Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

5 523 0
Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp tài liệu, giáo án, bài giảng , luậ...

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §3 Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Đ3 một số dạng phơng trình lợng giác thờng gặp Dạng 1: Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác. Phơng pháp áp dụng Đặt hàm số lợng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện t 1), rồi giải phơng trình theo ẩn phụ này. Ví dụ 1: Giải phơng trình: a. 2cos 2 x 3cosx + 1 = 0. b. 2cos 2 x + sinx + 1 = 0. c. 3 tan 2 x (1 + 3 )tanx + 1 = 0. Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán. Giải a. Đặt t = cosx điều kiện t 1, ta biến đổi phơng trình về dạng: 2t 2 3t + 1 = 0 = = 2 1 t 1t = = 2 1 xcos 1xcos + = = k2 3 x k2x , k N. Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm. b. Biến đổi phơng trình về dạng: 2(1 sin 2 x) + sinx + 1 = 0 3 2sin 2 x + sinx = 0 2sin 2 x sinx 3 = 0. Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đợc: 2t 2 t 3 = 0 = = iạlo2/3t 1t sinx = 1 x = 2 + 2k, k N Vậy, phơng trình có một họ nghiệm. c. Đặt t = tanx, ta biến đổi phơng trình về dạng: 3 t 2 (1 + 3 )t + 1 = 0 = = 3 1 t 1t = = 3 1 xtan 1xtan + = + = k 6 x k 4 x , k N. Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm. Chú ý: Nh trong câu b) chúng ta thấy phơng trình ban đầu cha phải phơng trình bậc hai theo một hàm số lợng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi lợng giác dựa trên nguyên tắc: 1. Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa một hàm. 2. Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung. 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm đó: a. 3cos2x + 10sinx + 1 = 0 trên 2 ; 2 ; b. 2sin 2 x + 3cosx = 2, 0 0 x 360 0 . c. tanx + 2cotx = 3, 180 0 x 360 0 . Giải a. Biến đổi phơng trình về dạng: 3(1 2sin 2 x) + 10sinx + 1 = 0 3sin 2 x 5sinx 2 = 0. Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đợc: 3t 2 5t 2 = 0 = = iạlo2t 3 1 t sinx = 3 1 2 ; 2 x x 0,34. b. Trớc tiên, ta đi giải phơng trình bằng cách biến đổi: 2(1 cos 2 x) + 3cosx = 2 2cos 2 x 3cosx = 0 (2cosx 3)cosx = 0 cosx = 0 x = 90 0 + k180 0 , k Z. Với điều kiện 0 0 x 360 0 , ta có: 0 0 90 0 + k180 0 360 0 2 1 k 2 3 Zk = = 1k 0k = = 0 0 270x 90x . Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 90 0 và x = 270 0 . c. Điều kiện x k90 0 , k Z. (*) Đặt t = tanx, khi đó phơng trình có dạng: t + t 2 = 3 t 2 3t + 2 = 0 = = 2t 1t = = 2xtan 1xtan + += 00 00 180k435,63x 180k45x 00 360x180 = 0 0 435,243x 225x . Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 225 0 và x 243,435 0 . Ví dụ 3: Cho phơng trình: xcos 1m 2 2 2m.tanx m 2 + 2 = 0. (1) a. Giải phơng trình với m = 2. b. Tìm m để phơng trình có đúng ba nghiệm thuộc (; 2 ). Giải Điều kiện: cosx 0 x 2 + k, k Z. Biến VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp Bài 2: (Trang 36 SGK Giải tích lớp 11) Giải phương trình sau: a) 2cos2x – 3cosx + = 0; b) 2sin2x + √2sin4x = Đáp án hướng dẫn giải 2: a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1] ta phương trình 2t2 – 3t + = ⇔ t ∈ {1; 1/2} Nghiệm phương trình cho nghiệm hai phương trình sau: cosx = ⇔ x = k2π cosx = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + k2π Đáp số: x = k2π; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), phương trình cho tương đương với 2sin2x(1 + √2cos2x) = ⇔ ⇔ Bài 3: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11) Giải phương trình sau: a) sin2(x/2) – 2cos(x/2) + = 0; b) 8cos2x + 2sinx – = 0; c) 2tan2x + 3tanx + = 0; d) tanx – 2cotx + = Đáp án hướng dẫn giải 3: a) Đặt t = cos(x/2), t ∈ [-1; 1] phương trình trở thành (1 – t2) – 2t + = ⇔ t2 + 2t - = ⇔ Phương trình cho tương đương với cos(x/2) = ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1; 1] phương trình trở thành 8(1 – t2) + 2t – = ⇔ 8t2 – 2t – = ⇔ t ∈ {1/2;-1/4} VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Các nghiệm phương trình cho nghiệm hai phương trình sau: Đáp số: x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π; x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z c) Đặt t = tanx phương trình trở thành 2t2 + 3t + = ⇔ t ∈ {-1; -1/2} Vậy d) Đặt t = tanx phương trình trở thành t – 2/t + = ⇔ t2 + t – = ⇔ t ∈ {1; -2} Vậy Bài 4: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11) Giải phương trình sau: a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4 Đáp án hướng dẫn giải 4: a) Dễ thấy cosx = không thỏa mãn phương trình chia phương trình cho cos2x ta phương trình tương đương 2tan2x + tanx – = Đặt t = tanx phương trình trở thành 2t2 + t – = ⇔ t ∈ {1; -3/2} Vậy b) Thay = 2(sin2x + cos2x), phương trình cho trở thành VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x ⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = ⇔ tan2x – 4tanx + = ⇔ ⇔ x = Π/4 + kπ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z c) Thay sin2x = 2sinxcosx; 1/2 = 1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình cho rút gọn ta phương trình tương đương 1/2sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = ⇔ tan2x + 4tanx – = ⇔ ⇔ x = π/4 + kπ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4 ⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + – 4sin2x = ⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = ⇔ Bài 5:(Trang 37 SGK Giải tích lớp 11) Giải phương trình sau: a) cosx – √3sinx = √2 c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = b) 3sin3x – 4cos3x = d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = Đáp án hướng dẫn giải 5: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2 ⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3 ⇔ cos(x +π/3) = √2/2 ⇔ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b) 3sin3x – 4cos3x = ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = Đặt α = arccos phương trình trở thành cosαsin3x – sinαcos3x = ⇔ sin(3x – α) = ⇔ 3x – α = π/2 + k2π ⇔ x = π/6 + α/3 + k(2π/3), k ∈ Z (trong α = arccos3/5) c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) nên phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = ⇔ cos(x – π/4) = 1/2 ⇔ d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = ⇔ Đặt α = arccos5/13 phương trình trở thành cosαcos2x + sinαsin2x = ⇔ cos(2x – α) = ⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong α = arccos 5/13) Bài 6: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11) a tan(2x + 1) tan(3x – 1) = b tanx + tan(x + π/4) = Đáp án hướng dẫn giải 6: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Chuyên đề 1: phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Chuyên đề phơng trình lợng giác thờng gặp TRƯỜNG THPT TÁNH LINH TỔ: TOÁN – TIN KHỐI 11 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Hoạt động 1: Bài cũ Hỏi 1: Em hãy nêu công thức cộng Hỏi 2: Hãy chứng minh rằng a/ sinx +cosx = ) 4 sin(2 π + x ) 4 sin(2 π − x b/ sinx – cosx = Trả lời Công thức cộng: Sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa ± ± Cos(a b) = cosa.cosb sina.sinb ±  Tan(a b) = ± ba ba tan.tan1 tantan  ± Chứng minh: a/ sinx +cosx = ) 4 sin(2 π + x sinx +cosx = )cos 2 2 sin 2 2 (2 xx − )cos 2 2 sin 2 2 (2 xx + )cos 4 sinsin 4 (cos2 xx ππ + ) 4 sin(2 π + x = = ) 4 sin(2 π − x b/ sinx – cosx = sinx – cosx = )cos 4 sinsin 4 (cos2 xx ππ − = = ) 4 sin(2 π − x Hoạt động 2: Bài mới HĐ 2.1: Công thức biến đổi biểu thức. Hỏi: từ kết quả trên hãy nhận xét xem: asinx + bcosx = ? Nhận xét: đối chiếu kết quả trên ta thấy Theo kết quả trên ta có: sinx +cosx = ) 4 sin(2 π + x asinx + bcosx = 1sinx + 1cosx = ) 4 ()sin(11 22 π αα =++ x )sin(.? α + x ⇒ ?)sin( 22 =++ αα xba asinx + bcosx = Chứng minh: )sin( 22 α ++ xba asinx + bcosx = Ta có: asinx + bcosx = )cossin( 2222 22 x ba b x ba a ba + + + + 1)( 2 2222 = + + + ba b ba a α Nên ta có 1 góc để Vì α cos 22 = + ba a α sin 22 = + ba b , (1) Vậy (1) = )cossinsin(cos 22 xxxxba ++ )sin( 22 α ++ xba = Vậy: )sin( 22 α ++ xba asinx + bcosx = )sin( 22 α −+ xba asinx - bcosx = Tương tự, ta có: Bài tập 1: Biểu thức được biến đổi thành biểu thức nào sau đây? xx cossin3 + Bài tập củng cố: ) 4 cos(2/ π − xa ) 6 sin(2/ π + xb ) 6 cos(2/ π − xc ) 3 cos(2/ π + xd 22 cos ba a + = α )sin( 22 α ++ xba asinx + bcosx = Theo chứng minh: Với: Thật vậy, ta có: xx cossin3 + = )sin(1)3( 22 α ++ x Với: 22 1)3( 3 cos + = α = 2 3 ⇒ 6 π α = )sin(2 α + x = Vậy ta chọn câu: ) 6 sin(2/ π + xb Bài tập 2: Biểu thức tương đương với phương trình sau đây? 1cos3sin =− xx 2 1 ) 4 sin(/ =+ π xa 2 1 ) 3 sin(/ =− π xb 2 1 ) 6 cos(/ =+ π xc 2 1 ) 3 cos(/ =− π xd 22 cos ba a + = α )sin( 22 α −+ xba asinx - bcosx = Theo chứng minh: Với: Thật vậy, ta có: xx cos3sin − = )sin()3(1 22 α −−+ x Với: 22 )3(1 1 cos + = α = 2 1 ⇒ 3 π α = )sin(2 α − x = Vậy ta chọn câu: 2 1 ) 3 sin(/ =− π xb Hoạt động 2.2: Xét phương trình dạng: asinx + bcosx = c baRcba ,;,, ∈ (Với TH1:    =≠ ≠= 0,0 0,0 ba ba Nếu không đồng thời bằng không) Phuong trình (*) là (*) phương trình lượng giác cơ bản )sin( 22 α ++ xba asinx + bcosx = TH2: ,0,0 ≠≠ ba Ta áp dụng công thức (1): để giải Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau. 1cossin3 =+ xx Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau. 1cossin3 =+ xx Giải: (a) (a) ⇔ 1)sin(2 =+ α x ⇔ 2 1 )sin( =+ α x Với , 2 1 )sin( = α 2 3 )cos( = α ⇒ 6 π α = Vậy: (a) ⇔ 2 1 ) 6 sin( =+ π x ⇔ )( 2 3 2 2 zk kx kx ∈     += = π π π asinx + bcosx = c )sin( 22 α ++ xba asinx + bcosx = ⇔ HĐ 2.3: Điều kiện có nghiệm của phương trình Hỏi: Từ phương trình: hãy nhận xét xem phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi nào? Ta có: asinx + bcosx = c 22 )sin( ba c x + =+ α Phương trình trên có nghiệm: ⇔ 1 22 ≤ + ba c ⇔ 222 bac +≤ Vậy phương trình (b) có nghiệm (b) ⇔ 222 bac +≤

Ngày đăng: 01/11/2016, 22:01

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan