đề thi học sinh giỏi 12 Đề bài: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 + ++ x mxx 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C 1 ) 2đ b) Tìm trên 2 nhánh của (C 1 ) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất 2đ 2) Xác định m để hàm số có y CĐ , y CT và y CĐ .y CT > 0 1đ Bài 2: (4 điểm) a) Giải phơng trình: 6 2 33 111 =+ xxx 2đ b) Tìm x, y Z thoả mãn 2đ ( ) yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2 +++ + Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số = 0 2 sin xdxeI x n (n = 1, 2, .) a) CMR: , .,n n e I n 21 2 2 = 3đ b) Tính n n Ilim 1đ Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 1 2 2 2 2 =+ b y a x có a > b Xét M o (X o , Y o ) E ; O là gốc toạ độ 1) CMR: a OM b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E tại M O (x 0 > 0;y 0 > 0)cắt chiều dơng OX và OY ở A, B thì tồn tại vị trí M O để độ dài AB min. 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đờng thẳng SM tìm vị trí M để P min . H ớng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + 1 1 + x TXĐ: R - {-1) 0,5đ b) y' = 1 ( ) 2 1 1 + x y' = 0 khi x = -2 hoặc x = 0 dấu y' - 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2, -1) (-1, 0) Có x LĐ = -2, y CĐ = -3 và x CT = 0 y CT = 1 0,5đ Tiệm cận: đứng x = -1 vì = + + 1 1 1 x xlim x Tiệm cận xiên y = x vì 1 1 + x lim x = 0 Bảng biến thiên: + - - + 1 x y' y - -2 -1 0 + + 0 - 0 +- - - + + -3 Vẽ đồ thị (0,5d) y x - 3 b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái. 0,5đ A (-1 +, -1 + + 1 ) và (-1 -, -1 - - 1 ) với và dơng BA 2 = AB 2 = ( + ) 2 + ( + ) 2 2 1 1 + = ( + ) 2 + + ++ 22 2 12 24 1 11 = 8 + 4 + 8 288 + => 288 += min AB 1điểm tại = = 4 2 1 +++ 4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;A 4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;B 0,5đ - 1 -1-2 1 0 y = x Bài 2: a) x = 1 không phải nghiệm phơng trình 0,5đ chia 2 vế cho 6 2 1 x ta có: 1 1 1 1 1 66 = + + x x x x đặt )t( x x t 0 1 1 6 > + = ta có: 01 1 == t t t 2 - t - 1 = 0 )iạlot(t 2 51 2 51 = + = 0,5đ = + + = + 1 2 51 2 51 1 1 66 x x x 1 2 51 2 51 1 2 51 1 6 6 6 + + + = + += x 1đ b) Nhận xét rằng: x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2 2 log 2 (x 2 + 2x + 3) 1 x R 0,75đ điều kiện cần phải có 8+ 7+3+ 2 2 y yy - 1 2 1 y 1 y Z y = 1 0,5đ x 2 + 2x + 3 2 x = -1 0,5đ BPT có nghiệm = = 1 1 y x ( Z) 0,25 Bài 3: Đặt = 0 2 nxdxsin.eI x n ==== nxcos n nxdxsin,dxxedueu xx 1 2 22 → ∫ π π +−= 0 0 22 21 nxdxcosxe n xncose n I xx n 1,0® → ( ) ∫ π π =+−−= 0 22 2 11 1 nxdxcosxeJ;J n e.)( n I x nn n n => nn n n J nn e J nn e)( I 21211 22 + + ≤+ −− = ππ 1,0® mÆt kh¸c cã: ∫∫∫ πππ ≤→≤=  000 222 dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ x n xx n = n e I e n 22 2 2 1 ππ ≤→ − 1,0® Do 0 2 0 2 22 →→− ππ n e vµ n e nªn I n →0 theo nguyªn lÝ kÑp (1®) Bµi 4: 1) 2 ®iÓm: tõ M O ∈ E → 1 2 2 2 2 =+ b y a x OO vµ OM 2 = 22 OO yx + vµ tõ a > b ta cã: 1,0® 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x ≤ 2 2 0 2 2 0 + b y b x ⇒ 2 b ≤ 2 0 2 0 + yx (1) vµ 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x ≥ 2 2 0 2 2 0 + a y a x ⇒ 2 a ≥ 2 0 2 0 + yx (2) tõ (1) vµ (2) → a 2 ≥ OM 2 ≥ b 2 → a ≥ OM ≥ b 1,0® 2) §êng th¼ng AB cã d¹ng 1 =+ n y m x víi A(m,o); B(n,o) theo t/c tiÕp tuyÕn → 1 2 2 2 2 =+ n b m a => 0,5® vËy AB 2 = m 2 + n 2 = (m 2 + n 2 ).1 = = ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 a m n b n m ba n b m a nm +++=       ++ 0,5® ≥ a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 dÊu = cã khi 2 2 2 2 2 2 a m n b n m = →      =+ = 1 2 2 2 2 22 n b m a anbm → AB min = a + b khi      += += abbn abam 2 2 1® Bµi 5: §Æt ASM = α, BSM = β, CSM = γ Ta cã: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ sÏ tÝnh ®îc sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 0,5® → sinα + sinβ + sinγ ≥ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 => sinβ + sinγ - 1 ≥ 1 - sinα → 2(sinβ + sinγ) - 2 ≥ 1 - sinα 0,5® → 2sinβ + 3sinγ + sinα ≥ 2 + 1 = 3 1,0® P min = 3 khi sinα = sin 2 α; sinβ = sin 2 β; sinγ = sin 2 γ 0,5® => sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 → α = 90 0 , β = 90 0 , γ = 0 0 P min = 3 khi M ≡ C. A B C S M γ α β . = -1 vì = + + 1 1 1 x xlim x Tiệm cận xiên y = x vì 1 1 + x lim x = 0 Bảng biến thi n: + - - + 1 x y' y - -2 -1 0 + + 0 - 0 +- - - + + -3 . 0 dấu y' - 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-, -2 ) (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2 , -1 ) (-1 , 0) Có x LĐ = -2 , y CĐ = -3 và x CT = 0