Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13) Môn : Toán chung (Thời gian làm bài 150 phút) Không kể thời gian giao đề Bài 1 (2 điểm) Cho P = xy yx xxy y yxy x + + + . a, Rút gọn P. b, Chứng minh rằng nếu 5 1 + + = y x y x thì P có giá trị không đổi. Bài 2 ( 2 điểm) Tính giá trị biểu thức Q = 1 22 5 56 + + a aaa Biết zxyx a + = + 5 và )2)(( 16 )( 25 2 zyxyzzx ++ = + . Bài 3 ( 2 điểm) Cho phơng trình bậc 2 ẩn : x 2 2mx + 2m 1 = 0. Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Bài 4 ( 2 điểm) Xác định a, b để hệ phơng trình : =+ = 1 2 byax bayx a, Có nghiệm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm. Bài 5 ( 2 điểm) Giải phơng trình : 12221222 ++ xxxx = 2 Bài 6 ( 2 điểm) Cho hàm số y = ax 2 (a 0) a, Xác định a biết đờng cong y = ax 2 đi qua điểm A(3;3). Vẽ đồ thị của hàm số tìm đợc. b, Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc m (m 0) và đi qua điểm (1;0). Tìm m để đờng thẳng đó tiếp xúc với parabol y = 3 1 x 2 . Bài 7 (2 điểm) Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1. Tìm GTNN của biểu thức : E = )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzxzyzyx + + + + + . Bài 8 ( 2 điểm) Cho ABC cân (AB=AC, gócBAC = 45 0 ). Một điểm M ở trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M lần lợt kẻ các đờng thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB tơng ứng tại các điểm H,I. Lấy điểm N đối xứng với M qua đ- ờng thẳng HI; Gọi giao điểm của các đờng thẳng AN và BC là P. a, Tứ giác AHMI là hình gì? INB là tam giác gì? Tại sao? b, Chứng minh tứ giác AHIN là hình thang cân. Bài 9 (2 điểm) Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ một điểm M di động trên đờng thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lợt tại H và K. a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b, Chứng minh rằng H di động trên một đờng tròn cố định. c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Bài 10 ( 2 điểm) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'. a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và mặt phẳng (AA'B'B) b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phơng do mặt phẳng (MNP) cắt ra. Đáp án - Hớng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn Môn : Toán chung Bài Lời giải Điểm Bài 1 2 điểm a, §iÒu kiÖn xy > 0, x ≠ y P = xy yx xyxy yxxyyx + − − +−+ )( ))(( P = xy yx − + 0.5 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm b, Do y x = 5 1 + + y x ⇒ y = 5x Ta cã P = xy yx − + = x x 4 6 = 2 3 ⇒ P cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm Bµi 2 2 ®iÓm Ta cã zyx a yz a zxyx a ++ + = − − = + = + 2 555 Suy ra 2 )( 25 zx + = )2)(( )5)(5( zyxyz aa ++− +− = = )2)(( 25 2 zyxyz a ++− − = )2)(( 16 zyxyz ++− Suy ra 25 – a 2 = 16 ⇒ a 2 = 9 ⇒ a= ±3 MÆt kh¸c Q = 1 22 5 56 + −+− a aaa = 1 )2()2( 5 5 + −+− a aaa = = 1 )1)(2( 5 5 + +− a aa = a – 2, víi a ≠ - 1 Víi a = 3 th× P = 1 víi a = -3 th× P = -5 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm Bài 3 2 điểm Giả sử x 1 = 2x 2 = = )2(122 )1(23 2 2 2 mx mx 2x 2 2 3x 2 + 1 = 0 = = 2 1 1 2 2 x x Với x 2 = 1 x 1 = 2 m = 2 3 Với x 2 = 2 1 x 1 = 1 m = 4 3 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 4 2 điểm a, Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi = =+ 12 22 ba ba a = 3 5 ; b = 3 4 0.5 điểm 0.5 điểm b, =+ = )2(1 )1(2 byax bayx Từ (1) x = 2 ayb + thay vào (2) ta có a. 2 ayb + + by = 1 y(a 2 + 2b) = 2 ab (3). Phơng trình (3) có vô số nghiệm khi = =+ 02 02 2 ab ba = = 3 3 2 4 b a 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 5 Điều kiện : x 2 1 Phơng trình 12 x + 1 + | 12 x - 1 | = 2 | 12 x - 1 | = 1 - 12 x Đặt y = 12 x , y 0 Phơng trình: | y 1 | = 1 y y 1. Kết hợp với điều kiện 0 y 1 0 12 x 1 2 1 x 1 Đáp số : 2 1 x 1 0.5 điểm 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Bài 6 2 điểm a, Đờng cong y = ax 2 đi qua A(3;3) a = 3 1 y = 3 1 x 2 0.5 điểm 0.5 điểm b, Đờng thẳng có hệ số góc m có dạng y = mx + b qua (1;0) b = - m đờng thẳng y = mx m Đờng thẳng y = mx m tiếp xúc với (P) y = 3 1 x 2 khi phơng trình 3 1 x 2 = mx m (1) có nghiệm 1 nghiệm kép m = 3 4 đờng thẳng y = 3 4 x - 3 4 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Bài 7 2 điểm Đặt a = x 1 , b = y 1 , c = z 1 abc = xyz 1 = 1 x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a) E = cb a + 2 + ac b + 2 + ba c + 2 Dễ dàng chứng minh đợc cb a + + ac b + + ba c + 2 3 Nhân hai vế với a + b + c > 0 cb cbaa + ++ )( + ac cbab + ++ )( + ba cbac + ++ )( 2 3 (a+b+c) cb a + 2 + ac b + 2 + ba c + 2 2 cba ++ 2 3 3 abc = 2 3 E 2 3 Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1 Vậy min E = 2 3 khi a = b = c = 1 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Bài 8 2 điểm a, Ta có AHMI là hình bình hành (có cạnh đối song song) Vì M, N đối xứng nhau qua HI IN = IM . Mặt khác do IM//AC góc IMB = ACB =IBM IBM cân IM = IB. Vậy IN = IM = IB INB cân 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm b, Vì N, M đối xứng với nhau qua HI nên HI là đờng trung trực của MN và đi qua trung điểm E của NM. Mặt khác do AHMI là hình bình hành do đó HI cắt AM tại trung điểm D của AM. Vậy DE là đờng trung bình của NMA. DE//NA hay HI//NA tứ giác AHIN là hình thang. Ngoài ra ta có NH=HM (do N đối xứng với M qua HI) HM=AI (do AHMI là hình chữ nhật) NH = AI. Vậy hình thang AHIN có 2 đờng chéo bằng nhau do đó nó là hình thang cân 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Bài 9 2 điểm a, Chứng minh đợc OM BC HOK AOM OA OH = OM OK OA.OK = OH.OM (1) Xét BOM vuông tại B nên OB 2 = OH.OM (2) Từ (1) và (2) OA.OK = = OB 2 = R 2 (không đổi) OK = OA R 2 không đổi K cố định trên OA 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm b, H nằm trên đờng tròn đờng kính OK cố định 0.5 điểm c, S = dtMBOC = 2 1 MO.BC S nhỏ nhất OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất OM nhỏ nhất M A BC nhỏ nhất BC OK M A 0.25 điểm 0,25 điểm A M B O C H K I D K E N B M C H A P Bài 10 2 điểm a, - Ta có MN//B'C' nên giao tuyến của mp(PMN) và mp(A'B'C'D') là PQ//B'C' - Ta có Q, M mp(PMN) và Q,M mp(AA'BB'). Vậy giao tuyến của mp(PMN) với mp(AA'BB') là QM 0,5 điểm 0,5 điểm b, Mặt phẳng (PMN) chia hình lập phơng thành 2 lăng trụ đứng B'QM.C'PN và AA'QMB.DD'PNC có đờng cao là a, nên tỷ số thể tích của chúng chính là tỷ số các diện tích đáy. Vậy : PNCDDQMBAA PNCQMB V V '.' '.' = QMBAA QMB S S ' ' = 22 2 8 1 8 1 aa a = 7 1 0,5 điểm 0,5 điểm Q D C B A A' C' D' P M N B' . mp (A& apos;B'C&apos ;D& apos;) là PQ//B'C' - Ta có Q, M mp(PMN) và Q,M mp(AA'BB'). Vậy giao tuyến c a mp(PMN) với mp(AA'BB'). 1 22 5 56 + −+− a aaa = 1 )2()2( 5 5 + −+− a aaa = = 1 )1)(2( 5 5 + +− a aa = a – 2, víi a ≠ - 1 Víi a = 3 th× P = 1 víi a = -3 th× P = -5 0.25 ®iÓm 0.25