BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG BÍCH HỒNG BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM TựA LỒI LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 DƯƠNG BÍCH HỒNG BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD ■ CHO HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG LỜI CẢM ƠN Sau thòi gian đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu khoa học, luận văn hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng tận tình bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện cho thòi gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo môn Toán Giải tích nói riêng khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung Tôi xin cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình bạn bè dành cho trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Hầ Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Dương Bích Hồng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hầ Nội, ngầỵ 05 tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Dương Bích Hồng Mục lục Tài liêu tham khảo 64 Lời Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích lồi đóng vị trí quan trọng toán học Giải tích lồi liên quan đến nhiều ngành toán học giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến, Một kết kinh điển cho hàm lồi Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (H-H Inequality), phát biểu Định lí Định lí (Hermite, 1883, [14]; Hadamard, 1893, [13]) Nếu f: R —> R hàm lồi đoạn [a; b] ta có a Bất đẳng thức viết dạng - a )f (^y^) ^ / /(*) R l hàm lồi đoạn [a; ồ] diện tích hình thang cong chắn trục hoành đồ thị hàm số y = f ( x ) (cùng với hai đường thẳng nhật có cạnh b — a f X = a X = b) lớn diện tích hình chữ nhỏ hình thang vuông chiều cao b — a, hai đáy /(a) f ( b ) Tức diện tích hình thang cong không lớn diện tích hình thang vuông ABCD không nhỏ diện tích hình chữ nhật ABMN Từ ta suy diện tích hình tam giác cong NDP bao gid nhỏ diện tích tam giác cong MCP Hình 1: Ý nghĩa hình học bất đẳng thức Hermite-Hadamard Trong [15], Fejer mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức (2) , mà sau gọi bất đẳng thức Fejer Định lí Nếu f : E —> M ỉà ỉồi [a, b] g : [a, 6] —> R ỉà hàm không ăm,khả tích đối xứng qua điểm = ỉ (^) J* 9(t)dt< f(t )g(t )dt < /(a) yM J f b (2) Khi g ( x ) = Bất đẳng thức Fejer trỏ thành Bất đẳng thức Hermite- Hadamard Sau đó, nhiều tác giả mỏ rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamrd sử dụng chúng đề đặc trưng nghiên cứu tính chất hàm lồi Xem thí dụ sách chuyên khảo [6], [7] Tài liệu tham khảo khác Nhiều toán thực tế mô tả bỏi hàm không thiết lồi Vì vậy, Cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi nghiên cứu tính chất hàm lồi suy rộng, nhằm áp dụng vào toán tối ưu nảy sinh thực tế Một toán hiển nhiên đặt phát biểu chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm lồi suy rộng, vấn đề nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Thí dụ, bất đẳng thức Hermite-Hadamard mở rộng cho lớp hàm tựa lồi, lớp hàm log-lồi, lớp hàm r - lồi, Một cách xây dựng nghiên cứu lớp hàm lồi suy rộng, giữ lại (một số) tính chất đặc trưng hàm lồi Thí dụ, ta biết, hàm lồi có tập mức tập lồi hàm lồi liên tục tập compact đạt giá trị lớn biên Hai tính chất cho lớp hàm tựa lồi Do ý nghĩa toán học ý nghĩa thực tế, nói, số lớp hàm lồi suy rộng, lớp hàm tựa lồi nghiên cứu đầy đủ Mục đích Luận văn trình bày tỏng quan Bất đẳng thức H ermiteHadamard cho lớp hàm tựa lồi Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi số vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi • Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, sách báo liên quan đến bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, sách báo bất đẳng thức dạng Hermite- Hadamard cho lớp hàm tựa lồi Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho lớp hàm tựa lồi Dự kiến đóng góp luận văn: Cố gắng xây dựng luận văn thành tỏng quan tốt Bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm tựa lồi Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Chương Dương Bích Hồng Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm tựa lồi Trong chương này, trình bày số đặc trưng hàm lồi, chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi biến số mở rộng Bất đẳng thức Hermite-Hadamard, Bất đẳng thức Hermite-Hadamar cho hàm tựa lồi Nội dung Chương chủ yếu theo Tài liệu [11], [6], [7] tham khảo thêm số tài liệu khác 1.1 Hàm lồi số đặc trưng hàm lồi khả vi Định nghĩa 1.1 Tập X c Rn gọi lồi với X E [0; 1] X\ E X, x £ X ta có X\ := Xx\ + (1 — X)x £ X Nghĩa là, tập lồi X chứa đoạn thẳng nối hai điểm Định nghĩa 1.2 Hàm f : X c Rn —> R gọi hàm lồi X tập lồi với X E [0; 1], Xị E X, X c X ta có ỉ (ZA) < X f { x l ) + (1 - X ) f ( x ) < ^ b °^ J Mt)| [|/"(ta + (1 - & )I + !/"(*& + (1 - t ) a ) \ ] d t Áp dụng Bất đẳng thức Holder ta ire.+p-w*)1'* + I j (/ f " { t b + Vdi t p dt+ f (1 -t) p dt = * ' 1/2 1 4P(2p+ 1)' Suy J - 6( p " + 1) ‘ / p { ( / + ( L maxíl/"C*)l,> l/"( = tt )l g at^ } ãfel^ (inax{|/ " (ffi)|, - l/ " (6)|ĩ})1/ĩ - Ta có điều phải chứng minh □ Định lý 2.15 ([10], Theorem ) Giả sứ a, h G / ç R ,tià a < b, hàm f : [ữ, ồ] —> M khả vi (ữ, ồ) Aếií f" G L[ữ, ồ] t/à |/"| ? t/ớĩ q > tựa lồi b — a [a, ồ] thì: Chứng minh Từ Bổ đề 2.4 tính chất f{x)dx ta có: < \f{x)\dx ^ ^ [ m { t ) [ f " { t a + (1 - t ) b ) + f " { t b + (1 - t)a)]dt JQ Ị MOItl f " i t a + (! - O )I + I f " { t b + (1 - t ) a ) \ ] d t < = ^b~Aa>> Ị \ ™ { t ) \ / p \ r n { t ) \ / [ \ f " { t a + (1 - t ) b )I + I f " { t b + (1 t)a)\]dt JQ Dễ dàng tính ị-l r /*1/2 / \m(t)\dt = / t2dt + / /0 *^0 •'1/2 12 (1 — í) cỉí = — dụng 5ấí đẳn )| ,|/''(ò)| }cỉí /*1 + / ( l - í ) max{|/»Mnò)r} C ỉí + (/ í max{|/ // (ò)| g , |/ // (a)| ợ }cỉí + / (! - í)max{|/"( )| , J \f"{a)\ g }dt^ I (12) /^ (12) /^ N1/« •'1/2 / íồ - ữì2 , ,, □ Ta có điều phải chứng minh Trong [3] chứng minh số bất đẳng thức tương tự dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm bậc hai hàm tựa lồi Ta có: Bổ đề 2.5 ([3], Lemma 1) Giả sứ a,b E I c R; a < b, hàm f : [a, ồ] —> R khả vi (a,b), f" E L[a,b] — CL J f a ỉ { x ) d x = J f i(1 _ t)nta+ (1 _ t)b)dt Định lý 2.16 ([3], Theorem 3) Giả sử a, b G / c K, a < b, hàm f : [a, b] — > K khả vi ( a, b) Nếu /" G Lịa, b] |/"| tựa lồi [a, b] thì: /(a) + f{b) Chứng minh Từ Bổ đề 2.5 ta có I = /(a) + f{b) b — a + (1 - t)b)dt ^ ^ [ t{ - I JQ < I J X [ t{ - t)\f"{ta + (1 - t)b)\dt Vì |/"| tựa lồi nên Ta có điều phải chứng minh □ Định lý 2.17 ([3], Theorem 5) Giả sứ a , b E I c R } a < b , hàm f : [ữ, ồ] — => < ^ b ^ [ ¿(1 - t) max{|/"(a)|, \f"(b)\}dt I JQ = ^ ^ ) max{|/"(a)|, |/"(ồ)|} a b f { ) + f{ ) > R khả vi (ữ, ồ) Nếu f" G L ị a , b ] \f"\ g với q > tựa lồi [ a , b ] thì: Chứng minh Từ Bổ đề 2.5 ta có íb /(«) + f { b ) I = ^~ JQ < JQ = JQ —^— ——— /Kf ( x ) d x b-aJa ’ [ t { - t ) f " ( t a + (1 - t ) b ) d t Ị t { - t ) \ f " { t a + (1 - t ) b ) \ d t í ( t - í ) 1/p (í - t ) 1/, |/"(ía + (1 - t)6)|dt Áp dụng Bất đẳng thức Hôlder ta có 1-1/9 / /-1 1/9 I < Vì \f"\ q tựa lồi nên \f"{ta + (1 - t)b)\ q < max{|/"(a)| ,\f"{b)\ q } ^, < (^ ! (I) - - (l max{ |^ (o)r , = (m ax{I/"(a) I , |/"(ò) , }) / '' Ta có điều phải chứng minh □ Định lý 2.18 ([3], Theorem 5) Giả sứ a,b E I c R ,và a < b, hàm V f : [a, b] —> R khả vi ( a, ồ) Nếu f" € Lịa, b] \f"\p ~ với p > tựa lồi [a, b] thì: f{a) + / (ồ) [ f{x)dx J a b — a < (fr - p q = — - - - p- a)2 ( WĨ+P) J Vĩr) r(l + p \ h' Chiing minh TCf Bo de 2.5 ta co /(a)+/(6) = =^ - i rf{x)dx 2b — a J a J K [ t{ - t)f"(ta + (1 - t)b)dt _ t)|/ ,, (ta + (1 _ i)6)|dt ^ (6o)_ /■ z Ap dung Bat dang thtic Holder ta co a i < v - ^yv: u"(ta+ ■ t)b)i"dt) Ham Beta va ham Gamma diipc xac dinh nhii sau B(x,y) = / t x_1 (l — t) y ~ dt, x,y > •'o va r(x) = Ta co f (t — t ) p dt= j J f e H x l dt , a: > t p (l — t) p dt = ¡5{p + l,p + 1) a o *'0 Suf dung tinh chat cua ham Beta B(x,x) = ~ I X B(-,x) va B(x,y) = r(x)r (y) r(z + y) ta co B( P +1 P+ ) = I - )|g})1/g v rc| + p) ’ ra+p_y / ’’ (max{|r(o)| , j |r(6)| , })1/ , = 2.3 V2; v r {ị + p)J Bất đẳng thức dạng Her mit e- Hadamar d cho lớp hàm có đạo hàm bậc ba tựa lồi Trong [4] chứng minh số bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm bậc ba tựa lồi Ta có: Định lý 2.19 ([4], Lemma 1) Giả sứ a , b E I c M a < b , hàm f" : [a, ồ] —> M liên tục tuyệt đối (a, ồ) Nếu f"' E L ị a , b ] tựa lồi [a, ồ] thì: ị ' f{x)dx - (b — a ) f ( a ) + 4/ í p(t)f"'(ta + + (1 — t)ti)dt, m , , _ ị t > ( t - ị ) , t e [0, ì]; p(t) = i? -I 2 i(t-l) (t-i), íe[i 1], ,2 Chứng minh Ta có: = I0 p(tW"(ta + ^ = _ \ Ị ữ *2 (* 2) _ + _ ^ + Ị =ỉt2 _ n r(t° + (1 - t ) b ) 1/2 _ \ 2/ a — b 1/2 , í 1\ /(ta + (1 - m _ p / > V 6/ (a — ò) )2 (Ể I /„ f ( t a + (1 - t ) b ) d í ( a — ò) / ^nntạ+a-^1 l H 2/ f"l{>dt' _ Tích phân phần ta _ / 2) (a-6) , - l^^(-39tW- t -2n) (gí^ -± Ẩ )j — M( aI_ ) ỉi t)b) / _ 5\ f ( t a + (1 - t ) b ) V 6/ (a — ồ) f'(a + b 1/1 ) ^ 2Ỉ{ Tií 24 (a — ) f'(a \ + b f ( t a + (1 - + b \ (a — ) f(a + b J 1 /( ) (a — ) \ 9' *' ) /(a) + + + T24 (a — ồ) (a — ồ) (a — ồ) dt (a — ) 1/2 l /2 f(a \ 1/2 I 1/2 /(ta + (1 - — ồ) Ắ t)b) f ( t a + (1 - t ) b ) (a - 6)2 (a dt dt „ T _ í t _ > J _„ _ Ằ J _ ~ Thay X = ta + (1 — t)ồ, d x = ( a — b ) d t , ta (ồ - a) / = / /(z)d; ^ a (Ồ - a) /(a) + 4/f^^ N ) + / ( & ) X — Ta có điều phải chứng minh □ + Định lý 2.20 ([4], Theorem 2) Giả sứ a,b G / ç R a < b, hàm Ị" : [a, bị —> R liên tục tuyệt đối (a,b ) Nếu /"' £ Lịa, b] tựa lồi [ a , b] thì: Ja f { x ) d x - v" ) ^ [/(a) + + m /|f„„ M £ m f a + b \ \ (ữ)l f ’ l2 ) ì + max{/'"(^y^) irwi} Chứng minh Từ Định lý 2.19 ta có: I = , Ja (b~a) f{x)dx -^ b Q ữ ^ /(ô) + /(^ + m (b — a)4 Í p(t)f"'(ta + (1 — t)b)dt ■'0 < (ồ-a)4 ỵ"1 |p(t)||/'"(ta H- (1 — t)6)|dt ■'0 (ò — a)4 /-1/2 ĨK-Ỉ) (ft - ) Ớ M ' - Ì ) I f"'{ta + (1 — t)b)\dt + (1 — t)b)\dt Vì |/,,,| tựa lồi nên 1/2 ■ J ữ \f"'{ta + (1 - t)b)\dt < max Ị /"'(-y-) , l/ , , , (ft)l' Ị , + (1 t)b)\dt < max Ị /"'(-y-) , l/ , , , (ft)l' Ị ■ Suy nì (ồ a) (ồ - a) c■ {'l"'(4^)|} -Il /-1/2 max |r(í )| / K liên tục tuyệt đối (a,b ) Nếu /"' G L[a,b] \ f"\ q với q > tựa lồi \a, b] Ị f{x)dx - f ( a ) + 4/ +f{à) Chứng minh Từ Định lý 2.19 ta có I = /(ữ) + 4/( ^ - N ~ ) + f ( b ) I f"(ta + ( — t)b)\dt 1 ^^ (“rẩrSr ) ■" [(- {K^ ) r • ™ = ~ í h ( l ~ — ( B ( p + 1.2 p + l)) " [( max ỊI r(^) [ |/"'(6)r} ) , + (J{|r(^)| ,in.)r}h j f { x ) d x - ( ^ f ( a ) + 4/ h a |(ồ — ữ)4 í p(t)f"(ta + (1 — t)b)dt I JQ < (b — ữ)4 / \p(t)f"(ta + (1 — t)b)\dt = (ồ_a)_^ í2 ( í - ì ) \f"ịta + { l - t ) b ) \ d t Áp dụng Bất đẳng thức Hôlder ta có \ p \ 1/p / ■1/2 r /1 p \ 1/p dí (/ |/,,,(í« + (1 - í)ồ)|9cỉ^ l l i J _ _ _ l ! J _ n ỉ i 1_ !/? ^ 1/9 /*1/2 J * _J _ X Khi |/|9 tựa lồi, theo Bất đẳng thức Hermite-Hadamard ta có: J !/'"(*« + (1 - t)b)\ g dt < m a x ị ,!/'"(&)I9Ị , + (1 - t)b)\ g dt < max Ị , l/'"(&)|9Ị ■ Hàm Beta hàm Gamma xác định sau B ( x , y ) = í t x ( l — t ) y dt, x,y > r(a;) = í f(x)dx < eH x f(a) + dt, X> Kết hợp bất đẳng thức ta thu được: f(^Y^) + 48 V r(3p + 2) * ( max {r (i±*) ) LV l1 V / + (m a x|Ịr(4 L )Ị ,i / »r}) / ]Ta có điều phải chứng minh □ Kết luận Luận văn trình bày số kết sau: - Một số đặc trưng hàm lồi khả vi hàm tựa lồi - Chứng minh Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi biến - Chứng minh Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm tựa lồi biến - Một số mở rộng Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp ba tựa lồi Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] M Alomari, M Darus, Some Ostrowski type inequalities for quasi convex functions with applications to special means, RGMIA13 (2) (2010), article No Preprint [2] M Alomari, M Darus and u s Kirmaci, Refinements of Hadamard- type inequalities for quasi-convex functions with applications to trapezoidal formula and to special means, Comput Math A p p l , 59, (2010), 225-232 [3] M Alomari, M Darus and s s Dragomir, New inequalities of Hermite Hadamard for functions whose second derivatives absolute values are quasi-convex, Tamkang Journal of Mathematics, Volume 41, No 4, 2010, 353359 [4] M Alomari, s Hussain, Two Inequalities of Simpson type for Quasi- convex and Applications, Applied Mathematics E-Notes, 11, (2011), 110-117 [5] Peter Bullen, Dictionary of Inequalities, Second Edition, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [6] P Cerone, Sever s Dragomir, Mathematical Inequalities: A perspective, (2011), CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [7] S S Dragomir, Charles E M Pearce, Selected Topics on Hermite- Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000 [8] D A Ion, Some estimates on the Hermite Hamdamard inequalities through quasi convex functions, Annals of University of Craiova, Math Comp Sci Ser., Volume 34, 2007, 82-87 [9] Imdat I§can, On new general integral inequalities for quasi-convex functions and their applications, Palestine Journal of Mathematics, Vol 4(1), 2015, 21-29 [10] M z Sarikaya, A Saglam, and H Yildirim, New inequalities of H ermite- Hadamard type for functions whose second derivatives ab solute values are quasi-convex [11] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, In Serie Non- convex Optimization and Its Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1998 Tiếng Pháp [12] J L w V Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta Math, 30 (1906), 175-193 [13] Hadamard J (1893), "Résolution d’une question relative aux déterminants", Bull, des Sciences math 17(2), pp 240-248 [14] Hermite c (1883), Sur deux limites d’une intégrale défini, Mathesis [...]... Định lý 1.10 ta được bất đẳng thức cần chứng minh □ Chương 2 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho hàm tựa lồi Có thể sử dụng Bất đẳng thức Hermite- Hadamard trong việc ước lượng giá trị trung bình của một hàm lồi liên tục / : [ a , b ] — > R như sau /(a) + f { b ) 2 Ta có Bất đẳng thức Hermite- Hadamard Vế trái của bất đẳng thức trên có thể được đánh giá bởi Bất đẳng thức Ostrowski (xem [6],... chứng tỏ / là lồi trên (a,b ) Áp dụng bất đẳng thức Hermite- Hadamard Điều này nghĩa là: 1 7 Vế thứ nhất của bất đẳng thức (1.6) được chứng minh M Chứng minh tương tự với hàm lồi h(t ) = —t 2 — g ( t ) , t G [ a , b ] ta được vế 2 Chứng minh Bất đẳng thức trên được chứng minh bằng cách áp dụng Bất đẳng g ( a ) + g ( b ) m (ạ2 + b 2 ) = /(ạ) + f ( b ) 2 2 2 — thức Hermite- Hadamard (1.5) cho hàm /(í) = g(t... là hàm J -lồi) trên I nếu vối mọi x,y G I ta có f(x JK 2 + y\ )- < /(æ) + f ( y ) 2 Trong một số tài liệu hàm J -lồi còn được gọi là hàm lồi tại điểm giữa Đ ị n h n g h ĩ a 1 8 Hàm f : I —> R được gọi hàm là Jensen -tựa lồi (ngắn gọn, là hàm J -tựa lồi) trên I nếu với mọi x,y G I ta có /(^y^) < max { f ( x ) , f ( y ) } Nhận xét 1.2 Lớp hàm J - tựa lồi trên / (kí hiệu là J Q C { I )) chứa lớp hàm J -lồi. .. có điều phải chứng minh 1.3 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho hàm tựa lồi 1.3.1 Hàm tựa lồi Ta bắt đầu từ các định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Hàm f : I —ì R được gọi là tựa lồi (quasi convex) trên I,kí hiệu Ị G Q C Ự ) , n ế u v ớ i m ọ i X \ , X 2 & I v à v ớ i m ọ i X G [0,1], t a c ó f ( X x 1 + (1 - A)Z2) < max{/(ii), f ( x 2)} Định nghĩa 1.4 Hàm f : I —> R được gọi là tựa đơn điệu (quasi mono- tone)... sau đây là tổng quát hóa bất đẳng thức thứ nhất của Bất đẳng thức Hermite- Hadamard (1.5) □ 1 8 Định lý 1.4 ([6], p 57) Giả sử a , b G / ç R với a < b , f : R —> R là hàm lồi trên I Khi đó với mọi t G [ a , b ] và A G [ f ' _ ( t ) , f ' + (t)] ta có bất đẳng thức: M+A(4^“*) - r b / /(*)*■ Chứng minh Giả sử í G [ a , b ] , với mọi A G [ f ' _ ( t ) , f ' + ( t ) ] ta có bất đẳng thức: f{x) - f{t) > \{x... -< max{/(a), f ( b ) j với mọi a , b G I Theo Định nghĩa 1.6 ta được / G ỈVQƠ(/) Phần đầu của định lý đã được chứng mình Chứng minh tương tự cho hai phần còn lại □ 1.3.2 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho hàm tựa lồi Ta có định lí Hermite- Hadamard cho hàm J -tựa lồi dưới đây Định lý 1.10 ([6], p 76-78) Giả sử a , b G I c R và a