Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BÀI 1: Chứng minh các BĐT sau: 1/ 2 2 ; ; 2 2 a b a b a b R + +   ≤ ∀ ∈  ÷   2/ * 1 1 1 3 ; , ,a b c R a b b c c a a b c + + + ≥ ∀ ∈ + + + + + B ÀI 2: Chứng minh rằng: 1/ 2 2 1 1 2 ; 1 1 1 1 a b a b ab + ≥ ≥ ≥ + + + 2/ 2 2 2 3( 1) ( 1) ; ,a b a b a b R+ + ≥ + + ∈ 3/ 2 2 2 ; ,a b c ab bc ca a b R+ + ≥ + + ∈ 4/ 2 ; 2 ( 0) ( )a b ab a b α α α α ≥ ≥ > → ≥ + 5/Cho:a>b>0 ;m>n ; m,n ∈ N,cmr: m m n n m m n n a b a b a b a b − − > + + BÀI 3:Cho tamgiác ABC có độ dài 3 cạnh là:a,b,c. Chứng minh rằng: 2 2 2 2( )ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + < + + 3 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b b abc a b c b c a c a b + + + < + + + + + 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b+ + < − + − + − BÀI 4: 1/ CMR: 3 3 2 2 a b a b ab+ ≥ + 2/Cho a,b,c thoả: 2 2 2 1a b c+ + = CMR: 1 1 2 2 ab bc ca − ≤ + + ≤ 3/a+b 0≥ ; * ,m n N∈ ;chứng minh rằng: 2 2 2 m m n n m n m n a b a b a b + +    + + + ≤  ÷ ÷    4/ 8 8 8 * 3 3 3 1 1 1 ( , , ) a b c a b c R a b c a b c + + + ≥ + + ∈ 5/ 2 2 2006 2 2005 a a + > + 6/ 2 2 4 2( )a b ab a b+ + ≥ + + 7/ 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc+ + ≥ − + 8/nếu: a c b d < thì 2 2 a b ab cd c b d d + < < + BÀI 5: Cho: * 1;x n N< ∈ .chứng minh rằng: (1 ) (1 ) 2 n n n x x− + + < ;x ∈ R BÀI 6: Cho: * , 0; , ,a b m n N m n≥ ∈ > Cmr: m m m n n n a b a b+ ≤ + BÀI7: Cho3 số a,b,c thoả:abc>0;ab+bc+ca>0 và a+b+c >0 CMR:a,b,c>0 BÀI 8: Cho 2a+3b=5;cmr: 2 2 2 3 5a b+ ≥ BÀI 9: Cho a,b>0;chứng minh rằng: 1 1 1 a b a b a b a b + < + + + + + BÀI 10: Cho tam giác ABC có cạnh huyền c và 2 cạnh góc vuông là a,c chứng minh rằng : 3 3 3 a b c+ < BÀI 11:CMR 1/ 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)x y x y y x+ + ≥ + + + (với: x,y ≥ 0) 2/a,b ≥ 1,cmr: 1 1a b b a ab− + − ≤ BÀI 12:Cho x,y,z>0;cmr: 3x+2y+4z ≥ 3 5xy yz zx+ + BÀI13: 1/ a,b,c,d>0 cmr: ( )( )a b c d ac bd+ + > + 2/ a,b,c>0;cmr: 2 2 2 1 ( ) 2 a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 3/ 2 2 2 1x y z+ + = ; cmr: 1 1 2 xy yz zx − ≤ + + ≤ 4/ a+b+c ≠ 0 cmr: 3 3 3 3 0 a b c abc a b c + + − ≥ + + BÀI 14(VĐQG lần 24 tại Pháp-câu a) Gọi :a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác;cmr: 1/ 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ 2/ Nếu:a<b<c thì: 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − < BÀI 15: Cho a,b,c,d>0;cmr: Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a ab b b bc c c ca a a b c + + + + + + + + + + ≥ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 a b c abcd b c a abcd c d a abcd d a b abcd abcd + + + + + + + + + ≤ + + + + + + Tổng quát:Cho * 0; 1 ; i a i n n N> = → ∈ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 . 1 1 n n n n n n i i i i i i i i n n n n n i n i i i i i a a a a a a a a − = = = = − = = = + + + + + + ≤ + + ∑ ∑ ∏ ∏ ∑ ∏ ∏ BÀI 16: Cho a,b >0 và 0 α β > > Cmr: 1 1 ( ) ( )a b a b α α β β β α + ≤ + BÀI 17:Choa,b,c>0;cmr: 4 4 4 ( 1) ( 1) ( 1) 25 a b c b c c a a b + + + + + > + + + BÀI 18: Cho [ ] , , 0,1a b c ∈ ;cmr: 2 1 1 1 a b c bc ca ab + + ≤ + + + BÀI 19: Cho:a,b,c ∈ R và:a+b+c=1,cmr: 1 1 1 3( ) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c + + ≥ + + BÀI 20: Cho a,b,c đôi một khác nhau,cmr: 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a + + +       + + ≥  ÷  ÷  ÷ − − −       BÀI 21:Cho : a,b,c>0,cmr: 1 1 1 1 3 3 3 2 1 1 2 2 a b b c c a a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + + + + + + (HD: x,y>0 ta có: 1 1 4 x y x y + ≥ + ) BÀI 22: Cho ∆ ABC có 3 góc thoả: 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C tg tg tg B C C A A B tg tg tg tg tg tg + + + + + = = 1 4 2 2 2 A B C tg tg tg ;CMR: ∆ ABC đều (HD: đại số hoá và 1 1 4 x y x y + ≥ + ) BÀI 15: 1/Cho a.b ≥ 1; cmr: 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ≥ + + + 2/ Cho:a,b,c ≥ 1; cmr: 3 3 3 1 1 1 4 1 1 1 1a b c abc + + ≥ + + + + DẠNG2: BẤT ĐĂNG THỨC CÔ SI BÀI 1: 1/Cho:a,b,c ≥ 0;a.b.c=4,cmr: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc 2/ a,b,c>0;cmr: 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ 3/ 2 2 2 2 1 a a + ≥ + ; a ∀ ∈ R 4/a,b,c ∈ R thoả:a.b.c ≠ 0,cmr: 2 2 2 2 2 2 a a b c b c a b b c c a + + ≥ + + BÀI 2: ∆ ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr: 1/(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc 2/ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b) ≥ 0 BÀI 3:1/ Cho:x,y,z>0 và :x.y.z=1; cmr: 1 1 1 3 2 2 2 n n n x y z+ + +       + + ≥  ÷  ÷  ÷       ;n ∈ N 2/ ( ) 1 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + ≤ + + + + + ; với :a,b,c >0 3/ với :a,b,c >0 a b c a b c b c c a a b a b b c c a + + > + + + + + + + + Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- 4/ ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c d b c d a c a b d + + + + + + + + 4 6 abcd≥ ;với :a,b,c,d >0 5/ 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + ; với :a,b,c >0 6/ 4 4 4 ( )a b c abc a b c+ + ≥ + + BÀI 4: 1/Cho:a ≥ 0 và n ∈ * N ;cmr: 1 n a n n a+ ≥ + 2/Cho:a,b,c>0 và a+b+c=1,cmr: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     BÀI 5:Cho:a,b,c ∈ * N ,cmr: ( ) 1 3 a b c a b c a b c a b c + + ≥ + + BÀI 6: Cho:a,b>0 và: , , 1Q α β α β + ∈ + = ;cmr: . . .a b a b α β α β ≤ + BÀI 7:Cho:a,b,c>0,cmr: 1/ 1 1 1 8 a b c b c a     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     2/ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + ≤ + + 3/ 15 2 a b c b c a b c a c a b c a b a b c + + + + + + + + + + + ≥ + 4/ 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6a b b c c a abc+ + + + + ≥ 5/ 3 3 3 a b c ab bc ca abc + + + + ≥ ≥ BÀI 8: Cho:a,b,c ≥ 0 và :a+b+c=1;cmr: 1/ b+c ≥ 16.abc 2/(1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc 3/ 3 3 1 1 1 2 a b c a b c + + ≥ − − − BÀI 9: Cho 2 số a,b thoả: a+b =1,cmr: 1/ 3 3 1 4 a b+ ≥ ;2/ 4 4 1 8 a b+ ≥ TỔNG QUÁT: a+b=1,n ∈ * N ,Ta luôn có:a/ 1 1 2 n n n a b − + ≥ b/ 2 2 n n n a b a b+ +   ≥  ÷   BÀI 10 :Cho n ∈ * N ,,cmr: 1/ 1 1 2 n n n n n n n n + + − < 2/ 1 1 1 1 1 1 n n n n +     + < +  ÷  ÷ −     ;n ≥ 2 3/ 1 1 1 1 1 1 n n n n +     + > +  ÷  ÷ +     4/ 1 1 1 2 n n n a b b a +     + + + ≥  ÷  ÷     ;a,b>0 BÀI 11: Cho a,b,c>0; cmr: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + BÀI 12: Cho a,b,c>0 và thoả:a.b.c =1 ;cmr: 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b + + ≥ + + + BÀI 13: Cho a,b >0 và thoả:a+b =1,cmr: 2 2 1 1 25 2 a b a b     + + + ≥  ÷  ÷     BÀI 14: Cho:a,b,c>0 và : 2 2 2 1a b c+ + = ;cmr: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + BÀI 15: a,b ≥ 0 .cmr: 1/ ( ) 8 2 64 ( )a b ab a b+ ≥ + 2/ (1+a+b)(a+b+ab) ≥ 9ab 3/ 3 3 2 3 7 9a b ab+ ≥ BÀI 16: Cho :a,b,c,d>0 và thoả: 1 1 1 1 3 1 1 1 1a b c d + + + ≥ + + + + ;cmr: abcd 1 81 ≤ TỔNG QUÁT: Cho: 0 i a > ;i =1,….,n;n ∈ * N ;n>2 thoả: Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- 1 1 1 1 n i i n a = ≥ − + ∑ ;cmr: ( ) 1 1 1 n i n i a n = ≤ − ∏ BÀI 17:Cho :a,b ≥ 0; cmr: 2005 2006 4011 2005 2006 4011a b ab+ ≥ BÀI 18: Cho :a,b,c>0 và thoả:a+b+c =1;cmr: 1 1 1 1 1 1 8 a b c     − − − ≥  ÷ ÷ ÷     TỔNG QUÁT: Cho: * 0; 1, ., ; i a i n n N> = ∈ ;thoả: 1 1 n i i a = = ∑ ;cmr: 1 1 1 ( 1) n n i i n a =   − ≥ −  ÷   ∏ BÀI 19: Cho a,b,c ≥ 0 ; cmr: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 1 3 1 8 a b c a b c abc abc + +   + ≥ + + +  ÷   ≥ + ≥ TỔNG QUÁT:Cho * 0; 1, , ; i a i n n N> = ∈ cmr: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 n n i n i i i n n n n n i i i i a a n a a = = = =    ÷  ÷ + ≥ +  ÷  ÷     ≥ + ≥  ÷  ÷   ∑ ∏ ∏ ∏ BÀI 20: 1/ Cho: a>b và: a.b =1;cmr: 2 2 2 2 a b a b + ≥ − 2/ 1 3 ( ) a b a b + ≥ − ;a>b>0 BÀI 21: cmr: 2005 2006 2004 2005 log log> TỔNG QUÁT: ( ) ( ) 2 3 1 2 log log n n n n + + + + > ;n ∈ * N BÀI 22: Cho a>b ≥ 0 ;cmr: 2 4 3 ( )( 1) a a b b + ≥ − + BÀI 23: Cho 1 ; 1 2 a a b ≥ > ; cmr: 3 2 1 3 4 ( ) a b a b + ≥ − BÀI 24 : Cho: * 1 2 3 . 0; ; n a a a a n k N> > > > > ∈ ; Cmr: 1 1 2 2 3 1 ( 1) 2 ( 1) 1 .( ) ( ) .( ) ( 1) 2 k k k n n n n k n k a a a a a a a a n k k − − + − + − − − − + ≥ BÀI 25: Cho:a,b,c ≥ 1 ;cmr: 2002 ( 1)( 1) 2004 ( 1)( 1) 2006 ( 1)( 1) 2003 2004 2005 a b b c c a b a c + − + + − + + + − ≤ + + BÀI 26: Cho:a>b>0;b>c>0; cmr: ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ BÀI 27:a,b,c ≥ 0 ;cmr: 3 3 1 (1 )(1 )(1 )abc a b c+ ≤ + + + TỔNG QUÁT: Cho: * ; 0; 1, ., ; i i a b i n n N> = ∈ ;CMR: 1 2 1 2 1 1 2 2 . . . . ( ).( ) .( ) n n n n n n n a a a b b b a b a b a b+ ≤ + + + BÀI 28: Cho :a,b ≥ 0; cmr: 2 4 16 ( ) ( )ab a b a b− ≤ + BÀI 29: cmr: 2 2 1 ( )(1 ) 1 2 (1 )(1 ) 2 a b ab a b − + − ≤ ≤ + + BÀI 30: Cho a,b ≥ 1 ;cmr: 2 2 2 2 log log 2 log a b a b + + ≤ BÀI 31: Cho: a,b,c ≥ 0 v à :a+b+c = 1;cmr: 1/ 16abc ≤ a+b 2/abc(a+b)(b+c)(c+a) 8 729 ≤ 3/ 6a b b c c a+ + + + + ≤ BÀI 32 :Cho a,b ≥ 1;cmr: 1 1a b b a ab− + − ≤ BÀI 33 : Cho:a ≥ 3;b ≥ 4 ;c ≥ 2 ;cmr: Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- 2 3 4 1 2 2 1 1 2 3 2 4 ab c bc a ca b abc − + − + − ≤ + + BÀI 34: cmr: 2 2 3 sin .cos 9 x x ≤ BÀI 35 : Cho:0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4;cmr: (3-x)(4-y)(2x+3y) ≤ 36 BÀI 36: Cho m<n; m;n * N∈ ;cmr: 1/ 1 1 1 1 m n m n     + < +  ÷  ÷     2/ 3 2 1 3 1 1 1 . 1 2 3 n n n n + + + + + + + < + BÀI 37 : Cho a,b,c>0 ; cmr: 1 1 1 1 1 3 3 5 1 3 a b c b c a a b c c a b   +  ÷ + + + + + + ≥  ÷  ÷ +  ÷ + +   BÀI 38: Cho a,b,c>0;a+b+c = 1; cmr: 1 1 1 1 1 1 64 a b c       + + + + + ≥  ÷  ÷  ÷       BÀI 39: Cho:u,v>0; 2 2 1u v+ = ;cmr: 2 2 1 1 9u v u v     + + + ≥  ÷  ÷     BÀI 40: Cho 0< a,b,c <1;cmr ít nh ất 1 trong 3 bđt sau sai: 1 1 1 (1 ) ; (1 ) ; (1 ) 4 4 4 a b b c c a− > − > − > BÀI 41:Cho :a,b,c 0≥ và: 2 2 2 4a b c abc+ + = ; cmr: 2a b c abc+ + > BÀI 42: Cho x,y,z>0 ; cmr: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + ≤ + + + + + BÀI 43 :( ĐẠI HỌC 2003-A) Cho: x,y,z>0 và :x+y+z 1≤ ; cmr: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ BÀI 44: Cho:0<x,y,z<1 và:xy+yz+zx =1 Cmr: 2 2 2 3 3 1 1 1 2 x y z x y z + + ≥ − − − ( Dùng lượng giác hoá) BÀI 45: Cho: a,b,c>0 và: ab+bc+ca =abc ;cmr 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ab cb ac + + + + + ≥ ( Dùng tương đương ) BÀI 46 :Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1 ;tìm GTNN 9 9 9 9 9 9 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 x y y z z x x x y y y y z z z z x x + + + + + + + + + + + BÀI 47: Cho 0 , , 1x y z≤ ≤ ; tìm GTLN của: 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) x y z y z z x x y x y z + + + + + + + + + − − − BÀI 48: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1; tìm GTLN của : 1 1 1 x y z x y z + + + + + B ÀI 49: Cho x,y,z>0 v à: 2 2 2 1x y z+ + = Cmr: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 x y z y z z x x y + + ≥ + + + BÀI 50: Cho x,y,z>0;t ìm GTNN của: x y z y z z x x y y z z x x y x y z + + + + + + + + + + + BÀI 51: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;CMR: 1 1 1 6x y z− + − + − ≤ BÀI 52: Cho x,y,z;p;q>0 v à: 3 3 3 1x y z+ + = Cmr: 4 4 4 3x y z py qz pz qx px qy p q + + ≥ + + + + BÀI 53 Tìm GTLN của: 1/A = ;1 , 2 x y x y y x + ≤ ≤ 2/B = ;1 , , 2 x y z x y z y z x + + ≤ ≤ B ÀI 54: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;T ìm GTLN c ủa: A= 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) x y z + + + Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- B ÀI 55: Cho a,b,c>0 và :a+b+c ≤ 3 T ìm GTNN c ủa: 1 1 1 1 1 1 3 3 3A a b b c c a     = + + + + + +  ÷ ÷ ÷     B ÀI 56: :Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1;cmr: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( )x y z y z x z x y + + ≥ + + + B ÀI 57: x,y,z,t>0;xy+yz+zt+tx=1: Cmr 3 3 3 3 1 3 x y z t y z t z t x t x y x y z + + + ≥ + + + + + + + + B ÀI 58: x,y,z,t>0;x.y.z.t=1;cmr: 3 3 3 3 1 1 ( ) ( ) 1 1 4 ( ) 3 ( ) x yz zt ty y zx xt tz t xy yz zx z tx xy yt + + + + + + + ≥ + + + + B ÀI 59:Cho:m,n * N∈ ;cmr: 2 2 2 2 . 2 m n n m m n m n + + ≤ B ÀI 60: Cho a,b,c>0 ,n * N∈ ;n ≥ 2 ;cmr: 1 1 n n n n a b c n n b c c a a b n + + > − + + + − DẠNG3: BĐT TRUNG GIAN BÀI 1:Cho :a,b,c>0:m,n * N∈ ; CMR: m n m n m n m n m n m n a b a b b c c a + + + + + ≥ + + BÀI 2 : Cho: a,b,c>0 ; cmr: 1/ 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2/ 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 3/ 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + BÀI 3 : Cho:a,b,c>0 v à thoả: 102 102 102 100 100 100 a 1 b b c c a + + < Chứng minh rằng luôn tồn tại các số t ự nhiên k (0 ≤ k ≤ 99) sao cho B ĐT sau đúng: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 100 k k k k k k k k k k k k a b c a b c b c a b c a + + + + + + + + + + + ≤ + + + BÀI 4: Cho:a,b,c>0 ;cmr: 1/ ( ) 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + 2/ ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 4 a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 3/ 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + ≥ + + + + + 4/ 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 5/ 3 3 3 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + 6/ 2 2 2 3 3 3 9a b c b c a a b c + + ≥ + + 7/ 3 3 3 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) bc ca ab a c b b a c c b a + + ≥ + + + ( với : a+b+c = 3abc) 8/ 5 5 5 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + D ẠNG 4: BĐT HOÁN VỊ B ÀI 1:Chứng minh BĐT cô si cho n số B ÀI 2: Cho ∆ ABC ;CMR: 1/n * N∈ ; n lẻ ;ta có: cos cos cos cot cot cot sin sin sin n n n n n n n n n A B C g A g B g C B C A + + ≥ + + 2/m R + ∈ ; CMR: sin sin 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 sin 2 cos 2 m m m m m m m m m A B A B C tg tg tg B C C A + + ≥ + + Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- B ÀI 3: Cho: a,b,c>0 ; cmr: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c c a b a b c bc ca ab + + + + + ≤ + + ≤ + + B ÀI 4 : 1 2 3 ; ; ; . n a a a a l à c ác s ố nguy ên dư ơng kh ác nhau: cmr: 3 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2 n a a a a n n + + + + ≥ + + + ( đ ề thi Qu ốc t ế-1978 ) B ÀI 5: ∆ ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr: 2 2 2 ( ) ( ) ( )a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ 0 (Quốc tế -1983) B ÀI 6 : Gi ải ph ư ơng tr ình: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ln( 3) 4 ln( 4) 5 ln( 5) 3 ln( 4) 4 ln( 5) 5 ln( 3) x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − + + + + + = + + + + + + B ÀI 7: Cho a,b,c>0 ;CMR: 1/ 3 3 3 3 3 3 6 a b a c b a a c c a c b abc c b c a b a + + + + + ≥ 2/ 3 3 3 2 2 2 a b b c c a abc bca cab+ + ≥ + + 3/ 8 8 8 3 3 3 1 1 1a b c a b c a b c + + ≥ + + 4/ 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + B ÀI 8: 1/Cho: 0; 1, ., ; ; 0 j a j n x y≥ = > ;cmr: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 . . . . . x y x y x y x x x n n y y y n a a a a a a n a a a + + + + + + ≥ + + + + + + 2/Cho: 0; 1, ., ; 0 : 0 j a j n x y> = > < ;cmr: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 . . . . . x y x y x y x x x n n y y y n a a a a a a n a a a + + + + + + ≤ + + + + + + B ÀI 9: Cho 1 2 ; ; .; n a a a là các cạnh của n- giác lồi(n ≥ 3); CMR: 1 2 1 2 . 2 2 2 2 n n a a a n p a p a p a n + + + ≥ − − − − D ẠNG 5:TAM TH ỨC B ẬC HAI BÀI 1: Cho: a,b,c,d R∈ ; cmr: 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )a b c d ac bd− − ≤ − BÀI 2:Cho: x,y>0 v à : ax+by xy≥ ; cmr: a.b 1 4 ≥ BÀI 3: ∆ ABC có 3 cạnh :a,b,c và 2 số p,q thoả:p+q = 1; cmr: 2 2 2 pa qb pqc+ > BÀI 4 :Cho: -1<x,y,z<1 và: x+y+z =0;cmr: 2 2 2 2x y z+ + < BÀI 5: Cho : 0 , , 1x y z≤ ≤ ; cmr: 2 2 2 2 2 2 1a b c a b b c c a+ + ≤ + + + BÀI 5 Cho: 1 2 1 ; ; ; ; ; N n i I m a a a M S a m M = ≤ ≤ = < ∑ CMR: 2 2 2 1 2 . ( ) n a a a m M S mMn+ + + ≤ + − BÀI 6 Cho: 3 s ố th ỏa:ab+bc+ca=1 v à: 2 2 2 1a b c+ + = cmr: 4 4 , , 3 3 a b c − ≤ ≤ BÀI 7: Cho 2 2 2 2 2 2 ( ) 0p q a b c d+ − + + + > Cmr 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )p a b q c d pq ac bd− − − − ≤ − − BÀI 8: Cho: 0 ; 1; ; i a a b i n< ≤ ≤ = Cmr: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 ( ) ( . ) ( . ) 4 n n a b n a a a a a a a ab + + + + + ≤ + + + BÀI 9:Cho:a.b.c=1 v à 3 36a > ; cmr: 3 2 2 3 a b c ab bc ca+ + > + + BÀI10:cmr: B ÀI 11: Ch ứng minh B ĐT Bunhiacospky cho n số B ÀI 12:Cho n số; [ ] 0,1 i a ∈ ; cmr: 2 2 2 2 1 2 1 2 (1 . ) 4( . ) n n a a a a a a+ + + + ≥ + + + B ÀI 13:Cho 0 2b a < < ≤ v à 2ab ≤ 2b+a;cmr 2 2 5a b+ ≤ Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- B ÀI 14 Cho c ác s ố , i i a b ;i =1;…;n thoả:Cmr: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 ( . )( . ) ( . ) n n n n a a a b b b a b a b a b − − − − − − ≤ − − − ( đây l à B ĐT: Aczeia ) B ÀI 15Cho x,y,z [ ] 0,1∈ ; cmr: 1 1 1 81 (2 2 2 )( ) 2 2 2 8 x y z x y z + + + + < *BỔ SUNG*: BÀI1:Ch : x,z,z>0;thủa: 1 1 1 4 x y z + + = Cmr: 1 1 1 1 2 2 2x y z y z x z x y + + ≤ + + + + + + MỞ RỘNG: Cho: 1 1 ; ; ; 0 n a a a > ; thoả: 1 2 1 1 1 . ( 0) n k k a a a + + + = > ;cmr: 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 * 1 2 1 1 . 1 . . ; . n n n n n n i n m a m a m a m a m a m a m a m a k m N m m m − + + + + + + + + + + + ≤ ∈ + + + (ĐẠI HỌC 2005-A) BÀI2: CMR: x R∀ ∈ , ta lu ôn c ó: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       (ĐẠI HỌC 2005-B) BÀI3: Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1;cmr 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ (ĐẠI HỌC 2005-D) BÀI4: Cho:x,y,z,t>o;cmr: 0 x t t y y z z x t y y z z x x t − − − − + + + ≥ + + + + BÀI5: Cho x,y,z>0; 2 2 2 1 3 x y z+ + ≥ Tim giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + BÀI6: Cho:x,y,z,t>o;cmr: 7 7 7 7 6 6 6 6 x y z t 1 1 1 1 y z t x x y z t + + + ≥ + + + BÀI7: Cho:x,y,z >o;cmr T ìm GTNN c ủa: 2 2 2 (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) x y z y z z y z x x z x y y x + + + + + + + + B ÀI 8: Cho a,b,c>0 và :a+b+c ≤ 3 T ìm GTNN c ủa: 1 1 1 1 1 1 3 3 3A a b b c c a     = + + + + + +  ÷ ÷ ÷     DẠNG 6: TÍNH CHẤT HÌNH HỌC BÀI 1: Tìm GTLN;CTNN của hàm số ( ) 4 1 2 x f x x= + − BÀI 2 :Cho : a ∈ R;cmr: 2 2 ( 1) 4 ( 1) 4 2 5a a− + + + + ≥ BÀI 3 :Cho : a,b,c ∈ R;cmr 4 4 4 ( )abc a b c a b c+ + ≤ + + BÀI 4: Cho:a>c>0;b>c>0;cmr: ( ) ( )c a c c b c bc− + − ≤ BÀI 5: Cho: 0<x,y,z<1;cmr: x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1 BÀI 6: Cho: ; ; α β γ l à 3 góc tạo bởi 3 cạnh của hình hộp chử nhật với đường chéo c ủa hình hộp chử nhật xuất phát cùng một đỉnh ;CMR: a/ 2 2 2 cos cos cos 1 α β γ + + = b/ 2 2 2 4cos 1 4cos 1 4cos 1 21 α β γ + + + + + ≤ BÀI 7: Cho 6 s ố: 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ;a a a b b b ; tho ả: 1 2 3 1 2 3 1a a a b b b+ + + + + = ;cmr: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 a b a b a b+ + + + + ≥ BÀI 8: T ìm GTLN;GTNN c ủa: 1/ [ ] ( ) 3 1 4 5 ; 1;5f x x x x= − + − ∈ 2/ [ ] ( ) 3 1 4 5 ; 1;5f x x x x= − − − ∈ Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- BÀI 9: Cho 4 s ố : a,b,c,d tho ả: 2 2 ( 4) ( 4) 1a b c d+ − + + − = ;cmr: 2 2 2 2 4a c b d+ + + ≥ BÀI 10: T ìm GTNN c ủa : 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )f x a x b a x b= + + + − + v ới : 2 2 0a b+ > BÀI 11: Cho: x,y,z ∈ R;CMR: 1/ 2 2 2 2 2 2 4cos .cos sin ( ) 4sin .sin sin ( ) 2 x y x y x y x y + − + + − ≥ 2/ 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z+ + + + + ≥ + + 3/ 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z x xz z− + + − + ≥ + + BÀI 12: Cho a ∈ R;cmr: 2 2 2 8 2 12 20 6a a a+ + + + > BÀI 13 : Cho:a,b,c>0;ab+bc+ca=abc;cmr: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a a c c b ab ac cb + + + + + ≥ BÀI 14:Cho:x,y,z ≠ 0 ;cmr: 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y y z x y y z z x z x − − + > + + + + − + + BÀI 15: Cho: 2 2 2 2 5a b c d+ = + = ;cmr: 5 2 5 2 5 3 30 2 a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ DẠNG 7:BĐT BUNHIACOSKY BÀI 1:1/Cho: 2 2 1x y+ = ;cmr: 2 3 13x y+ ≤ 2/Cho: 2x+3y =5; cmr: 2 2 2 3 5x y+ ≥ 3/Cho:x,y,z 3 4 − ≥ ; cmr: 4 3 4 3 4 3 39x y z+ + + + + ≤ 4/Cho:x,y>0;x+y < a+b; x<a;a,b>0; cmr: 2 2 2 ( )x a x a x y a b x y a b − + ≥ + + − − + B ÀI2:1/ Cho: 2 2 2 2 1a b c d+ + + = ; cmr: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x+ + + + + ≤ + 2/cmr: 2 2 9 ( 2 1) (2 4 5) 5 x y x y− + + − + ≥ 3/Cho: a,b,c > 0; cmr: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + B ÀI3: 1/ Cho: 0x y z≥ ≥ > ; cmr: 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z z x y + + ≥ + + 2/ Cho: a,b,c ∈ R ; cmr: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 6 2 3 6 a b c a b c   + + ≤ + +  ÷   3/ Cho: a,b,c thoả: 2 2 2 1a b c+ + = ; cmr: 1 1ab bc ca− ≤ + + ≤ 4/ Cho: a,b,c,d>0; cmr: 2 a b c d b c c d d a a c + + + ≥ + + + + ( 2 cách) 5/Cho:a,b,c>0;ab+bc+ca=abc ;cmr: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a ab bc ca + + + + + ≥ 6/Cho: a.b.c 0 ≠ ; cmr: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + Mở rộng:Cho: x,y,z thoả:x.y.z =1; cmr: 2 2 2 x y z x y z+ + ≥ + + BÀI 4: 1/Cho: a,b,c>0; cmr: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 2/Cho: a,b,c >0; a+b+c = 1; cmr: 1 ( ) 2 a b c ab bc ca b c c a a b   + + + + ≥  ÷ + + +   3/ Cho: a,b,c,d>0; cmr: 4 a c b d c a d b a b b c c d d a + + + + + + + ≥ + + + + 4/ Cho:a,b,c,d>0;S=a+b+c+d ; cmr: Võ văn Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 16 4 a b c d a b c d S S         + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷           ≥ +  ÷   5/Cho: a,b,c thoả: 4 ( 1) ( 1) ( 1) 3 a a b b c c− + − + − ≤ ; cmr: 1 4a b c− ≤ + + ≤ ∆ ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr: 4 5 3 3 a b c a b b c c a < + + < + + + BÀI 5: Cho 2n số: 1 2 1 2 ; ; . ; ; ; . 0 n n a a a b b b > ;cmr: ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + ≥ + + + BÀI 6: Cho:a,b,c ∈ R;CMR: 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 3 2 (1 ) 2 a b b c c a + − + + − + + − ≥ B ÀI 7:1/Cho:x.y,z,a,b,c>0; thoả: 1 a b c x y z + + = ; cmr: ( ) 2 ( )x y z a b c+ + ≥ + + 2/ Cho: xy+yz+zx=4 ; cmr: 4 4 4 16 3 x y z+ + ≥ BÀI 8: Cho n số: ; 1;2; .; i a i n= thoả: 2 0 3 n i i a = = ∑ ; cmr: 1 2 . 2 2 3 1 n a a a n + + + < + BÀI 9: Cho:x,y,z >0; x+y+z = 1;cmr: 3 1 1 1 4 x y z x y z + + ≤ + + + BÀI 10: Cho: x,y,z>0; 3 3 3 3x y z+ + = Và :p,q>0;cmr: 4 4 4 3x y z py qz pz qx px qy p q + + ≥ + + + + TỔNG QUÁT: Cho: x,y,z>0; 1 1 1 3 n n n x y z − − − + + = Và :p,q>0;cmr: 3 n n n x y z py qz pz qx px qy p q + + ≥ + + + + B ÀI 11: Cho: x,y,z>0; 2 2 2 1x y z+ + = T ìm GTNN c ủa: 3 3 3 2 3 2 3 2 3 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + B ÀI 12: Cho:x,y,z,t>0 v à:xy+tz+zt+tx=1 T ìm GTNN c ủa: 3 3 3 3 x y z t y z t z t x t x y x y z + + + + + + + + + + + B ÀI 13: Cho:x,y,z>0;x+y+z ≥ 6;T ìm GTNN c ủa: 3 3 3 x y z y z z x x y + + + + + B ÀI 14:Cho: 1 2 ; ; .; 0; n x x x > v à : 1 2 ; ; .; n y y y là 1 hoán vị của n số trên;cmr: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 . . n n n x x x x x x y y y n + + + + + + ≥ HƯƠNG HỌC TRÒ Hạ về thương nhớ ,năm tháng yên vui trong tuổi học trò.Hồn nhiên đến lớp, áo trắng vui đùa những nắng chiều lên,lưu bút trao tay viết mấy cho vừa dòng nhớ thương.Khi thôi đi học ,mong sao tìm lại một thoáng hương xưa ĐK: Ô hay học trò,dù mưa hay nắng ,vắng mãi không thôi,tập làm thi sỹ;yêu cô em nhỏ đêm về tương tư. Ô hay học trò,mùa thi đã đến ,chẳng nói một câu,vùi đầu sách vở, quên cô em nhỏ,bỏ nhạc bỏ thơ. Tìm trong sách vở,trang giấy lem nhem, ép cánh phượng buồn ,tìm trong sách vở,công thức phương trình ,hàm số đường cong.Biết chứng minh sao? ẩn số quay cuồng , gợi nhớ khôn nguôi,xa xuôi mắt buồn ,năm tháng chưa dài ,ngày vui chẳn còn Mùa chia tay 2006 Chúc các em thành công trên đoạn đường còn lại! . Nhân-MDYX-THPT. Núi Thành-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi-0935056206- BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BÀI 1: Chứng minh các BĐT sau: 1/ 2 2. Cho:a,b,c ≥ 1; cmr: 3 3 3 1 1 1 4 1 1 1 1a b c abc + + ≥ + + + + DẠNG2: BẤT ĐĂNG THỨC CÔ SI BÀI 1: 1/Cho:a,b,c ≥ 0;a.b.c=4,cmr: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc 2/