Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Một số phức z biểu thức dạng z = a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn i2 = –1 Trong đó: i đơn vị ảo a gọi phần thực số phức b gọi phần ảo số phức Tập hợp điểm biểu diễn số phức kí hiệu C Chú ý: ♦ Số phức z số thực b = 0, z = a ♦ Số phức z số ảo (hay số ảo) a = 0, z = bi a = a ' ♦ Hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i  b = b ' ( ) ♦ Với i đơn vị ảo ta có: i = −1; i = i i = −i; i = i 2 = 1; i = i i = i Từ suy i n + i n +1 + i n + + i n + = Ví dụ: Tính tổng S = + i + i + i + + i 2012 Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức sau a) z = + 3i b) z = 4i d) z = − 2i c) z = –1 e) z = (1 + i) – (1 – i) Hướng dẫn giải: f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) Theo định nghĩa số phức ta có a) z = + 3i ⇒ a = 2; b = b) z = 4i ⇒ a = 0; b = c) z = –1 ⇒ a = –1; b = d) z = − 2i ⇒ a = 2; b = −2 e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức cho dạng rút gọn ( ) ( ) Ta có (1 + i ) − (1 − i ) = + 2i + i − − 2i + i = 2i − ( −2i ) = 4i ⇒ a = 0; b = , (do i2 = –1 ) 2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = – 2i ⇒ a = 9; b = –2 Ví dụ Tìm số thực x y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) (1 − x ) + ( y + 1) i = ( x + y ) − ( x + 1) i Hướng dẫn giải: a = a ' Ta biết hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i  b = b ' 2 x + = x + x = a) Ta có  ⇒ 3 y − = y +  y =  1 − x = x + y 4 x + y = x = b) Ta có  ⇔ ⇒  y + = − ( x + 1) 2 x + y = −2  y = −5  Ví dụ Cho z = ( 3a + ) + ( b − ) i Tìm số a, b để: a) z số thực b) z số ảo Hướng dẫn giải: a) z số thực b – = 0, hay b = b) z số thuẩn ảo 3a + = 0, hay a = –2/3 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Bài tập áp dụng: Bài Xác định phần thực phần ảo số phức: z = −3 + 5i z = − 2i z = 12 z = z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 z = (2 + i)3 – (3 – i)3 z = (3 – 5i) + (2 + 4i) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10 z = (2 + i) – (1 + 4i) Bài Cho z = ( 2a − 1) + ( 3b + ) i với a, b ∈ R Tìm số a, b để: z số thực Bài Tìm số thực x y, biết: ( 2x + 1) + 5i = −4 + ( 3y − ) i ( z số ảo ) x − − 4i = − ( y + 1) i BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) biểu diễn điểm M(a; b) (hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (hay gọi mặt phẳng phức) Trong đó: - Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b Ví dụ Cho số phức + 3i; 3; –i; –1 + 2i có điểm biểu diễn A, B, C, D a) Chứng minh ABCD hình bình hành b) Tâm I hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào? MODULE CỦA SỐ PHỨC Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, module số phức z kí hiệu |z| tính theo biểu thức: z = a + b Ví dụ: Tính module số phức sau z = + 3i z = 2i z = − i z = ( + i ) + (1 + 2i ) 2 Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z = a + b ta có 2 z = + 3i ⇒ z = + = 10 z = 2i ⇒ z = = z = − i ⇒ z = + = ( ) ( ) z = ( + i ) + (1 + 2i ) = + 2i + i + + 4i + 4i = ( + 2i ) + ( 4i − 3) = 6i ⇒ z = 2 SỐ PHỨC LIÊN HỢP Khái niệm: Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp số phức z kí hiệu z tính theo biểu thức: z = a − bi Chú ý: + Các điểm M(a ; b) M’(a ; –b) biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục Ox + Các số phức z z có module nhau: z = z = a + b Ví dụ: Viết số phức liên hợp số phức sau tính module chúng z = – 5i z = 7i z = + i z = − 2i Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Hướng dẫn giải: Áp dụng z = a − bi , ta : z = − 5i ⇒ z = + 5i ⇒ z = + 25 = 29 z = 7i ⇒ z = −7i ⇒ z = 49 = z = + i ⇒ z = − i ⇒ z = 36 + = 37 z = − 2i ⇒ z = + 2i ⇒ z = + = LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Bài Tính z + z ', z − z ', z.z ' với 1) z = + 2i , z ' = + 3i 2) z = − 3i , z ' = + 4i 3) z = −4 − 7i , z ' = − 5i Bài Thực phép tính sau : 4) z = + i , z ' = − + 2i 1) (1 − i ) 2) ( + 3i ) 3) (1 + i ) + 3i Bài Viết số phức sau dạng đại số: 1) z = (1 + i )( − 3i ) 4) (1 + i )  − 2i  3) z =    − 6i  5) z = − 3i 2010 2) z = −5 + 6i + 3i 4) z = − 4i 4−i 6) z = i − 2 2+i 8) z = 5i + 2i 12i 10) z = + 12i + 2i − 2i i 4i 9) z = 1− i (2 + i)(12i) (2i)(1 + 2i) 11) z = + 2i 2+i 3 Bài Cho z = − + i Hãy tính: , z , z , z , + z + z 2 z Bài Tính modun, tìm số phức liên hợp số phức sau: + 5i 1) z = 2) z = + 3i i − 3i − 2i 3) z = 4) z = 2−i 2+i 7) z = () 5) z = (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) 6) z = (1 + 2i )( − i ) 7) z = + 3i ( + i )( − 2i ) 8) z = + 5i 20 + − 4i + 3i 9) z = + 7i − 8i + + 3i − 3i 10) z = (3 − 2i)(4 + 3i) + − 4i − 2i ( + 2i )(1 − 3i ) + − i 13) z = ( ) + 3i 11) z = 15) z = 1 1 i −  2i  i  12) z = 14) z = + 2i + (2 − i)(4 − 3i) 2+i ( − 2i ) (1 − i ) 1+ i (1 + 2i ) − (1 − i ) ( + 2i ) − ( + i ) 10 1+ i  16) z =   + (1 − i ) + ( + 3i )( − 3i ) + i 1− i  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! 33 www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 1+ i   1− i  18) z =   +  1− i  1+ i  Bài Cho số phức z1 = + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối số phức liên hợp số phức sau: 1) z = z1 + z + z3 2) z = z1z2 + z z3 + z3z1 17) z = + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) 3) z = z1z z3 5) z = 20 z1 z z + + z z z1 4) z = z12 + z 22 + z32 6) z = z12 + z 22 z 22 + z32 Bài Tính z1 + z , z1 − z , z1.z , z1 − 2z , 2z1 + z , biết: 1) z1 = −5 + 6i, z = − 2i 2) z1 = + 2i, z = − 3i 1 3) z1 = − + i, z = − + i Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC 5.1 Phép cộng, trừ hai số phức ♦ Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Khi số phức w = z + z’ tính : w = (a + a’) + (b + b’)i ♦ Tương tự, số phức u = z – z’ tính : u = (a – a’) + (b – b’)i Chú ý: Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất phép cộng hai số thực tính giao hoán, kết hợp ♦ Tính chất kết hợp : ( z + z ' ) + z" = z + ( z ' + z" ) ∀z,z ' , z" ∈ ℂ ♦ Tính chất giao hoán : z + z ' = z ' + z∀z, z ' ∈ ℂ ♦ Cộng với : z + = + z = z∀z ∈ ℂ ♦ Với số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) , kí hiệu số phức −a − bi –z ta có z + (− z) = (− z) + z = Số –z gọi số đối số phức z Ví dụ Thực phép cộng, trừ số phức sau z = 2+ 3i ; z’ = – 2i z = –5 + 2i ; z’ = 3i z = – 3i ; z’ = – i Hướng dẫn giải: ' ' ' Áp dụng công thức z + z = (a + a ) + (b + b )i ; z − z ' = (a − a ' ) + (b − b ' )i , ta có z + z ' = (2 + 5) + (3 − 2)i = + i ; z − z ' = (2 − 5) + (3 + 2)i = −3 + 5i z + z ' = −5 + (3 + 2)i = −5 + 5i ; z − z ' = −5 + (2 − 3)i = −5 − i z + z ' = (2 + 2) − (3 + 1)i = − 4i ; z − z ' = (2 − 2) + (−3 + 1)i = −2i 5.2 Phép nhân hai số phức ♦ Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Khi số phức w = z.z’ tính công thức : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i Nhận xét : Với số thực k số phức a + bi (a, b ∈ ℝ) , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi 0z = với số phức z Chú ý: Phép nhân số phức có đầy đủ tính chất phép nhân số thực ♦ Tính chất giao hoán : z.z ' = z ' z, ∀z, z ' ∈ ℂ ♦ Tính chất kết hợp : (zz ' )z" = z(z ' z" ), ∀z, z ' , z" ∈ ℂ ♦ Nhân với : 1.z = z.1 = z, ∀z ∈ ℂ ♦ Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng z ( z ' + z" ) = zz ' + zz" , ∀z, z ' , z" ∈ ℂ Ví dụ Phân tích thừa số số phức biểu thức sau a2 + 2a2 + 2 4a + 9b 3a2 + 5b2 Hướng dẫn giải: Sử dụng i = –1 ta a + = a − i = (a − i)(a + i) 4a + 9b = 4a − 9b 2i = (2a − 3bi)(2a + 3bi) ( )( 2a + = 2a − 3i = a − 3i a + 3i 3a + 5b = 3a − 5b 2i = ( 3a + 5bi )( ) 3a − 5bi ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 5.3 Phép chia cho số phức khác ♦ Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = ♦ Thương z z z' phép chia số phức z’ cho số phức z khác tích z’ với số phức nghịch đảo z, tức z z' = z ' z −1 z z ' z ' z ( a − bi ) ( a + b i ) với z ≠ = = z z2 ( a + b2 ) ' Vậy ' Nhận xét : • Với z ≠ 0, ta có = 1.z −1 = z −1 z z' • Thương số phức w cho zw = z’ Có thể nói phép chia cho số phức khác phép toán ngược phép z nhân • Thực chất phép chia hai số phức nhân tử số mẫu số với biểu thức phức liên hợp mẫu số Ví dụ Thực phép chia số phức sau −5 + 6i z = z = + 3i (1 + i )( − 3i )  − 2i  z =    − 6i  z = − 4i 4−i Hướng dẫn giải: 1 7−i 7−i 1 z = = = = 2 = − i (1 + i )( − 3i ) + i (7 + i)(7 − i) − i 50 50 −5 + 6i (−5 + 6i )(4 − 3i ) −2 + 39i −2 39 = = = + i + 3i (4 + 3i )(4 − 3i ) + 32 25 25 − 2i (7 − 2i )(8 + 6i ) 68 + 26i 17 13 Tính z ′ = = = = + i − 6i (8 − 6i)(8 + 6i) 82 + 62 25 50 z =  − 2i  17 13 17 13 V ậy z = z ′ =  + i= − i = 25 50  − 6i  25 50 Nhận xét : Ta giải câu theo cách khác sau (sử dụng tính chất số phức):  − 2i  − 2i + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13 z = = = = − i = 82 + 25 50  − 6i  − 6i + 6i − 4i (3 − 4i )(4 + i ) 16 − 13i 16 13 z = = = = − i 4−i (4 − i )(4 + i ) + 17 17 CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC ♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau số phức xếp vào nhóm: Tính chất 1: Số phức z số thực ⇔ z = z Chứng minh: Ta có : z = z ⇔ x + yi = x − yi ⇔ y = ⇒ z = x Vậy z số thực Tính chất 2: Số phức z số ảo ⇔ z = − z Chứng minh: Ta có : z = − z ⇔ x + yi = − x + yi ⇔ x = ⇒ z = yi Vậy z số ảo Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z module |z| Khi đó: zz = z Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng  z z = ( x + yi )( x − yi ) = x − y 2i = x + y 2  Chứng minh:  2  → zz = z 2 2 =x +y z = x +y  ( ) ♦ Cho số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất xếp vào nhóm liên hợp: Tính chất 4: z1 + z2 = z1 + z2 Chứng minh:  z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i  → z1 + z2 = z1 + z2   z1 + z2 = x1 − y1i + x2 − y2i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i Tính chất 5: z1z = z1.z Chứng minh:  z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i  → z1 z2 = z1 z2   z1.z2 = ( x1 − y1i )( x2 − y2i ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i z  z Tính chất 6:   =  z2  z2 Chứng minh:  z   x + y i   ( x x + y y ) − ( x y − x y )i  x x + y y x y − x2 y1 2 1 2   =  1  =  + 22 i = 2 2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y22 z  z  z2   x2 + y2i     →  =   z2  z2  z1 x1 − y1i ( x1 − y1i )( x2 + y2i ) x1 x2 + y1 y2 x1 y2 − x2 y1 = = = + i z x22 + y22 x22 + y22  x2 − y2i ( x2 − y2i )( x2 + y2i ) Nhận xét : Ngoài cách chứng minh cổ điển ta sử dụng “thành quả” chứng minh tính chất số z Thật vậy, đặt z = ⇒ z1 = z.z2 z2 Theo tính chất ta có: z1 = z.z2 = z.z2 ⇒ z = z  z z1 , hay   = z2  z2  z2 ♦ Cho số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất xếp vào nhóm module: Tính chất 7: z1z = z1 z Chứng minh: z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i ⇒ z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 )2 + ( x1 y2 + x2 y1 )2 = ( x1 x2 ) + ( x1 y2 ) + ( x2 y1 ) + ( y1 y2 )2 , (1) z1 z2 = x12 + y12 x22 + y22 = ( x1 x2 )2 + ( x1 y2 )2 + ( x2 y1 )2 + ( y1 y2 ) , (2) Từ (1) (2) ta có (đpcm) z z Tính chất 8: = z2 z2 Chứng minh: z1 x + yi ( x + y i )( x − y2 i) ( x x + y1 y2 ) + ( x2 y1 − x1 y2 )i = 1 = 1 = z2 x2 + y2i ( x2 + y2i )( x2 − y2i ) x22 + y22 2 xx +y y  x y −x y  z ⇒ =  22 12  +  21 12  = z2  x2 + y2   ( x2 + y2 )  Nhận xét : (x + y12 )( x22 + y22 ) ( x22 + y22 ) Tương tự nhận xét nêu tính chất 6, ta đặt z = = x12 + y12 x22 + y22 (1) z1 ⇒ z1 = z.z2 z2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Theo tính chất ta có: z1 = z.z2 = z z2 ⇒ z = z1 z2 , hay z z1 = z2 z2 Tính chất 9: z1 + z2 ≤ z1 + z2 Chứng minh: z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⇔ ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + y12 + x22 + y22 ⇔ ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + x22 + x22 + y22 + ( x12 + y12 )( x22 + y22 ) ⇔ ( x1 x2 + y2 y1 ) ≤ ( x1 x2 ) + ( x2 y1 ) + ( x1 y2 )2 + ( y1 y2 ) 2 ⇔ ( x1 y2 − x2 y1 ) ≥ Ví dụ Thực phép tính sau :  − 2i  z =  z = (1 + i)(3 − 2i)   − 6i  1+ i z = z = (5 + i)(2 − 3i) 1− i Hướng dẫn giải:  − 2i  − 2i + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13 z =  = = = − i = 82 + 25 50  − 6i  − 6i + 6i z = (2 + 3i ) + (1 − i ) z = (1 + i )(3 − 2i ) = + i − 2i = 12 + 12 32 + 22 = 26 z = (2 + 3i ) + (1 − i ) = + 3i + − i = − 3i + + i = − 2i z = 1+ i 1+ i 1+1 = = =1 1− i 1− i 1+1 z = (5 + i )(2 − 3i) = + i.2 − 3i = (5 − i )(2 + 3i ) = 13 + 13i Ví dụ Tính module số phức sau z(1 + 2i) = −1 + 3i z − (1 + 2i ) = − 6i + 3i z = + 2i −1 + 3i 2+i −1 + 3i z= 1− i 2+i Hướng dẫn giải: Áp dụng lớp tính chất liên quan đến module ta có: z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇒ z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇔ z + 2i = 10 ⇒ z = 10 = z z z = + 2i ⇒ = + 2i ⇔ = 13 ⇒ z = 13 10 = 130 −1 + 3i −1 + 3i −1 + 3i z z z z − (1 + 2i ) = − 6i ⇔ = − 4i ⇒ = − 4i ⇔ = 52 = 13 ⇒ z = 26 + 3i + 3i + 3i + 3i −1 + 3i 2+i −1 + 3i 2+i −1 + 3i 2+i ⇒ ⇔ ⇔ z= z = z = 1− i 2+i 1− i 2+i 1− i 2+i 10 ⇒z = z = 5 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính module số phức liên hợp số phức z sau : z = (2 − 5i)(3 + i) (1 + i ) z + = 2i − 4z (3i + 4)(2 − i) z(2 + 3i) = + 5i z = (1 − 3i ) z + ( + 3i ) = − 5i 3i − 10 + i (1 + 2i)z = (−1 + 3i)(2 + i) + 7i − 8i z = + + 3i − 3i z = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 10 z = z = (1 + 2i)(2 − 4i) 7+i 2−i + 5i 20 + 13 z = − 4i + 3i + 3i 15 z = ( + i )( − 2i ) 11 z = − 4i 2−i 12 z = (2 − i)( −3 + 2i)(5 − 4i) 14 z = (3 − 2i)(4 + 3i) + − 4i − 2i Bài Tìm số phức z biết a) z = ( − i )3 + 2i b) z.z + 3( z − z ) = − 4i c) z −1 = − 2i Bài Tính mô-đun số phức z biết a) − i (2 − 3i ) z = +2−i z z b) Cho số phức z1 = − 3i + (1 − i )3 ; z2 = + 2i − (1 − i )3 Tính mô-đun số phức z = z1 z2 1+ i (1 − 3i ) Tín mô-đun số phức z + iz c) Cho số phức z = 1− i Bài 4: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (−1 + 3i)2012 + (1 + 3i)2012 Bài 5: Cho số phức z + = i 2013 + i 2012 Tìm z ' biết z ' = z + iz Bài Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau: a) z = z b) z − z + = c) z + z = d) z + z i( z − z) − = + 6i 1+ i − 2i g) z + z = ( z)2 + i =i z +1 f) ( z + z )(1 + i) + ( z − z )(2 + 3i) = − i e) h) z + i z = i) iz + z + = Bài Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức sau: z −8 a) z + z = b) z − 3i = − i z z − z c) z = ( z + 1)(1 + i) + z −1 1− i d) z − = z + z + z = 2 z =  e)   z + 2iz = f) z + z z − = g) z + (1 + 3i) z = 25 + 21i h) z + z − z = i) z = z ( z − 5) số ảo z 35  z + + z − = 10 j)   z + 3i = 109 Bài Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 3i ) z số thực z − + 5i = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức Tài liệu giảng: 02 CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN a) Đường thẳng Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường thẳng M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng : Ax + By + C = b) Đường tròn Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường tròn M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, I(a ; b) tâm đường tròn R bán kính đường tròn c) Đường Elip Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x + yi đường elip M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương x2 y2 trình đường elip ( E ) : + = , a, b tương ứng bán trục lớn bán trục nhỏ elip a b Chú ý : Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm tiêu điểm theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, đồng thời AB = 2c, độ dài tiêu cự elip Mối quan hệ đại lượng a, b, c elip a2 = b2 + c2 II CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z hai lần phần ảo b) Phần thực z thuộc đoạn [–2; 1] c) Phần thực z thuộc đoạn [–2; 1] phần ảo z thuộc đoạn [1; 3] d) |z| ≤ e) ≤ |z| ≤ f) |z –1 + 2i| ≤ g) 2i − z = z − Hướng dẫn giải : Gọi z = x + yi M(x ; y) điểm biểu diễn số phức z a) Phần thực z hai lần phần ảo z, tức x = 2y, hay x – 2y = Vậy quỹ tích điểm M(z) đường thẳng d : x – 2y = b) Phần thực z thuộc đoạn [–2; 1], tức –2 ≤ x ≤ Vậy quỹ tích điểm M(z) phần mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng x = –2 x = c) Phần thực z thuộc đoạn [–2; 1] phần ảo z thuộc đoạn [1; 3], tức –2 ≤ x ≤ 1≤y≤3 Vậy quỹ tích điểm M(z) miền hình chữ nhật ABCD giới hạn bốn đường thẳng x = –2 ; x = ; y = y = d) z ≤ ⇔ x + y ≤ ⇔ x + y ≤ Vậy quỹ tích điểm M(z) miền hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể điểm nằm đường tròn) Cách giải khác: Gọi M điểm biểu diễn số phức z M1 điểm biểu diễn số phức z1 = ⇒ M1(0; 0) Theo toán tiền đề ta |z – z1| = MM1, hay |z | = MM1 Từ ta MM1 ≤ 2, (1) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng + Gọi C, D theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức 2, −2i Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) đường trung trực đoạn thẳng CD Đường trung trực qua trung điểm H (1; −1) đoạn thẳng CD nhận CD ( −2; −2 ) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình −2 ( x − 1) − ( y + 1) = ⇔ x + y = (2’) Suy giao điểm đường tròn đường trung trực nghiệm hệ cho Đó điểm ( x; y ) thỏa  x + y =  y = − x ⇔ 2 2 ( x − 1) + ( y − 1) = 10 ( x − 1) + ( − x − 1) = 10 mãn (1’) (2’), tức nghiệm hệ phương trình sau   y = −x x =  x = −2  ⇔ ⇔  x = ±2  y = −2 y = Vậy hệ cho có hai nghiệm z = − 2i z = −2 + 2i  z − − 4i = (3)   Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau với z ẩn số  z + + 2i = (4)   z + −i  Hướng dẫn giải: + Gọi E điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức + 4i Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) đường tròn tâm E, bán kính R = 2 Phương trình đường tròn ( x − 1) + ( y − ) = (3’) + Gọi A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức + i Khi tập hợp điểm M biểu diễn số phức z 2 thỏa mãn (4) đường tròn ( x + 1) + ( y − ) = (4’) −3 − 2i, − Suy nghiệm hệ cho giao điểm hai đường tròn (3’) (4’), tức điểm ( x; y ) thỏa ( x − 1)2 + ( y − ) = mãn hệ phương trình sau  2 ( x + 1) + ( y − ) =  x + y − x − y + = x + y − = ⇔ ⇔ 2  x + y + x − y = x + y + 2x − y =  y = − x y = − x ⇔ ⇔ 2  x + ( − x ) + x − ( − x ) = x + x − = x =  x = −2  ⇔ y =1 y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm z = + i z = −2 + 4i Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức  z − − i ≤ (5) Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn số phức z :   z − − 2i ≥ (6) Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) tọa vị điểm M mặt phẳng phức + Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (5) hình tròn tâm A ( 3;1) , bán kính R = ( kể biên ) + Ta có (6) ⇔ z − − i ≥ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (6) phần mặt phẳng nằm bên 9  hình tròn tâm B  ;1 , bán kính R = 2  (kể biên ) Vậy nghiệm hệ bất phương trình cho giao hai tập hợp Đó “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen hình vẽ  z + − 2i ≥ (7)  Ví dụ 6: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn số phức z :  z +  z − − 2i ≤ (8)  Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) tọa vị điểm M mặt phẳng phức + Tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ đường trung trực đoạn thẳng AB ( kể đường trung trực ), với A ( −3; ) B ( −1;0 ) + Tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn (8) hình tròn tâm E (1; ) , bán kính R = (kể biên ) Vậy nghiệm hệ bất phương trình cho giao hai tập hợp Đó phần hình tròn kể biên không bị bôi đen hình vẽ Ví dụ 7: Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng? a) z ' = (1 + i)z + 2i biết z + z + = b) z ' = 3z + iz biết z + 2i = z − + i c) z ' = (2 + i)z + biết z + − i = 4zz + Ví dụ 8: Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng? a) z ' = (1 + i)z + 2i biết z + z + = b) z ' = 3z + iz biết z + 2i = z − + i c) z ' = (2 + i)z + biết z + − i = 4zz + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Ví dụ 9: Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ ? a) z + − i = z + 3i − b) z + 2i = z + + 3i Ví dụ 10: Trong số phức z thỏa mãn z − + 2i = , tìm số phức z có mô-đun nhỏ Ví dụ 11: Trong số phức z thỏa mãn z − − i = 52 , tìm số phức z cho z − + 2i đạt max, min?  max = 13 ⇒ M (−2;7) Đ/s:   = 13 ⇒ M (6; −5) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau biết quỹ tích số phức z tương ứng? a) z ' = (1 − i)z + biết z − i ≥ 3zz − 10 b) z ' = 2z + i biết z + i ≤ c) z' = (1− i 3)z +1 biết z + 2i − ≥ 9zz + d) z' = 2z + i −1 biết z − = Bài Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ ? a) z − − 4i = z − 2i Đ/s: z = + 2i b) z + − 5i = z + − i Đ/s: z = + i 5 c) z = z − + 4i Bài Trong số phức z thỏa mãn hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ lớn  z = + 2i ⇒ z = a) z − − 4i = Đ/s:   z = + 6i ⇒ z max =  z = + 2i ⇒ z = b) z + + 2i = Đ/s:   z = −3 − 6i ⇒ z max =  z = −2 + i ⇒ z = 5 c) z + − i = Đ/s:  2  z = −4 + 2i ⇒ z max = Bài Trong số phức z thỏa mãn z − + 2i = 10 , tìm số phức z cho z + − 4i max, min?  max = 10 ⇒ M (−2; 7) Đ/s:   = 10 ⇒ M (0;1) Bài Trong số phức z thỏa mãn z + i = , tìm số phức z cho z + + 3i max, min?  max = ⇒ M (2;0) Đ/s:   = ⇒ M (−2; −2) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 03 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng I CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi gọi bậc hai số phức z w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi Chú ý : Khi b = z = a, ta có trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a > ⇒ ω = ± a + TH2 : a < ⇒ z = i a ⇒ ω = ±i a Khi b ≠ 0, để tìm bậc z ta giải hệ phương trình từ đồng thức: (x + yi)2 = a + bi x2 − y2 = a 2 hay x − y + xyi = a + bi ⇔  2 xy = b Ví dụ Tìm bậc hai số phức sau a z = b z = –7 c z = −1 − 6i Hướng dẫn giải: a z = ⇒ ω = ± b z = −7 = 7i ⇒ ω = ±i c Gọi w = x + yi bậc hai số phức z = −1 − 6i , ta có  − y =  x2 = 2 x  x − y = −   ⇔ ⇔ ( x + yi ) = −1 − 6i ⇔ x − y + xyi = −1 − 6i ⇔  − 2 xy = −2  x −  −  = −1  y =   x   x    Hệ phương trình có nghiệm ( )( 2; − ; − 2; ) Vậy có bậc hai −1 − 6i − 3i − + 3i Ví dụ Tính bậc hai số phức sau : a z = −1 + 3i b z = + 5i d z = 4i e z = −5 − 12i + i Ví dụ Viết số phức sau dạng phương ? a) z = −21 + 20i = g z = −40 + 42i h z = c z = –18i f z = 11 + 3i i z = −8 + 6i b) z = + 3i = c) z = −15 + 8i = d) z = −1 − 2i = e) z = − 12i = f) z = 13 + 3i = g) z = 22 − 10 2i = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng II PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC Xét phương trình phức bậc : Az2 + Bz + C = có ∆ = B2 – 4AC TH1: Các hệ số A, B, C số thực Tính ∆ = B − AC −B ± ∆ + Nếu ∆ > phương trình có nghiệm thực z = 2A + Nếu ∆ < ⇒ ∆ = −i ∆ ⇒ ∆ = ±i ∆ ⇒ z = −B ± i ∆ 2A TH2: Các hệ số A, B, C số phức Tính ∆ = B − AC = a + bi = ( x + yi ) − B ± ( x + yi ) Khi phương trình có nghiệm z = 2A Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức a z + 2z + = b z − 4z + 20 = c (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Hướng dẫn giải: a z + z + = Ta có ∆ ' = −4 = 4i ⇒ ∆ = ±2i ⇒ z = −1 ± 2i b Ta có ∆ ' = −16 = 16i ⇒ ∆ = ±4i ⇒ z = ± 4i  z = −i 2 c ( z + i )( z − 2iz − 1) = ⇔   z − 2iz − = 1  z= − i  1  1− i  2 2 TH1 : z + i = ⇔ z = −i = ( −2i ) = (1 − i ) =   ⇒ 1 2   2 z = − + i  2 TH2 : z − 2iz − = ⇔ z − 2iz + i = ⇔ ( z − i ) = ⇔ z = i 1 −1 Vậy phương trình cho có nghiệm z1 = − i; z = + i; z3 = i 2 2 Nhận xét : Ngoài cách giải chuẩn mực trên, giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ sau 2 a z + z + = ⇔ ( z + 1) + = ⇔ ( z + 1) − 4i = ⇔ ( z + 1) = (2i ) ⇒ z = −1 ± 2i b z − z + 20 = ⇔ ( z − ) + 16 = ⇔ ( z − 2) = 16i = (4i ) ⇒ z = ± 4i d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2 3i − + + i  = 2i  z1 = Vậy nghiệm phương trình cho   z = 3i − − − i = i −  2 Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức iz +  iz +  a)  −4 =  − z − 2i  z − 2i  b) z − = c) z − z − = Hướng dẫn giải: iz +  iz +  a)  −4 =  − z − 2i  z − 2i  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Đặt t = −1 iz + = t ⇒ t − 3t − = ⇔  z − 2i t = Với t = ⇔ ⇒z= iz + −3 − 8i (−3 − 8i ) ( i + ) −4 − 35i = ⇔ iz + = 4( z − 2i ) ⇔ z (i − 4) = −3 − 8i ⇒ z = = = z − 2i i−4 i − 16 −17 35 + i 17 17 Với t = −1 ⇔ iz + 2i − ( 2i − 3)( i − 1) − 5i = −1 ⇔ iz + = 2i − z ⇔ z ( i + 1) = 2i − ⇒ z = = = z − 2i i +1 i2 −1 −2 ⇒z=− + i 2 Vậy phương trình cho có nghiệm phức z1 = 35 + i; z = − + 17 17 2 b) z3 – = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + ) = TH1 : z – = ⇔ z = TH2 : z + z + = ⇔ ( z + 1) = −3 = 3i ⇒ z = −1 ± i Vậy phương trình cho có nghiệm phức z1 = 2; z = −1 − i 3; z3 = −1 + i c) z − z − = t = Đặt z = t Phương trình cho tương đương với 4t − 3t − = ⇔  t = −  −1 Giải phương trình tìm t = t = Với t = ta z = ⇒ z = ± 1 i2 i Với t = − = = ⇔ z = ± 4 i Vậy phương trình cho có nghiệm phức z = ±1; z = ± 2 Ví dụ Gọi z1, z2 nghiệm phương trình z + 2z + = Tính giá trị biểu thức sau 2 2 2 A = z1 + z2 ; B = z1 + z2 − z1 z2 Hướng dẫn giải:  z1 = −1 + 2i Ta có z + z + = ⇔ ( z + 1) = −4 = (2i ) ⇒   z2 = −1 − 2i  z1 = + =  z1 = −1 − 2i  z1 = Khi ta có   ⇒  z1 = −1 + 2i  z2 =  z2 = + =  2 2 A = z1 + z2 = + = 10 B = z1 + z2 − z1 z2 = + − 5 = −10 Vậy A = 10 B = –10 Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 2z + = b) z − 4z + 20 = c) −3z + z − = d) 4z + = e) 3z − z + = f) z − 3z + = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 2(i − 2)z + − 2i = b) z − (i + 3)z − − 2i = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng c) z − (3 + i)z + + 3i = d) iz − z + + i = e) iz + 2iz − = f) z − (3 − i)z + − 3i = g) 3iz − 2z − + i = h) z − 8(1 − i)z + 63 − 16i = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z − = b) z + 4z + 6z + = c) z − z3 + 6z − 8z − 16 = d) z − z − 12 = e) z − 2z − = g) 4z − 3z − = g) z − 6z + = h) z − 16 = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) (1 + i)z = −1 + 7i b) (z − i)(z + 1)(z + i) = c) (2 + 3i)z = z – d) ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = e) ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = iz +  iz +  f)  −4=0  − z − 2i  z − 2i  g) ( z + 1) + ( z + 3) = g) ( z + )( z − z + 1) = 2 2 i) ( z + 3i ) ( z − 2z + ) = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 16 =  z+i  b)   =1  z − 2i  c) (z + 3z + 6) + 2z(z + 3z + 6) − 3z = d) (z + 1) + 2(z + 1)2 + (z + 4) + = 4 Ví dụ Giải phương trình sau: a) z − z + 11 + 3i = Đ/s: a) z = − i; z = + i b) z + 2(1 − 2i ) z − − 4i = b) z = + 2i; z = −3 + 2i c) z − 2(2 − i ) z + − 8i = Đ/s: c) z = + i; z = − 3i d) z − (2 + i ) z + + i = d) z = 1; z = + i Ví dụ 10 Giải phương trình sau (bậc ba): a) z − (2 + i ) z + (2 + 2i ) z − 2i = biết phương trình có nghiệm z = i Đ/s: z = i; z = ± i b) z + z + (4 + i) z + + 3i = biêt phương trình có nghiệm z = – i Đ/s: z = −i; z = −1 + i; z = −3 c) z − z + (2 − 2i ) z + + 4i = biết phương trình có nghiệm z = – i Đ/s: z = + i; z = − 3i d) z = 1; z = + i Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức Tài liệu giảng: 04 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng Khái niệm dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi, số phức gọi dạng đại số số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) gọi dạng lượng giác số phức Trong đó: r: module số phức ϕ: argument số phức Cách chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm module argument số phức   2 r = a + b r = a + b   a a Bằng việc đồng biểu thức hai số phức ta có: a = r cos ϕ ⇔ cos ϕ = = , (1) 2 r a + b b = r sin ϕ    b b , (2) sin ϕ = = r  a + b2 Hệ phương trình cho phép thực việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác Chú ý: ♦ Từ hệ thức (1) (2), kết hợp với kiến thức lượng giác cung góc lượng giác ta xác định ϕ ♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác dễ làm “lầm tưởng” dạng lượng giác Nhưng không, việc chuyển đổi linh hoạt công thức từ cos sang sin ngược lại ta thu dạng lượng giác “chính gốc” ♦ Trong biểu thức cho phép xác định ϕ thường có hai giá trị ϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị ϕ = –5π/6 ϕ = 7π/6 chấp nhận được) Ví dụ Tính modun argument số phức sau a) z = + i b) z = + i c) z = − i d) z = + i Hướng dẫn giải:   2 r = a + b  a a Áp dụng công thức cos ϕ = = , ta có 2 r a + b   b b sin ϕ = = r a + b2  a) z = + i ⇒ r = a + b2 = + = a  cosϕ = r = π Đồng thời  ⇒ϕ= sinϕ = b =  r Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức  r = + = r =  3   b) z = + i ⇒ cosϕ = = ⇒ π r  ϕ = 1  sin ϕ = r =  r = + = r =  3   c) z = − i ⇒ cosϕ = = ⇒ π r  ϕ = − 1  sin ϕ = − r = −  r = + =  r = 1   d) z = + i ⇒ cosϕ = = ⇒ π r  ϕ =  3 = sin ϕ = r  Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác a) z = − − i b) z = −2 + 3i c) z = −1 − i d) z = −5 − 3i Hướng dẫn giải:   r = + = 2 r = 2   r = 2  − − − −   a) z = − − i ⇒ cosϕ = = ⇔ cosϕ = = ⇒ 7π r r 2   ϕ =    − −1 − − = sin ϕ = = sin ϕ =  r r 2  7π 7π   Từ z = − − i = 2  cos + i sin  6     r = + 12 =  r = −2 −1 2π 2π     b) z = −2 + 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  2π ⇒ z =  cos r 3    ϕ =  3 = sin ϕ =  r  r = + =  r = −1 −1 4π 4π     c) z = −1 − i ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  4π ⇒ z =  cos r 3    ϕ =  − − = sin ϕ =  r Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng  r = 25 + 75 = 10  r = 10 −5 −1 4π 4π     d) z = −5 − 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  4π ⇒ z = 10  cos r 3    ϕ =  −5 − = sin ϕ =  r ϕ Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác: z = sin ϕ + 2i sin 2 Hướng dẫn giải: φ φ φ φ φ φ φ Biến đổi số phức cho ta z = sin φ + 2i sin = 2sin cos + 2i sin = sin  cos + i sin  2 2 2 2 Do module số phức số dương nên ta xét trường hợp sau φ φ φ φ TH1: sin > ⇒ z = 2sin  cos + i sin  2 2 φ φ φ  φ  TH2: sin < ⇒ z = −2sin cos  + π  + i sin  + π   2 2  2  Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác z = − − i z = −1 + i 3 z = − i z = − 2i z = 8i z = − 3i z = i z = –4i Nhân chia hai số phức dạng lượng giác a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi số phức z = z1.z2 cho công thức z = z1.z = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Từ ta có số phức z = z1.z2 có module argument thỏa mãn r = r1.r2 ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh: Thật ta có: z = z1.z =  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )   r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 )  = r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 − sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2 )  = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số a) z = ( cos180 + i sin180 )( cos 720 + i sin 720 ) b) z = ( cos1200 + i sin1200 )( cos150 + i sin150 ) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z = z1.z = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] ta có ( )( ) )( ) ( ) ( ) a) z = cos180 + i sin180 cos 720 + i sin 720 = cos 180 + 720 + i sin 180 + 720  = ( cos900 + i sin 900 ) = i ⇒ z = i ( ( ) ( ) b) z = cos1200 + i sin1200 cos150 + i sin150 = cos 1200 + 150 + i sin 1200 + 150   3  = cos1350 + i sin1350 =  − + i ⇒ z = − + i 2  2  Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác a) z = (1 + i ) − i b) z = + i − i ( ) ( ) ( )( ) Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng ♦ Với hoàn toàn thực phép nhân chuyển kết thành lượng giác, thường argument số phức khó tìm kết đẹp nên chuyển biểu thức sang lượng giác thực phép nhân sau ♦ Với dạng toán chuyển sang lượng giác thực nhanh mà trình bày rườm rà thao tác chuyển (tức phải pro cách chuyển đó) π π −π −π    a) Ta có: + i =  cos + i sin  ; − i =  cos + i sin  4 6      π π    −π −π   π π  Khi z = (1 + i ) − i =   cos + i sin     cos + i sin   = 2  cos + i sin  4    6  12 12     π π −π −π    b) Ta có: + i = 2  cos + i sin  ; − i =  cos + i sin  3 3     π π    −π −π    Khi z = + i − i =  2  cos + i sin     cos + i sin  = 2 ( cos + i sin ) 3    3     b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) z z r Khi số phức z = cho công thức z = = [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 z r2 z r Từ ta có số phức z = có module argument thỏa mãn r = ϕ = ϕ1 – ϕ2 z2 r2 Chứng minh: r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )   r2 ( cos ϕ2 − i sin ϕ2 )  z Thật ta có z = = = z r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r22 ( ( = ) )( ) r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 + sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( sin ϕ1.cosϕ2 − cosϕ1.sin ϕ2 )  2 r Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số a) z = Áp dụng công thức z = r1 [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r2 2π 2π    cos + i sin  3   b) z = π π   cos + i sin  2  Hướng dẫn giải: cos85 + i sin 85 cos 400 + i sin 400 = z1 r1 = [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] , ta được: z r2 cos850 + i sin 850 1 = cos 850 − 400 + i sin 850 − 400 = cos450 + i sin 450 = + i 0 cos 40 + i sin 40 2 2π 2π    cos + i sin    2π π  2 π π 3   2π π    b) z = = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin = + i  π π   2   6  4    cos + i sin  2  Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác 1− i −1 + 3i a) z = b) z = + 2i +i Hướng dẫn giải: −π −π  π π   a) Ta có: − i =  cos + i sin  ; + 2i = 2(1 + i) = 2  cos + i sin  4  4   Khi đó: a) z = ( ) ( ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng −π −π    cos + i sin  1− i −π −π  4  1  π π  π π    z= = = cos  − −  + i sin  − −   =  cos + i sin =− i  π π 2  4 + 2i 2    4   2  cos + i sin  4  2π 2π  π π   b) Ta có: −1 + 3i =  cos + i sin  ; + i =  cos + i sin  3  6   2π 2π   + i sin  cos  −1 + 3i π π 3   2π π   2π π  Khi z = =  = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin ⇒ z = i π π 2  +i  6  6  cos + i sin  6  Ví dụ Viết số phức sau dạng đại số π π  π π  a) z =  cos + i sin   cos + i sin  6  4  0 2(cos 45 + i sin 45 ) b) z = 3(cos150 + i sin150 ) Công thức Moiver ứng dụng dạng lượng giác số phức a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] gọi công thức Moiver Ví dụ:  π π   π  π  z = (1 + i ) =  2cos + i sin  = cos   + i sin    = ( cosπ + i sin π ) = −4 4      4 Bằng phép tính toán đại số ta dễ dàng thu kết trên!!! 4 ( ) b) Ứng dụng dạng lượng giác ♦ Ứng dụng 1: Tính toán biểu thức số phức với lũy thừa lớn Ví dụ Tính module viết số phức liên hợp số phức sau ( a) z = −1 + i ) 100  1− i  b) z =    1+ i  Hướng dẫn giải: 6 2π 2π    2π 2π    a) Ta có: −1 + i =  cos + i sin  ⇒ z = −1 + i =   cos + i sin   3  3     12π 12π   6 = 26  cos + i sin  = ( cos4π + i sin 4π ) = ⇒ z = 64 3   Từ ta có z = 64; z = 64 ( ) −π −π   b) Ta có: − i =  cos + i sin  4   −π −π    cos + i sin  π π  1− i −π −π 4    + i =  cos + i sin  ⇒ = = cos + i sin = −i π π 4  1+ i 2    cos + i sin  4  100 100 −π −π   1− i   ⇒z= + i sin  =  cos  2   1+ i   Từ ta z = 1; z = = cos −100π −100π + i sin =1 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Ví dụ Tính module số phức sau (1 + i ) ( a) z = −i (1 − i )5 ) b) z = (1 + i )6 ( − 3i (1 − 3i ) ) Hướng dẫn giải: a) Ta có: π π 8π 8π  2π 2π     ♦ + i =  cos + i sin  ⇒ + i = 28  cos + i sin  = 28  cos + i sin  3 3  3     −π −π  −6 π −6 π   6 ♦ − i =  cos + i sin + i sin  ⇒ − i =  cos  =  cos ( −π ) + i sin ( −π )  6 6     −π −π  −5π − 5π  − 5π − 5π     ♦ − i =  cos + i sin + i sin + i sin  ⇒ (1 − i ) =  cos  =  cos  4  4  4     ( ) ( ) ( ) Từ ta có: 2π 2π   −π −π + i sin  26 cos ( −π ) + i sin ( −π )  28  cos + i sin cos 14 3  3 z= =  = − π − 5π − π − π   cos (1 − i ) + i sin  cos + i sin  4 4   14 214   −π 5π  11π 11π  214  −π 5π    = cos + + i sin + = cos + i sin ⇒ z =            12 12  2   b) Ta có: 6 π π 6π 6π  3π 3π    ♦ + i =  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) =  cos + i sin  =  cos + i sin  4 4  2     4 −π −π  −6 π −6 π    ♦ − 3i = (1 − i ) =  cos + i sin + i sin  ⇒ − 3i =  cos = 4  4    −3π −3π   = 36  cos + i sin  2   −π −π  − 5π − 5π   5 ♦ − 3i =  cos + i sin + i sin  ⇒ − 3i =  cos  3  3    ( 1+ i )( −i ) ( ) ( ( ) ( ) ) Từ ta có: z= (1 + i )6 ( − 3i (1 − 3i ) ) 3π 3π   −3π −3π    cos + i sin  36  cos + i sin  cos0 + i sin 2   2  =  = − 5π − 5π − 5π − 5π   cos + i sin 25  cos + i sin  3 3   5π 5π   =  cos + i sin  ⇒ z = 3   ♦ Ứng dụng 2: Tìm bậc n số phức - Khái niệm bậc n: Cho số phức z, số phức w gọi bậc n số phức z wn = z - Cách tìm bậc n số phức z Giải sử số phức z cho z = r(cosϕ + isinϕ), số phức w w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi điều kiện wn = z tương đương với:  r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ⇔ r 'n cos ( nϕ ') + i sin ( nϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) n Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức r ' = n r  r 'n = r  Từ ta suy  ⇒ ϕ + k2π , với k = 0, 1, 2…n –1 nϕ ' = ϕ + k2π ϕ ' =  n ϕ + k2π ϕ + k2π   Vậy bậc n số phức z w = n r  cos + i sin  , k = 0, n − n n   Ví dụ Tìm bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc z = − i b) Căn bậc z = i Hướng dẫn giải: −π −π   a) Ta có z = − i =  cos + i sin  6   Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) bậc z, w3 = z −π −π   + k2π + k2π   Theo công thức tính bậc n số phức ta có w =  cos + i sin  , k = 0, 3     −π −π     −π −π   + i sin Với k = ta w1 =  cos + i sin  =  cos  3  18 18      −π −π   + 2π + 2π   11π 11π   + i sin + i sin Với k = ta w =  cos  =  cos  3 18 18       −π −π   + 4π + 4π   23π 23π   Với k = ta w =  cos + i sin + i sin  =  cos  3 18 18       Vậy số phức cho có ba bậc ba w1, w2, w3 π π b) Ta có z = i = cos + i sin 2 Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) bậc z, w4 = z Theo công thức tính bậc n số phức ta có: π π π π   + k2π + k2π  + k2π + k2π  2 2 w =  cos + i sin + i sin , k = 0,3  = cos 4 4     π π π π Với k = ta w1 = cos + i sin = cos + i sin 4 8 π π + 2π + 2π 5π 5π Với k = ta w = cos + i sin = cos + i sin 4 8 π π + 4π + 4π 9π 9π + i sin = cos + i sin Với k = ta w = cos 4 8 π π + 6π + 6π 13π 13π 2 Với k = ta w = cos + i sin = cos + i sin 4 8 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Vậy số phức cho có bốn bậc bốn w1, w2, w3, w4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Viết số phức sau dạng đại số ( a) z = (1 + i ) − i ) ( (3 d) z = π π  c) z =  cos − i sin  i5 (1 + 3i)7 3  Bài Viết số phức sau dạng lượng giác a) z = b) z = ( ( −i ) (1 − i )10 b) z = (1 + i )7 −i ( +i ( 15 6 −i )( −i ( d) z = (1 − i ) + i ) Bài Viết số phức sau dạng lượng giác a) z = ) − 3i ) (1 − i ) ( + i) b) z = − 3i ) (1 − i ) 10 ) 10 (1 + i ) 11 20  1+ i  c) z =    1− i  Bài Tìm bậc của: a) z = c) z = – i Bài Tìm bậc của: a) z = − i (1 + i )10 b) z = + i d) z = + 3i b) z = − 2i c) z = + i Bài Tính: z 2010 + ( + i) b) z = (1 − i ) ( − i ) (3i) d) z = ) d) z = −i z 2010 biết z + =1 z Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn [...]... TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức Tài liệu bài giảng: 04 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng 1 Khái niệm về dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức Trong đó: r: là module của số phức ϕ: là argument của số phức 2 Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang... 5 Trong các số phức z thỏa mãn z + i = 5 , tìm số phức z sao cho z + 4 + 3i max, min?  max = 3 5 ⇒ M (2;0) Đ/s:   min = 5 ⇒ M (−2; −2) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 03 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng I CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x... quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn: a) z ≤ 3 b) 1 < z ≤ 3 c) z > 4 d) z + i < 1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 02 CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng III MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ QUỸ TÍCH PHỨC Cho hai số phức z1 và z2 được biểu diễn bởi... Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Ví dụ 9: Trong các số phức z thỏa mãn các hệ thức sau, tìm số phức có module nhỏ nhất ? a) z + 1 − i = z + 3i − 2 b) z + 2i = z + 1 + 3i Ví dụ 10: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i = 1 , tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất Ví dụ 11: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − i = 52 , tìm số phức z sao cho z − 4 + 2i đạt max,... trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng z2 là số thực z −i z +i là số thực b) z +i c) ( z − 2)( z + i ) là số thực a) Ví dụ 6 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z + 2i − 1 = z + i Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho MA ngắn nhất, với A(1; 4) Ví dụ 7 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 z + i = 2 z − 3i + 1 Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho  3 MA ngắn nhất,... cos + i sin  3 3 3 3   5π 5π   = 9  cos + i sin  ⇒ z = 9 3 3   ♦ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n: Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và số phức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với:  r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ' )... Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 Viết các số phức sau dạng đại số ( a) z = (1 + i ) 1 − i 3 8 ) 6 ( (3 d) z = π π  c) z =  cos − i sin  i5 (1 + 3i)7 3 3  Bài 2 Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = b) z = ( ( 3 −i ) 7 (1 − i )10... với z là ẩn số  z + 3 + 2i = 2 (4)  3  z + −i 2  Hướng dẫn giải: + Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức 1 + 4i Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính R = 3 2 2 Phương trình đường tròn này là ( x − 1) + ( y − 4 ) = 9 (3’) + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức 3 + i Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z 2 2 2... Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0:   z − 2 =1 (2)  z + 2i Hướng dẫn giải: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 4 + 2i , −2 Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức 1 + i và bán kính R = ( x − 1) 2 + ( y... để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức  z − 3 − i ≤ 2 (5) Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :   2 z − 9 − 2i ≥ 5 (6) Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức + Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm A ( 3;1) , bán kính R = 2 ( kể cả