Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi Nguyên Hàm -Tích phân - ứng dụng I/ Nguyên hàm 1/ Tính chất nguyên hàm * ( ) )()( ' xfdxxf = * = dxxfadxxfa )(.)(. * +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 2/ Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp th- ờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) += += += += += += += + + = += + Cgx x dx Ctgx x dx Cxxdx Cxxdx C a a dxa Cedxe Cx x dx C x dxx Cxdx ẽẽ cot sin cos cossin sincos ln ||ln 1 2 2 ã ã 1 ( 1 ) (x 0 ) (0<a 1 ) += += += += += += += + + = += + Cgu u dx Ctgu u dx Cuudx Cuudx C a a dxa Cedxe Cu u dx C u dxu Cudu u u uu cot sin cos cossin sincos ln ||ln 1 2 2 1 ( 1 ) (u=u(x) 0 ) (0<a 1 ) 3/ Ví dụ : Tìm nguyên hàm a/ Cx xx dxxx ++=+ 5 2 3 3 2 )532( 23 2 b/ += Ctgxxdx x x 2cos3 cos 2 sin3 2 c/ +++= ++ Cxxxdx x xxx 2 1 3 1 4 3 2 1 3 1 4 3 66 3 432 d/ + + =++=+ C x xdxdxx 30 )35( )35()35( 5 1 )35( 6 55 Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi e/ +== C x xxdxdxx 5 sin )(sinsincos.sin 5 44 f/ ++= + + = + Ce e ed e dxe ẽ ẽ ẽ ẽ ẽ )1ln( 1 )1( 1 g/ + + =++= + C x xdx x x 8 )3ln2( )3ln2()3ln2( 2 1 )3ln2( 4 3 3 4/ Bài tập về nhà Tìm nguyên hàm của hàm số a/ f(x) = 2x 3 +3x -5 b/ f(x) = 3 11 xx + c/ f(x) = e x (1-e -x ) d/ f(x) = e x + x e x 2 cos 2 e/ ( ) + dxx 20 102 f/ xdxx sin.cos 3 g/ + dx x x 2ln h/ + dx e e ẽ ẽ 2 II/ Tích phân 1/ Định nghĩa (SGK) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = ĐL : GSử f(x) là hàm số liên tục và f(x) 0 /[a,b]. hế thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b là : S = F(b)-F(a) với F(x) là nguyên hàm bất kỳ của s(x) trên [a,b] 2/ Tính chất của tích phân * ( ) 0 a a f x dx = * ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= * ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= * [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi * ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx= + * f(x) [ ] 0 / , ( ) 0 b a a b f x dx * [ ] ( ) ( ) / , ( ) ( ) b b a a f x g x a b f x dx g x dx * [ ] ( ) / , ( ) ( ) ( ) b a m f x M a b m b a f x dx M b a 3/ Ví dụ : Tính tích phân a/ 3 3 3 3 3 4 3 3 1 1 1 1 1 1 ( 1) | | 24 4 x dx x dx dx x x + = + = + = b/ 1 2 0 ( 3 5)x x dx + c/ 2 3 0 sin cosx xdx 4/ Các ph ơng pháp tính tích phân a/ Tích phân đổi biến số Giả sử phải tính ( ) b a f x dx trong đó f(x) liên tục /[a,b] * Đổi biến số dạng 1 Định lý : Nếu 1. Hàm số x=u(t) có đạp hàm liên tục trên [ ; ] 2. Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định trên [ ; ] 3. u ( )= a, u ( ) = b Cách thực hành 1. Đặt x=u (t) => dx =u (t)dt 2. Đổi cận : Khi x = a =>t= Khi x = b => t = 3. ( ) b a f x dx = ( ( ) '( )) ( )f u t u t dt g t dt = =G(t)| b a Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n a/ I = 1 2 0 1 x dx− ∫ §Æt x = sint => dx=costdt Khi x = 0 => t = 0; x = 1 => t = 2 π => I= 2 0 π ∫ cost.cost.dt= 2 0 π ∫ cos 2 t.dt = 2 0 π ∫ 1 2 2 cos t dt + = 2 0 1 1 sin 2 2 2 t t π   +  ÷   = 4 π b/ J = 1 2 0 1 dx x+ ∫ §Æt x =tgt => dx = 2 1 dt cos t =(1+tg 2 t)dt Khi x=0 => t = 0; x = 1 => t = 4 π => 1 2 0 1 dx x+ ∫ = 4 4 4 2 2 0 0 0 1 (1 ) 1 4 | tg t dt dt t tg t π π π π + = = = + ∫ ∫ c/ K = 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ Ta cã 2 2 1 3 1 2 4 x x x   + + = + +  ÷   §Æt 1 3 2 4 x tgt+ = => dx = 2 2 3 1 3 . (1 ) 2 2 dt tg t dt cos t = + Khi x = 0 => t = 6 π ; x = 1=> t = 3 π => 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ = 2 3 2 6 3 (1 ) 2 3 (1 ) 4 tg t dt tg t π π + + ∫ = 3 3 6 6 2 3 2 3 3 3 3 9 dt t π π π π π = = ∫ * §æi biÕn sè d¹ng 2 1. §Æt t = v(x), v(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc 2. BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt gi¶ sö f(x)dx=g(t)dt 3. T×m mét nguyªn hµm G(t) cña g(t) Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái 4. TÝnh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v b v b v a v a g t dt G t= ∫ 5. KÕt luËn ( ) ( ) ( ) ( ) b v b v a a f x dx G t= ∫ VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n a/ 1 3 0 (2 1)x dx+ ∫ §Æt t = (2x+1) => dt =2dx hay dx = dt/2 Khi x = 0 => t =1; x = 1 => t =3 => 1 3 0 (2 1)x dx+ ∫ = 3 4 3 3 1 1 1 10 2 8 t t dt = = ∫ b/ 2 .ln e e dx x x ∫ §Æt t = lnx => dt = dx/x =>dx = x.dt Khi x = e => t =1; x =e 2 => t = 2 => 2 .ln e e dx x x ∫ = 2 2 1 1 ln ln 2 ln1 ln 2 dt t t = = − = ∫ c/ 2 1 2 1 dx x − ∫ h/ 2 sin 0 .cos x e xdx π ∫ d/ 2 2 1 (2 1) dx x − ∫ i/ 6 0 1 4sin .cosx xdx π + ∫ e/ 1 1 ln e x dx x + ∫ g/ 2 3 0 sin .cosx xdx π ∫ b/ TÝch ph©n tõng phÇn NÕu u(x) vµ v(x) lµ hai hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®oan [a;b] th× : ( ) '( ) ( ( ). ( )) ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái Hay VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n a/ 2 5 1 ln x dx x ∫ §Æt 5 4 ln 1 4 dx u x du x dx dv v x x  = =     ⇒   =   = −    do ®ã 2 5 1 ln x dx x ∫ = 2 2 2 1 1 4 5 4 1 ln 1 ln 2 1 1 4 4 64 4 4 x dx x x x −     − + = − +  ÷  ÷     ∫ = ln 2 1 1 15 ln 2 1 64 16 16 256 64   − − − = −  ÷   b/ 2 0 .cosx xdx π ∫ §Æt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   =>   = =   => 2 0 .cosx xdx π ∫ = 2 2 2 0 0 0 ( sin ) sin cos 1 2 2 x x xdx x π π π π π − = + = − ∫ c/ 1 0 x xe dx ∫ §Æt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   Do ®ã : 1 0 x xe dx ∫ = (xe x ) 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 1) 1 x x x e dx xe e e e− = − = − − = ∫ BTVN C©u 1 : TÝnh tÝch ph©n [ ] ( ) ( ). ( ) ( ) b b b a a a u x dv u x v x v x du = − ∫ ∫ Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái a/ 0 π ∫ (2cos3x+3sin2x)dx b/ 4 0 π ∫ tgxdx c/ 2 0 sin 1 3cos x dx x π + ∫ d/ 1 0 ∫ e 2x dx e/ 2 1 0 . x e xdx − ∫ f/ 1 0 ∫ 3 3x+1 dx C©u 2 : TÝnh tÝch ph©n a/ 2 0 π ∫ e sinx .cosxdx b/ 2 0 π ∫ sin 3 xcosxdx c/ 6 0 1 4sin cosx xdx π + ∫ d/ 1 1 ln e x dx x + ∫ C©u 3 : TÝnh a/ 1 0 ∫ x.e 3x dx b/ 1 0 ∫ x 2 e -x dx c/ 2 0 π ∫ (x-1)cosxdx d/ 6 0 π ∫ (2-x)sin3xdx C©u 4 : TÝnh a/ 2 0 π ∫ x 2 sinxdx b/ 2 0 π ∫ e x cosxdx c/ 1 e ∫ lnxdx d/ 1 e ∫ (lnx) 2 dx 5/ DiÖn tÝch cña h×nh ph¼ng • DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f(x), hai ®êng th¼ng x=a, x=b vµ trôc Ox lµ : S = ( ) b a f x dx ∫ • DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bêi hai ®êng x=a, x=b, vµ ®å thÞ cña hai hµm sè y =f(x), y = g(x) Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi - Giải phơng trình f(x)-g(x) = 0 giả sử có nghiệm a b khi đó : S = ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) b b a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx = + + * Diện tích hình tròn S = 2 R ( R là bán kính đờng tròn ) * Diện tích Elíp là : S = ab ( a, b là nửa độ dài hai trục) Ví dụ 1 : Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đờng y = x 3 , y = 0, x = -1, x = 2 Giải Giải phơng trình x 3 = 0 x =0 [-1;2]. Diện tích phải tìm là : S = 2 0 2 0 2 3 3 3 3 3 1 1 0 1 0 | | | | | |x dx x dx x dx x dx x dx = + = + = 4 4 0 2 1 0 1 16 1 4 4 4 4 4 4 x x + = + = Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đờng y = x 3 -3x và y = x Giải Ta có x 3 -3x x = 0 x(x 2 -4) = 0 x=-2, x = 0, x = 2. Diện tích cần tìm là : 2 0 2 3 3 3 2 2 0 S | x 4x | dx |x 4x | dx | x 4x | dx = = + = 0 2 3 3 2 0 (x 4x)dx (x 4x)dx 8 + = (đvdt) áp dụng Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau : a/ x = 0, x =1, y =0, y = 5x 4 +3x 2 +3 b/ y = x 2 +1, x+y = 3 c/ y = x 2 +2, y =3x a. S = 5 đvdt b. S = 9/2 đvdt c. S = 1/6 đvdt Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi d/ y = 4x-x 2 e/ y = lnx, y = 0, x = e f/ x = y 3 , y = 1, x = 8 d. S = 32/3 đvdt e. S = 1 đvdt f. S = 17/4 Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ x = ,x 2 = , y = 0, y =cosx b/ y =x(x-1)(x-2), y = 0 a. S =3 đvdt b. S = 1/2 đvdt Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y =x 2 -2x+2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3,5) và trục tung. HD : Phơng trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M( 3, 5) là : y = 4(x-3)+5 =4x-7 Hoành độ giao điểm của (P) và tiếp tuyến là nghiệm của phơng trình x 2 -2x+2= 4x-7 x 2 6x + 9 = 0 x = 3 => S = 3 3 2 2 3 0 0 x (x 6x 9)dx ( 3x 9x) 9 27 27 9 3 + = + = + = Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 -1 đờng thẳng x = 2, trục tung và trục hoành. HD : Giải phơng trình x 3 -1 = 0 x = 1 [0, 2] S = 4 4 1 2 3 3 1 2 0 1 0 1 x x (x 1)dx (x 1)dx ( x) ( x) 4 4 + = + f(x)=x ^2-2x +2 f(x)=4 x-7 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y f(x)=x^3-1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 1 Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái = 1 1 3 11 7 1 2 ( 1) 4 4 4 4 2 − + − − = + = ®vdt Bµi 5 : TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) y = 2-x 2 vµ y = -x Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2-x 2 = -x  -x 2 +x+2 = 0  x = -1 vµ x = 2 => S = 2 2 1 9 (2 x x )dx 2 − + − = ∫ ®vdt f(x)=2-x^2 f(x)=-x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O-1 . f(x)=x ^ 2-2 x +2 f(x)=4 x-7 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y f(x)=x^ 3-1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O 1 Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái. => S = 2 2 1 9 (2 x x )dx 2 − + − = ∫ ®vdt f(x)=2-x^2 f(x)=-x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 x y O-1