Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (30) Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A 1. Chứng minh: 6;5;4 cba và a 2 + b 2 + c 2 = 90 thì 16 ++ cba . (2điểm) 2. Đơn giản biểu thức: 24)1(3 24)1(3 223 223 ++ + aaaa aaaa với 2 a (1điểm) 3. Cho phơng trình: ax 2 + bx + c = 0. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ph- ơng trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: )0(0)1( 22 =+ kackbk (*)( với giả thiết là phơng trình có nghiệm). (2điểm) 4. Cho tam giác ABC (A = 90 0 ) hai cạnh góc vuông là là b và c. Lấy điểm ][BCm sao cho = 0 0( và )90 0 . Chứng minh: sincos cb bc AM + = (2điểm) 5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a. a) Chứng minh CDAB b)Tính thể tích tứ diện ABCD. (1điểm) 6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 271440 (2điểm) Hớng dẫn chấm Câu 1: a) ta có )1()1( 1)1( 1)1( 1 22 ++ ++ = +++ nnnn nnnn nnnn = 1 11 )1( 1)1( + = + ++ nn nn nnnn b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2n = 99. Ta có 2 1 1 22 1 = + 3 1 2 1 3223 1 = + 100 1 99 1 1009999100( 1 = + -------------------------------------- cộng theo từng vế S = 1 - 10 9 100 1 = Vậy S = 10 9 1.0 0.25 0.5 Câu 2: Điều kiện : x 0 Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của Hệ ( ) ( ) 2023 11 2 =+ += xxyy xy Giải (2) ta có y 1 = 2 x y 2 = x Với y 1 = 2 x (1) trở thành x + 1 = x ú ( )1 x 2 = 0 ú x = 1 Với y 2 = x (1) trở thành x + 1 = x ú x - x + 1 = 0 ú ( x - 2 1 ) 2 + 4 3 = 0 vô n 0 vậy điểm M cần tìm: M (1, 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3: Giải sử n 2 + 2006 là số chính phơng => n 2 + 2006 = m 2 (m Z) Ta có m 2 - n 2 = 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006 Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m 2 , n 2 khác tính chẵn lẻ => m 2 - n 2 là số lẻ => vô lí Hay m, n cùng tính chẵn lẻ Khi đó { 2 4))((2)( nm nmnmnm + +<=> Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n N để n 2 + 2006 là số chính phơng 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: Gọi C là giao điểm của 0A và (0) I là trung điểm 0C => I cố định Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA Có góc Ô chung. 2 1 0 0 0 0 == A M M I (gt) => tam giác 0IM tam giác 0MA => AM = 2IM. Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI không đổi Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng. KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng. Khi đó M là giao điểm của BI và (0). 0.25 0.25 0.25 0.254 Câu 5: áp dụng định lý ta lét 1 =+ =+= AF DF AE AF EF CF AF DF EF CE AE BE nhân 2 vế với AE.AF ta có BE. AF + AE.DF = AE. AF 0.5 Lại có AE. AF = AC . EF = 2 S AEF Nên BE. AF + AE . DF = AC. EF (1) Mặt khác: AF 2 = CP . EF => AF = EFCF. DF 2 = CE. EF -> DF = EFCE. Thay vào (1): BE EFACEFCEDFEFCF . =+ ú BE CF + DF CE = AC EF 0.5 0.5 0.5 Câu 6: Ta có : x, y, z N * x + y + z = xyz ú 1 111 =++ yzxzxy (1) Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử 1 x y z nên (1) <-> 1 = 2222 3111111 xxxxxzyzxy =++++ -> x 2 3 do x N * => x = 1 khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2 do 11 1,1 yz Nyz => = = 21 11 z y => = = 3 2 z y vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3 0.25 0.25 0.25 0.25 . 3223 1 = + 100 1 99 1 10 099 991 00( 1 = + -------------------------------------- cộng theo từng vế S = 1 - 10 9 100 1 = Vậy S = 10 9 1.0 0.25 0.5 Câu 2:. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (30) Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút Đề thi bảng A 1. Chứng minh: 6;5;4