SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC" PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán cực trị hình học toán khó học sinh THPT trình giảng dạy nhận thấy học sinh thường ngại làm tập dạng Để học sinh tiếp cận tốt mảng tập cực trị hình học trước hết phải làm cho học sinh thấy số toán cực trị hình học thực chất toán hình học phẳng dễ khai thác với kiến dễ áp dụng tập phức tạp trừu tượng khó giải Chính chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ khai thác hình chiếu điểm đường thẳng để giải số toán cực trị hình học”.Với khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng mở hướng giải đơn giản cho số toán cực trị có liên quan đến khoảng cách Từ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ toán cực trị hình học tạo hứng thú học tập, tăng khả tìm tòi, sáng tạo khai thác tính chất hình học vào giải toán Quy toán lạ, phức tạp toán biết cách giải PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề Khi gặp toán cực trị hình học học sinh thường lúng túng hướng giải ngại học phần Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp Đối tượng ôn tập cho học sinh lớp 10 ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình Cách thức thực Để thực đề tài này, phân thành hai dạng tập tương ứng với hướng vận dụng hình chiếu điểm đường thẳng Nội dung A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho đường thẳng ∆ , điểm A thuộc ∆ , điểm M không thuộc ∆ M Gọi H hình chiếu M ∆ Khi đó: d(M; ∆ )= MH ≤ MA A ∆ Suy ra: +d(M; ∆ ) lớn MA điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ + MA nhỏ MH điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ Đó hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất d(M; ∆ ) ≤ MA Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆ điểm M, gọi H hình chiếu M ∆ Điểm H xác định sau: Cách 1: +Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với ∆ +Toạ độ giao điểm đường thẳng d ∆ điểm H cần tìm Cách 2: +Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H∈ ∆ nên toạ độ H biểu thị theo biến x +Do HM ⊥ ∆ nên MH u = ( u vectơ phương ∆ ) Suy toạ độ điểm H B Một số dạng toán Khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng có nhiều toán cực trị hình học phẳng giải ngắn gọn độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh hứng thú học tập Giúp phát triển tư sáng tạo cho học sinh Các tập chọn đề tài bắt nguồn từ tập sách giáo khoa sách tập Mức độ tập nâng dần lên, quy lạ thành quen có tổng quát hóa toán sau dạng toán Các dạng toán phân chia cho học sinh dễ tiếp thu vận dụng linh hoạt sỏ hai hướng khai thác từ tính chất d(M; ∆ ) ≤ MA Dạng 1: Tìm toạ độ điểm 1.Bài toán 1: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = a MA + b MB (a+b ≠ ) có độ dài nhỏ Phương pháp: Chọn điểm I cho a IA + b IB = suy điểm I cố định Ta có u = a MA + b MB = a ( MI + IA) + b( MI + IB) = (a + b) MI ⇒ u = a + b MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : x-y-2 = hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = MA + MB có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA + IB = ⇒ I(0;1) (điểm I trung điểm đoạn thẳng AB) Ta có : u = MA + MB = MI ⇒ u = 2MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vuông góc với đường thẳng ∆ là: 1= x+ y- Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ :  x =  x + y − = ⇒  x − y − =  y = −  −1 ) điểm cần tìm 2 Vậy M ( ; Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y+1 = hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = MA − 3MB có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA − 3IB = ⇒ I(5;8) Ta có : u = MA − 3MB = 2( MI + IA) − 3( MI + IB) = − MI ⇒ u = MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vuông góc với đường thẳng ∆ là: 5)+2(y-8)=0 ⇒ x + y − 21 = (x- Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ phương trình:  19 x=  x + y − 21 =  ⇒  2 x − y + =  y = 43  19 43 ; ) điểm cần tìm 5 Vậy M ( Nhận xét: Từ toán ta nâng mức độ khó toán cho thêm điểm C, xét vectơ u = a1 MA + a2 MB + a3 MC (a1+ a2+ a3 ≠ ) câu hỏi Ví dụ (b.37sbt) Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M đường thẳng d cho vectơ u = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA + IB + IC = ⇒ điểm I cố định Ta có : u = MA + MB + MC = 4MI ⇒ u = 4MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Nhận xét: Từ ví dụ giải toán tổng quát : Bài toán tổng quát: Cho n điểm A1, A2, , An(n∈ N , n > 1) đường thẳng ∆ Tìm điểm M thuộc ∆ cho n vectơ u = a1 MA1 + + an MAn ( ∑ ≠ 0) có độ dài nhỏ i =1 Hướng dẫn: Cách tìm điểm M toán với chọn điểm I cho a1 IA1 + + an IAn = Nếu a1= a2= = an điểm I xác định trọng tâm hệ n điểm A1, A2, , An Nhận xét: Có thể giải dạng toán cách gọi toạ độ điểm M, M thuộc ∆ nên biểu thị toạ độ điểm M theo biến Do u biểu thức bậc hai theo biến Từ tìm giá trị nhỏ u toạ độ điểm M Tuy nhiên cách phức tạp mặt tính toán, dễ sai sót cách trình bày học sinh dễ tiếp thu trình bày không phức tạp mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán *Các tập tương tự Cho điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm điểm M, N, E, F cho vectơ sau có độ dài nhỏ nhất: u = MA − 5MB u = NA − NB + NC u = EA + EB + EC + ED u = 3FA − FB + FC + FD 2.Bài toán 2: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức : X = aMA + bMB ( Với a+ b > ) đạt giá trị nhỏ X = aMA + bMB ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn Phương pháp: Chọn điểm I cho a IA + b IB = suy điểm I cố định 2 Ta có: X = a MA + b MB = a ( MI + IA) + b( MI + IB) 2 = (a + b) MI + MI (a IA + b IB) + a MA + b MB = (a + b) MI + aMA2 + bMB Do điểm A, B, I cố định nên giá trị biểu thức X phụ thuộc vào MI Suy : +)Nếu a+ b > biểu thức X nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ +)Nếu a+ b < biểu thức X lớn MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y- = hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức X = 2MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Giải 4 3 Chọn điểm I cho IA + IB = ⇒ I( ; ) Ta có : X = MA + MB = 3MI + IA + IB Do điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ độ dài MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vuông góc với đường thẳng ∆ là: 4 1( x − ) + 2( y − ) = ⇒ x + y − = 3 Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ :  x =  2 x − y − = ⇒  x + y − =  y =  5 Vậy M ( ; ) điểm cần tìm Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d cho biểu thức Y = MA − 2MB đạt giá trị lớn Giải Chọn điểm I cho IA − IB = ⇒ I(-8;3) Ta có : Y = MA − 2MB = − MI + IA − IB Do điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn độ dài MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vuông góc với đường thẳng ∆ là: 3.( x + 8) + 1.( y − 3) = ⇒ x + y + 21 = Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ : − 13  x =  x − y + = ⇒   3x + y + 21 =  y = −  Vậy M ( − 13 − ; ) điểm cần tìm 2 Nhận xét: Từ toán ta nâng mức độ khó toán cho thêm điểm C 2 xét biểu thức X = a1 MA + a2 MB + a3 MC câu hỏi Ví dụ Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P đường thẳng BC cho biểu thức X = PA + PG + PM đạt giá trị nhỏ Giải Ta có M(2;0), G(3;1) Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= Chọn điểm I cho IA + IG + IM = ⇒ I(2;1) (I trọng tâm tam giác AGM) Ta có : X = PA + PG + PM = 3PI + IA + IG + IM Do điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ độ dài PI nhỏ hay điểm P hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vuông góc với đường thẳng ∆ là: 2( x − 2) + 5( y − 1) = ⇒ x + y − = Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ:  113  x = 29 2 x + y − = ⇒  x − y − 19 =  y =  29 113 ; ) điểm cần tìm 29 29 Vậy M ( Nhận xét: Từ ví dụ giải toán tổng quát : Bài toán tổng quát: Cho n điểm A1, A2, , An(n∈ N , n > 1) đường thẳng ∆ Tìm điểm M thuộc ∆ cho biểu thức X = a1 MA1 + + a n MA1 đạtgiá trị nhỏ (nếu n n i =1 i =1 ∑ > ), đạt giá trị lớn (nếu ∑ < ) Hướng dẫn: Cách tìm điểm M toán với chọn điểm I cho a1 IA1 + + an IAn = Nếu a1= a2 = = an điểm I xác định trọng tâm hệ n điểm A1, A2, , An Nhận xét: Có thể giải dạng toán cách gọi toạ độ điểm M, M thuộc ∆ nên biểu thị toạ độ điểm M theo biến Do X biểu thức bậc hai theo biến Từ tìm giá trị nhỏ lớn X toạ độ điểm M Tuy nhiên cách phức tạp mặt tính toán, dễ sai sót cách trình bày học sinh dễ tiếp thu trình bày không phức tạp mặt tính toán tạo hứng thú học tập, tăng khả tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán *Các tập tương tự Bài 1: Cho điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2) Tìm điểm M, N, E, F cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 a X = MA + 2MB 2 b X = NB − NC + ND 2 2 c X = EA + EB + 3EC + ED Bài 2: Cho điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2) Tìm điểm I, K, F cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 2 a X = IM − 3IN 2 b X = KP − KM − 3KE 2 2 c X = FM − FN + 3FP − FE Nhận xét: Hình chiếu điểm điểm cần tìm toán, nhiên có toán không trực tiếp điểm cần tìm lại quan trọng hộ trợ cho việc tìm điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng từ khai thác tính chất hình học để giải toán cực trị hai dạng toán sau: 3.Bài toán 3: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ Phương pháp: +)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía ∆ ∆ A M MA+ MB ≥ AB B Suy MA+ MB nhỏ AB M = AB ∩ ∆ +)Nếu hai điểm A, B nằm phía ∆ Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ B A Ta có MA= A1M ⇒ MA+ MB = MA1+ MB ≥ A1 B Suy MA+ MB nhỏ A1B A1 M ∆ M= A1 B ∩ ∆ Ví dụ minh hoa: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 3x- 4y+1= hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ Giải Nhận thấy hai điểm A, B nằm phía ∆ Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Ta có MA = A1M ⇒ MA + MB = MA1+ MB ≥ A1 B Suy MA + MB nhỏ A1B M = A1 B ∩ ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm A vuông góc với đường thẳng ∆ là: + 3(y-2) = ⇒ 4x + 3y - 10 = 4(x-1) Toạ độ hình chiếu H điểm A đường thẳng ∆ nghiệm hệ : 37  x = 4 x + y − 10 =  37 34 25 ⇒ ⇒ H( ; )  25 25 3 x − y + =  y = 34  25 10 Do H trung điểm AA1 nên A1( 49 18 ; ) 25 25 Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + = Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ : −1  x = 9 x − 37 y + =  75 ⇒  3 x − y + = y =  25 Vậy M( −1 ; ) điểm cần tìm 75 25 Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + = điểm A(2;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ Giải Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM Vì OA = không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ OM + MA nhỏ Nhận thấy hai điểm O, A nằm phía d Gọi O1 điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Ta có MO= MO ⇒ MA+ MO = MO1+ MA ≥ O1 A Suy MA + MO nhỏ O1A M = O1 A ∩ d Phương trình đường thẳng d1 qua điểm O vuông góc với đường thẳng d là: x+y=0 Toạ độ hình chiếu H điểm O đường thẳng d nghiệm hệ : x + y =  x = −1 ⇒ ⇒ H ( −1;1) ⇒ O1 = ( −2;2)  x − y + =  y = Phương trình đường thẳng O1A là: x + 2y- = −2  x =  x + y − =  ⇒ Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ :  x − y + = y =  Vậy M( −2 ; ) điểm cần tìm 3 11 *Các tập tương tự Bài 1: Cho điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho MA + MB đạt giá trị nhỏ b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC cho NA + NC đạt giá trị nhỏ Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H trực tâm tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ 4.Bài toán 4: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA − MB đạt giá trị lớn B Phương pháp: +)Nếu hai điểm A, B nằm phía ∆ MA − MB ≤ AB Suy MA − MB lớn AB ∆ A M M = AB ∩ ∆ +)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía ∆ A gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆M Ta có MA = A1M ⇒ MA − MB = MA1 − MB ≤ A1 B A1 Suy MA − MB lớn A1B M = A1 B ∩ ∆ ∆ B Ví dụ minh hoa: Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106) Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) đường thẳng ∆ : 2x- y- = Tìm toạ độ điểm N ∆ cho NP − NQ lớn Giải Nhận thấy hai điểm P, Q nằm phía ∆ Ta có NA − NB ≤ PQ Suy NP − NQ lớn PQ N= PQ ∩ ∆ 12 Phương trình đường thẳng PQ là: 5x- 2y + = Toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình: 5 x − y + =  x = −9 ⇔   x − y − = y = − 19   Vậy N(-9;-19) điểm cần tìm Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = điểm A(1;2), B(0;3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho MA − MB lớn Giải Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía d Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MA = A 1M MA − MB = MA1 − MB ≤ A1 B ⇒ Suy MA − MB lớn A1B M = A1 B ∩ ∆ Gọi H hình chiếu A d, toạ độ H(x; 2x+1) 3 11 AH u d = ⇒ x = ⇒ H ( ; ) ( u d = (1;2) vectơ phương d) 5 12 ) 5 Do H trung điểm AA1 nên A1( ; Phương trình đường thẳng A1B là: 3x + y- = Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ :  x = 2 x − y + =  ⇒  x + y − =  y =  5 Vậy M( ; ) điểm cần tìm *Các tập tương tự Bài1: Cho điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho MC − MO lớn 13 Suy ra: b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD cho NA − NB nhỏ Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1) Gọi H, K chân đường cao, chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A đỉnh C, I trung điểm AC a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC cho MH − MK lớn b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI cho NH − NK lớn DạngII: Viết phương trình đường thẳng 1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn Phương pháp: B Gọi H hình chiếu B ∆ Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB Suy d ( B; ∆) lớn AB A trùng với H hay đường thẳng ∆ qua A A ∆ vuông góc với AB Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn Giải Gọi H hình chiếu B ∆ Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB Suy d ( B; ∆) lớn AB A trùng với H hay đường thẳng ∆ qua A vuông góc với AB ⇒ Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x - y = Vậy đường thẳng ∆ : 2x - y = thoả mãn yêu cầu Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳng ∆ m : (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = điểm A(2;3) a.Chứng minh ∆ m qua điểm cố định với m b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ m lớn 14 Giải a.Giả sử ∆ m qua điểm cố định M(xo;yo) với m Khi đó: (m-2)xo+ (m-1)yo+ 2m-1= ∀m ⇔ ( xo + yo + 2) m − xo − yo − = 0∀m  xo + y o + =  xo = ⇔ ⇔ − xo − y o −1 =  yo = −3 Vậy ∆ m qua điểm cố định M(1;-3) với m b.Gọi H hình chiếu A ∆ m Ta có : d ( A; ∆ m ) = AH ≤ AM Suy d ( A; ∆ m ) lớn AM H trùng với M hay AM ⊥∆ m Lại có AM = (−1;6) , ∆ m có vectơ phương u = (1 − m; m − 2) AM ⊥ ∆ m ⇔ AM u = ⇔ m = Vậy m = 11 11 giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) đường tròn (c): ( ( x + ) + ( y − 1) = 107 Một đường thẳng ∆ thay đổi qua A cắt đường tròn (c) M, N Hãy viết phương trình ∆ cho đoạn thẳng MN ngắn Giải Nhận thấy điểm A nằm đường tròn (c) nên đường thẳng ∆ qua A cắt (c) hai điểm phân biệt Đường tròn (c) có tâm I( −9 107 ;1) , bán kính R= 2 Gọi H trung điểm MN IH ⊥ MN Ta có MN= 2MH= R − IH Do MN nhỏ IH lớn Mà IH ≤ IA nên IH lớn H trùng với A hay ∆ ⊥ IH Suy phương trình đường thẳng ∆ : 7x - 2y + = 15 Vậy đường thẳng ∆ cần tìm :7x - 2y + = Nhận xét: Từ toán ta thay đổi cách hỏi để làm toán phức tạp chất toán ví dụ Sự thay đổi làm cho học sinh linh hoạt hơn, tư sáng tạo * Các tập tương tự Bài 1: Cho đường thẳng ∆ m : mx+ (m-1)y- 1= điểm A(2;3) Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ m lớn 2 Bài 2: Cho đường tròn (c): x + y − x + y = điểm M(1;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cho cắt đường tròn (C) hai điểm P, Q phân biệt cho chu vi tam giác IPQ nhỏ (I tâm đường tròn (C)) Từ toán ta nâng mức độ khó toán lên toán sau Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Phương pháp: Xét hai trường hợp: +)Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ Gọi M = BC ∩ ∆ Ta có : d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC C ∆ M A B Dấu xảy BC ⊥ ∆ +)Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC N B C Suy ra: d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ ∆ So sánh giá trị BC 2NA suy đường thẳng ∆ cần tìm Ví dụ minh hoạ: 16 Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1;1), B(-2;2), C(8;6) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Giải: Xét hai trường hợp: +)Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ Gọi M=BC ∩ ∆ ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC Dấu xảy BC ⊥ ∆ +)Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC, toạ độ N(3;4) ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ Ta có BC= 116 , 2NA= 13 Suy d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn BC ⊥ ∆ 116 Phương trình đường thẳng ∆ : 5(x-1)+ 2(y-1)= ⇒ 5x+ 2y- 7= Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm : 5x+ 2y- 7= Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Giải: Xét hai trường hợp: +Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ Gọi M=BC ∩ ∆ ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC Dấu xảy BC ⊥ ∆ +Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC, toạ độ N(5;6) ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ Ta có BC= 80 , AN= 45 ⇒ BC< 2AN Suy d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn NA ⊥ ∆ Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: 4x+ 5y- 9= Nhận xét: Từ toán giải toán phức tạp sau đây: 17 Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M cho 2d(N; ∆ )+3d(P; ∆ ) lớn Giải: Chọn hai điểm N1, P1 cho: MN1 = MN , MP1 = 3MP ⇒ N1(-3;2), P1(5;9) P1 Ta có d(N1; ∆ )= 2d(N; ∆ ), d(P1; ∆ ) = 3d(P; ∆ ) Suy 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ )= d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) P Do 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ ) lớn d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) lớn M I Xét hai trường hợp: ∆ N +Nếu N1, P1 nằm hai phía so với ∆ N1 Gọi I = N1P1 ∩ ∆ ⇒ d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) ≤ N1 I + P1 N = N1 P1 Dấu xảy N1P1 ⊥ ∆ P1 +Nếu N1, P1 nằm phía so với ∆ 11 ) ⇒ d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) ≤ 2d ( J ; ∆) ≤ JA Gọi J trung điểm N1P1, toạ độ J(1; Dấu xảy JA ⊥ ∆ Ta có N1P1= 113 , AJ= N1 P N M J ∆ 137 ⇒ N1P1< 2AJ Suy d(N1; ∆ )+d(P1; ∆ ) lớn AJ ⊥ ∆ Phương trình đường thẳng ∆ : 4(x+1) + 11(y-0) = ⇒ 4x + 11y + = 18 Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm : 4x+11y+ = Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải Cách trình bày đơn giản tình toán, phát huy tính sáng tạo tư Các toán dạng giải cách biến đổi đưa tìm giá trị lớn hàm số *)Bài toán tổng quát: Cho điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho biểu thức ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ ) đạt giá tri lớn (a > 0, b > 0) Hướng dẫn: Chọn hai điểm B1, C1 thỏa mãn : AB1 = a AB, AC1 = b AC Suy ra: ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ )= d(B1; ∆ )+ d(C1; ∆ ) Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho biểu thức d(B 1; ∆ )+ d(C1; ∆ ) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1) * Các tập tương tự Bài 1: Cho ba điểm M(2;-1), N(-2;0), P(5;-6) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(-3;4), C(2;5) Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, AC a,Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua điểm M cho biểu thức d(N; ∆1 )+ 2d(P; ∆1 ) đạt giá trị lớn b,Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho biểu thức 2d(N; ∆ )+ 5(P; ∆ ) đạt giá trị lớn 19 PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIấN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết nghiờn cứu Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 1OH 1OG Trong lớp 10G chưa giới thiệu cách khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng với hình thức kiểm tra làm 45 phút với câu hỏi ĐỀ KIỂM TRA (45’) Bài 1(5điểm): Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1) Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P đường thẳng BC cho biểu thức X = PG + 3PM đạt giá trị nhỏ Bài 2(5điểm): Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(2;5), C(-7;1) 1.Tính diện tích tam giác ABC 2.Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng từ điểm B đến ∆ lớn Kết thu sau: Lớp Sỹ số Điểm < Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ Số lượng % Số lượng % Số lượng % 10H 50 10% 30 60% 15 30% 10G 50 16 32% 28 56% 12% 20 Bài học kinh nghiệm Qua đề tài thu số học: - Cho học sinh tiếp xỳc với nhiều toỏn với cỏch giải khỏc - Rốn luyện cho học sinh kỹ phõn tớch toỏn, quy lạ quen , khai thác tính chất để tỡm lời giải tối ưu - Rốn luyện cho học sinh cỏch trỡnh bày cỏch chặt chẽ, khoa học -Phát huy linh hoạt, tính sáng tạo học sinh 3.Kết luận Sử dụng tính chất hình chiếu điểm đường thẳng để giải số toán cực trị hình học hướng giải tạo hứng thú cho học sinh, giúp em thấy vận dụng đơn giản hiệu tính chất hình học giải toán cực trị Sau thực sỏng kiến trờn cỏc buổi ụn tập cho học sinh lớp 10 ôn thi đại học lớp 10H, 12D trường THPT Ba Đỡnh cho kết tốt Học sinh cú thể sử dụng linh hoạt tính chất hình học để giải số toán cực trị Các em thấy yêu thích phần toán cực trị nhận thấy nét đẹp nó, khai thác đơn giản dễ vận dụng Từ hướng khai thác hình học phẳng áp dụng tính chất hình chiếu điểm đường thẳng, hình chiếu điểm mặt phẳng số toán cực trị hình học không gian Tuy nhiờn thời gian cú hạn nờn phạm vi viết tụi giải số dạng toỏn Mong bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khai thác tốt cỏc toỏn thuộc thể loại Tôi xin chân thành cảm ơn! 21 [...]... khỏc nhau - Rốn luyện cho học sinh kỹ năng phõn tớch một bài toỏn, quy lạ về quen , khai thác các tính chất cơ bản để tỡm lời giải tối ưu nhất - Rốn luyện cho học sinh cỏch trỡnh bày một cỏch chặt chẽ, khoa học -Phát huy sự linh hoạt, tính sáng tạo của học sinh 3.Kết luận Sử dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học là một hướng giải quyết tạo được... đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản dễ vận dụng Từ hướng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số bài toán cực trị trong hình học không gian Tuy nhiờn do thời gian cú hạn nờn trong phạm vi bài viết này tụi cũng chỉ mới giải quyết một số dạng toỏn Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có một. .. cho học sinh, giúp các em thấy được sự vận dụng đơn giản nhưng rất hiệu quả của tính chất hình học trong giải toán cực trị Sau khi thực hiện sỏng kiến này trờn cỏc buổi ụn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học tại lớp 10H, 12D trường THPT Ba Đỡnh đó cho kết quả tốt Học sinh cú thể sử dụng linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài toán về cực trị Các em thấy yêu thích phần toán cực trị. .. đến đường thẳng ∆ m là lớn nhất 2 2 Bài 2: Cho đường tròn (c): x + y − 2 x + 4 y = 0 và điểm M(1;-1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M sao cho cắt đường tròn (C) tại hai điểm P, Q phân biệt sao cho chu vi tam giác IPQ nhỏ nhất (I là tâm của đường tròn (C)) Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng. .. diện tích của tam giác ABC 2.Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng từ điểm B đến ∆ lớn nhất Kết quả thu được như sau: Lớp Sỹ số Điểm < 5 Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ 8 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 10H 50 5 10% 30 60% 15 30% 10G 50 16 32% 28 56% 6 12% 20 2 Bài học kinh nghiệm Qua đề tài này tôi thu được một số bài học: - Cho học sinh tiếp xỳc với nhiều bài toỏn với những cỏch giải khỏc... được giới thiệu cách khai thác tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng với hình thức kiểm tra là làm bài 45 phút với câu hỏi như nhau ĐỀ KIỂM TRA (45’) Bài 1( 5điểm) : Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1) Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu thức X = PG 2 + 3PM 2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2( 5điểm) : Cho tam giác ABC với... nhất Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ nhất b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ nhất 4 .Bài toán 4: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất B Phương pháp: +)Nếu hai điểm. .. thẳng ∆ cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0 Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết Cách trình bày đơn giản về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhất của hàm số * )Bài toán tổng quát: Cho 3 điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho biểu thức ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ ) đạt giá tri... trình đường thẳng ∆ là : 7x - 2y + 7 = 0 15 Vậy đường thẳng ∆ cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0 Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưng bản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3 Sự thay đổi như vậy làm cho học sinh linh hoạt hơn, tư duy sáng tạo hơn * Các bài tập tương tự Bài 1: Cho đường thẳng ∆ m : mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3) Tìm m để khoảng cách từ điểm A... trình đường thẳng O1A là: x + 2y- 2 = 0 −2  x =  x + 2 y − 2 = 0  3 ⇒ Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :  4 x − y + 2 = 0 y =  3 Vậy M( −2 4 ; ) là điểm cần tìm 3 3 11 *Các bài tập tương tự Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ