Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA c fb Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN m o 1) Khái niệm Lũy thừa Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a a, với n số tự nhiên Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n số tự nhiên a /g m Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = ( a) n m với m, n số tự nhiên ro Đặt biệt, m = ta có a n = n a 2) Các tính chất Lũy thừa p u  a = 1, ∀a Tính chất 1:   a = a, ∀a iL a T s/  a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n  am > bm ⇔ m > Tính chất (so sánh lũy thừa khác số): với a > b >  m m  a < b ⇔ m < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên số a phải dương ie 3) Các cơng thức Lũy thừa Nhóm cơng thức 1: n Nhóm cơng thức 2: m+ n m n n ab = n a n b , m n b) a π a : a 4π d) a a1,3 : a (a ) −1 −1 = a a1− =a 3 =a 3 = a3 = a .a1,3 = a1,3 a Ví dụ 2: [ĐVH] Đơn giản biểu thức : d) a a1,3 : a c ( ) c) a o b) a π a : a 4π a2 = aπ π = a = a a iH 2 a Lời giải: =a ∀a, b ≥ iD 1 a) a   a a = a3 ; n a = an a a = n , ∀a ≥, b > b b −1 −1 h  → a = a2 ; T ( ) c) a m a n Ví dụ 1: [ĐVH] Rút gọn biểu thức sau : 1 a) a   a n n = a mn = ( a n ) ( ) am = a n = O am = a m−n n a (a ) m n u a a = a m Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 a) a2 (a − b2 2 −b c fb a c) a a2 − b2 2 ) − 1)( a −b 3 +b +1 = a4 3 −b d) (a +a −b (a −a +a b +b 3 ) +1 = a 3 +b −b )  a  = −b a π )( − a2 a4 3 +b +a 3 +a b −b 3 +b ) = 2a π 3 −b 3 + a3 Lời giải: 7  3 3 a + a b + b    +a −a a (a − b ) ) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + + a ) = a ( a ( a − 1)( a + + a ) + a3 )( a p u 3  1π  π π a + b − ( )  ab    ro a −b +a b a c) /g (a (a b) ) (a b) +1 m o a) 3     =a −b ) +1   d) ( a + b ) −  π ab  = a π + b2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π   Ví dụ 3: [ĐVH] Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ biểu thức sau : π π T s/ a) A = 2 11 b) B = a a a a : a16 a d) D = iL c) C = x x b3 a a b ( a > 0) ( ab > ) Lời giải:  1 31         25 10 2  =    =  2  = =          11 O u 1  2 1 15 2     11 11 11     16 +1  +1    a =    a  a  a  : a 16 =   a  a  : a =  a  : a 16 = 11 = a               a 16        n b) B = a a a a : a 16 ie       a) A = 2 =   2            h T Ví dụ 4: [ĐVH] Rút gọn biểu thức sau : −1 iH a iD 3   34   34  4 a − b a + b        1  a−b a −b        a) A = − : a −b  b) B =  − ab  1 1       a2 − b2  a + a b a + b       Lời giải:   1 1 1     1 1 2 2    a −b a2 − b2   a b a b a b a a b − − − − +    4 a) A = − :  a − b4  = 1 − : a − b =   1 1 1 1          a2 a4 + b4  a4 + b4    4 a + b   a2  a4 + b4   a + a b         1   b2  a2 − b2  b = =   a a  a − b  1    a − b4    = c o Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 m o c fb 3 1 1   34   32  34   12    12  4 2 2 a − b a + b a − b − a b a − b a − b          ( a − b)            b) B =  − ab  =  = a −b 1 1 1 =       a2 − b2 a − b2  a2 − b2            Ví dụ 5: [ĐVH] Đơn giản biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa) 2  32  a b   a    14  a2 +  a) A =   +  a + b b) B = :    b a   a b3      a2 −    a   +4  2a  Lời giải: /g a   + 1 a b2 +  + a  :  a + b  = b ab3 =   1 1  ab    a + b ab3  a + b         a 2 ⇔ a ≥ = = a −2 ⇔ a < ro 2  32 12   a b   a    14   a b  a) A =   +   :  a + b  =  3     b a b a  a b       = a2 + p u a2 + b) B =  a2 −  ( a2 + 4) a   +4 a 4a  2a  Ví dụ 6: [ĐVH] Cho a, b số dương Rút gọn biểu thức sau :      a b a) a + b  a + b − ab  b)  a + b  :  + +  b a      Lời giải: 2 2 3   a) a + b  a + b − ab  = a + b  a − a b + b  = a + b = a + b     1  13  31 31  31  13 13 3 1 a b a b a b + +    a b 3    13  a b a b  b)  a + b  :  + +  =  1 2 = = 2 1 b a  13     3 2a b + a + b a + b a +b    ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) O u ie iL ( a ) T s/ ( BÀI TẬP LUYỆN TẬP 23 3 b3 a a b Bài 2: [ĐVH] Có thể kết luận số a trường hợp sau? 1 c)   a b2 b −0,2 < a2 1 > (1 − a ) − e) ( − a)4 > (2 − a) 3− ) ( 3+ ) +  3− 2  −1 (     3+ − − c Bài 3: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau:  a) A =    2   f)   >   a a o d) (1 − a ) − b b iH −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) a f) F = iD e) D = a8 − − a) ( a − 1) < ( a − 1) c) C = 2 h d) D = b) B = T a) A = x x n Bài 1: [ĐVH] Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi biểu thức tồn tại) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 b) B = + 10 + + − 10 + c fb Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số f ( x) = 4x 4x + a) Chứng minh a + b = f(a) + f(b) = m o   b) Tính tổng S = f  +  2011    f  + +  2011   2010  f   2011  Bài 5: [ĐVH] So sánh cặp số sau 7   8 ro 6 d)   7 10 /g π π a)     2 2 π b)   2 π   5 π e)   6 π   5  3 c)   5 10  4   7 20 c) 17 28 b) T s/ 30 a) p u Bài 6: [ĐVH] So sánh cặp số sau d) 13 23 Bài 7: [ĐVH] Tìm x thỏa mãn phương trình sau? 1 =  9 x−2 x x −x 3) 81 − x = 3 6)   2 27 = 64 x −5 x + x −7   9)    49  8) 0, = 0,008 x 11) 71− x.41− x = 32 =1 7 =  3 x −3 28 n O x −x 125 u 12 ) ( ) = = ie ( x +1 2   5)        27   0, 25  7) 322 x −8 =   0,125   10) 2   25 iL 4) ( 3 ) 2x 2) a 1) x = 1024 h T c o iH a iD Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 02 CÔNG THỨC LOGARITH – P1 c fb Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN m o 1) Khái niệm Logarith Logarith số a số x > ký hiệu y viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ 1: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức logarith sau log 4; log 81; log 32; log (8 ) /g Hướng dẫn giải: • log = y ⇔ = ⇔ y =  → log = y • log ( ) = 32 = = ( ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10 (8 ) = y ⇔ ( ) = = = ( ) ⇔ y = → log ( ) = y 32 = y ⇔ y 10 p u • log ro • log 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y =  → log3 81 = T s/ Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị a) log 2 32 = b) log 128 = c) log 81 = a d) log 3 243 = ie iL Chú ý: Khi a = 10 ta gọi logarith số thập phân, ký hiệu lgx logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) gọi logarith số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu lnx, (đọc len-x) 2) Các tính chất Logarith u • Biểu thức logarith tồn số a > a ≠ 1, biểu thức dấu logarith x > • log a = ;log a a = 1, ∀a n O b > c ⇔ a > • Tính đồng biến, nghịch biến hàm logarith: log a b > log a c ⇔  b < c ⇔ < a < 3) Các cơng thức tính Logarith ( 2) = Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: a) P = log a4 a b) Q = log a a a a a iH a a a a2 a iD 24 = log h Ví dụ 1: [ĐVH] log 32 = log 25 = 5;log 16 = log T Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1) Chứng minh: Theo định nghĩa hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x Lời giải: a) Ta có a4 a = 1 a a = 1 + a2 a4 = a = 28 − a 15 67 = a 60  → P = log 67 a 60 a a.a = 15 a16  → Q = log a 15 a16 = log 15 a ( a) = 15 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: = a.a 67  − 60 67 = log   = −  a  60 a a.a = 28 a 15 c a a a a = a a 1+ + a o b) Ta có a a a2 a.a a Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 b) B = log a a a a a a) A = log a a3 a a c) log a a3 a a a4 a c fb Lời giải:  a) A = log a a a a = log a  a   1 37  = 3+ + = 10  1  1+  + + 3    27   25 b) B = log a a a a a = log a  a    = +   = +   10  10     1+ 53 + 32  a a3 a a 91  34  c) log = − log a  1  = −  −  = − 60 a a  15  a  a2+4    Ví dụ 4: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: 1 3+ + m o ro /g a) log 125 = b) log 64 = d) log 0,125 2 = e) log 3 3 = f) log 7 7 343 = p u c) log16 0,125 = ( ) T s/ Ví dụ 5: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: a) P = log a a a a = ( ) b) Q = log a a a a a = = 3, log5 = 6, ( ) log3  1 = ( 3)    log3 ie Ví dụ 1: [ĐVH] log iL a Công thức 2: a loga x = x, ∀x > , (2) Chứng minh: Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2) ⇔ at = at u Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: 2) 4) log 2 = log3 = n ( 9) 64 O 1) 2log8 15 =  log81 = 3)     log = ( 3)  = ( ) =   h T Công thức 3: log a ( x y ) = log a x + log a y , (3) Chứng minh:  x = a log a x Áp dụng công thức (2) ta có   → x y = a log a x a log a y = a loga x + loga y log a y  y = a iD a Áp dụng công thức (1) ta : log a ( x y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví dụ 1: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: a) log 24 = log ( 8.3) = log + log = log 23 + log = + log 3 32 = log 23 + log 2 = log ( 2) + log 10 = −3 − = − 3 2 ( 2) = + = c) log 32 = log + log − 1 1 = log + log = log   + log       3 3 −3 3 c b) log 27 = log 27 + log o iH b) log 81 = log ( 27.3) = log 27 + log 3 = log 33 + log 3 = + = Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau: 4 10 a) log 16 = log + log 16 = log 22 + log 2 = + = 3 Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho biết log a b = 2;log a c = Tính giá trị log a x với a) x = a 3b c c fb b) x = ab3 a 3bc m o /g x Công thức 4: log a   = log a x − log a y , (4)  y Chứng minh: log x x a log a x  x = a a Áp dụng cơng thức (2) ta có   → = log y = a log a x −log a y log a y y a a  y = a ro x Áp dụng công thức (1) ta : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm  y b) x = a T s/ p u 32 Ví dụ 1: [ĐVH] Ta có log = log 32 − log 16 = log 2 − log 2 = − = 16 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị log a x với ab c a) x = abc a 5bc iL a abc3  x2 +  b) y = log  log  x+3   x −1 x+5 x2 − x − x −1 − log x − x − x +1 x −1 g) y = log 2x − n e) y = lg ( − x + x + ) + d) y = log x−3 x +1 O  x2 +  f) y = log 0,3  log  x+5   c) y = log u a) y = log ie Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm tập xác định hàm số sau : T h Lời giải: x −1   x −1 log ≥0  x −1  −2   x + ≤ −1 ≤ ≤ → x ≥ −1 x −1  x +1   a) y = log Điều kiện :  ⇔ ⇔  x +1 ⇔  x +1 x+5  x −1 >  x − >  x < −1; x >  x < −1; x >  x +  x + a iD Vậy D = (1; +∞ ) c o iH   x2 +   x2 − x − log  log ≥0 ≥0  x+3  + x  3  x2 +  ≥1     x − x − 14 x2 +  x2 + x+3 b) y = log  log Đ i ề u ki ệ n : ≤ log ≤ ⇔ ⇔ ≤0     x+3  x+3 x+3   0 < x + ≤    x > −3 x2 + x+3  < ≤5   x+3    −3 < x < −1; x > ⇔ ⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 )  x < −3; −2 < x < Phần lại em tự giải nốt nhé! Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 02 CÔNG THỨC LOGARITH – P2 c fb Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN m o 3) Các công thức logarith (tiếp theo) Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5) Chứng minh: ( Theo cơng thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b /g ) m = a m.loga b Khi log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm Ví dụ 1: [ĐVH] ro log 27 = log 33 = 3log 3; log 36 = log 62 = 2log log 32 = log ( 32 ) = log 32 = 4 p u T s/ Ví dụ 2: [ĐVH] −4 62.45 1 Ta có 2log − log 400 + 3log 45 = log 62 − log 400 + log 45 = log = log 81 = log   = −4 3 3 3 20 3  3 iL a 50 Ví dụ 3: [ĐVH] log − log 12 + log 50 = log − log 12 + log 50 = log = log 25 = 2 3 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị log a x với ab c a) x = a bc ie ab3 a 3bc bc3 u b) x = Chứng minh: y = b ⇔ a ny = b T ( ) Đặt log a n b = y ⇒ a n log a b , (6) n n Công thức 6: log a n b = O log a b n h Lấy logarith số a hai vế ta : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = iD hay log a n b = log a b ⇒ dpcm n c o iH a = 11 log 2= 11 ( 32 ) = log( ) ( ) 11 log 16 = 2.4 = 22 Ví dụ 1: [ĐVH] log 64 = log 64 = log 64 = 5.6 = 30 25 m Hệ quả: Từ cơng thức (5) (6) ta có : log an b m = log a b n Ví dụ 2: [ĐVH] log 125 = log ( 53 ) = log5 = ; log 53 log 16 = log 16 = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức A = c fb log 3 27 = log 3 (3 ) m o  27  log   = log − 3   1 log + log   81 3   Hướng dẫn giải: =2  13 13 26 = log3 = −2 = −  5  − /g log  33   52 3  27  log 3 27 + log   9  = log 3−4 = −4.2 log3 = −8  →A= 81 32  27  log 3 27 + log     p u ro 1 log + log   81 3  log c b Công thức 7: (Công thức đổi số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: 26 = = −8 + 2− ( ) T s/ Theo cơng thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a iL a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ đơi (7) cịn gọi cơng thức “chồng” số viết theo dạng dễ nhận biết sau log a b = log a c.log c b log b b + Khi cho b = c (7) có dạng log a b = = log b a log b a ie Ví dụ 1: [ĐVH] Tính biểu thức sau theo ẩn số cho: a) Cho log 14 = a  → A = log 49 = ? b) Cho log15 = a  → B = log 25 15 = ? u Hướng dẫn giải: a) Ta có log 14 = a ⇔ a = log ( 2.7 ) = + log ⇒ log = a − O Khi A = log 49 = 2log = ( a − 1) n 1− a  log = − =  1  a a b) Ta có log15 = a ⇔ a = =  → a log 15 + log log = 1− a  h T Ví dụ 2: [ĐVH] Cho log a b = Tính b a b a b) B = log ab b a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = ⇒ log b a = b = log a b a b − log b a a= 1 − =  b  b  log log b   log a    a   a  b b − log a b − log a b − log a a = b a c a) A = log o iH a) A = log a iD 1 log 15 1 B = log 25 15 = = a = a =  →B = log 25 2log − a (1 − a ) (1 − a ) a Chương trình Luyện thi PRO–S Tốn MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 = c fb 1 1 −1 −1 − = − =  →A= − 2log b a log a b − − −2 3−2 −2 b log a  b b a = log a b − = − Cách khác: Ta có A = log b = log   = log b =  b  a log b log a b − 3−2 a    a  a2 a a  a  a b 1 1 b) B = log ab − = − = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b m o a b = 1 1 −1 −1 − = − =  →B = 1 + log a b 1 1+ 3 + + log b a + + 2 b2 log a b b  b  a = 2log a b − = − Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab =   ( ab )  a  a log a ab + log a b a 1+ Ví dụ 3: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau : log + log 5  14 − 12 log9 log125  log 1+ log a)  81 + 25 b) 16 + 42  49   log − log  − log  c) 72  49 d) 36log + 101− lg − 3log9 36 +5    Hướng dẫn giải: 1 1 3log5    − log9   4 − log  2log 23  3  log a)  814 + 25log125  49log7 = ( 3)   + 53  72log7 =  31− log3 +  7 =  +  = 19         = log2 3+3log5 iL a T s/ p u ro /g b) 161+log4 + = 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 = 16.25 + 3.26 = 592  log7 9− log7 1 − log   c) 72  49 + 5  = 72 7log7 9− log7 + 5−2 log5 = 72  +  = 18 + 4,5=22,5  36 16    log6 log9 36 log6 25 1−lg2 log5 d) 36 +10 −3 = +10 = 25+ = 30 Ví dụ 4: [ĐVH] Tính giá trị biểu thức sau : a) A = log 15 + log 18 − log 10 b) B = 2log − log 400 + 3log 45 3 ) d) D = log ( log 4.log 3) T c) C = log 36 − log n O u ie ( h Hướng dẫn giải: 15.18 a) A = log 15 + log 18 − log 10 = log = log 33 = log 33 = 10 2  36.45  b) B = 2log − log 400 + 3log 45 = log   = log = − log 3 = −4 20  3 3 1 1 c) C = log 36 − log = log + log = log 2.3 = 2 2 1 d) D = log ( log 4.log 3) = − log ( log 3.log ) = − log ( log ) = − log 2 = − 2 c o iH ( x = 2011!) a iD Ví dụ 5: [ĐVH] Hãy tính : 1 1 a) A = + + + + log x log x log x log 2011 x b) Chứng minh : log a b + log a x + log ax ( bx ) = + log a x Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01