Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc Đề tài nghiên cứu khoa học mơn Toán: Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT có nhiều tốn có tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy bậc 2, số xuất nhiều đa dạng tốn “Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất tốn so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực α , xem xét dạng tốn theo quan điểm, chương trình sách giáo khoa cũ bạn học sinh khơng khó để giải chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 Với suy nghĩ nhằm giúp bạn tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú q trình học mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng học tập, tơi viết nghiên cứu kkhoa học : Ứng dụng định lý Vi-et giải số dạng tốn phương trình bậc – quy bậc có tham số” 2/Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : I Phần mở đầu II Nội dung đề tài A Cơ sở lý thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu B Bài tập vận dụng C Bài tập thực hành III Kết học kinh nghiệm Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) Định nghĩa • Phương trình bậc hai ẩn x ∈ R phương trình có dạng: ax + bx + c = ( 1) b) Cách giải • Tính ∆ = b − 4ac  Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm  Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = −  Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = ( a ≠ 0) b 2a −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a c) Định lý Vi-et – Dấu nghiệm  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x ∈ R : ax + bx + c = ( 1) nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = ( a ≠ ) có hai −b c , P = x1.x2 = a a  Dấu nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ∆ ≥ P >  Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔  ∆ ≥   Phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔  P > S >  ∆ ≥   Phương trình (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > S <  2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Trong phần tơi trình bày phương pháp giải cách tổng qt số dạng tốn liên quan đến phương trình bậc 2, quy bậc tập số thực R: Thay so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực α , ta biến đổi để đưa so sánh nghiệm phương trình bậc với số Bài toán Cho phương trình: ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ 0, x ∈ R ) a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x ≥ α b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x ≤ α c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < α < x2 d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: α < x1 < x2 e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < x2 < α Giải Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc 2 • Đặt t = x − α ⇒ x = t + α , thay vào pt (1) ta pt: at + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( ) a) Để phương trình (1) có nghiệm x ≥ α ⇔ pt (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  ⇔ x ≤ α b) Phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm t ≤ t ≤  TH1: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ S ≤  c) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < α < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < ∆ >  d) Phương trình (1) có nghiệm thỏa α < x1 < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm < t1 < t2 ⇔  P > S >  ∆ >  e) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < x2 < α ⇔ pt (2) có nghiệm t1 < t2 < ⇔  P > S <  − ( 2aα + b ) aα + bα + c , S = t1 + t2 = (Với ∆ = ( 2aα + b ) − 4a ( aα + bα + c ) , P = t1.t = ) a a 2 Nhận xét: Bằng cách làm ta hướng dẫn học sinh giải tốn cách dễ dàng dựa vào định lý Viet ứng dụng Bài toán Cho phương trình: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = k ( 1) với a + c = b + d a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải 2 • Ta biến đổi phương trình (1) ⇔  x + ( a + c ) x + ac   x + ( b + d ) x + bd  = k ( ) a+c • Đặt t = x + ( a + c ) x +  ÷ ( t ≥ ) , thay vào (2) ta phương trình:   2  a + c)   ( a+c   a+c  t +  ac + bd −  t +  ac −  ÷  bd −  ÷  − k = ( 3)           a) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc ∆ = S >  TH2: Phương trình (2) có nghiệm < t1 = t2 ⇔  c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: ∆ >  = t1 < t2 ⇔  P = S >  d) Phương trình (1) có nghiệm phận biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: ∆ >  < t1 < t2 ⇔  P > S >  (Trong ∆ biệt thức phương trình (2), P = t1.t2 , S = t1 + t2 ) Nhận xét: Trong tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo, cách giải đưa − a + c) dạng tốn đặt: t = x + ( a + c ) x với điều kiện t ≥ ( , để giải u cầu nêu rất khó cho học sinh Bài toán Cho phương trình: ax + bx + cx + bx + a = ( 1) ( a ≠ ) a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải • Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình (1), chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ , ta được: 1 1   a  x + ÷ + b  x + ÷+ c − 2a = ( ) x x   (Thơng thường tới học sinh đặt t = x + x ( t ≥ 2) , nhận phương trình at + bt + c − 2a = việc giải u cầu đặt khó khăn giải sau: 1 x x at + ( 4a + b ) t + 2a + 2b + c = (3) • Để phương trình (1) có nghiệm x > phương trình (3) có nghiệm t ≥ , ta xét:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ a) Vì x > , đặt t = x + − ( t ≥ ) suy x + = t + , thay vào phương trình (2) được: ∆ ≥   TH2: Phương trình (3) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  1 x x at + ( b − 4a ) t + 2a − 2b + c = (4) • Để phương trình (1) có nghiệm x < phương trình (3) có nghiệm t ≤ , ta xét: b) Vì x < , đặt t = x + + ( t ≤ ) suy x + = t + , thay vào phương trình (2) được: Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ S ≤  c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥ , phương trình (4) có nghiệm t ≤ (Đây kết tổng hợp phần a b) d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau; ∆1 >   TH1: Phương trình (3) có nghiệm thỏa: < t1 < t2 ⇔  P1 > S >  ∆ >   TH2: Phương trình (4) có nghiệm thỏa: t1 < t2 < ⇔  P2 > S <   P1 <  P2 <  TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu ⇔  Nhận xét: Với cách tiếp cận học sinh dễ dàng giải tốn như: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, nghiệm Bài toán Cho phương trình α ( ax + bx + c ) + β ( ax + bx + c ) + γ = ( 1) ( α ≠ 0; a ≠ ) a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải • Xét a > (với a < 0, làm tương tự)  b  b − 4ac  b − 4ac t = ax + bx + c +  • Ta có ax + bx + c = a  x + ÷ − nên đặt t ≥ 2a  4a  4a  • Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: α ( t − k ) + β ( t − k ) + γ = (2) với k= b − 4ac 4a 2 • Phương trình (2): α t + ( β − 2α k ) t + α k − β k + γ = (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  ∆ >  b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có nghiệm thỏa < t1 < t2 ⇔  P > S >  c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm thỏa t1 < < t2 , phương trình (3) có nghiệm thỏa < t1 = t2  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc ∆ = S > (Trong ∆ biệt thức pt (3), S = t1 + t2 , P = t1.t2 )  TH2: Phương trình (2) có nghiệm < t1 = t2 ⇔  Nhận xét: Khi gặp dạng tốn em học sinh thường đặt t = ax + bx + c với điều kiện t≥ − ( b − 4ac ) 4a a > 0, t ≤ − ( b − 4ac ) a < Phương trình nhận α t + β t + γ = , 4a để giải u cầu tốn học sinh sử dụng cơng cụ đơn giản, quen thuộc định lý Viet để giải dạng tốn Bài toán Cho phương trình ax + b x + α + c = ( 1) với α > 0, a ≠ a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải • ĐK x ∈ R ( • Đặt t = x + α − α ( t ≥ ) suy x = t + α ( ) ) − α , thay vào pt (1) ta phương trình: at + 2a α + b t + b α + c = ( ) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  ∆ >  b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm thỏa < t1 < t2 ⇔  P > S >  c) Để phương trình (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau: ∆ >   TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < = t2 ⇔  P = S <  ∆ = S = (Trong ∆ biệt thức pt (3), S = t1 + t2 , P = t1.t2 )  TH2: Phương trình (2) có nghiệm = t1 = t2 ⇔  Bài toán Cho phương trình: ax + bx + c = x − α ( 1) a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải  x − α ≥ ⇔ • Phương trình (1)  2 ax + bx + c = ( x − α ) ( ) • Đặt t = x − α , x − α ≥ nên ta có điều kiện t ≥ , thay vào (2) ta phương trình: ( a − 1) t + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( 3) Ứng dụng định lý Viet giải số dạng tốn có chứa tham số phương trình bậc – quy bậc a) Để phương trình (1) có nghiệm pt (3) có nghiệm t ≥  TH1: Xét a = , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 giải bất phương trình t0 ≥ a ≠ P ≤ a ≠ ∆ ≥  ≤ t ≤ t ⇔  TH3: Phương trình (3) có nghiệm  P ≥  S ≥  TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔  a ≠ ∆ >  ≤ t < t ⇔ b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có nghiệm  P ≥  S > c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Xét a = , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 giải bất phương trình t0 ≥ a ≠ P < a ≠ ∆ >  t < = t ⇔  TH3: Phương trình (3) có nghiệm  P =  S <  TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 < < t2 ⇔  a ≠   TH4: Phương trình (3) có nghiệm ≤ t1 = t2 ⇔ ∆ = S ≥  (Trong ∆ biệt thức phương trình (3), S = t1 + t2 , P = t1.t2 ) Nhận xét: Dạng tốn hay x́t dang phương trình chứa căn, tốn x́t đề thi Đại học, Cao đẳng, tất đưa phương án so sánh nghiệm phương trình (2) với số thực α Song với cách giải ta đưa tốn so sánh nghiệm phương trình (3) với số B Tổng kết: