Đề thi tuyển sinh vào trờng lam sơn(23) Môn: Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: ( 2 điểm) Tìm x biết: ( ) 2 2006 2 4)1(3 2 413 3 223 3 223 += + + x x xxxxxxxx Câu 2: (3 điểm) Cho 0 > yx CMR: 3 )1)(( 4 2 + + yyx x Câu 3: (2 điểm) Giải hệ phơng trình trên tập số nguyên tố += = = 43 12 2 2 2 2 tz ty tx Câu 4: ( 3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 22 22 )12( 3812 )( + ++ = x xx xf Câu 5: (2 điểm) Cho ABC , O là điểm miền trong của ABC , các tia OA, OB, OC lần lợt cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự A 1 , B 1 , C 1 , (C) là đ- ờng tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh của ABC tại M, N, P. Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1 1 1 1 =++ CC OC BB OB AA OA b) 4 ABC MNP S S Đáp án Đề thi vào trờng lam sơn Môn: Toán Thời gian: 150 phút Câu 1 (2 điểm) Đặt: 3 223 3 223 2 4)1(3 2 4)1(3 + + = xxxxxxxx a abxxa 33 33 += (2) Trong đó: 3 223 3 223 2 4)1(3 2 4)1(3 + = xxxxxxxx b 0,5 1 4 )4()1()3( 3 22223 = = xxxx 0,25 )03)(( 033)2( 22 33 =++ =+ xaxaxa axxa =++ = 03 22 xaxa xa Với: xaxaxax x a =++ > 0303 2 0 222 0,25 2 80251 2 02006 2 2006 2 + = = += x x xx x xx 0,5 Vậy phơng trình (1) có một nghiệm 2 80251 + = x 0,25 C©u 2 (2 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 4 sè d¬ng sau ®©y: 2 )1)(( 8 ;1;1;22 +− ++− yyx yyyx 4 2 2 2 )1)(( 8 )1)((24 )1)(( 8 )1(222 +− +−≥ +− +++−⇒ yyx yyx yyx yyx 4 )1)(( 4 1 2 ≥ +− ++⇔ yyx x 0,5 0,5 3 )1)(( 4 2 ≥ +− +⇔ yyx x 0,5 DÊu = x¶y ra 1;2 )1)(( 8 )1(222 2 ==⇒ +− =+=−⇔ yx yyx yyx 0,5 Câu 3 (2 điểm) Giải hệ phơng trình: * Xét t = 7k (k Z) vì t là số nguyên tố t = 7 = = = = 7 151 97 47 t z y x (thoả mãn) * Xét t = 7k 1 (k Z) t 2 1 (mod 7) z 0 (mod 7) z = 7 t = 1 = = 1 1 y x (Trờng hợp này không thoả mãn) * Xét t = 7k 2 (k Z) t 2 4 (mod 7) y 0 (mod 7) y = 7 t = 2 = = 16 2 z x (Trờng hợp này không thoả mãn) * Xét t = 7k 3 (k Z) t 2 2 (mod 7) x 0 (mod 7) = = = = 31 17 3 7 z y t x (thoả mãn) Vậy hệ phơng trình trên có 2 nghiệm: )3,31,17,7()7,151,97,47(),,,( == tzyx 0,5 0,5 0,5 0,5 C©u 4 (2 ®iÓm) Tõ: 22 24 )12( 3812 )( + ++ = x xx xf §Æt : 22 ,2 ππ << − = xxtgu 0,5 22 24 )1( 343 )()( utg utgutg ugxf + ++ ==⇒ 2 2sin 3 )cos(sin sin3cossin4cos3 2 222 4224 u uu uuuu −= + ++ = 0,75 Do : 3)( 2 5 12sin0 2 ≤≤⇒≤≤ ugu 003)( =⇒=⇔=⇒ xuug 2 1 42 5 )( =⇒=⇔= xuug π 0,5 ⇒ )( 0 xfMax x = = 3 ; 2 5 )( 2 1 = = xfMin x 0,25 C©u 5 (2 ®iÓm) C©u a: §Æt: ABC SS ∆ = A OBC SS ∆ = 1 C 1 B 1 OAC SS ∆ = 2 O OAB SS ∆ = 3 B 321 SSSS ++=⇒ A 1 C 0,25 Ta cã: S S CC OC S S BB OB S S AA OA 3 1 12 1 11 1 1 ;; === 1 321321 1 1 1 1 1 1 = ++ =++=++⇒ S SSS S S S S S S CC OC BB OB AA OA =>®pcm 0,25 C©u b: §Æt: ANP SS ∆ = 1 A BMP SS ∆ = 2 S 1 b CMN SS ∆ = 3 P N Ta cÇn chøng minh: c S 3 C 4 3 321 ≥ ++ S SSS B S 2 a M 4 3 )()()( 222 ≥ − + − + − ⇔ ab cp ac bp bc ap (1) 0,25 Theo bÊt ®¼ng thøc bunhiac«pski ta cã: 0,5 2 222 )( )()()( Pcabcab ab cp ac bp bc ap ≥++       − + − + − (2) )(4 )( )1( 2 cabcab cba VT ++ ++ ≥ (3) 0,25 MÆt kh¸c: 4 3 )(4 )( 2 ≥ ++ ++ cabcab cba (4) Tõ (1) (2) (3) (4): 4 3 )()()( 222 ≥ − + − + − ⇒ ab cp ac bp bc ap 0,5 DÊu = x¶y ra ⇔ ABC ∆ ®Òu 0,25 . )()()( 222 ≥ − + − + − ⇔ ab cp ac bp bc ap (1) 0,25 Theo bÊt ®¼ng thøc bunhiac«pski ta cã: 0,5 2 222 )( )()()( Pcabcab ab cp ac bp bc ap ≥++       −. 2 cabcab cba VT ++ ++ ≥ (3) 0,25 MÆt kh¸c: 4 3 )(4 )( 2 ≥ ++ ++ cabcab cba (4) Tõ (1) (2) (3) (4): 4 3 )()()( 222 ≥ − + − + − ⇒ ab cp ac bp bc ap 0,5 D u