đề thi học sinh giỏi lớp 9 (2006 - 2007) Câu 1 (3 đ): a. Rút gọn biểu thức (3 đ). ( ) 22 1 11 1 + ++= a a A Với a > 0. b. Tính giá trị của tổng. 222222 100 1 99 1 1 . 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 +++++++++= B Câu 2 (3đ): Cho pt 01 2 =+ mmxx a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m . b. Gọi 21 , xx là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt. ( ) 12 32 21 2 2 2 1 21 +++ + = xxxx xx P Câu 3 (1 đ): Cho 1,1 yx Chứng minh. xy yx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Câu 4 (3 đ). Cho đờng tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từM kẻ MH AB (H AB). Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D. 1. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn. 2. Chứng minh. BH AD BD AH MB MA . 2 2 = Hớng dẫn đáp án Câu 1 (1,5) a. Bình phơng 2 vế ( ) 1 1 2 + ++ = aa aa A (Vì a > 0). (1,5 đ) b. áp dụng câu a. 100 9999 100 1 100 1 11 1 == + += B aa A Câu 2 a. (1 đ): cm m 0 B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: = =+ 1 21 21 mxx mxx 2 12 2 + + = m m P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn. 11 2 2 1 1 2 1 == == mGTNN mGTLN P Câu 3 (1 đ): Chuyển vế quy đồng ta đợc. bđt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1111 22 ++ + ++ xyy yxy xyx xyx ( ) ( ) 01 2 xyyx đúng vì 1 xy Câu 4: a (1,5 đ). - Kẻ thêm đờng phụ. - Chứng minh MD là đờng kính của (o) => b. (1,5 đ). Gọi E', F' lần lợt là hình chiếu của D trên MA và MB. Đặt HE = H 1 HF = H 2 ( ) 1 . 2 2 2 1 MBhHF MAhHE BH AD BD AH = HEF '' EDF hHEhHF 2 = Thay vào (1) ta có: BH AD BD AH MB MA . 2 2 = M o E' E A F F' B I D H ®¸p ¸n to¸n 6 C©u 1: { } 30,5/ 〈∈= xxNxM  (0,5 ®). { } 91,/ 2 ≤≤∈= nNnnP (0,5 ®). C©u 2: a, ta cã: 88 41 101:8888 101:4141 8888 4141 == (0,125 ®). 88 41 10101:888888 10101:414141 888888 414141 == (0,125 ®). 888888 414141 8888 4141 88 41 ==⇒ (0,25 ®). b. Ta cã: 99900 2727425 99900000 2700027425000 99900000 2742527425425 − = − = − (0,25 ®). 99900000 2742527425425 99900 2727425 − = − ⇒ (0,25 ®). C©u 3: a. Ta cã =++++++ 5146 .161161 ( ) ( ) 286 2 11 .52 2 15:151 .151 == +− += (0,75 ®). b. =+++++ 31.26 5 26.21 5 21.16 5 16.11 5 11.6 5 6.1 5 222222 31 150 31 1 1.5 31 1 26 1 26 1 21 1 21 1 16 1 16 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1.5 =       −=             −+       −+       −+       −+       −+       −= (0,75 ®). C©u 4: Trong ®ît thi ®ua líp 6A ®¹t ®îc sè ®iÓm 10 lµ: 4.5+9.3+2.25+1.4 = 101 (0,5 ®) 4 (5) 1 (43) 2 (39) 3 14 C©u 5: Gäi tuæi cña bè b¹n nam lµ x (®/k x > 0, x ∈ z). Khi ®ã theo bµi ra ta cã: ( ) xx −= 100 8 7 . 5 2 10 7 . 7 6 BiÕn ®æi => x = 40. §¸p sè: 40 (tuæi). C©u 6: HS viÕt GT, KL. (0,5 ®) a. V× B vµ M n»m trªn 2 tia ®èi gèc C => C n»m gi÷a B vµ M => BM = BC + CM = . = 8 (cm). (0,5 ®) b. Do C n»m gi÷a B vµ M nªn tia AC n»m gi÷a 2 tia AB vµ AM vµ AM => CAM = BAM - BAC = 20 o (1 ®) c. T/h ∈ K [BC] => BK = BC - KC = 5 - 1 = 4 cm. T/h K ∈[CM] => BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 cm. C©u 7: HS viÕt GT, KL. ( 0,5 ®) a. V× B vµ N n»m trªn 2 tia ®èi nhau gãc O => O n»m gi÷a B vµ N => NB = NO + OB = 3 cm + 2 cm = 5 (cm). b. V× BOM = 180 o - MON = 75 o < 80 o => tia OA n»m trªn nöa mp chøa tia ON cã bê lµ ®êng th¼ng OM. V× MOA = 80 o < 125 o = MON => tia OA n»m gi÷a 2 tia OM vµ ON => AON = MON - MOA = 125 o - 80 o = 45 o . A B C M K K' 5 cm 3 cm B O 2 cm N A M 80 o . ==⇒ (0,25 ®). b. Ta cã: 99 900 2727425 99 900000 2700027425000 99 900000 2742527425425 − = − = − (0,25 ®). 99 900000 2742527425425 99 900 2727425 − = − ⇒ (0,25. (1,5 đ) b. áp dụng câu a. 100 99 99 100 1 100 1 11 1 == + += B aa A Câu 2 a. (1 đ): cm m 0 B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: = =+ 1 21 21 mxx mxx 2