SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 A = x 50 x + 50 x + x 50− − − với x 50≥ b) Cho x + 3 = 2 . Tính giá trị của biểu thức: B = x 5 – 3x 4 – 3x 3 + 6x 2 – 20x + 2018 Câu 2 (2,0 điểm): a) Giải phương trình 2 2 4x 3x + = 6 x 5x + 6 x 7x + 6− − b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x + y + 4 xy = 16 x + y = 10      Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 2 4a + 3ab 11b− chia hết cho 5 thì − 4 4 a b chia hết cho 5. b) Cho phương trình 2 ax +bx+1 0 = với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết 5 3 x = 5+ 3 − là nghiệm của phương trình. Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm): Cho n 1 A = (2n +1) 2n 1 − với n * ∈¥ . Chứng minh rằng: 1 2 3 n A + A + A + + A <1 . HẾT Họ và tên thí sinh: ……………………………… … Số báo danh ……………. Chữ kí giám thị 1 ………………… Chữ kí giám thị 2 ………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 2,0 điểm a) 1,0 điểm Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A = x - 50 - x + 50 x + x -50 A = x - 50 + x + 50 - 2 x -50 x + x -50 A = 2x -2 x -50 x + x -50 A = 2 x - x +50 A =100 Nhưng do theo giả thiết ta thấy ( ) 2 A = x - 50 - x + 50 x + x -50 <0 A= -10⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25đ b) 1,0 điểm x + 3 = 2 => 2 2 3 ( 2) 3− = − ⇒ − =x x 2 4 1 0x x⇒ − + = B = x 5 – 3x 4 – 3x 3 + 6x 2 – 20x + 2018 B = (x 5 – 4x 4 + x 3 ) + ( x 4 – 4x 3 + x 2 ) + 5( x 2 – 4x + 1) + 2013 B = x 3 ( x 2 – 4x + 1) +x 2 ( x 2 – 4x + 1) +5(x 2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 2,0 điểm a) 1.0 điểm Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình Với x 0≠ , phương trình đã cho tương đương với: 4 3 + = 6 6 6 x 5 + x 7 + x x − − Đặt 6 t = x 7 + x − phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 + =6 1 t 0;t 2 t+2 t 1 4t 3t 6 6t 12t 6t 5t 6 0 ≠ ≠ − ⇔ + + = + ⇔ + − = Giải phương trình ta được 1 2 3 2 t ;t 2 3 − = = ( thỏa mãn ) Với 1 3 t 2 − = ta có 2 6 3 7 2 11 12 0 2 x x x x − − + = ⇔ − + = Giải phương trình ta được 1 2 3 x ;x 4 2 = = ( thỏa mãn ) Với 2 2 t 3 = ta có 2 6 2 7 3 23 18 0 3 x x x x − + = ⇔ − + = 0,25 0,25 0,25 Giải phương trình ta PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Mức độ Mạch Kiến thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Cấp độ thấp Cấp độ cao Cộng Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 5,0 đ 1,0 Bất đẳng thức 2,0 2,0 2.b 2,0 Phương trình vô 3.a tỷ Chia hết nghiệm nguyên 3.b 2.a 6,0 đ 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 2,0 đ 2,0 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 4,0 7,0 đ 4ý 3,0 8,0 20,0đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài 1: (3 điểm) x2  x 1 Cho biểu thức A   (  ) x 1 1 x  1 x  a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 b) Chứng minh rằng: 1   2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y 1 c) Cho x, y, z thỏa mãn   x  1   :  y z   x  y  z      Tính giá trị biểu thức B  x 21  y 21 y11  z11 z 2017  x 2017 Bài 3: (4 điểm) a) Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)  323 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y  2) x 2017  y  y   Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm D ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF Bài 5:(3 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường tròn cho ∠CAB = 45o, ∠DAB = 30o AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R HẾT VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Nội dung Điểm x   1a a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa:  x3     x  2   (1đ)  x  1   x  1 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A 1b (1đ) x2  2x 1 x( x  2)  (  )  x 1 1 x  1 x  ( x  1)( x  x  1)  ( x  2) x( x  2) x( x  2)  ( x  x  1)    ( x  1)( x  x  1) x  ( x  1)( x  x  1) ( x  1) 1   2 ( x  1)( x  x  1) x  x  1,0đ c) Tìm giá trị nhỏ A 1 1  x  x  ( x  )2  Ta có A nhỏ ( x  )  đạt giá trị nhỏ 4 1 Vậy: Giá trị nhỏ A x  =  x  2 Ta có A  1c (1đ) 2a (2đ) a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 2016 Điều kiện x  2017  Phương trình cho tương đương với 1,0đ 1,0đ x  x   2017 x  2016  2017 x  2016     x  1    2017 x  2016    x     2017 x  2016   VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x   2017 x  2016   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  nghiệm phương trình cho b) Chứng minh: 1,0đ 1   2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + =  (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + =  ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 =  ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 2b (2đ) ( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) =  ( x + y + 2) ( x  y )  ( x  1)  ( y  1)   =  x+y+2=0  x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y <  (  x )  (  y ) ( x  y )   1 2 2 1 x  y 2  -2 Mà M     Do xy  suy  hay xy xy x y xy xy 1 Vậy M    2 (đpcm) x y Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x)( y )  1 c) Cho x, y, z thỏa mãn   x   1   :  y z   x  y  z    Tính giá trị biểu thức B  x 21  y 21 y11  z11 z 2017  x 2017 2c (2đ) 1,0đ Ta có: 1 1   1 1    :  1     x  y  z 1  x y z  x y z x y z 1,0đ  1,0đ  (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz  xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz  (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) =  x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x   y  (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) =  ( x  y )( y  z )( x  z )    y   z  z   x 1,0đ Thay vào B tính B = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n –  323 Ta có: 323=17.19  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) n 20 –  19 3a 16n – 3n  19 (n chẵn) (2đ) Do 20n + 16n – 3n –  19 (1) n n n n n n  20 + 16 – – 1= (20 – ) + (16 –1) n 20 – 3n  17 16n –1n  17 ( n chẵn) Do 20n + 16n – 3n –  17 (2) n Mà (17;19) = nên từ (1) (2) suy 20 + 16n – 3n –  323 1,0đ 1,0đ b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y  2) x 2017  y  y   Nếu y+2=0  y  2 lúc phương trình có dạng x 2017   (vô nghiệm) Nếu y  2 ta có x 2017  1,0đ y2  y 1  y y2 y2 3b (2đ) Vì x, y nguyên nên y  nguyên y   Ư(1)  1;1 Với y   1  y  3  x 2017  4 (loại ) 1,0đ Với y    y  1  x 2017   x  Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề : x=0,y=-1 A E F H G B O D M C K a) Chứng minh SAHG = ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2006-2007 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 28/03/2007 Lớp: 9 Trung học cơ sở Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề thi) Đề thi này có: 4 câu gồm 1 trang. Câu 1: (8,0 điểm) 1. Cho 2 5 3 3 a b b a A a b a b − − = + − + với , a b thoả mãn: 2 2 6 15 5 0a ab b− + = . Chứng minh rằng: 1A = . 2. Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình: ( ) 2 1 2 1 0 0 x x x− − = < . Tính giá trị biểu thức: 4 5 2 1 1 2 2 2 3 8 3 1 2 B x x x x x= − − − + + . 3. Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 x y y x  + =   + =   . Câu 2: (4,0 điểm) Cho parabol ( ) 2 4 : x P y = và đường thẳng ( ) ( ) 1 1:d y m x= − + . 1. Chứng minh rằng ( ) P và ( ) d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt , M N với mọi giá trị của m . 2. Tìm các giá trị của m để OM ON= . Câu 3: (5,0 điểm) Cho đường tròn ( ) O nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm với , , BC CA AB lần lượt tại , , D E F . Gọi M là điểm bất kỳ trên ( ) O và , , N H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên , , EF AB AC . Chứng minh rằng: 1. Các tam giác , MEN MFH đồng dạng. 2. Tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF . Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC . O l im bt k nm trong tam giỏc, cỏc tia , , AO BO CO ct cỏc cnh , , BC CA AB ln lt ti cỏc im , , P Q R . Chng minh rng: 3 2 OA OB OC OP OQ OR + + . Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá đề chính thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi LớP 12 THPT, BTTHPT, LớP 9 THCS Năm học 2007- 2008 Môn thi: Toán lớp 9 THCS Ngày thi: 28/3/2008 Thời gian:150phút không kể thời gian giao đề Cõu I(6,0 im) 1/ Rỳt gn biu thc: . 22 22 9)2(3 695 xxxx xxxx A ++ +++ = 2/ Cho cỏc s thc x, y, z tho món iu kin: 6 111 222 222 =+++++ zyx zyx . Tớnh giỏ tr ca biu thc: 200820072006 zyxP ++= . Cõu II(4,0 im) Cho t giỏc ABCD cú gúc A vuụng, gúc D bng 120 0 v cỏc cnh AB = 32 cm, AD = 4 cm, DC = 2cm. Gi M l trung im ca cnh AD. 1/ Chng minh: BM MC. 2/ Tớnh di cnh BC. Cõu III(6,0 im) 1/ Gii h phng trỡnh: =+ =+ =+ zxxz yzzy xyyx 3)(4 7)(12 5)(6 2/ Cho cỏc s thc dng tho món iu kin: .2008=++ zyx Chng minh rng: .2008 33 44 33 44 33 44 + + + + + + + + xz xz zy zy yx yx Cõu IV(3,0 im) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC, đường phân giác ngoài của góc A cắt đường thẳng BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt tia AB tại E và tia đối của tia AC tại F. Gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh MN // AD. Câu V(1,0 điểm) Cho hai tập hợp A và B thoả mãn đồng thời 2 điều kiện a, b sau: a. Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 2008. b. Tổng số các phần tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của tập hợp A và một phần tử của tập hợp B có tổng bằng 2008. Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2008-2009 Mụn thi: TOÁN LỚP : 9 THCS Ngày thi: 28/03/2009 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thức P =         − − −         −+ − − + + + − − 9 93 1: 6 9 3 2 2 3 x x xx x x x x x . 1. Rút gọn P. 2. Tính giá trị của P khi 5526 )13(3610 3 −+ −+ = x . Bài 2(5,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 08561523 22 =++++− xxxx . 2. Giải hệ phương trình:    =−+ =++ 3)1)(( 10)1)(1( 22 xyyx yx . Bài 3 (3,0 điểm) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: zyxxzzyyx ++=−−− ))()(( . Số bỏo danh ……………………. Chứng minh: x + y + z chia hết cho 27. Bài 4 (6,0 điểm) 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Gọi I là giao điểm của AC SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (BẢNG A) MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 ' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: )( 3 1 22 3 1 23 cmmxmxxy  1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm m  (0; 6 5 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4. Bài 2: (4 điểm). 1. Giải các phương trình: 3 1tgx (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2. giải phương trình: log 2 2 x + x.log 7 (x + 3)= log 2 x [ 2 x + 2.log 7 (x + 3)] Bài 3: ( 4 điểm). 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. xaa sin = sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 064 1 ).1(4 1 )1(2 1 23       a x x a x x a xx x Bài 4( 4 điểm). 1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R 1 +R 2 +R 3 = 3R. Tính 3 góc của ABC 2. Cho (E): x 2 + 4y 2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T 1 , T 2 . Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1 , T 2 có bán kính nhỏ nhất. Bài 5:( 4 điểm). 1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:      1)0( 0)()().(4)( 2'2' f xfxfxfxf Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A 1 , B 1 , C 1 , D 1 CMR: GDGCGBGAGDGCGBGA  1111 SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 o0o ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ Đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán Bảng A o0o Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 + 3x 2 = m 3 + 3m 2 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5). d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến. Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 cosx cos x (7 5 2) (17 12 2) cos3x     . b) 2 4 2 3 x 3x 1 x x 1 3       . Câu 3: (4 điểm) a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 2 m 1 m 7 log 11 log ( x mx 10 4)log (x mx 12) 0        . b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1. Câu 4: (2,5 điểm) a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0: 3 3 1 ax cosx ví i x 0 f(x) ln(1 2x) b 1 ví i x 0              . b) Tính tích phân: 1 5 2 2 4 2 x 1 5 2 x 1 I dx (x x 1)(1 2006 )          . Câu 5: (2,5 điểm) Cho 2 elíp (E 1 ): 2 2 x y 1 15 6   , (E 2 ): 2 2 x y 1 6 15   và parabol (P): y 2 = 12x. a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E 1 ) và (P). Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM  MD. Tính tỉ số SM SB . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (BẢNG A) MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 ' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: )( 3 1 22 3 1 23 cmmxmxxy  1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm m  (0; 6 5 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4. Bài 2: (4 điểm). 1. Giải các phương trình: 3 1tgx (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2. giải phương trình: log 2 2 x + x.log 7 (x + 3)= log 2 x [ 2 x + 2.log 7 (x + 3)] Bài 3: ( 4 điểm). 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. xaa sin = sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 064 1 ).1(4 1 )1(2 1 23       a x x a x x a xx x Bài 4( 4 điểm). 1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R 1 +R 2 +R 3 = 3R. Tính 3 góc của ABC 2. Cho (E): x 2 + 4y 2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T 1 , T 2 . Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1 , T 2 có bán kính nhỏ nhất. Bài 5:( 4 điểm). 1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:      1)0( 0)()().(4)( 2'2' f xfxfxfxf Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A 1 , B 1 , C 1 , D 1 CMR: GDGCGBGAGDGCGBGA  1111 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG Môn toán lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) b) Tính tổng: A = 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 Câu (2 điểm) Cho biểu thức: M = + 52 + 53 + … + 580 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M số phương Câu (2 điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n  ,  n  N  phân số tối giản n3 b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = 2n  có giá trị số nguyên n3 Câu (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư 2; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Câu (2 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz, Ot cho   30 ; xOz   70 ; xOt   110 xOy  a) Tính  yOz zOt b) Trong tia Oy, Oz, Ot tia nằm tia lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz tia phân giác góc yOt Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + < 2 100 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016 b) A = Ta có 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 2 1  (  )  (  ) 1.4 1.4 Tương tự: A= 2 1 2 1 2 1  (  );  (  ) ; ;  (  ) 4.7 7.10 10 97.100 99 100 1 1 1 1 1 99 33 (         ) = (  )  4 7 10 99 100 100 100 50 Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Ta có: M = + 52 + 53 + … + 580 = + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + + 578)  30 b) Ta thấy : M = + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất số hạng chia hết cho 52)  M = + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do không chia hết cho 52) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  M chia hết cho không chia hết cho 52  M số phương (Vì số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2) Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n  ,  n  N  phân số tối giản n3 Gọi d ước chung n + 2n + với d  N  n +  d 2n +  d  (n + 3) - (2n + 5)  d  2(n + 3) - (2n + 5)  d   d  d =  N  ƯC( n + 2n + 5) =  ƯCLN (n + 2n + 5) =  2n  ,  n  N  phân số tối giản n3 b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = Ta có: 2n  2(n  3)  1 = =2n3 n3 n3 Để B có giá trị nguyên Mà 2n  có giá trị số