm: 4sin3xsinx + 4cos(3x - ) cos( x + ) cos (2 x + ) + m = 4 Bài 13: Cho hai phơng trình: + sinx + cosx = (1) Và + sin3x + cos3x = msin2x (2) a CMR: nghiệm (1) nghiệm (2) b Tìm m để nghiệm (2) nghiệm (1) Bài 14: Tìm m để phơng trình: mcos2x 4sinxcosx + m = có nghiệm x 0; 2 Bài 15: Tìm max, y = 2cos x - 3 cosx sin x + Bài 16: Cho phơng trình: sin2x + 4(cosx sinx) = m a Giải phơng trình m = b Xác định m để phơng trình có nghiệm cos x + sin x + Bài 17: Tìm max, hàm số: y = cos x sin x + Bài 5: Cho phơng trình: Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 10 sin x với x [ 0; ] + cos x m sin x m cos x Bài 19: Cho phơng trình: = m cos x m sin x a Giải phơng trình m = b Với m 0; phơng trình có nghiệm thuộc [ 20 ;30 ] Bài 20: Cho phơng trình: cos2x sinxcosx 2sin2x m = a Giải phơng trình m = b Giải biện luận nghiệm phơng trình theo m 2k cos x + k + Bài 21: Cho hàm số: y = cos x + sin x + a Tìm min, max hàm y với k = b Tìm k để GTLN y min? Bài 22: Tìm min, max: y = 3sinx + 4cosx Bài 23: Cho phơng trình: 2sin2x 2m (cosx + sinx) + 6m2 = a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 18: Tìm min, max y = { } Phần V: Phơng trình bậc ba tan, cot Bài toán 1: Giải phơng trình sau: 1, 6sinx 2cos3x = 5sin2xcosx 3, sinx 4sin3x + cosx = 5, cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2 7, sinxsin3x = sin2x + sin 3x (cos3xsin3x + sin3xcos3x) sin x 9, cos3x sin3x = sinx + cosx 11, 4sin3x + 3cos3x 3sinx sin2xcosx = 13, sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx sinx) + 15, + 3tanx = 2sin2x 17, 4cos3x cosx sinx = 19, 2sin3x + cos2x = sinx 21, sin4x + cos2x + 4cos6x = 23, tan x + 1(sin x + cos x) = 5(sin x + cos x) 2, cos4x + sin6x = cos2x 4, sin3(x + ) = sinx 6, 4cosxcos2x + = 17 8, sin8x + cos8x = 32 10, cos3x 2cos2x = 12, 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x 14, cos3(x + ) = cos3x 16, 3cotx tanx(3 8cos2x) = 18, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 20, 3cos4x 2cos23x = 22, (sinx + cosx)3 4sinx = 24, 3cosx + cos2x cos3x + = 2sinxsin2x Bài toán 2: Tìm m để phơng trình: cos4x = cos23x + msin2x có nghiệm x 0; 12 Bài toán 3: Tìm m để phơng trình: sin3x mcos2x (m + 1)sinx + m = có nghiệm phân biệt thuộc ( 0;3 ) Bài toán 4: Cho phơng trình: cos3x sin3x = m a Giải phơng trình m = -1 b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc ; 4 Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 11 Phần v: Phơng trình đối xứng theo sin cos: dạng a(sinu(x) + cos(x))+ bsinu(x)cosu(x) = c Bài toán 1: Giải phơng trình sau: 1, -1 + sin3x + cos3x = sin2x 3, 3(cotx cosx) 5(tanx sinx) = 3(1 + sin x) x = cos ( ) cos x 5, 2sin3x sinx = 2cos3x cosx + cos2x 7, sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 9, cos2x + = 2(2 cosx)(sinx cosx) 11, 3tan2x + 4tanx + 4cotx + 3cot2x + = 13, + tan x + tan x + cot x + = sin x 15, cos3x + cos2x + 2sinx = 17, sin3x cos3x = sinx cosx 19, sin2x + sin(x - ) = sin x + cos x 21, =1 sin x + 23, 5(sinx + cosx) + sin3x cos3x = 2 (2 + sin2x) 25, sin2x cosx cos2x + sinx = cos2xsinx + cosx 27, 4sin3x = 3sinx - cos3x 29, cos3x + sin3x + 2sinx = 31, sinx + sin2x + cos3x = 2, (sinx + cosx) = tanx + cotx 4, 3tan3x tanx + 6, tan2x(1 sin3x) + cos3x = 8, 2sinx + cotx = 2sin2x + 10, cos3x + sin3x = cos2x 12, tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 14, + cos3x sin3x = sinx 16, cotx tanx = sinx + cosx 18, + tanx = sinx + cosx 20, sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 22, cos x = cos3 x + cos x sin x 24, + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 26, cos2x + sin3x + cosx = 3(1 + sin x) x 28, 3tan3x tanx + cos ( ) = cos x 30, 2sinx + cotx = 2sin2x + 32, cotx tanx = sinx + cosx Bài 2: Cho phơng trình: m(sinx + cosx + 1) = + sin2x Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc [0; Bài 3: Cho phơng trình: cos3x + sin3x = msinxcosx a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm 1 Bài 4: Cho phơng trình: m(sinx + cosx) + + (tanx + cotx + )=0 + sin x cos x a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm 0; Bài 5: Cho hàm f(x)= cos22x + 2(sinx + cosx)3 3sin2x + m a Giải phơng trình f(x) = m= -3 b Tìm theo m GTLN, GTNN f(x) Tìm m để f2(x) 36 với x thuộc R Bài 6: Cho phơng trình: cos3x sin3x = m a Giải phơng trình m = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 ] 12 b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc ; 4 Bài 7: Cho phơng trình: 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx) a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; Bài 8: Cho phơng trình sin2x + 4(cosx sinx) = m a Giải phơng trình với m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 9: Cho phơng trình: sinxcosx m(sinx + cosx) + = a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 10: Cho phơng trình: + tan x m(tan x + cot x) = Tìm m để phơng trình có nghiệm sin x Bài 11: Cho phơng trình: sin2x (sinx + cosx) = m a CMR: m > phơng trình vô nghiệm b Giải phơng trình m = Phần vi: Phơng trình đẳng cấp: dạng asin2u(x) + bcos2u(x) + csinu(x)cosu(x) = d dạng chuyển tan, cot Bài 1: Giải phơng trình sau: 1, cos2x - sin2x = + sin2x 2, cos3x 4sin3x 3cosxsin2x + sinx = 2 3, 3cos x 4sin xcos x + sin x = 4, sin2x + 2tanx = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 13 cos x + sin x sin x + tan x sin x cos x 8, 6sinx - 2cos3x = cos x 10, tanxsin2x 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 12, sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx sinx) + 3 14, tan2x = cos3 x sin x 16, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 18, sin3x + cos3x = sinx cosx sin x + cos x 20, =0 sin x 5, sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 6, cotx = 7, sin3x + cos3x + 2cosx = 9, sinx 4sin3x + cosx = 11, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 13, 2cos2x + cos2x + sinx = 15, sin3x 5sin2xcosx 3sinxcos2x + 3cos3x = 17, + tanx = 2 sin x 3(1 + sin x ) 19, 3tan2x tanx + cos ( x) = cos x 21, 4cos2x 6sin2x + 5sin2x = Bài 2: (4 6m)sin3x + 3(2m 1)sinx + 2(m 2)sin2xcosx (4m 3)cosx = a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; Bài 3: Cho phơng trình: sin2x + 2(m 1)sinxcosx (m + 1)cos2x = a Tìm m để phơng trình có nghiệm b Giải phơng trình m = -2 Phần vii: Phơng trình chứa chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: Phơng trình chứa Bài toán 1: Giải phơng trình sau: 1, 2, + sin x cos 2 x = sin(3x + cos x cos x + sin x = 3, sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 5, sinx + cosx + sin x sin x + cos x = 7, sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = sin x cos x 4, 6, 8, ( sin x + + sin x = cos x sin x 1 cos x + cos x cos x = sin x cos x + + sin x = sin x + cos x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 ) 14 9, + sin x + cos x = 10, 11, sinx + 12, cosx = + cos x + sin x tan x 13, sin x = sin x 15, 8cos4xcos22x + cos x + = cos 4x cos x =0 tan x sin x sin x + = sin x sin 2 x + cos x =0 sin x cos x 16, sin x + sin x + sin x + cos x = 18, cos2x = cos2x + tan x 14, 17, sin x cos x = cos x Bài 2: Cho phơng trình: + sin x + sin x = m cos x (1) a Giải phơng trình m = a Giải biện luận theo m phơng trình (1) Bài 3: Cho f(x) = 3cos62x + sin22x + cos4x m = a Giải phơng trình f(x) = m = b Cho g(x) = 2cos22x cos 2 x + Tìm m để phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm Bài 4: Tìm m để phơng trình + cos x + + sin x = m có nghiệm Dạng 2: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bài toán 1: Giải phơng trình sau: 1, cos 3x = sin x 2, 3sinx + cos x = 3, sinxcosx + sin x + cos x = 4, sin x cos x + sin x = 5, sin4x cos4x = sin x + cos x 6, 7, Tìm nghiệm thuộc ( 0;2 ) phơng trình: sin x sin x cos x 8, sin x cos x = sin x 10, tan x = cot x + cos x 1 1 + cos x + 2= sin x cos x + cos x sin x 14, + cos x + cos x = sin x cos x 3 16, cos x + + sin x = sin x + cos x 12, 18, cos x + sin x cos x = + sin x cos x sin2x 2cos2x = 2 + cos x = sin x + cos x 9, 4sinx + cos x = 11, cot x = tan x + sin x 13, 2cosx - sin x = 15, cos x = (cos x ) sin x 17, cos x + sin x = 19, tan x = tan x + + tan x tan x 20, sin x cos x + sin x + cos x = Bài 2: Cho phơng trình: sin6x + cos6x = m sin x Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 3: Cho phơng trình: cos2x = mcos2x + tan x Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; Bài 4: Cho phơng trình: sin x + cos x + m sin x = Tìm m > để phơng trình có nghiệm Bài 5: Cho phơng trình: sin x cos x + sin x = m a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 15 Bài tập tổng hợp: Bài toán 1: Giải phơng trình sau: cos x sin x = cos x 1, (1 + cos x) tan x tan x sin x = cos x tan x 2, 3, sin x + + sin x = cos x sin x 4, cos4x sin4x = cos x + sin x sin x cos x = cos x sin x sin x = cos x + sin x 6, cos x < x < 5, 1 1 + cos x + = sin x cos x + cos x sin x 9, sin x cos x = 2 + cos x 11, 4sinx + cos x = 7, 13, cos x + + sin x = sin x + cos x + cos x + cos x = sin x cos x 1 + =2 17, cos x sin x 15, 19, sin x + + sin x = cos x sin x cos x + sin x cos x + + sin x = 23, sin x cos x + sin x + cos x = 21, 25, sin x + cos x + cos x = tan x = tan x + + 27, tan x tan x 29, cos 3x = sin x cos x + sin x ) 10, cos x + sin x = sin x cos x 12, 4sinx + cos x = 8, + sin x cos 2 x = sin(3x + cos x = (cos x ) sin x 14, 16, + sin x + cos x = ( ) 18, cos x + cos x cos x = 20, sin 2 x + cos x sin x cos x sin x =0 22, cosxsinx + cos x + sin x = 24, cos x cos x + sin x = 26, 8cos4xcos22x + cos x + = 28, 3sinx + cos x = 30, tan x = cot x + cos x Bài 2: Cho phơng trình: 3cos2x + sin x = m a Giải phơng trình với m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc ; 4 Bài 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm: + cos x + + sin x = m Bài 4: Cho phơng trình: sin x cos x + sin x = m a Giải phơng trình m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 16 Phần vii: Phơng trình có cách giải phơng pháp nhận xét: Dạng 1: Tổng hai số không âm: A, B A + B = A = B = Bài 1: Giải phơng trình sau: 1, 4cos2x + 3tan2x - cos x + tan x + = 2, 8cos4xcos22x + cos x + = 3, sin2x + sin 3x (cos x sin x + sin 3x cos x) = sin x sin 3x sin x Dạng 2: Phơng pháp đối lập: Nếu A M B A = B A = M = B Bài 2: Giải phơng trình sau: 1, sin4x cos4x = sin x + cos x 2, (cos2x cos4x)2 = + 2sin3x 3, cos x sin x sin x + cos x 5, cos3x + = cos x 4, cos x = 2(1 + sin 2 x ) cos x cos x + = 6, tan2x + cot2x = 2sin5(x + ) Dạng 3: Nếu A M B N A + B = M + N A = M B = N Bài 3: Giải phơng trình sau: 3x 1, cos2x + cos = 2, 4cosx 2cos2x cos4x = 3, cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 4, cos23xcos2x cos2x = 5, cos2x - sin2x - sinx cosx + = Dạng 4: Phơng pháp dùng hàm số: Bài 4: Giải phơng trình sau: 1, - x = cos x Một số toán tổng hợp: 1, sin4x + sin6x = sin8x + sin10x 3, sin4x cos4x = + sin(x 5, sin x = cos x ) 6, tan2x + tan3x + =0 sin x cos x cos x 2, lg(sin2x) + sin3x = 4, sin2x + sin33x = sinxsin23x 6, 2cosx + sin10x = + 2cos28xsinx 7, (cos4x cos2x)2 = + sin3x 8, sinx + cosx = ( sin3x) 9,sin3x(cos2x 2sin3x) + cos3x(1 + sin2x 2cos3x) = 10, tanx + tan2x = -sin3xcos2x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 17 13, cos13x + sin14x = 15, sinx + cosx = (2 cos3x) 12, sin x = cos x với x 0; 14, cos2x cos6x + 4(sin2x + 1) = 16, sin3x + cos3x = sin4x 17, cos2x 4cosx 2xsinx + x2 + = 18, sin x + sin x = sin x + cos x 19, 3cot2x + 4cos2x - cotx 4cosx + = 20, cos 3x = sin x x x 11, log cot = log cos 2 21, = sin x cos x 22, sin x + cos x = 1 sin x + + cos x 25, sin3x(cosx 2sin3x) + cos3x(1 + sinx 2cos3x) = 27, tanx tan2x = sinx 29, 4cosx 2cos2x cos4x = 1 y 31, sin x + cos x + + = + sin 4 sin x cos x 33, cos2x - sin2x - sinx cosx + = 35, cos2x + sin5x + cos2x + sin2x = + (cos3x + sin5x)sin2x = 26, sin4x cos4x = + 4(sinx cosx) 28, 4sin22x + sin26x 4sin2xsin26x = 30, sin x + sin x + sin x + cos x = 32, cos2x + cos2y + cos2(x y) = 34, cosx sinx = (2 + sin3x) 2 36, sin x + cos x = 10 + cos y 23, cos3xsin2x cos4xsinx = 24, cos5x + sin7x + 37, cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 38, tan2x + tan3x + 39, sin4x cos4x = + sin(x - ) 41, sin2010x + cos2010x = x x x 43, sin sin x cos sin x + = cos ( ) 2 =0 sin x cos x cos x 40, + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinxsin2x 42, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 18 Phần viii: hệ Phơng trình lợng giác Dạng 1: Giải phơng pháp thế: cos x = 1, sin x = sin x + sin y = 3, cos x + cos y = cos x cos x + sin y = 5, sin x sin y + cos x = Dạng 2: Giải phơng pháp cộng: sin x cos y = 1, tan x cot y = Dạng 3: Giải phơng pháp đặt ẩn phụ: Bài 1: Giải hệ sau: tan x + tan y = 1, cot x + cot y = sin x + sin y = Bài 2: Cho hệ phơng trình: cos x + cos y = m b Tìm m để hệ có nghiệm sin x + m tan y = m Bài 3: Cho hệ phơng trình: tan y + m sin x = m a Giải hệ m = -1 b Với giá trị m hệ cho có nghiệm Một số toán giải hệ tổng hợp: Bài 1: Giải hệ phơng trình sau: tan x + cot x = sin( y + ) 1, tan y + cot y = sin( x ) sin x + sin y = 3, 2 sin x + sin y = sin x + sin y = 2, x + y = tan x tan y tan x tan y = 4, cos y + cos x = 2, 2, a Giải hệ m = x y = m 2, 2(cos x + cos y ) cos m = tan x + tan y + tan x tan y = 4, sin y = cos x Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 19 sin x sin y = 5, cos x cos y = cos x = + cos y 7, sin x = sin y sin x cos y = 9, tan x = tan y sin x = cos x cos y 11, cos x = sin x sin y tan x tan y = + tan x tan y 13, cos y + cos x = sin x sin y = 6, cos x + cos y = cos( x + y ) = cos( x y ) 8, cos x cos y = sin x = cos y 10, sin y = cos x tan x + tan y = 12, x y tan + tan = sin x + sin y = 14, sin x + sin y = sin x + sin y = 15, cos x + cos y = cos x cos x + sin y = 16, sin y sin y + cos y = sin x + sin y = 17, x + y = x y = 18, sin x cos y = 5x + (sin x cos x) sin = cos 19, sin x < cos x cos y = m + Bài 2: Cho hệ phơng trình: sin x sin y = 4m + 2m a Giải hệ phơng trình m = b Tìm m để m có nghiệm y + tan x = Bài 3: Tìm m để hệ có nghiệm nhất: y + = mx + m + sin x sin x cos y = m Bài 4: Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: sin y cos x = m sin x + m cos x = Bài 5: Cho hệ phơng trình: m sin x + cos x = a Giải hệ m = - b Tìm m để (1) có nghiệm nghiệm (1) nghiệm (2) Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 20 sin x + k tan y = k Bài 6: Cho hệ phơng trình: tan y + k sin x = k a Giải hệ phơng trình với k = b Tìm k để hệ phơng trình có nghiệm mx + sin x + m = y + Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm nhất: tan x + y = sin x + sin y = Bài 8: Cho hệ phơng trình: cos x + cos y = m a Giải hệ phơng trình m = b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm m sin x + (m + 1) cos x + = Bài 9: Cho hệ phơng trình: x a Tìm m để hệ hai nghiệm b Tìm m để hệ có hai nghiệm cách 2 sin x + m tan y = m Bài 10: Cho hệ phơng trình: Tìm m để hệ cho có nghiệm tan y + m sin x = m 2 sin x + cos y = m + Bài 11: Cho hệ phơng trình: x + y = a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ có nghiệm Bài 12: Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11 21