CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG I- TẦM QUAN TRỌNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG TỐN HỌC PHỔ THÔNG VÀ TRONG VIỆC ÔN THI VÀO LỚP 10 Như biết cấu trúc đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm gần khơng có thay đổi nhiều Đề thi gồm với nội dung kiến thức trọng tâm: Rút gọn biểu thức, giải toán cách lập PT hệ PT, hàm số đồ thị, hệ PT, PT bậc hai hình học.Nội dung kiến thức phương trình bậc hai khơng q nặng tập áp dụng vơ phong phú phức tạp Đặc biệt tập liên quan đến phương trình bậc hai lại chiếm phần điểm tương đối lớn tổng điểm đề thi Chẳng hạn: - Ngay rút gọn câu hỏi liên quan đến giải biện luận phương trình bậc hai - Giải tốn cách lập phương trình (hoặc hệ phương trình) quy phương trình bậc hai - Đặc biệt số thường hai dạng bài: • Phương trình bậc hai có chứa tham số (Đề thi năm 2015-2016) Cho PT bậc hai: x2 –(m + 5) x + 3m + = (ẩn x) a) Chứng minh PT ln có nghiệm với số thực m b) Tìm m để PT có hai nghiệm x ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền • Quan hệ tương giao (P) (d) (Đề thi năm 2013-2014) Cho (P): y = x m2 + m + 1.Tìm giá trị m để (d) cắt đường thẳng (d): y = mx – (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 cho - Đơi tốn cực trị hình học liên quan đến phương trình bậc hai Xét thấy tầm quan trọng phương trình bậc hai việc ơn thi vào lớp 10, tổ Tốn trường mạnh dạn hệ thống số dạng tập liên quan đến PT bậc hai phương pháp giải dạng Song với kinh nghiệm chưa nhiều kết thi vào lớp 10 trường chúng tơi cịn hạn chế, thời gian có hạn nên chúng tơi mong đóng góp ý kiến trường bạn để có tài liệu ơn thi PT bậc hai hồn chỉnh II- GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A- CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1- Dạng tổng quát phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a) Công thức nghiệm : Bước 1: Lập biệt số ∆ = b − 4ac Bước 2: Xét dấu ∆ : • Nếu V > phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: • Nếu V = phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 = −2ab x1 = −b − 2a V ; x2 = −b + 2a V • Nếu V < phương trình (*) vô nghiệm b) Công thức nghiệm thu gọn Bước 1: • Xác định b’: Ta có b = 2b’ ⇒ b ' = b 2 • Lập biệt số thu gọn: V' = b ' − ac Bước 2: Xét dấu • Nếu x1 = V' : V' > phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: −b '− V' a ; x2 = −b '+ V' a V' = phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu V' < phương trình (*) vơ nghiệm • Nếu • −b ' a c) Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình (*) có nghiệm x1; x2 S = x1 + x2 = 2- −b c ; P = x1 x2 = a a Ứng dụng phương trình bậc hai vào giải tốn • Sử dụng hệ thức Vi – ét để giải tập • Giải phương trình quy phương trình bậc hai B) CÁC DẠNG BÀI TẬP PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng : Giải biện luận phương trình Các phương pháp giải phương trình Phương pháp 1: Đưa phương trình tích Để giải phương trình :f(x) = ax2 + bx + c = 0, ta biến đổi phương trình dạng q(x).g(x) = q(x), g(x) đa thức bậc nhất, giải phương trình để tìm nghiệm phương trình cho: q ( x ) = f ( x) = ⇔ q ( x) g ( x) = ⇔   g ( x ) = Chú ý: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8) Phương pháp thường sử dụng trường hợp PT bậc hai khuyết Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm a) Biết S = x1 + x2 = −b = α + β ; P = x1.x2 = c = α β Suy ra: x1 = α x2 = β a a b) Biết được: a + b + c = Suy ra: x1 = ; x2 = c a c) Biết được:a - b + c = Suy ra: Chú ý: So sánh a + c với b • Nếu a + c = b sử dụng a – b + c = • Nếu a + c b hai số đối sử dụng a + b + c = Phương pháp 3: Sử dụng công thức nghiệm Phương pháp 4:Phương pháp đồ thị Viết phương trình bậc hai dạng ax2 + bx +c = ⇔ ax2 = - bx - c Xét hàm số: y = ax2 (P) y = -bx – c (d) Sau vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ a) Nếu đường thẳng (d) cắt (P) hồnh độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình cho b) Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc (P) hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình cho c) Nếu đường thẳng (d) khơng cắt (P) phương trình cho vơ nghiệm Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp để giải toán tương giao đường thẳng (d) Parabol (P): Lưu ý: Đây dạng tập thường có trong giải toán cách lập PT câu hỏi HS đại trà gỡ điểm Vì GV cần trọng rèn từ học PT bậc hai để HS có kĩ giải PT tốt cho em không bị điểm Dạng 2: Tính giá trị biểu thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Ví dụ: Cho phương trình 5x2 – 3x – = Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A = x12 + x22 B = x13 + x23 C = 2x13 – 3x22x1 + 2x23 – 3x2x22 x x x 1 1 D = + + − − ÷ x2 x1 + x1  x1 x2  Phương pháp: Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm hay khơng Bước 2: Tính S, P Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất S, P , thay giá trị S, P vào biểu thức tính Dạng 3: Chứng minh (Tìm điều kiện tham số để) phương trình có: 1) Hai nghiệm phân biệt 2) Có nghiệm kép 3) Có nghiệm 4) Vơ nghiệm 5) Có nghiệm x = x0 Lưu ý: - Trong q trình giảng dạy GV đưa dạng tập lúc để dễ phân biệt cho học sinh Về hai dạng tập chung kiến thức vận dụng khác cách trình bày lập luận VD 1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x + 2m - = (ẩn x) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m • Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = 2m – =>∆’ = m2 – 4m + = (m – 2)2 + • Vì ∆’ = (m – 2)2 + 1>0 với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m VD2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1) x + m2 -4m + = ( ẩn x) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? • Có a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 -4m + =>∆’ = 6m - • Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’ > ⇔ 6m - > ⇔ m > 2/3 - Trong trường hợp hệ số a phương trình có chứa tham số HS thường mắc sai lầm không xét trường hợp hệ số a = với câu hỏi phương trình có nghiệm vơ nghiệm - Với phương trình bậc hai có chứa tham số hệ số a cần ý điều kiện hệ số a khác VD3:Tìm m để phương trình mx2 + 2(m + 1)x+ m + = có nghiệm • Xét m = , phương trình có dạng 2x + = • Nếu m ≠ 0, phương trình có nghiệm ∆’ = (TMĐK m ≠ 0) Vậy m = m = phương trình cho có nghiệm (Rõ ràng HS khơng xét trường hợp a = làm giá trị m = 0) - Một sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải giải điều kiện ∆: Chẳng hạn: Khi ∆= (2m + 1)2 mà tốn hỏi tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, HS thường cho ∆= (2m + 1)2> với m m > -1/2, (Sai) Mà giải phải ∆ > Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để: 1) Nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện dấu 2) Hai nghiệm phương trình liên hệ với hệ thức cho trước 4.1 Nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện dấu: Phương trình có nghiệm trái dấu⇔a.c < Phương trình có nghiệm dấu⇔ Phương trình có nghiệm dương⇔ Phương trình có nghiệm âm⇔ Phương trình có nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn nghiệm dương⇔ Phương trình có nghiệm mà nghiệm dương lớn GTTĐ nghiệm âm⇔ Phương trình có nghiệm hai số đối nhau⇔ Phương trình có nghiệm dương Xét trường hợp: Trường hợp 1: a = Phương trình có dạng bx+c =0 =>Tìm nghiệm x kiểm tra dấu nghiệm Truờng hợp 2: a ≠ phương trình cho phương trình bậc hai Để phương trình có nghiệm dương, ta xét khả sau: ∆ =  ⇒ Tìm m • Phương trình có nghiệm kép dương⇔  −b >0   2a • Phương trình có nghiệm cịn nghiệm lớn Tìm m • Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm Kết luận: Kết hợp trường hợp tìm m Phương trình có nghiệm không dương Trường hợp 1: a = 0, Phương trình có dạng bx + c = =>Tìm nghiệm x kiểm tra dấu nghiệm Truờng hợp 2: a ≠ 0, Phương trình phương trình bậc hai Để phương trình có nghiệm khơng dương, ta xét khả sau: ∆ =  ⇒ Tìm m • Phương trình có nghiệm kép khơng dương ⇔  −b ≤   2a • Phương trình có nghiệm cịn nghiệm nhỏ Tìm m • Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm m Kết luận: Kết hợp trường hợp tìm m 10 Phương trình có nghiệm khơng âm • Xét a = 0, phương trình có dạng bx + c = ⇒ Tìm nghiệm x kiểm tra dấu nghiệm • Xét: a ≠ 0: phương trình phương trình bậc hai Cách 1: Phương trình (1) có nghiệm khơng âm Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  Phương trình (1) có nghiệm ⇔  Phương trình (1) có nghiệm dương Cách 2: Với m (Thoả mãn a ≠ ) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ V ≥ (Từ tìm m) Các nghiệm phương trình (1) là: x = −b + V −b + V ; x = 2a 2a Cho x1 ≥ ⇒ Tìm m (2) Cho x2 ≥ ⇒ Tìm m (3) Kết hợp (2), (3) điều kiện m (a ≠ 0) Suy giá trị tham số m cần tìm V ≥  Cách 3: Phương trình (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > (*) Giải tìm giá trị m S <  Vậy pt (1) có nghiệm không âm ⇔ m nhận giá trị trái với giá trị m (*) Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Viết hệ thức Vi – ét: S = x1 + x2; P = x1 x2 theo m Bước 3: Viết hệ thức theo yêu cầu đề kết hợp với hệ thức Vi – ét, giải điều kiện Bước 4: Kết hợp điều kiện trả lời toán Lưu ý: - Cho học sinh đọc kĩ đề từ yêu cầu đề em phải phân tích viết hệ điều kiện tương ứng - Có thể tính tích hai nghiệm, xác định dấu nghiệm để giảm bớt điều kiện toán - Có trường hợp câu hỏi khó ( Câu 8; 9; 10) GV cần phân tích hướng dẫn HS xét tất trường hợp: - Đôi học sinh khơng chịu suy nghĩ, lười phân tích nên viết hệ ĐK phức tạp: Chẳng hạn: Tìm m để phương trình có nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn nghiệm dương HS viết hệ điều kiện Tuy nhiên phân tích phương trình có hai nghiệm trái dấu nên cần 4.2 Hai nghiệm phương trình thỏa mãn hệ thức cho trước a) Hệ thức cho trước biểu thức đối xứng hai nghiệm: 1) x12+ x22 = 7)x13+ x23 = 11 2) x12+ x22 = x1 + x2 8)x13 – x23 = 50 3) x12x2 + x22x1 - x1x2 =3 9) 4) x1 (1- x2 ) + x2(1 - x1) = - 10) 5) x12+ x22 – 6x1x2 = 13 2 6) x1 = x2 ( x1 = x2 ) 11) 12) Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 x2 theo m Bước 3:Biến đổi điều kiện làm xuất S P kết hợp với Vi – ét,giải điều kiện với ẩn số m Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện trả lời toán b) Hệ thức cho trước biểu thức không đối xứng hai nghiệm: 1) x1 - 4x2 = 2) x1 = 9x2 3) x12 – x22 = 10 4) x1 = x22 5) x1.x2 = 1(Hai nghiệm hai số nghịch đảo nhau) Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 x2 theo m Bước 3: Biến đổi điều kiện,rồi kết hợp với S ( P) hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm x1; x2 theo m, thay vào hệ thức cịn lại tìm tham số m Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện trả lời tốn VD: Cho phương trình x2 – 3x + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn 2x1 – 5x2 = - • Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm m ≤ • Viết hệ thức Vi – ét: • Kết hợp 2x1 – 5x2 = - với ta có hệ PT: Giải hệ x1 = 1; x2 = Thay vào điều kiện (TMĐK m ≤ Vậy với m = PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 – 5x2 = - Chú ý: Đối với dạng này, GV cần hướng dẫn học sinh lựa chọn S P kết hợp với điều kiện nghiệm tạo thành hệ PT cho việc giải hệ đơn giản c) So sánh nghiệm phương trình với số khác 0: 1) 1 (x1 – 1)(x2 – 1) < ⇔x1x2 –(x1+x2) + < Bước 4: Đối chiếu với ĐK bước trả lời toán d) Hệ thức liên quan đến hình học • PT có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng biết độ dài cạnh huyền • PT có hai nghiệm hai kích thước hình chữ nhật biết diện tích chu vi độ dài đường chéo • PT có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông biết độ dài đường cao ứng với cạnh huyền • … Chú ý: - GV phải giúp HS biết đưa lạ quen, chuyển từ toán có nội dung hình học hệ thức quen thuộc - Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh điều kiện nghiệm giá trị phải ln dương Từ suy phương trình bậc hai phải có nghiệm dương e) Biểu thức liên hệ hai nghiệm đạt GTLN, GTNN: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 x2 theo m Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất S, P Thay S, P vào biểu thức tìm tham số để biểu thức đạt GTLN, GTNN Bước 4: Đối chiếu điều kiện trả lời VD: Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 - = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 Khi tìm GTNN biểu thức P = x1.x2 + 2(x1+x2) • Dễ dàng tìm ĐK để PT có nghiệm x1, x2 m ≥ -1 • Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 2m + 2, x1.x2 = m2 – • Khi ta có P = x1.x2 + 2(x1 + x2) = m2 -1 + 2(2m+2) = m2 + 4m + Đến có sai lầm mà đa số HS mắc phải phân tích m2 + 4m + = (m+2)2 -1 ≥ -1 kết luận GTNN P = -1 Đối với tốn này, cách làm hồn tồn sai HS khơng ý điều kiện PT có nghiệm m ≥ -1 Giải đúng: Ta có P = m2 + 4m +3 = (m+1)(m+3) Với m ≥ -1 suy m+1 ≥ 0, m+3 > suy (m+1)(m+3) ≥ Vậy P = 0, dấu xảy m = -1 (thỏa mãn ĐK nêu) Chú ý dạng : Đôi học sinh nhẩm nghiệm giải phương trình tìm nghiệm x1; x2 , sau thay nghiệm vào điều kiện tốn đưa giải phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn m Chẳn hạn: Tìm m để phương trình x2 + 2mx + 2m – = có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1 – 2x2 = Ta có: a – b + c = suy x1 = - 1; x2 = – 2m Thay x1; x2 vào hệ thức ta được: -3 – + 4m = suy m = Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm a ≠ ∆ ≥ Bước 2:Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 x2 theo m Bước 3: Từ hệ thức Vi – ét ta khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m Lưu ý : GV cần nhấn mạnh bước học sinh thường ý đến điều kiện để vận dụng Vi – et VD1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x – – m = Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: 1  • Điều kiện ∆ = m − m + =  m − ÷ + ≥ (Ln với m) 2  • Áp dụng Định lí Vi – ét ta có: VD2: Cho phương trình(m-1)x2 – 2(m – 2) x +3 + m = Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: • Điều kiện m ≠1;m ≤ • Áp dụng Định lí Vi – ét ta có: Dạng 6: Tìm hai số biết tổng chúng S tích chúng P Phương pháp: Tính S2 – 4P xét dấu • Nếu S2 – 4P< 0, khơng tìm hai số thỏa mãn u cầu đề • Nếu S2 – 4P ≥ hai số nghiệm phương trình: X – SX + P = Giải phương trình X2- SX+ P = kết luận Chú ý: Điều kiện S2 – 4P ≥ Dạng 7: Lập phương trình biết hai nghiệm Nghiệm giá trị cụ thể Cho hệ thức liên hệ nghiệm Phương pháp: 10 Bước 1: Lập tổng hai nghiệm (S) tích hai nghiệm( P) Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S2 - 4P • Nếu S2 – 4P ≥ phương trình cần lập là: X2 – SX + P = • Nếu S2 – 4P < khơng lập phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề Ví dụ: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm +1 2 −1 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm tích nghịch đảo hai nghiệm phương trình cho trước có tích hai nghiệm tổng nghịch đảo nghiệm phương trình cho trước Bài 3: Cho phương trình 2x2 – 7x + = có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm : a- số PHẦN II: CÁC DẠNG TỐN QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Quan hệ tương giao đường thẳng parabol Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + m - Parabol (P): y = x Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt: a) Ở hai phía trục tung b) Ở bên phải trục tung c) Ở bên trái trục tung Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx +1 Parabol (P): y = x Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm ( x1 ; y1 ) (x2 ; y2 ) thỏa mãn: a) b) x1 = 9x2 c) x1 + x2 = d) y12 + y22 = 24 Bài 3: Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có pt: y = 4mx + 10 Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi Phương pháp : • Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: ax2 = - bx - c ⇔ ax2 + bx + c = • Đưa u cầu tốn tương giao (d), (P) toán liên quan đến phương trình bậc hai Lưu ý: 11 • Đây dạng tập thường gặp đề thi GV phải giúp HS chuyển từ toán tương giao hai đồ thị hàm số việc giải toán phương trình bậc hai - Từ điều kiện hoành độ ta đưa điều kiện nghiệm phương trình hồnh độ - Từ điều kiện tung độ ta đưa điều kiện hoành độ chuyển điều kiện nghiệm phương trình hồnh độ - Từ điều kiện tọa độ ta đưa điều kiện nghiệm phương trình hồnh độ • Do GV làm dạng 1, 2, việc làm tốt dạng tốn khơng khó VD: Cho đường thẳng (d): y = mx +1 Parabol (P): y = x Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn: - Phương trình hồnh độ giao điểm x2 = mx +1 ⇔ x2 - mx -1 = - Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn phương trình (*) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn - Đến HS gặp tốn quen thuộc phương trình bậc hai Dạng 2: Giải loại phương trình quy phương trình bậc hai Phương trình chứa ẩn mẫu: VD: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x2 m − + =0 x −9 x −3 x +3 Phương trình có chứa dấu GTTĐ: Bài 1: Tìm m để phương trình x − x + m = x − có nghiệm phân biệt Bài 2: Tìm m để phương trình x − x − m x − + m = có nghiệm Phương trình bậc cao: Phương pháp chung : 1) Đưa phương trình tích 2) Đặt ẩn phụ 3.1 Phương trình bậc ba: VD:Cho phương trình x3 + m(x - 1) – 1= a) Giải phương trình m = -3; b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt; c) Gọi x1; x2; x3 ba nghiệm đó, tìm m cho: x1x2 + x2x3+ x3x1 = -4 • Phương pháp: Biến đổi phương trình tích (Thơng thường ta hay sử dụng PP nhẩm nghiệm, nghiệm nguyên có PT ước hạng tử tự do) • Chú ý : Điều kiện nghiệm phương trình 2 12 3.2 Phương trình bậc bốn: - Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) (1) Cách giải: Bước 1: Đặt x2 = t, t ≥ Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên, tìm t tìm nghiệm x tương ứng Bước 4: Trả lời Chú ý: Xét phương trình: ax4 + bx2 + c = (1) với a khác Đặt t = x2 ≥ 0, ta có at2 + bt + c = (2) • PT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt • PT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương nghiệm • PT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương • PT (1) có nghiệm (2) có (2) có nghiệm nghiệm cịn lại âm • PT (1) vô nghiệm (2) vô nghiệm (2) có nghiệm âm Bài 4: Cho phương trình: x4 – 2x2 + m – = (1) a) Giải phương trình m = -1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm giá trị m để PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 mà: x12 + x22 – x1x2 = 121 Các phương trình bậc bốn thường gặp: a) ( x2 + ax + c)( x2 + ax + d) = k Đặt b) ( x2 + ax + c)( x2 + bx + c) = kx2 Đặt c) ( x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = k với Đặt d) ( x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = kx2 với Đặt e) (x + a)4 + (x + b)4 = k Đặt 3.3 Phương trình có hệ số đối xứng: Là phương trình có hệ số đối xứng qua số hạng •Bậc chẵn: Phương pháp: Xét x = không nghiệm phương trình Với phương trình đối xứng bậc 2n ta chia hai vế cho x n đặt ẩn phụ bậc phương trình xuống bậc n Điều kiện ẩn phụ 13 giảm Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng phương trình cho Ta chia hai vế đặt phương trình chuyển dạng , phương trình bậc hai ẩn t •Bậc lẻ: Phương pháp: Phương trình đối xứng bậc lẻ ln nhận trình thành nhân tử ta nghiệm Phân tích vế trái phương g(x) đa thức đối xứng bậc chẵn biết phương pháp giải 3.4 Phương trình hồi quy: Là phương trình có dạng với Phương pháp: - Xét x = không nghiệm phương trình - Chia hai vế phương trình cho đặt ẩn phụ có dạng ta đưa phương trình bậc hai ẩn t Phương trình vơ tỉ: Một số phương trình vơ tỉ quy phương trình bậc hai • Dạng Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai để tìm t Ví dụ: Giải phương trình ( x − 3)(8 − x ) + 26 = − x + 11x • Dạng a, b số Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng để tìm m, n Ví dụ: Giải phương trình • x2 + − x2 − = Dạng Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai để tìm t Ví dụ: Giải phương trình − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = Hệ phương trình  x + y + xy = 11 a)  2  x y + xy = 30  xy = −64  b)  1 x − y =  x + y = c)  3 2 x + y = x + y  x − xy − y = d) 3x + y = Dạng 3: Các tập liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng phương pháp giải 14 đặc biệt Bài 1: Tìm tất số nguyên m để phương trình x 2− mx + 2002 = m có nghiệm số nguyên Giải Cách 1: Giải sử x0 ∈  nghiệm pt ⇒ x02 + 2002 = m(x0 + 1) x0 + 2002 x0 − + 2003 2003 = = x0 − + x0 ≠ ⇔ m = Vì m ∈  nên x0 + ∈ Ư(2003) = x0 + x0 + x0 + {±1; ± 2003} ⇒ x0 ∈ {-2004; -2; 0; 2002} ⇒ m ∈ {-2006; 2002} Cách 2: Ta có x2− mx + 2002 – m = Tính Để phương trình có nghiệm ngun số phương Giả sử với Suy Do ước 8012 Nhưng nên hai số ước chẵn 8012 Mà nên Từ tìm hoặc Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm chung x2 + mx + = x2 + 2x + m = Giải: ∆1 ≥ ∆ ≥ Có ∆1 = m2 − 8; ∆2 = − 4m Để phương trình có nghiệm  m2 − ≥ ⇔ ⇔m≤-  − 4m ≥  x0 + mx0 + = (3)  x0 + x0 + m = (4) Gọi x0 nghiệm chung phương trình ta có:  Lấy (3) − (4) có: (m − 2)(x0 − 1) = ⇔ x0 = (vì m − ≠ m ≤ - ) Thay x0 = vào (3) ⇒ + m = ⇔ m = -3 (TMĐK) Vậy … Bài 3: Cho phương trình x2 − mx + m2 − = Giải: Giả sử x0 nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ x0 Vì x0 nghiệm (1) nên x02 − mx0 + m2 − = 15 ⇔ m2 − x0m + x02 − = (2) Pt (2) ẩn m phải có nghiệm Do ∆ = x0 − 4(x02 − 5) ≥ 20 15 15 ≤ x0 ≤ ⇔− 3 15 15 x0 = − ⇔m= − 3 15 15 x0 = ⇔m= 3 ⇔ 3x02 ≤ 20 ⇒ x02 ≤ Vậy … Bài 4: Chứng minh phương trình: (x2 + mx + m + 1)(x2 + x − m − 1) = ln có nghiệm với m Giải:  x + mx + m + = (a) ∆1 = m − 4m − (1) ⇔   x + x − m − = (b) ∆ = + 4m + ∆1 + ∆2 = m2 + > ∀m Do phải có hai số ∆1, ∆2 dương Vì pt (a) (b) có nghiệm ⇒ pt (1) ln có nghiệm ∀m Bài 5: Cho hai phương trình x + p1 x + q1 = ; x + p2 x + q2 = Chứng minh p1 p2 ≥ 2(q1 + q2 ) hai phương trình cho có nghiệm Bài 6: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: a x + (a + b − c ) x + b = Bài 7: Cho ba phương trình: x + 2ax + ac = ; x − 2bx + ab − c = ; x + 2cx + c = Chứng minh ba phương trình có nghiệm KẾT LUẬN Trên sở phân tích tài liệu ơn tập thi vào 10 Sở GD & ĐT Hà Nội, đề thi vào 10 năm gần đây, tổ Toán trường THCS Dịch Vọng hệ thống dạng liên quan đến PT bậc 2, Hệ thức Vi-et ứng dụng chúng Việc phân chia dạng tập có tính chất tương đối Trong q trình giảng dạy, người giáo viên phải nắm lực đối tượng học sinh, từ vận dụng cách sáng tạo để đạt hiệu cao Tổ Toán trường THCS Dịch Vọng mong nhận ý kiến đóng góp trường bạn để tồn quận có chuyên đề phục vụ giảng dạy ôn thi vào lớp 10 THPT đạt kết cao Xin trân trọng cảm ơn! 16