TRẦN ANH TUẤN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Các chuyên đề LUYỆN THI ĐẠI HỌC WWW.VNMATH.COM HÀ NỘI - 2011 Mục lục WWW.VNMATH.COM I Đại số - Lượng giác - Giải tích Chương Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11 1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức 11 1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai 11 1.1.2 Phương trình trình bậc ba 13 1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn 13 1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 14 1.3 Phương trình, bất phương trình chứa 16 Vấn đề : Phương trình, bất phương trình 16 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 17 Vấn đề : Phương pháp nhân liên hợp 19 Vấn đề : Phương pháp đánh giá 19 Vấn đề : Phương trình, bất phương trình có tham số 20 1.4 Hệ phương trình 23 1.4.1 Phương pháp 23 1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử coi phương trình phương trình bậc hai (ba) theo ẩn 24 1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 24 1.4.4 Phương pháp hàm số 27 1.4.5 Phương pháp đánh giá 27 1.5 Số nghiệm phương trình, hệ phương trình 28 Vấn đề : Chứng minh phương trình có nghiệm 28 Vấn đề : Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt 28 Vấn đề : Chứng minh phương trình có ba nghiệm phân biệt 29 1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số kì thi tuyển sinh ĐH 29 1.7 Bài tập tổng hợp 31 Chương Bất đẳng thức 37 2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 37 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh tổng tích 37 2.1.2 Một số hệ trực tiếp 37 2.1.3 Bài tập đề nghị 37 2.2 Bất đẳng thức hình học 42 2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình hệ phương trình 44 2.4 Bất đẳng thức kì thi tuyển sinh ĐH 44 2.5 Bài tập tổng hợp 46 Chương Lượng giác 51 3.1 Phương trình 51 3.2 Phương trình dạng a sin x + b cos x = c 52 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 53 3.4 Đưa phương trình dạng tích 60 3.5 Phương pháp đánh giá phương pháp hàm số 62 3.6 Giá trị lớn nhỏ biểu thức lượng giác 63 3.7 Lượng giác kì thi tuyển sinh ĐH 63 3.8 Bài tập tổng hợp 64 Chương Tổ hợp 69 4.1 Các quy tắc đếm Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị 69 4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ 74 4.3 Hệ số xk khai triển 76 4.4 Hệ số xk khai triển nhị thức (a + b)n 76 4.5 Hệ số xk khai triển (a + b)n (c + d)m 77 4.6 Hệ số xk khai triển (a + b + c)n 77 4.7 Tính tổng hệ số tổ hợp : Èa C n k k=0 k n 77 4.8 Phương pháp với ak hàm số mũ theo biến k 77 4.9 Phương pháp đạo hàm với ak tích hàm số mũ đa thức theo k 78 4.10 Phương pháp tích phân với ak tích hàm số mũ phân thức theo k 79 4.11 Bài tập tổng hợp 80 Chương Hàm số 83 5.1 Tính đơn điệu 83 Vấn đề : Xét chiều biến thiên hàm số 83 Vấn đề : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu miền 84 Vấn đề : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số 87 Vấn đề : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức 89 Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ 91 Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào toán số nghiệm phương trình có tham số 92 5.2 Cực trị hàm số 93 Vấn đề : Sử dụng dấu hiệu dấu hiệu để xác định điểm cực trị hàm số 94 Vấn đề : Điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại cực tiểu) x = x0 đồ thị hàm số đạt cực trị điểm (x0 ; y0 ) 94 Vấn đề : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn vài điều kiện 95 5.3 Tiệm cận 100 Vấn đề : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 100 Vấn đề : Các toán tiệm cận có tham số 101 5.4 Tâm đối xứng trục đối xứng Điểm thuộc đồ thị 102 Vấn đề : Tâm đối xứng, trục đối xứng 102 Vấn đề : Khoảng cách 102 5.5 Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình phương pháp đồ thị 103 5.6 Bài toán tương giao 108 5.7 Sự tiếp xúc hai đường cong tiếp tuyến 109 Vấn đề : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm 109 Vấn đề : Hai đường cong tiếp xúc 111 Vấn đề : Tiếp tuyến qua điểm 112 Vấn đề : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 113 5.8 Hàm số kì thi tuyển sinh ĐH 114 5.9 Bài tập tổng hợp 121 Chương Mũ lôgarít 127 6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa 127 6.2 Hàm số logarit 127 6.3 Phương trình mũ logarit 129 Vấn đề : Phương trình 129 Vấn đề : Phương pháp logarit hai vế 130 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 130 Vấn đề : Phương pháp phân tích thành nhân tử 131 Vấn đề : Phương pháp đánh giá 131 6.4 Bất phương trình mũ logarit 132 Vấn đề : Bất phương trình 132 Vấn đề : Phương pháp đặt ẩn phụ 133 Vấn đề : Phương pháp phân tích thành nhân tử 134 6.5 Hệ phương trình 134 6.6 Phương trình mũ lôgarit kì thi tuyển sinh ĐH 135 6.7 Bài tập tổng hợp 136 Chương Tích phân 149 7.1 Các dạng toán nguyên hàm 149 Vấn đề : Chứng minh hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f (x) 149 Vấn đề : Sử dụng bảng nguyên hàm 149 Vấn đề : Tìm số C 150 Vấn đề : Phương pháp nguyên hàm phần 150 Vấn đề : Phương pháp đổi biến số 151 7.2 Các dạng toán tích phân 152 Vấn đề : Sử dụng tích phân 152 Vấn đề : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối 152 Vấn đề : Phương pháp tích phân phần 153 Vấn đề : Phương pháp đổi biến số 154 Vấn đề : Tích phân hàm hữu tỉ 157 Vấn đề : Tích phân số hàm đặc biệt 159 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 161 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay 162 7.5 Tích phân kì thi ĐH 163 7.6 Bài tập tổng hợp 164 Chương Số phức II Hình học Chương 167 173 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 175 9.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 175 9.2 Phương trình đường thẳng 176 9.2.1 Các toán thiết lập phương trình đường thẳng 176 9.2.2 Các toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng 176 9.2.3 Bài tập tổng hợp 177 9.3 Đường tròn 180 9.4 Đường elip 183 9.5 Đường hypebol 184 9.6 Đường parabol 186 9.7 Phương pháp tọa độ mặt phẳng qua kì thi tuyển sinh ĐH 187 9.8 Bài tập tổng hợp 188 Chương 10 Mở đầu hình học không gian Quan hệ song song 191 10.1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng 192 Vấn đề : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng 192 Vấn đề : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) 192 Vấn đề : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy 193 Vấn đề : Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 193 10.2 Hai đường thẳng song song 195 Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) 195 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng song song 196 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng chéo 196 10.3 Đường thẳng mặt phẳng song song 197 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 197 Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Dựng thiết diện song song với đường thẳng 197 Vấn đề : Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng 198 10.4 Hai mặt phẳng song song 199 Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng song song 199 Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước 199 Chương 11 Vectơ không gian Quan hệ vuông góc 201 11.1 Vectơ không gian Sự đồng phẳng vectơ 202 Vấn đề : Biểu thị vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng 202 Vấn đề : Chứng minh đẳng thức vectơ 203 Vấn đề : Chứng minh điểm thẳng hàng quan hệ song song 203 Vấn đề : Chứng minh vectơ đồng phẳng 204 11.2 Hai đường thẳng vuông góc 205 Vấn đề : Tính góc hai vectơ 205 Vấn đề : Tính góc hai đường thẳng a b 206 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 207 11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 207 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 207 Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với 208 Vấn đề : Xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 210 Vấn đề : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước vuông góc với đường thẳng d cho trước 211 11.4 Hai mặt phẳng vuông góc 213 Vấn đề : Xác định góc hai mặt phẳng 213 Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc 214 Vấn đề : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 215 Vấn đề : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) 216 11.5 Khoảng cách 217 Vấn đề : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước 217 Vấn đề : Dựng đường thẳng qua điểm A cho trước vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) 217 Vấn đề : Đoạn vuông góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo 219 11.6 Khối đa diện thể tích khối đa diện 222 Vấn đề : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp 222 Vấn đề : Tính thể tích hình chóp cách gián tiếp 227 Vấn đề : Dùng công thức thể tích để giải số toán hình học 228 11.7 Phân loại số hình khối đa diện 230 11.7.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 230 11.7.2 Hình chóp 231 11.7.3 Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy 232 11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy 233 11.7.5 Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc 233 11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ 234 11.8 Bài tập tổng hợp 235 Chương 12 Mặt cầu khối tròn xoay 239 12.1 Mặt cầu, khối cầu 239 12.2 Mặt tròn xoay Mặt trụ, hình trụ khối trụ 243 Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ không gian 249 13.1 Hệ toạ độ không gian 249 Vấn đề : Tìm tọa độ vectơ yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn số điều kiện cho trước 249 Vấn đề : Ứng dụng tích vô hướng tích có hướng 249 Vấn đề : Lập phương trình mặt cầu 252 Vấn đề : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian 253 13.2 Phương trình mặt phẳng 254 Vấn đề : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có vectơ pháp tuyến cho trước 254 Vấn đề : Vị trí tương đối hai mặt phẳng 255 Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 256 Vấn đề : Góc hai mặt phẳng 258 Vấn đề : Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 258 13.3 Phương trình đường thẳng 260 Vấn đề : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng 260 Vấn đề : Tìm điểm đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 260 Vấn đề : Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆′ không gian 261 Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) 262 Vấn đề : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 263 Vấn đề : Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 264 Vấn đề : Góc hai đường thẳng ; góc đường thẳng mặt phẳng 266 Vấn đề : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng song song, vuông góc với đường thẳng mặt phẳng khác, nằm mặt phẳng khác 267 Vấn đề : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′ 268 Vấn đề 10 : Hình chiếu tính đối xứng 270 Vấn đề 11 : Bài toán cực trị 271 13.4 Hình học không gian kì thi tuyển sinh ĐH 273 13.5 Bài tập tổng hợp 278 III Hướng dẫn đáp số 287 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Phần I Đại số - Lượng giác - Giải tích WWW.VNMATH.COM WWW.VNMATH.COM www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 13.167 : Cho hai đường thẳng x y−2 z+1 ∆: = = ∆′ : −2 x = + 2t y=t z = − t Chứng minh ∆ ∆′ chéo Tìm hai điểm A B thuộc ∆ ∆′ cho AB đạt giá trị nhỏ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, (P) song song với hai đường thẳng ∆ ∆′ Bài 13.168 : Cho hai đường thẳng x−1 y+2 z+1 = = ∆′ : ∆: −2 x = 2t y=1−t z = − 2t Chứng minh ∆ ∆′ chéo Tìm hai điểm A B thuộc ∆ ∆′ cho AB đạt giá trị nhỏ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ (P) song song với ∆′ Bài 13.169 : Cho A(0; 2; 1), B(2; −1; 1) Tìm điểm M đường thẳng ∆ : Tam giác ABM có chu vi nhỏ y z+2 x−1 = = cho −1 Tam giác ABM có diện tích nhỏ x y−1 z+1 = = hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3) Tìm điểm M thuộc ∆ cho −2 −−→ −−→ MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ |2 MA − MB| đạt giá trị nhỏ Bài 13.170 : Cho đường thẳng ∆ : −−→ −−→ |2 MA + MB| đạt giá trị nhỏ MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 13.171 : Cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3) Tìm điểm M thuộc (P) cho −−→ −−→ |2 MA − MB| đạt giá trị nhỏ MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ −−→ −−→ |2 MA + MB| đạt giá trị nhỏ MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 13.172 : Cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − = mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = Tìm điểm M thuộc (S ) cho M cách (P) khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ Chứng minh (P) cắt (S ) theo giao tuyến đường tròn Xác định tâm bán kính đường tròn Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện (S ), biết tiếp diện song song với (P) Bài 13.173 : Cho A(1; 2; 3), B(0; 2; −1) đường thẳng ∆ : x y+2 z−2 = = Viết phương trình mặt phẳng (P), biết 1 (P) qua B cách A khoảng lớn nhất; (P) chứa B, (P) ∥ ∆ (P) cách ∆ khoảng lớn (P) chứa ∆ cách A khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ (P) chứa B, O cách A khoảng TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 272 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com (a) lớn nhất; (b) nhỏ (P) chứa B, (P) ∥ ∆ cách A khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ (P) chứa ∆ tạo với mặt phẳng (Oxy) góc (a) lớn nhất; (b) nhỏ (P) chứa A, ∆ ∥ (P) tạo với mặt phẳng (Oxy) góc (a) lớn nhất; (b) nhỏ (P) chứa ∆ tạo với trục Ox góc (a) lớn nhất; (b) nhỏ x=1 Bài 13.174 : Cho A(1; 0; 2), B(0; 0; 1), mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = đường thẳng ∆ : y=1+t z = t Viết phương trình đường thẳng d, biết d qua A, cắt ∆ cách B khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ d qua A, d ∥ (P) d cách B khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ d qua A, d⊥∆ d cách B khoảng (a) lớn nhất; (b) nhỏ d nằm (P), d ∥ ∆ B cách d khoảng nhỏ d nằm (P), d⊥(Q) B cách d khoảng nhỏ nhất, với (Q) : 4x + y − z − = 13.4 Hình học không gian kì thi tuyển sinh ĐH Bài 13.175 (CĐ08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng d có phương trình x y z−1 = = −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm toạn độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O Bài 13.176 (CĐ08) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 90◦ , AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy S A = 2a Gọi M N trung điểm S A S D Chứng minh BCN M hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S BCN M theo a TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 273 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 13.177 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1 ) : x + 2y + 3z + = (P2 ) : 3x + 2y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1 ) (P2 ) Bài 13.178 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; −1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C vuông góc với mặt phẳng (ABC) √ Bài 13.179 (CĐ09) : Cho tứ giác S ABCD có AB = a, S A = a Gọi M, N P trung điểm cạnh S A, S B CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng S P Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Bài 13.180 (CĐ10) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = S B, góc đường thẳng S C mặt phẳng đáy 45◦ Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD Bài 13.181 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 3), B(−1; 0; 1) mặt phẳng (P) : x + y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) AB có tâm thuộc đường thẳng AB (S ) tiếp xúc với (P) x y−1 z Bài 13.182 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng = = mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − = −2 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P) Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P) Bài 13.183 (A02) : Cho hình chóp tam giác S ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh S B S C Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC) Bài 13.184 (A02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1 : x − 2y + z − = x + 2y − 2z + = x=1+t ∆2 : y=2+t z = + 2t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 song song với đường thẳng ∆2 Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Bài 13.185 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Tính số đo góc hai mặt phẳng (A′ BC) (A′CD) Bài 13.186 (A03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′C ′ D′ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; b) với (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Tính thể tích khối tứ diện BDA′ M theo a b a Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A′ BD) (MBD) vuông góc với b Bài 13.187 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O √ Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S (0; 0; 2) Gọi M trung điểm cạnh S C Tính góc khoảng cách hai đường thẳng S A, BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng S D điểm N Tính thể tích khối chóp S ABMN Bài 13.188 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d: x−1 y+3 z−3 = = (P) : 2x + y − 2z + = −1 1 Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) 2 Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), biết ∆ qua A vuông góc với d Bài 13.189 (A06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′ (0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 274 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com Tính khoảng cách hai đường thẳng A′C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C tạo với mặt phẳng (Oxy) góc α biết cos α = √ Bài 13.190 (A06) : Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O′ , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO′ AB Bài 13.191 (A07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y−1 z+2 d1 : = = d2 : −1 x = −1 + 2t y=1+t z = Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y − 4z = cắt hai đường thẳng d1 , d2 Bài 13.192 (A07) : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên S AD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lân lượt trung điểm cạnh S B, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 13.193 (A08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng d : x−1 y z−2 = = 2 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn √ Bài 13.194 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A′ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A′ ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA′ , B′C ′ Bài 13.195 (A09) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (S BC) (ABCD) 60◦ Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (S BI) (S CI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 13.196 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z − = mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Bài 13.197 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = hai đường thẳng ∆1 : x+1 y z+9 x−1 y−3 z+1 = = , ∆2 : = = 1 −2 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Bài 13.198 (A10) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB √ AD; H giao điểm CN với DM Biết S H vuông góc với mặt phẳng (ABCD) S H = a Tính thể tích khối chóp S CDN M tính khoảng cách hai đường thẳng DM S C theo a x−1 y z+2 = = mặt phẳng (P) : x − 2y + z = Gọi C −1 √ giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = y−2 z+3 x+2 = = Tính khoảng Bài 13.200 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆ : cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = Bài 13.199 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Bài 13.201 (B02) : Cho hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1 B B1 D TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 275 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1 D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1 N Bài 13.202 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′C ′ D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60◦ Gọi M trung điểm cạnh AA′ N trung điểm cạnh CC ′ Chứng minh bốn điểm B′ , M, D, N thuộc mặt phẳng Tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′ MDN hình vuông Bài 13.203 (B04) : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ (0◦ < ϕ < 90◦ ) Tính tang góc hai mặt phẳng (S AB) (ABCD) theo ϕ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a ϕ Bài 13.204 (B04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−4; −2; 4) đường thẳng d : x = −3 + 2t y=1−t z = −1 + 4t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d Bài 13.205 (B05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 với A(0; −3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1 (4; 0; 4) Tìm toạ độ đỉnh A1 , C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1 B1 ) Gọi M trung điểm A1 B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN Bài 13.206 (B06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng x y−1 z+1 d1 : = = d2 : −1 x =1+t y = −1 − 2t z = + t Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 Tìm toạ độ điểm M ∈ d1 , N ∈ d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng √ Bài 13.207 (B06) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, S A = a S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD S C; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (S MB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 13.208 (B07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − = mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 14 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S ) theo đường tròn có bán kính Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn Bài 13.209 (B07) : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm S A, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 13.210 (B08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − = cho MA = MB = MC √ Bài 13.211 (B08) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S BMDN tính cosin góc hai đường thẳng S M, DN Bài 13.212 (B09) : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ có BB′ = a góc đường thẳng BB′ mặt phẳng (ABC) 60◦ ; tam giác ABC vuông C BAC = 60◦ Hình chiếu vuông góc điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A′ ABC theo a TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 276 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com Bài 13.213 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2; −1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Bài 13.214 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = hai điểm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Bài 13.215 (B10) : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′C ′ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A′ BC) (ABC) 60◦ Gọi G trọng tâm tam giác A′ BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài 13.216 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P) : y − z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 13 Bài 13.217 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : cho khoảng cách từ M đến ∆ OM x y−1 z = = Xác định tọa độ điểm M trục hoành 2 Bài 13.218 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Bài 13.219 (D02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (2m + 1)x + (1 − m)y + m − = (P) : 2x − y + = 0v đường thẳng dm : (m tham số ) mx + (2m + 1)z + 4m + = Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 13.220 (D03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : dk : x + 3ky − z + = kx − y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P) : x − y − 2z + = Bài 13.221 (D03) : Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuòng vuông góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài 13.222 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(−a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1 (−a; 0; b), với a > 0, b > Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b Cho a, b thay đổi, thoả mãn : a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn Bài 13.223 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P) : x+y+z−2 = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Bài 13.224 (D05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : d1 : x−1 y+2 z+1 = = d2 : −1 x+y−z−2=0 x + 3y − 12 = Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 Mặt phẳng toạ độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d1 , d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) Bài 13.225 (D06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điểm A(1; 2; 3) cho hai đường thẳng : d1 : x−1 y−1 z+1 x−2 y+2 z−3 = = ; d2 : = = −1 −1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 277 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Tìm tạo độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với d1 cắt d2 Bài 13.226 (D06) : Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A = 2a S A vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng S B S C Tính thể tích khối chóp A.BCN M Bài 13.227 (D07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) đường thẳng ∆: x−1 y+2 z = = −1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 + MB2 nhỏ Bài 13.228 (D07) : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, ABC = BAD = 90◦ , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông √ góc với đáy S A = a Gọi H hình chiếu A S B Chứng minh tam giác S CD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S CD) Bài 13.229 (D08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC √ Bài 13.230 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng AM, B′C Bài 13.231 (D09) : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′ B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A′C ′ , I giao điểm AM A′C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Bài 13.232 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P) : x+y+z−20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) z x+2 y−2 = = mặt phẳng (P) : x+2y−3z+4 = Bài 13.233 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : 1 −1 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng ∆ Bài 13.234 (D10) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a ; hình chiếu vuông góc đỉnh AC S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM đường cao tam giác S AC Chứng minh M trung điểm S A tính thể tích khối tứ diện S MBC theo a Bài 13.235 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z − = (Q) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) x =3+t Bài 13.236 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : y=t ∆2 : x−2 y−1 z = = Xác định tọa 2 z=t độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 13.5 Bài tập tổng hợp Bài 13.237 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh√a cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính a khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết S A = Bài 13.238 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc α, β, γ góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh : cos α + cos β + cos γ ≤ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 √ WWW.VNMATH.COM Trang 278 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 13.239 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + z + = hai điểm A(−1; −3; −2), B(−5; 7; 12) Tìm toạ độ điểm A′ điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Giả sử M điểm chạy mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ biểu thức : MA + MB Bài 13.240 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) S A = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE Bài 13.241 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : ∆: 2x + y + z + = x+y+z+2=0 mặt phẳng (P) : 4x − 2y + z − = Viêt phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Bài 13.242 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) điểm A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (ABC) (S BC) 60◦ Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a Bài 13.243 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : d1 : x − az − a = d2 : y−z+1=0 ax + 3y − = x − 3z − = Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a = Bài 13.244 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2x − 2y − z + = x + 2y − 2z − = mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) hai điểm M N cho khoảng cách hai điểm Bài 13.245 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c góc BAC, CAD, DAB 60◦ √ Bài 13.246 : Cho hình tứ diện có tất cạnh a = Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD BC Bài 13.247 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; −1; −2), C(−1; −4; 3), D(1; 6; −5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM co chu vi nhỏ Bài 13.248 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B′C ′ có đáy ABC tam giác cân, với AB = AC = a góc BAC = 120◦ , cạnh bên BB′ = a Gọi I trung điểm CC ′ Chứng minh tam giác AB′ I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB′ I) Bài 13.249 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vuông góc với góc BDC = 90◦ Xác định tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b Bài 13.250 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x y+1 z = = d2 : 3x − z + = 2x + y − = Chứng minh d1 , d2 chéo vuông góc với x−4 y−7 z−3 = = −2 Bài 13.251 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ cho mặt phẳng (BD′ M) cắt hình lập phương Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d2 song song với đường thẳng ∆ : theo thiết diện có diện tích nhỏ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 279 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com √ √ Bài 13.252 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3), B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), với (a > 0) Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Bài 13.253 : Cho hình chóp S ABC, đáy có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦ ) Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) Bài 13.254 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I, K tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 30◦ Bài 13.255 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z − m2 − 3m = (m tham số) mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) Với m tìm được, xác định toạ độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S ) Bài 13.256 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy S A = 2a Gọi M trung điểm S C Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a Bài 13.257 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; −1; 3) đường thẳng d : 3x − 2y − 11 = y + 3z − Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I đoạn AB vuông góc với AB Gọi K giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P), chứng minh d vuông góc với IK Viết phương trình hình chiếu vuông góc d mặt phẳng có phương trình x + y − z + = Bài 13.258 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S ≥ Ôabc(a + b + c) Bài 13.259 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O vuông góc với BC Tìm toạ độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 13.260 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S (0; 0; 4) Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng S C Bài 13.261 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng z x y d1 : = = d2 : 1 x = −1 − 2t y=t (t tham số ) z=1+t Xét vị trí tương đối d1 d2 Tìm toạ độ điểm M thuộc d1 điểm N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x − y + z = độ √ dài đoạn MN = Bài 13.262 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; −3) mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + = Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Xác định toạ độ điểm M1 tính độ dài đoạn MM1 x−1 y−1 z−5 = = −6 Bài 13.263 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho lăng trụ đứng OAB.O1 A1 B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1 (0; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng : Tìm toạ độ điểm A1 , B1 Viểt phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 280 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com Gọi M lsà trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1 A cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn NK Bài 13.264 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1 (0; 2; 2) Xác định toạ độ điểm lại hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng (AB1 D1 ) (AMB1 ) vuông góc Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N A) tới mặt phẳng (AB1 D1 ) (AMB1 ) không phụ thuộc vào vị trí điểm N Bài 13.265 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A′ B′C ′ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A′ (0; 0; 2) Chứng minh A′C vuông góc với BC Viết phương trình mặt phẳng (ABC ′ ) Viết phương trình hình chiếu vuông góc B′C ′ mặt phẳng (ABC ′ ) √ a góc BAD = 60◦ Gọi M, N trung ′ ′ ′ ′ ′ điểm cạnh A D , A B Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 13.266 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh AB = AD = a, AA′ = Bài 13.267 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 2y − z + = hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (α) Xác định toạ độ điểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng (α) đồng thời K cách gốc tạo độ mặt phẳng (α) Bài 13.268 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB √ = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo a với mặt phẳng đáy góc 60◦ Trên cạnh S A lấy điểm M cho AM = Mặt phẳng (BCM) cắt S D N Tính thể tích khối chóp S BCN M Bài 13.269 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y − z + = điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài 13.270 : Cho hình lăng trụ ABC.A′ B′C ′ có A′ ABC hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (A′ BC) Tính tan α thể tích khối đa diện A′ BB′C ′ C Bài 13.271 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x =1+t ∆1 : y = −1 − t z=2 ∆2 : x−3 y−1 z = = −1 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 song song với đường thẳng ∆2 Xác định điểm A ∆1 điểm B ∆2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ Bài 13.272 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 60◦ , S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a Gọi C ′ trung điểm cạnh S C Mặt phẳng (P) qua AC ′ song song với BD, cắt cạnh S B, S D hình chóp B′ , D′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′ D′ Bài 13.273 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x − 3y + 11z − 26 = hai đường thẳng d1 : Chứng minh d1 d2 chéo x y−3 z+1 x−4 y z−3 = = ; d2 : = = −1 1 2 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), đồng thời ∆ cắt d1 , d2 Bài 13.274 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi S H đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I S H đến mặt phẳng (S BC) b Tính thể tích khối chóp S ABCD TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 281 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 13.275 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) Viết phương trình đường thẳng qua O vuông góc với mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) 2a Mặt phẳng (α) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện Bài 13.276 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC ′ cho CK = Bài 13.277 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18) mặt phẳng (P) : 2x − y + z + = Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ √ Bài 13.278 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120◦ Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1 BM) Bài 13.279 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) đường thẳng d : 6x − 3y + 2z = 6x + 3y + 2z − 24 = Chứng minh đường thẳng AB OC chéo Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d cắt đường thẳng AB, OC Bài 13.280 : Cho hình chóp S ABC, góc hai mặt phẳng (S BC) (ABC) 60◦ ; tam giác ABC S BC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) Bài 13.281 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) mặt phẳng (P) : x + y + z = Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Tìm điểm M ∈ (P) cho MA2 + MB2 nhỏ √ Bài 13.282 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy Cho AB = a, S A = a Gọi H K hình chiếu A lên S B, S D Chứng minh S C⊥(AHK) tính thể tích khối tứ diện OAHK Bài 13.283 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), M(0; −3; 6) Chứng minh mặt phẳng (P) : x + 2y − = tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính OM Tìm toạ độ tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M cắt trục Oy, OZ điểm tương ứng B, C cho VOABC = Bài 13.284 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (S AB) (S BC) 60◦ Gọi H, K lầ lượt hình chiếu vuông góc A S B, S C Chứng minh tam giác AHK vuông tính VS ABC x−3 y+2 z+1 = = mặt phẳng (P) : x + y + z + = Bài 13.285 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : −1 Tìm giao điểm M d (P) √ Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cho ∆⊥d khoảng cách từ M đến ∆ 42 √ Bài 13.286 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính V M.A1 BC1 Bài 13.287 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = đường thẳng d1 : x−5 y z+5 x−1 y−3 z = = d2 : = = −3 −5 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q)⊥(P) Tìm điểm M ∈ d1 , N ∈ d2 cho MN ∥ (P) cách (P) khoảng Bài 13.288 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM⊥B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 282 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com Bài 13.289 : Cho khối chóp S ABCD có AB = a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a x−2 y−1 z = = Bài 13.290 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 3) đường thẳng d : 1 Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Bài 13.291 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + = Viết phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) √ Bài 13.292 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3, mặt bên S BC tam giác vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo A thể tích khối chóp S ABC Bài 13.293 : Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(−4; −9; 12), A(2; 0; 0) cắt trục Oy, Oz B, C cho OB = + OC (B, C không trùng với gốc O) Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(−4; −9; 12) cắt trục Ox, Oy, Oz A0 , B0, C0 cho OC0 = OA0 + OB0 1 = + OC0 OA0 OB0 Bài 13.294 : Tìm phương trình mặt phẳng qua điểm (1; 0; −2) vuông góc với hai mặt phẳng (P1 ) : 2x + y − z − = (P2 ) : x − y − z − = Bài 13.295 : Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng qua hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) vuông góc với mặt phẳng x + 2y − 5z − = −v = (2; 3; 1) vuông góc với mặt phẳng Bài 13.296 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 0; 2), song song với vectơ → 2x − y − 5z + = Bài 13.297 : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) tạo với mặt phẳng (Oyz) góc 60◦ Bài 13.298 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm (3; 4; 1) qua giao tuyến hai mặt phẳng 19x − 6y − 4z + 27 = 42x − 8y + 3z + 11 = Viết phương trình mặt phẳng qua điểm (4; −3; 2) vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng x − y + 2z − = 2x − y − 3z = Bài 13.299 : Tìm phương trình tắc đường thẳng qua điểm (1; 4; −2) song song với đường thẳng 6x + 2y + 2z + = 3x − 5y − 2z − = Bài 13.300 : Tìm phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng x + 3y − z + = vuông góc với đường thẳng x − 2z − giao điểm đường thẳng mặt phẳng y − 2z = Bài 13.301 : Lập phương trình đường thẳng qua điểm (3; 2; 1) vuông góc với đường thẳng x y z+3 = = cắt đường thẳng Bài 13.302 : Tìm phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm (−4; −5; 3) cắt hai đường thẳng x−2 y+1 z−1 = = −5 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM x+1 y+3 z−2 = = , −3 −1 Trang 283 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.303 : Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm (0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng đường thẳng www.VNMATH.com y+2 z x−1 = = cắt 1 x+y−z+2=0 x + = Bài 13.304 : Tìm phương trình đường thẳng qua điểm (3; −1; −4) cắt trục Oy song song với mặt phẳng 2x + y = x+1 y−1 z−2 = = mặt phẳng (P) : x − y − z − = Bài 13.305 : Cho đường thẳng d : Tìm phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(1; 1; −2), song song với (P) vuông góc với d Gọi N giao điểm d (P) Tìm điểm K d cho K M = KN Bài 13.306 : Cho đường thẳng d có phương trình Xác định giao điểm A d (P) y z−1 x−3 = = mà mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z = −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d nằm (P) Bài 13.307 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề vuông góc Oxyz cho : x = + 2t d: y=2−t (P) : 2x − y − 2z + = z = 3t; Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) Gọi K điểm đối xứng điểm I(2; −1; 3) qua đường thẳng d Hãy xác định toạ độ điểm K Bài 13.308 : Trong không gian Oxyz, cho (P) : x + y + z + = d : góc d mặt phẳng (P) x−1 y−2 z−1 = = Viết phương trình hình chiếu vuông Bài 13.309 : Cho hai đường thẳng : d: 2x − 3y − = ∆: x + 3z + = 0, 2x − 3y + = y + 2z + = Chứng minh d//∆ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ d Tìm toạ độ điểm N đối xứng với điểm M(−2; 3; −4) qua d Bài 13.310 : Cho A(0; 1; 1) hai đường thẳng : d1 : x−1 y+2 z = = , 1 d2 : x+y−z+2=0 x + = Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 cắt d2 Bài 13.311 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : x = + 2t ∆1 : y = −1 + t z = 1, x=1 ∆2 : y = + t′ z = − t′ Chứng tỏ ∆1 ∆2 chéo Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 song song với ∆2 Tính khoảng cách ∆1 ∆2 Bài 13.312 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2; −1; 1) đường thẳng ∆ : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 y+z−4=0 2x − y − z + = WWW.VNMATH.COM Trang 284 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCwww.VNMATH.com Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A vuông góc với ∆ Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua ∆ Bài 13.313 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho tứ diện S ABC với đỉnh S (−2; 2; 4), A(−2; 2; 0), B(−5; 2; 0), C(−2; 1; 1) Tính khoảng cách cạnh đối S A BC Bài 13.314 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng song song : d1 : x+7 y−5 z−9 x y + z + 18 = = d1 : = = −1 −1 Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 d2 Tính khoảng cách d1 d2 Bài 13.315 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz xét đường thẳng có phương trình : ∆: x y−4 z+1 = = −2 mặt phẳng có phương trình (P) : x − y + 3z + = Viết phương trình tắc hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Bài 13.316 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > Chứng tỏ tam giác ABC tam giác vuông Tính thể tích hình chóp OABC diện tích tam giác ABC theo a, b, c Bài 13.317 : Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân đỉnh A Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc β Chứng minh hình chóp có cạnh bên Gọi I trung điểm BC Chứng minh mặt phẳng (S AI) vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi K hình chiếu vuông góc A lên S I Chứng minh AK vuông góc với mặt phẳng (S BC) Cho biết góc BAC = α, khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC d Tính diện tích tam giác ABC theo d, α, β Bài 13.318 : Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c Giả sử A, B, C thay đổi có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC Giả sử điểm A cố định B C thay đổi cho OB + OC = OA Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Chứng minh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại nhỏ Bài 13.319 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x−3 y−3 z−3 = = d2 : 2 5x − 6y − 6z + 13 = x − 6y + 6z − = Chứng minh d1 d2 chéo Gọi I √ giao điểm d1 d2 Tìm tọa độ điểm A, B thuộc d1 , d2 cho tam giác IAB cân I có diện tích 41 42 Bài 13.320 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y − 3z + = đường thẳng d : x−3 y z+5 = = ba điểm A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3), C(3; 2; 6) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 285 www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Viết phương trình mặt cầu (S ) qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) theo đường tròn có bán kính lớn Bài 13.321 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1), B(2a; 0; 0), C(a; b; 0), D(a; 0; c), E(0; 0; 2), F(a; b; c), G(5; 1; 1) H(18; 0; 0), a, b, c số thực dương Biết bốn điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng (P) bốn điểm E, F, G, H nằm mặt phẳng (Q) Xác định a, b, c viết phương trình mặt phẳng (P) Bài 13.322 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) đường thẳng d : Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho x−1 y+2 z = = −1 −−→ −−→ (a) | MA + MB| nhỏ nhất; (c) MA + MB nhỏ ; (b) MA2 + MB2 nhỏ ; (d) Diện tích tam giác AMB nhỏ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d tạo với trục Oy góc lớn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ (a) lớn ; (b) nhỏ Bài 13.323 : Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −1; 1) Tìm điểm M thuộc (α) cho : MA + MB nhỏ ; |MA − MB| nhỏ ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 MA2 − MB2 − MC lớn ; −−→ −−→ −−→ MA + MB + MC nhỏ WWW.VNMATH.COM Trang 286