SNG KIN KINH NGHIM TI: "GII PHNG TRèNH BNG PHNG PHP LP H PHNG TRèNH I XNG LOI II" PHN A: M U I.Lý chn ti Trong trng THPT mụn Toỏn l mt mụn quan trng Nú l tin vic ging dy v hc cỏc mụn khỏc nh: Húa hc, Vt lý, Sinh hc giỳp phỏt trin t cho hc sinh, giỳp cỏc em cú kh nng phõn tớch, tng hp, so sỏnh, tng tng, sỏng to Nh chỳng ta ó bit phng trỡnh, h phng trỡnh chng trỡnh toỏn ph thụng cú rt nhiu dng v phng phỏp gii khỏc Ngi giỏo viờn ngoi vic nm c cỏc dng phng trỡnh v cỏch gii chỳng hng dn hc sinh cn phi xõy dng lờn cỏc toỏn lm ti liu cho vic ging dy v rốn luyn t toỏn hc cho cỏc hc sinh khỏ, gii Bi vit ny a mt s quy trỡnh xõy dng lờn cỏc phng trỡnh, h phng trỡnh Qua cỏc quy trỡnh ny tụi cng rỳt c cỏc phng phỏp gii cho cỏc dng phng trỡnh, h phng trỡnh tng ng Cỏc quy trỡnh xõy dng toỏn c trỡnh by thụng qua nhng vớ d, cỏc bi toỏn c t sau cỏc vớ d ú a s cỏc bi toỏn c xõy dng u cú li gii hoc hng dn Quan trng hn na l mt s lu ý sau li gii s giỳp ta gii thớch c Vỡ li ngh li gii ny Qua quỏ trỡnh cụng tỏc ging dy trng THPT tụi nhn thy vic hc toỏn núi chung v bi dng hc sinh khỏ, gii toỏn núi riờng, mun hc sinh rốn luyn c t sỏng to vic hc v gii toỏn thỡ bn thõn mi thy, cụ cn phi cú nhiu phng phỏp v nhiu cỏch hng dn cho hc sinh tip thu v tip cn bi gii Song ũi hi ngi thy cn phi tỡm tũi nghiờn cu tỡm nhiu phng phỏp v cỏch gii qua mt bi toỏn t ú rốn luyn cho hc sinh nng lc hot ng, t sỏng to, phỏt trin bi toỏn v cú th xut hoc t lm cỏc bi toỏn tng t ó c nghiờn cu, bi dng II.Phm vi v i tng ca ti Vic o to cht lng hc sinh ụn thi i hc cho 10, 11, 12 l rt cn thit Vỡ vy, tụi mnh dn xõy dng SKKN Gii phng trỡnh bng phng phỏp lp h phng trỡnh i xng loi II vi mong mun cỏc thy, cụ, ng nghip tham kho Nhng bi toỏn ú cú tỏc dng khụng nh vic rốn luyn t toỏn hc v thng l s th thỏch i vi hc sinh cỏc k thi hc sinh gii cỏc cp, cỏc k thi Olympic v cỏc k thi i hc III Mc ớch nghiờn cu Gúp phn vo phng phỏp gii cỏc phng trỡnh bc cao, phng trỡnh vụ t ú l phng phỏp lp h phng trỡnh gii chỳng Phỏt trin t lụgớc ca hc sinh gp phng trỡnh vi cỏch liờn h gii bng h phng trỡnh ti nhm nõng cao nghip v cụng tỏc ca bn thõn quỏ trỡnh t nghiờn cu ỏp dng vo ging dy IV Nhim v nghiờn cu Xột mt s bi v phng trỡnh bc cao, phng trỡnh vụ t gii bng cỏch a v h phng trỡnh i xng loi II hoc gn i xng V Phng phỏp nghiờn cu Phõn tớch, gii c th v a n xõy dng tng quỏt T ú i chiu v rỳt kt lun VI.im mi nghiờn cu Xõy dng mt s phng trỡnh bc cao, phng trỡnh vụ t trờn c s h i xng loi II PHN B : NI DUNG I C s lý lun nh ngha h i xng loi II H i xng loi II l h phng trỡnh gm n x, y cho i ch vai trũ ca x v y thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh ca h Xột h phng trỡnh i xng loi II ( x + ) = ay + b ( y + ) = ax + b (1) (2) Phng phỏp gii h i xng loi II Tr tng v ca hai phng trỡnh v bin i v dng phng trỡnh tớch cú dng : (x-y).f(x,y)=0 x = y f ( x, y ) = Kt hp mt phng trỡnh tớch vi mt phng trỡnh ca h suy nghim ca h phng trỡnh Nh vy t h i xng loi II cú cỏch gii truyn thng nh trờn ta xut phỏt theo hng sau khai thỏc cỏc phng trỡnh c lp v ngc li cng cú luụn cỏch gii nhng phng trỡnh ú bng cỏch a v h i xng loi II v gn i xng T (2) suy ax + b y = y + = ax + b y + = ax + b y = ax + b Thay vo (1) ta c a ax + b ( x + ) = a ax + b ( x + ) = a +b a +b (*) Đến cách chọn , , a, b ta xây dựng đợc phơng trình vô tỉ Cách giải phơng trình dạng đặt y + = ax + b (hoặc - ax + b để đa hệ đối xứng loại II biết cách giải Ta xây dựng số phơng trình gii cú th dựng phng phỏp a v h phng trỡnh i xng loi II hoc gn i xng II.Xõy dng phng trỡnh gii bng cỏch lp h i xng loi II Vớ d Xột h i xng loi hai x = y 2 x = x ( ) y = x Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn (THTT, s 250, thỏng 04/1998) Gii phng trỡnh x + (2-3x2)2 = 2 Gii t y = - 3x Ta cú h 2 x + y = x = y ( 1) 2 y = x ( ) y = x Ly (1) tr (2) ta c x - y = (x2 - y = x x y =0 y2) ( x + y ) = y = 3x Vi y = x, thay vo (1) ta c Vi y= 3x , x + x = x 1, thay vo (2) ta c 3x 21 = 3x x 3x = x = Phng trỡnh ó cho cú bn nghim 21 + 21 x = 1, x = , x = ,x = 6 Lu ý: T li gii trờn ta thy rng phng trỡnh bc cao : x + (2-3x2)2 = Nu khai trin (2 - 3x2)2 thỡ s a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc bn, sau ú bin i thnh phng trỡnh tớch (x + 1) (3x - 2) (9x2 - 3x - 5) = Vy nu xõy dng bi toỏn, ta c ý lm cho phng trỡnh khụng cú nghim hu t thỡ phng phỏp khai trin a v phng trỡnh bc cao, sau ú phõn tớch a v phng trỡnh tớch s gp nhiu khú khn Vớ d Xột mt phng trỡnh bc hai cú c hai nghim l s vụ t 5x2 x x = 5x2 Do ú ta xột 2 5x2 y = x x = ữ x = y Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Gii phng trỡnh 8x 5(5x2 1)2 = Gii t 2y = 5x Khi ú 2 y = x y = x 1( 1) 2 x = y 1( ) x = 5.4 y Ly (1) tr (2) theo v ta c 2(y x) = (x y y = x x y = ) = 5( x + y ) y = x + Vi y = x, thay vo (1) ta c Vi y = 5x + , 5x2 x = x = thay vo (1) ta c 10 x + 50 = x 25 x + 10 x x = 25 Phng trỡnh ó cho cú bn nghim , 5 Vớ d Xột mt phng trỡnh bc ba x3 x = x = x3 + x3 3x = Do ú ta xột 3 x3 + y = x + x = ữ ữ+ 6 x = y + ( 1296 x 216 = 8 x + ( 162 x 27 = x + ) ) 3 Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Gii phng trỡnh 162 x 27 Gii t y = x + 3 Ta cú ( = x3 + ) 3 y = x + y = x + ( 1) h 3 x = y + ( ) 162 x 27 = 216 y Ly (1) tr (2) theo v ta c 6(y x) = 8(x3 y3) (x y) [8(x2 + xy + y2) + 6] = (3) Vỡ x2 + xy + y2 nờn (x2 + xy + y2) + > Do ú t (3) ta c x = y Thay vo (1) ta c x = x3 + x3 3x = x3 3x = cos (4) S dng cụng thc cos = cos3 3cos ta cú cos = 4cos3 cos cos = 4cos3 cos cos = 4cos3 cos Vy x = cos , x = cos , x = cos l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh (4) v cng l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho Lu ý Phộp t 6y = 8x3 + c tỡm nh sau: Ta t ay + b = 8x + tỡm sau) Khi ú t PT ó cho cú h y + b = x + 3 2 162 x 27 = a y + 3a by + 3ab y + b Cn chn a v b cho a b+ = = b = 162 a 27 b a = 3a b = 3ab = Vy ta cú phộp t 6y = 8x3 + Ví dụ Cho = 3, = 2, a = 3, b = thay vào (*) ta đợc ( 3x + ) = 3x + + Ta có toán sau (vi a, b s Bài toán (HSG Hồ Chí Minh năm học 2004-2005) Giải phơng trình x + 12 x = x + Giải: Điều kiện x Phơng trình viết lại (3x + 2)2 = 3x + (1) Đặt 3y + = 3x + , suy (3y + 2)2 = 3x + Kết hợp với (1) ta có hệ (3x + 2) = y + (3 y + 2) = x + ( 2) (3) Để x, y thỏa mãn (1) (2) x v y Lấy (2) trừ (3) ta đợc 3(x y) (3x + 3y + 4) = 3(y x) (x y)(3x + 3y + 5) = x y = y = x 3x + y + = y = (3 x + 5) Với y = x, thay vào (2) ta đợc x = (tha món) (3x + 2)2 = 3x + 9x2 + 9x = x = (loi) Vi y = (3x + 5), thay vo (2) ta c (3x + 2)2 = 3x + 9x2 + 15x + = + 21 x = 21 x = (tha món) (loi) Cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho l x = v x= 21 Lu ý Cú mt phng phỏp tỡm cỏch t 3y + = 3x + nh sau: Ta s t my + n = 3x + , vi m, n s chn sau cho h hai n x, y thu c l h i xng loi hai T my + n = 3x + v t phng trỡnh ó cho ta cú h (my + n) = x + x + 12 x = 3x + m y + 2mny + n = x + x + 12 x = my + n l h i xng li hai thỡ m 2mn n = = = 12 m n m = n = Vớ d Cho = 1, = 1, a = , b = thay vo (*) ta c ( x + 1) = x + 2 + 2( x + 1) = x + + 2 2 2 Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Gii phng trỡnh 2x2 + 4x = x+3 Vớ d Cho = 2, = 1, a = 8000, b = thay vo (*) ta c (2x 1)2 = 4000 8000 x + = 4001 Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Gii phng trỡnh x x 1000 8000 x + = 1000 10 Nu xột h ( x + ) = ay + b ( x + ) = ax + b T phng trỡnh di ta c y + = ax + b y = ax + b Thay vo phng trỡnh trờn ca h (x + ) = a ax + b a +b Vớ d Chn = 1, = 1, a = 3, b = 5, ta c (x +1)3 = 3 x + + Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn ( ngh OLYMPIC 30/04/2009) Gii phng trỡnh x3 + 3x2 - 3 3x + = 3x Gii Tp xỏc nh R Phng trỡnh ó cho tng ng (x +1)3 = 3 3x + + t y + = 3x + (1) Ta cú h ( x + 1) = y + ( y + 1) = 3x + (1) (2) Ly (1) tr (2) theo v ta c (x + 1)3 (y + 1)3 = - 3(x y) 11 (x y) [(x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2 +3] = x =y (do (x + 1)2 + (x + 1) (y + 1) + (y + 1)2 0) Thay vo (1) ta c (x + 1)3 = 3x + x3 + 3x2 = x = x = Phng trỡnh ó cho cú hai nghim l x = v x = Vớ d Cho = 2, = 0, a = 4004, b = 2001 ta c (2 x) = 20023 4004 x 2001 2001 Ta cú bi toỏn sau x + 2001 Bi toỏn Gii phng trỡnh ữ = 4004 x 2001 2002 III Xõy dng phng trỡnh gii bng cỏch lp h gn i xng Vớ d Ta s xõy dng mt phng trỡnh vụ t cú ớt nht mt nghim theo ý mun Xột x = Khi ú x =3 x = ( x 5) = = x Ta mong mun cú mt phng trỡnh cha (ax + b) v cha cx + d , hn na phng trỡnh ny c gii bng cỏch a v h gn i xng (ngha l tr theo v hai phng trỡnh ca h ta cú tha s (x y)) Vy ta xột h (2 y 5) = x Khụng l h i xng loi II nhng chỳng ta gii c h (2 x 5) = x + y ny Nu cú phộp t y = x 2, thỡ sau thay vo phng trỡnh 12 (2x 5)3 = x + 2y ta c 8x3 60x2 + 150x 125 = x + x2 +52 Ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Gii phng trỡnh x = x3 60 x + 151x 128 Gii Cỏch Tp xỏc nh R Phng trỡnh vit li x = (2 x 5)3 + x t 2y = x Kt hp vi (1) ta cú h (2 y 5)3 = x (2 x 5)3 = x + y ( 2) (3) Ly (3) tr (2) theo v ta c (x y) [(2x5)2 + (2x 5) (2y 5) + (2y 5)2] = 2(yx) (4) x y = 2 (2 x 5) + (2 x 5)(2 y 5) + (2 y 5) + = 0(5) Ta cú (4) y = x Thay vo (2) ta c (2x 5)3 = x 8x3 60x2 + 149x 123 = (x 3) (8x2 36x + 41) = x = 13 B 3B 2 Do A + AB + B = A + + nờn (5) khụng th xy Phng trỡnh cú nghim nht x =3 Do phng trỡnh cú nghim nht x = nờn ta ngh n phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s nh sau: Cỏch Tp xỏc nh R t y = x Ta cú h x3 60 x + 151x 128 = y x = y + Cng v theo v hai phng trỡnh ca h ta c 8x3 60x2 + 152x 128 = y3 + y + 8x3 60x2 + 150x 125 + 2x = y3 + y (2x 5)3 + (2x 5) = y3 + y (*) Xột hm s f(t) = t3 + t Vỡ f(t) = 3t2 + > 0, tR nờn hm f ng bin trờn R Do ú (*) vit li f(2x 5) = f(y) 2x = y Bi vy (2x 5) = x (2x 5)3 = x 8x3 - 60x2 + 149x 123 = (x 3) (8x2 36x + 41) = x = Phng trỡnh cú nghim nht x = 14 Vớ d 10 Xột mt phng trỡnh bc ba no ú, chng hn xột 4x + 3x = Phng trỡnh ny tng ng 8x3 +6x = 8x3 = 6x 2x = 6x Ta lng ghộp phng trỡnh cui vo mt hm n iu nh sau: (2x)3 + 2x = x +4 6x 8x3+8x = 6x Ta c bi toỏn sau Bi toỏn 10 Gii phng trỡnh 8x3 + 8x = 6x Gii Tp xỏc nh ca phng trỡnh l R Cỏch Phng trỡnh ó cho tng ng (2x)3 + 2x = x + 6x Xột hm s f(t) = t3 + t, t R Vỡ f(t) = 3t2 + > 0, t R nờn hm s f (t) ng bin trờn R M PT (1) vit li f ( x ) = f(2x) nờn nú tng ng x = 2x 8x3 + 6x = 4x3 + 3x = (2) Vỡ hm s g(x) = 4x3 + 3x cú g(x) = 12x2 + > 0, x R nờn PT (2) cú khụng quỏ mt nghim Xột ( ) = Do ú, nu t = + = thỡ = Ta cú 15 ữ = ữ + ữ Vy 1 x = = + + l nghim nht ca PT (2) v cng l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Cỏch 2: Phng trỡnh vit li (2 x)3 = x x + t 2y = x Ta cú h 3 y = x y = x + 3 x + x = y x = x + y + ( a) (b) Ly PT (b) tr PT (a) theo v ta c 8(x3 y3) = 2(y x) (x y) [4(x2 + xy + y2) + 1] = y = x Thay y = x vo (a) ta c 8x3 = -6x + 4x3 + 3x = n õy lm ging cỏch Bi toỏn 11 (Chn i tuyn TP H Chớ Minh d thi quc gia nm hc 2002-2003) Gii phng trỡnh 3x = x 36 x + 53 x 25 Gii Tp xỏc nh R Phng trỡnh vit li (1) x = (2 x 3) x + 16 t y = 3 x Kt hp vi (1) ta cú h (2 y 3) = x (2 x 3) = x + y ( 2) (3) Ly (3) tr (2) theo v ta c 2(x y) [(2x 3)2 + (2x 3) (2y 3) + (2y 3)2] = 2(y x) x y = (4) (2 x 3) + (2 x 3)(2 y 3) + (2 y 3) + = (5) Ta cú (4) y = x Thay vo (2) ta c (2x 3)3 = 3x 8x3 36x2 + 54x 27 = 3x x = ( x ) x 20 x + 11 = x = B 3B Do A + AB + B = A + + nờn (5) khụng th xy 2 Phng trỡnh cú ba nghim x = 2, x = Bi toỏn 12 ( ngh OLYMPIC 30/04/2006) Gii phng trỡnh x + = 8x3 x Gii Tp xỏc nh ca phng trỡnh l R t x + = y Ta cú h x x = y x = x + y + 3 x + = y y = x + 17 (1) (2) Ly (1) tr (2) theo v ta c 8(x3 y3) = 2(y-x) (x y) [4(x2 + xy+ y2) + 1] = y = x Thay y = x vo (2) ta c 8x3 6x = 4x3 3x = cos (3) S dng cụng thc cos = cos3 - cos ta cú cos = cos3 - cos cos = cos3 - cos , cos = cos3 - cos Vy x = cos , x = cos , x = cos l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh (3) v cng l tt c cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho Lu ý Ta cũn cú th gii cỏch khỏc nh sau: Phng trỡnh vit li x + + x + = (2 x)3 +2 x (3) Xột hm s f(t) = t3 + t,tR Vỡ f(t) = 3t2 + > 0, tR nờn hm s f(t) ng bin trờn R M PT (2) vit li f ( x +1) = f (2 x) nờn nú tng ng x + = x x3 x = x3 x = n õy ta lm nh cỏch Bi toỏn 13: Gii phng trỡnh x 13x + + x + = 18 2 13 33 x ữ = 3x + 4 Ta thc hin nhúm nh sau t y + = 3x + , chn , cho h thu c cú th gii (h gn i xng) Ta cú gii h trờn ta ly (1) nhõn vi k cng vi : v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x=y , nờn ta phi cú 2 = = 13 5+ = Ta chn c = Ta cú li gii nh sau: Vi iu kin t x 3x + = ( y 3) , y ữ Ta cú h phng trỡnh sau : ( x 3) = y + x + ( x y) ( y 3) = x + Vi x=y x = Vi ( x + y 5) = 15 97 2x + y = x = 11 + 73 Tp nghim ca phng trỡnh ny l 15 97 11 + 73 , 8 19 IV.Bi tham kho Gii cỏc phng trỡnh sau: x2 -2x =2 2x 2x2 -6x-1= 8x3-4x-1 = 4x + 6x +1 7x2 -13x +8= 2x2 x(3 x + x + 1) 8x2- 13x +7= 13 + ữ ( x + 1)(2 x 1) + x x x x3 - + x + =6 x2 81x = x x + 3x + = x3 + x + x 37 x + x + 26 x + =0 3 V Kt qu ca sỏng kin kinh nghim Vi phng phỏp trờn tụi ó t chc cho hc sinh tip nhn bi hc mt cỏch ch ng, tớch cc, tt c cỏc em u hng thỳ hc thc s v hng hỏi lm bi giao v nh tng t Phng phỏp dy hc trờn õy da vo cỏc nguyờn tc: m bo tớnh khoa hc chớnh xỏc m bo tớnh lụgic 20 m bo tớnh s phm m bo tớnh hiu qu Khi trỡnh by tụi ó chỳ ý n phng din sau: Phự hp vi trỡnh nhn thc ca hc sinh Phỏt huy c nng lc t toỏn hc ca hc sinh Qua thc t ging dy cỏc lp chuyờn 10A4, 10A5, 10A6 Cỏc em rt ho hng v sụi ni gii phng trỡnh vi cỏch a v h C th kim tra kho sỏt cht lng hc sinh nm hc 2011-2012 v 2012-2013 trc v sau ỏp dng sỏng kin nh sau: Tng s hc sinh Trc ỏp dng Sau SKKN Yu ỏp dng TB Khỏ Gii 35 60 4,2 29,2 49,8 16,4 SKKN TB Khỏ Gii Yờỳ kộm 120 Kộm S lng 10 50 50 10 % 8,4 41,6 41,6 8,4 PHN C: KT LUN I.í ngha ca sỏng kin kinh nghim 21 20 Vic rốn luyn cho cỏc em nng lc t c lp sỏng to, c bit i vi phng trỡnh v h phng trỡnh ỏp dng cho cỏc k thi i hc ó thụi thỳc tụi nghiờn cu vit lờn ti liu, cng khin tụi tõm huyt tỡm hiu nghiờn cu SKKN ny Qua cỏc nm ging dy trc tip, ụn luyn cho hc sinh THPT cỏc em ỏp dng lm cỏc bi toỏn liờn quan n phng trỡnh, h phng trỡnh cỏc thi i hc tụi thy cỏc em thc s rt cú hng thỳ õy l mt sỏng kin nh nhm gúp phn vo cỏc chuyờn bi dng hc sinh phn phng trỡnh v h phng trỡnh, t ú xõy dng thờm cỏc bi toỏn v phng trỡnh,h phng trỡnh i vi hc sinh mong cỏc em quan tõm v tỡm c cỏc ti liu núi v phng trỡnh v h phng trỡnh v cng coi õy l mt t liu cỏc em gp cỏc bi toỏn ny khụng cũn b ng v khú khn quỏ trỡnh suy lun v gii toỏn Tụi vit lờn SKKN vi mong mun lm hnh trang cho mỡnh quỏ trỡnh ging dy v c trao i, giao lu vi cỏc quớ thy, cụ v ngoi nh trng II.Nhng bi hc kinh nghim Nu hc sinh c bit mt phng phỏp mi cú hiu qu thỡ cỏc em s t tin hn gii quyt cỏc bi toỏn dng ny v dng tng t Tuy nhiờn mi bi toỏn cú nhiu cỏch gii , phng phỏp gii ny cú th di hn cỏc phng phỏp khỏc nhng nú li cú ng li nhn bit rừ rng d tip cn hn cỏc phng phỏp khỏc III.Kh nng ng dng v trin khai ca sỏng kin Cú th ỏp dng cho hc sinh khỏ gii 10, 11, 12 luyn thi i hc cỏc lp hc chuyờn A, A1 IV.Nhng kin ngh v xut 22 Nờn gii thiu cho hc sinh phng phỏp gii phng trỡnh vi cỏch gii a v h i xng loi II, v gn i xng loi II Trờn õy l phn túm tt bn bỏo cỏo sỏng kin kinh nghim Rt mong cỏc thy,cụ v ng nghip úng gúp ý kin SKKN ca tụi hon thin v thc s l mt ti liu tham kho Cui cựng tụi xin cm n sõu sc n Ban giỏm hiu nh trng, cỏc ng nghip ó giỳp tụi hon thnh SKKN ny 23 [...]... có một phương trình chứa (ax + b) 3 và chứa 3 cx + d , hơn nữa phương trình này được giải bằng cách đưa về hệ “gần” đối xứng (nghĩa là khi trừ theo vế hai phương trình của hệ ta có thừa số (x – y)) Vậy ta xét hệ (2 y − 5) 3 = x − 2  Không là hệ đối xứng loại II nhưng chúng ta vẫn giải được hệ (2 x − 5) 3 = − x + 2 y − 2 này Nếu có phép đặt 2 y − 5 = 3 x − 2, thì sau khi thay vào phương trình 12... cho học sinh phương pháp giải phương trình với cách giải đưa về hệ đối xứng loại II, và gần đối xứng loại II Trên đây là phần tóm tắt bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm Rất mong các thầy,cô và đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN của tôi hoàn thiện và thực sự là một tài liệu tham khảo Cuối cùng tôi xin cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu nhà trường, các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này 23... trực tiếp, ôn luyện cho học sinh THPT để các em áp dụng làm các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình trong các đề thi đại học tôi thấy các em thực sự rất có hứng thú Đây là một sáng kiến nhỏ nhằm góp phần vào các chuyên đề bồi dưỡng học sinh trong phần phương trình và hệ phương trình, từ đó xây dựng thêm các bài toán về phương trình, hệ phương trình Đối với học sinh mong các em quan... x = 1  x = −2  Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = –2 Ví dụ 8 Cho α = 2, β = 0, a = 4004, b = – 2001 ta được (2 x) 3 = 20023 4004 x − 2001 − 2001 Ta có bài toán sau 3  8 x 3 + 2001  Bài toán 8 Giải phương trình  ÷ = 4004 x − 2001  2002  III Xây dựng phương trình giải bằng cách lập hệ “gần” đối xứng Ví dụ 9 Ta sẽ xây dựng một phương trình vô tỉ có ít nhất một nghiệm theo ý muốn... liệu nói về phương trình và hệ phương trình và cũng coi đây là một tư liệu để các em gặp các bài toán này không còn bỡ ngỡ và khó khăn trong quá trình suy luận và giải toán Tôi viết lên SKKN với mong muốn làm hành trang cho mình trong quá trình giảng dạy và được trao đổi, giao lưu với các quí thầy, cô trong và ngoài nhà trường II. Những bài học kinh nghiệm Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có... trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự Tuy nhiên mỗi bài toán có nhiều cách giải , phương pháp giải này có thể dài hơn các phương pháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn các phương pháp khác III.Khả năng ứng dụng và triển khai của sáng kiến Có thể áp dụng cho học sinh khá giỏi khối 10, 11, 12 luyện thi đại học các lớp học chuyên đề khối A, A1 IV.Những kiến. .. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 14 Ví dụ 10 Xét một phương trình bậc ba nào đó, chẳng hạn xét 4x 3 + 3x = 2 Phương trình này tương đương 8x3 +6x = 4 ⇔ 8x3 = 4 – 6x ⇔ 2x = 3 4 − 6x Ta “lồng ghép” phương trình cuối vào một hàm đơn điệu như sau: (2x)3 + 2x = 3 4 − 6 x +4– 6x ⇔ 8x3+8x – 4 = 3 4 − 6x Ta được bài toán sau Bài toán 10 Giải phương trình 8x3 + 8x – 4 = 3 4 − 6x Giải Tập xác định của phương. .. 29,2 49,8 16,4 SKKN TB Khá Giỏi Yêú kém 120 khi Kém Số lượng 10 50 50 10 % 8,4 41,6 41,6 8,4 PHẦN C: KẾT LUẬN I.Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 21 20 Việc rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo, đặc biệt đối với phương trình và hệ phương trình áp dụng cho các kỳ thi đại học đã thôi thúc tôi nghiên cứu để viết lên tài liệu, càng khiến tôi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu SKKN này Qua các... = 1 ⇔ 4 x3 − 2 x = Đến đây ta làm như cách 1 Bài toán 13: Giải phương trình 4 x 2 − 13x + 5 + 3 x + 1 = 0 18 1 2 2 13  33   2 x − ÷ = 3x + 1 − 4 4  Ta thực hiện nhóm như sau Đặt α y + β = 3x + 1 , chọn α , β sao cho hệ thu được có thể giải (hệ gần đối xứng) Ta có Để giải hệ trên ta lấy (1) nhân với k cộng với 2 : và mong muốn của chúng ta là có nghiệm x=y , nên ta phải có α 2 2αβ − 3 β 2 − 1 =... A + AB + B =  A +  + ≥ 0 nên (5) không thể xảy ra 2 4  Phương trình có nghiệm duy nhất x =3 Do phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số như sau: Cách 2 Tập xác định R Đặt y = 3 x − 2 Ta có hệ 8 x3 − 60 x 2 + 151x − 128 = y  3  x = y + 2 Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được 8x3 – 60x2 + 152x – 128 = y3 + y + 2 ⇔8x3 – 60x2