Đề thi vào lớp 10 Trờng THPT Lam Sơn (11) Môn Toán chung Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức: x 3 x 2 9 x 3 x 9 P : 1 x 9 2 x 3 x x x 6 + = + ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình: 2x 2 + 2mx + m 2 2 = 0. a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm nguyên. b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x 1 x 2 + x 1 + x 2 . Câu 3: (2 điểm) a) Giải phơng trình: x 2 x 1 x 8 6 x 1 4+ + + = . b) Tìm trên đờng thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn: y 2 5y x + 4x = 0. Câu 4: (2 điểm) Cho ABC đều, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC. a) Chứng minh AEB = CDB. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD, M là một điểm thuộc cạnh BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh: MG // (ACD). Câu 6: (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 4 4 1 8(x y ) 5 xy + + Đáp án gồm 3 trang. +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa. Câu ý Nội dung điểm 1 1a Điều kiện để P có nghĩa: x 0 x 0 x 2 x 4 x 9 x 9 . Ta có: (x 9) (4 x) 9 x (2 x)( x 3) ( x 2)( x 3) P x( x 3) ( x 3)( x 3) + + + = + (x 9) (4 x) (9 x) x 3 P . (2 x)( x 3) x 4 x 2 x P . (2 x) x x + + + = + + = = 0,50 0,50 0,25 0,25 1b Theo câu a ta có: 2 x 2 P 1 x x + = = + . Do đó để P Z thì ta cần 2 x Z x 1 x 2 (loại) = = x = 1. Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên. 0,25 0,25 2 2a Vì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai nên có 2 nghiệm khi và chỉ khi: = m 2 2(m 2 2) 0 4 m 2 0 -2 m 2. Vậy giá trị cần tìm của m là: - 2 m 2. 0,25 0,50 0,25 2b Vì phơng trình có 2 nghiệm x 1 và x 2 nên ta có -2 m 2 và theo định lý Viét thì: x 1 + x 2 = -m; x 1 x 2 = 2 m 2 2 . Do đó: A = 2x 1 x 2 + x 1 + x 2 = (m 2 2) - m 2 1 9 A (m ) 2 4 = . 0,25 0,25 0,25 Vì -2 m 2 2 5 1 3 1 25 m 0 (m ) 2 2 2 2 4 9 25 9 maxA max 0 ; 4 4 4 4 = = ữ . Vậy maxA = 4 đạt khi m = -2. 0,25 3 3a Điều kiện: x 1. Ta có: x 2 x 1 x 8 6 x 1 4+ + + = 2 2 ( x 1 1) ( x 1 3) 4 ( x 1 1) x 1 3 4 x 1 3 3 x 1 x 1 3 0 x 10 1 x 10 + + = + + = = 0,25 0,25 0,25 0,25 3b Điều kiện: x 0. Khi đó ta có: y 2 5y x + 4x = 0 y x (y x)(y 4 x) 0 y 4 x = = = . Do đó để điểm M(x 0 ; y 0 ) với với y 0 = 4x 0 + 1 là điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x 0 0 và: 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 15 (2 x ) 0 4x 1 x 1 4 16 x 4 4x 1 4 x (2 x 1) 0 + = + = = + = = . Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = 1 ;2 4 ữ . 0,25 0,25 0,25 0,25 4 4a Vì ABC đều nên AB = CB (1). Theo giả thiết ta có AE = CD (2). Ta lại có ã ã BAE BCD = (cùng chắn cung AD) (3). 0,25 0,25 0,25 0,25 O A B C D E Từ (1), (2) và (3) suy ra: ABE = CBD. 4b Theo câu a ta có: ABE = CBD BE = BD BED cân. Mặt khác ta lại có: ã ã BDA BCA = (cùng chắn cung AB) BED đều BD = ED. Vậy ta có: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA Vì điểm D thuộc cung BC không chứa A nên suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kính của đờng tròn (O), hay D là điểm chính giữa của cung BC nhỏ. 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Gọi I là trung điểm của AD. Theo tính chất của trọng tâm tam giác ta có: BG 2 BI 3 = (1) Theo giả thiết ta có: BM 2 BC 3 = (2) Từ (1) và (2) suy ra: GM // IC. (3) Nhng I AD IC (ACD) (4) Từ (3) và (4) suy ra: GM // (ACD). 6 Ta có: x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = [(x + y) 2 2xy] 2 2x 2 y 2 = (1 2xy) 2 2x 2 y 2 = 2x 2 y 2 4xy + 1. 4 4 2 2 1 1 8(x y ) 16x y 32xy 8 xy xy 1 (4xy 7)(4xy 1) 1 xy + + = + + = + + Vì x > 0 và y > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: (4xy 7)(4xy 1) 0 1 2 xy x y 1 xy 1 4 4 xy + = 4 4 1 1 (4xy 7)(4xy 1) 1 5 8(x y ) 5 xy xy + + + + 0,25 0,25 0,25 0,25 M G I B D A C DÊu b»ng x¶y ra khi x y 1 x y 2 x y 1 =  ⇔ = =  + =  . ----------------------------------------- HÕt--------------------------------------------------- . A C D u b»ng x¶y ra khi x y 1 x y 2 x y 1 =  ⇔ = =  + =  . -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - HÕt -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - . + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA Vì điểm D thuộc cung BC không ch a A nên suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kính c a đờng tròn (O), hay D