SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC” I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng tốn quan tâm đến nhiều kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hướng đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen Trong q trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu tơi thấy dạng tốn khơng khó mà còn hay, lơi em học sinh giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu tốn cực trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần u thích mơn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ thầy hội đồng mơn Tốn sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Tốn – Tin học trường THPT hàm Rồng Tơi mạnh dạn viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức học, tập luyện tập - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học u thích mơn học - Có sự khích lệ từ kết học tập học sinh thực chun đề - Được sự động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đa số học sinh yếu bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp tốn liên quan đến bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Khơng nhận Số lượng Nhận biết, Nhận biết khơng biết vận ,chưa biết biết vận dụng dụng giải được hồn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh 60 Tỉ lệ ( %) 66,7 20 22,2 9,9 1.1 III NỘI DUNG CHUN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh khơng kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ khơng áp đặt kiến thức nâng cao) Nợi dung 2.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU a, b > Bài tốn Cho  , tìm GTNN a + b ≤  P= 1 + a + b2 + 2ab Giải Lời giải Ta có: P = 1 + a + b2 + 4 ≥ = ≥ =2 2ab a + 2ab + b + (a + b)2 + 1 + a + b = 2ab (a − b)2 + = ⇔ (vô nghiệm) Vậy khơng tồn Dấu “=” xảy ⇔  a + b = a + b = MinP ? ? Lời giải Ta có: P = 1+ a + b + 1 4 + ≥ + = + 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b) + + 4ab 3ab P ≥ + ≥ a + b  2 Mặt khác ab ≤   a+b a+b ÷ = Vậy +    ÷  ÷     1 + a + b = 3ab  ⇔a=b= Dấu “=” xảy ⇔ a = b a + b =  Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1 + ≥ Lời giải sai? a b a+b 1 = + ? ? Làm nhận biết điều đó…? 2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy a + a + L + an n ≥ a1a2 an Dấu “=” Cho n số thực khơng âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2) ta ln có: xảy a1 = a2 = L = an * Một vài hệ quan trọng: 1 1  + + L + ÷ ≥ n với ∀ai > 0, i = 1, n an   a1 a2 + (a1 + a2 + L + an )  1 n2 + + L + ≥ với ∀ai > 0, i = 1, n + a1 a2 an a1 + a2 + L + an + Cho 2n số dương ( n ∈ Z , n ≥ ): a1 , a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: n n (a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn Trong chứng minh bất đẳng thức, đơi việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở khơng thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho a ≥ 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ a Phân tích tìm tòi lời giải Xét bảng biến thiên a, a S để dự đốn Min S a 10 11 12 … 30 a 10 11 12 … S 31 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 30 … 30 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc dự đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo sự ấn tượng ta nói Min S= 10 đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức cơsi xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta khơng thể sử dụng bất đẳng thức cơsi trực tiếp cho số a a  a 1   ≠ Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức cơsi cho cặp số  α , a  cho “điểm rơi:a=3”thì a = α a tức ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a α = α a=3 ⇒  1 ⇒ = α ⇒ α =  =  a Từ ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu a  a 1 Lời giải: S=a+ =  + a  +  8a a ≥ ⋅ 9 a Vậy với a=3 Min S= + ⋅ 10 = 10 Ví dụ 2: Cho a ≥ 6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + 18 a Sơ đồ điểm rơi : a=6  18 36  = α  ⇒   a = 18  a Lời giải: S=a + =6  18 36  = α 18 18 = ⇒ ⇒ ⇒α = a a 36  =  α α  a2 18    +  a ≥ =  + 1 − a 2 a  6 18 a a  + 1 −  a2 ⋅ 18  6   a ≥ + 1 − .6 =36 6  6 Vậy với a=6 Min S=2a+3 a  + 1 − +3    a 6 6  a, b > 1 , tìm GTNN biểu thức P = 2 + + 4ab ab a +b a + b ≤ Ví dụ 3: Cho  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : P= 1 4   + + + 4ab ≥ + + 4ab = + + 4ab ÷ 2 2ab 2ab a +b a + b + 2ab 2ab (a + b)  2ab  Mặt khác Sai lầm 2: 1 + 4ab ≥ ab = 2 Vậy P ≥ + 2 nên MinP = 2(2 + 2) 2ab 2ab P= 1   1 1 + + ab + + ≥ ab + ≥ + + = + Dấu xảy  ÷ 4ab  4ab (a + b)2 2ab 4ab 4ab 4ab a + b2 ab  a + b2 = 2ab  1  2 ⇔ a = b = Thay a = b = vào ta P ≥ ⇒ MinP = a = b = ⇔ a b = 16 2  a + b =  Ngun nhân sai lầm: 1 = + thói ab 2ab 2ab a = b  2 MinP = + 2 ⇔  = ab ⇒ VN  quen để làm xuất a + b + 2ab = (a + b) Dấu “=”  2ab a + b = Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách bất đẳng thức khơng xảy ⇒ khơng kết luận MinP = + 2 Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu a = b = tách số hạng MinP = a = b = đúng, bước cuối học sinh làm sai 2 Ví dụ (1 − x)2 + x ≥ x , dấu xảy x = ⇒ Min ( x − 1) + x  = 1?? Lời giải đúng: Do P biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đốn MinP đạt a = b = , ta có: P= nên 1   1 + + ab + + ≥ + ab + ≥7  ÷ 4ab  4ab (a + b)2 2ab a + b 2ab  a+b 4 ÷   a + b2 = 2ab   2 ⇔a=b= Dấu xảy ⇔ a b = 16  a + b =   a, b > 1 , tìm GTNN biểu thức S = 3 + + a +b a b ab a + b ≤ Ví dụ 4: Cho  Sai lầm thường gặp: Ta có: S= = 1 2 2 1  + + + + ≥ 3 +  + 2÷ 2 2  a b ab  a +b 3a b 3ab 3a b 3ab a + b + 3a b + 3ab 1 1 +  +  ≥9+ (a + b) ab  a b  MinS = 2  a+b  ÷   59 ≥ a+b 59 a + b3 = 3a 2b  59 (vn) Ngun nhân sai lầm: MinS = ⇔ a = b a + b =  Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu xảy a = b = , ta thấy: a3 + b3 + 3a 2b + 3ab2 = (a + b)3 ta muốn xuất (a + b)3 , ta áp dụng bất đẳng thức 1 + + vậy: a + b3 2a 2b 2ab2 1 + + ≥ 3 a +b 2a b 2ab (a + b) − ab(a + b) Ta khơng đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: S= 1 1 25 + + + + ≥ ≥ a + b3 2a 2b 2ab2 2a 2b 2ab2 (a + b)3 + ab(a + b) 25 ≥ 20 Dấu xảy (a + b) (a + b) + a = b = Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia Cho 2n số dương ( n ∈ Z , n ≥ ): a1 , a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: (a1b1 + a2b2 + L + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + L + an2 )(b12 + b22 + L + bn2 ) a a a n Dấu “=’ xảy ⇔ b = b = L = b (quy ước bi = ⇒ = 0) n * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: ( a1 + a 22 + + a n2 )( b12 + b22 + bn2 ) ≥ ( a1 b1 ) Dạng 2: (a + a 22 + + a n2 ⋅ b12 + b22 + bn2 ≥ a1b1 + a b2 .a n bn Dạng 3: (a + a 22 + + a n2 ⋅ b12 + b22 + + bn2 ≥ a1 b1 + a b2 + + a n bn 2 )( + a b2 + + a n bn ) )( ) a1 Dấu bằng: Dạng 1, dạng ⇔ b Ví dụ 1:Cho S= a2 + a, b, c >  a + b + c ≥ = a a2 = = n b2 bn a1 ;dạng ⇔ b = a a2 = = n ≥ b2 bn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Phân tích tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2: ( ) [a12 + a 22 ] b12 + b22 ≥ a1b1 + a b2 a Dấu xẩy ⇔ b1 = a2 ≥0 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác ngồi Xét đánh giá giả định với số α, β   2  β  αa +   a +    α + β ≥ b  b   α2 +β2   ( 1 a + = b α2 +β2 1 b + = c α +β2 + c2 + ⇒ 1 = a α2 +β2 S≥ α2 +β2 ) (1)   2  β   αb +  b +    α + β ≥ 2 a  c   α +β   (2)    β  αc +   c +  a   α + β ≥ a    α2 +β2  (3) ( ( ) )   1  α (a + b + c) + β  a + b + c  = S    Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đốn S=S o điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: a = b βb Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒ α a b c b = = = = = ⇔ β 1 1 ⇒ α βc b c a α =4 β =1 c = α βa Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2 + 1  = a + 2 b b 17   1  2 ( + ) ≥  4a +  b 17   b2 + 1  = b + 2 c c 17   1  2 ( + ) ≥  4b +  c 17   c2 + 1  = c + 2 a a 17    2 ( + ) ≥  4c + 17   1  a ⇒ S≥ ≥  1 1 15  a b c 1  (a + b + c ) +  + + + + +   4a + 4b + 4c + + +  =  a b c 17  17   4 a b c   15 a b c 1 1  ⋅ + 66 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  = 4 a b c  17  Với a=b=c=2 Min S= 17 =  45  17  +    17 a,b,c > Ví dụ 2: Cho Tìm Min S= a2 + 1 + b2 + c2 + b+c c+a a+b a+b+c ≥ Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số α , β   2  β   α + β ≥ αa + a +  b+c  b + c    (1)   2  β   α + β ≥ αb + b +  c+a  c + a    (2)   2  β   α + β ≥ αc + c +  a+b  a + b    (3) ( ( + ( ) ) ) _  2 ⇒ α + β S ≥ α (a + b + c) + β   a+b ⇔ S≥ + b+c +   c+a   1  α ( a + b + c ) + β  + +  = S o  b+c c + a   a+b α2 +β2  Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=S o điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a = α βb a=b=c=2 ⇒ b α a b c = ⇔ = = = = ⇒ α βb β 1 1 b c a α =4 β =1 c = α βa Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   (4 + ) ≥ 4a + a +  b+c  b + c      2  2   (4 + ) ≥ 4b + b +  c+a  c + a    +   2  2   (4 + ) ≥ 4b + c +  a+b  a + b    ⇒  1   17 S ≥ 4( a + b + c) +  + + a + b b + c c + a   ≥ 4(a + b + c) + ≥ 4(a + b + c) + 3 a + b b + c c + a ≥ 4(a + b + c) + (12 + 12 + 12 )[ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ] a+b + b+c + c+a = 4(a + b + c) + = 31 a+b+c 9 (a + b + c) + + + 8 6(a + b + c) 6(a + b + c) ≥ 31 a+b+c 9 93 51 ⋅ + 33 ⋅ = + = 8 4 2 6(a + b + c) 6(a + b + c) ⇒S≥ 51 17 = 3.17 3.17 = 2.17 Với a=b=c=2 S= 17 6(a + b + c) Ví dụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ S= 2abc ≥ 10 Chứng minh 9b c a 9c a b 9a b c + + + + + + + + ≥6 4 a2 b2 c2 *Lời giải: Dự đốn điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski có: + + 18 + 9b c a + + ≥ + 9b + ca a a2 + 18 + 9c a b + + ≥ + 9c + ab b b2 + 18 + 9a b c + + ≥ + 9a + bc c c2  1 1 ⇒ 24 S ≥ 4 + +  +9(a+b+c)+ab+bc+ca a b c 4  4  4  =  + a  +  + b  +  + c  + (2a + bc) + (2bb + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) a  b  c  ≥2 4 ⋅a +2 ⋅b + ⋅ c + abc + abc + abc + 6(a + b + c) a b c = 12 + 6( a + b + c + 2abc ) ≥ 12 + 6.10 = 72 ⇒ S ≥ 72 / 24 = 6 * Bài tập tương tự (trích dẫn đề thi đại học)  x, y , z > , chứng minh rằng:  xyz = Bài1: Cho  m + x3 + y m + y3 + z3 m + z + x3 + + ≥ 3 , với xy yz zx m ∈ N ∗ : Nếu m = đề thi Đại học khối D năm 2005 Bài 2: Cho x, y, z số thỏa x + y + z = , chứng minh rằng: + x + + y + + z ≥ (đề tham khảo 2005) ab c − + bc a − + ca b − Bài 3: Cho a ≥ 2, b ≥ 3, c ≥ , tìm GTLN: P = abc Bài 4: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ (ĐTK 2005) a, b, c > , tìm GTNN biểu thức sau: a + b + c ≤ Bài 5: Cho  1 1 + + + a + b + c ab bc ca 1 1 1 S= + + + + + a + b b + c c + a ab bc ca 1 1 1 Q= + + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= Chú ý: Cần ý hai bất đẳng thức Cơsi Bunhiacơpxki, biết dấu hiệu dùng bất đẳng thức nào.Phát dấu hiệu có bình phương thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện số dương khả nghĩ tới Cơsi Cách giải phải ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi dự đốn… IV KẾT QỦA Chun đề thực giảng dạy tơi tham gia dạy 10NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong q trình học chun đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng gặp tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết sau thực chun đề: Khơng nhận Nhận biết, Nhận biết khơng biết vận ,chưa biết biết vận dụng dụng giải được hồn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh Số lượng Tỉ lệ ( %) 0.0 50 37 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chun đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Q trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, tơi hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chun đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chun đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chun đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chun đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh VII KẾT LUẬN Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do chun đề nhiều chun đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung chun đề rộng, song khn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chun đề đầy đủ hồn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Tốn LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013 Người thực Lê Thị Thuỷ [...]... hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả sau khi thực hiện chun đề: Khơng nhận Nhận biết, Nhận biết và nhưng khơng biết vận ,chưa biết biết vận dụng dụng giải được được hồn chỉnh Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hồn chỉnh Số lượng 0 Tỉ lệ ( %) 0.0 3 50 37 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. .. học sinh tự học và tự nghiên cứu 3 Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chun đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chun đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chun đề này chủ yếu đưa... Cơsi Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn… IV KẾT QỦA Chun đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 10NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây Trong q trình học chun đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng... S≥ + 1 b+c +   c+a 1   1 1 1  α ( a + b + c ) + β  + +  = S o  b+c c + a   a+b α2 +β2  1 Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=S o tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a 1 = α βb a=b=c=2 ⇒ b 1 α a b c 4 = ⇔ = = = = ⇒ α βb β 1 1 1 1 b c a α =4 β =1 c 1 = α βa Từ đó ta có lời giải... việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chun đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1 Q trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng... (ĐTK 2005) a, b, c > 0 , tìm GTNN của các biểu thức sau: a + b + c ≤ 1 Bài 5: Cho  1 1 1 1 + + + a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 S= 2 + + + + + a + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Q= 2 + 2 + 2 + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= Chú ý: Cần chú ý hai bất đẳng thức Cơsi và Bunhiacơpxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như có các bình... tơi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải 2 Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chun đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho... + c) Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ S= 2abc ≥ 10 Chứng minh rằng 8 9b 2 c 2 a 2 8 9c 2 a 2 b 2 8 9a 2 b 2 c 2 + + + + + + + + ≥6 6 2 4 2 4 2 4 a2 b2 c2 *Lời giải: Dự đốn điểm rơi: a = b = c = 2 Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski có: + 2 + 18 + 4 8 9b 2 c 2 a 2 4 + + ≥ + 9b + ca 2 4 a a2 2 + 18 + 4 8 9c 2 a 2 b 2 4 + + ≥ + 9c + ab 2 4 b b2 2 + 18 + 4 8 9a 2 b 2 c 2 4 + + ≥ + 9a + bc 2 4... thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh VII KẾT LUẬN Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc khơng dễ Do đó đây chỉ là một chun đề trong rất nhiều chun đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng. .. song trong khn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài tốn điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chun đề này được đầy đủ hồn thiện hơn VII TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 2 Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ năm 2010 3 Các dạng Tốn LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 4 263 bài bất đẳng