Së Gd&§t NghƯ an Kú thi häc sinh giái TØnh líp 12 Năm häc 2006 - 2007 §Ị chÝnh thøc Môn thi: toán (bảng A) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Giải phơng trình:  3 x x log2  x  2 2 2  b) Chứng minh phơng trình: x5 4x2 4x = có nghiệm nghiệm nhận giá trị dơng Bài 2: a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y x 3 5 x2  b) Cho c¸c sè thùc x; y tháa m·n: < x ≤ y <  Chøng minh:  x3  6x  sin y  y3  6y sin x 2x2 y  x2 1 Bài 3: Giải hệ phơng trình: 3y z y4 y2 4z4 x  z6  z4  z2 1 Bµi 4: a) Trong mặt phẳng tọa độ Đề vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đ- ờng tròn (C) Biết (C) có phơng trình: (x 1)2 + (y + 2)2 = 5; A BC = 900; A(2;0) diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B; C b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề vuông góc Oxy cho điểm B(-3;0), C(3;0) Điểm A di động mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC thỏa mÃn: độ dài đ- ờng cao kẻ từ đỉnh A tới BC lần bán kính đờng tròn tâm I néi tiÕp tam gi¸c ABC Chøng minh A thay đổi (vẫn thỏa mÃn điều kiện toán) điểm I thuộc đờng cong cố định -HÕt Họ tên thí sinh SBD: Së Gd&§t NghÖ an Kú thi häc sinh giái tØnh líp 12 Năm học 2006 - 2007 đáp án biểu điểm chấm ®Ò chÝnh thøc Môn: Toán (Bảng A) Bµi Néi dung Điểm Bài 1: (5,5đ) a.(2,5đ) - TXĐ: D = [0; +) Đặt x t 0.25   t2 t 34 0.25 PT trë thµnh: log2  t     0 (1)  2   t2t 0.25 XÐt f(t) = log2  t     víi t   2 0.5  (2t 1)2t2t 34.ln Cã f '(t) =    t   ln 0.75  2 1 0.25 Ta cã: f '(t) >  t  0, f   0  2 0.25 pt (1) cã mét nghiÖm nhÊt t = VËy pt ®· cho cã mét nghiƯm x = b.(3®): Ta cã pt  x5 = (2x + 1)2 0.5 NÕu x lµ nghiƯm th×  x5   x5 = (2x + 1)2   x  Víi x  xÐt f(x) = x5 - 4x2 - 4x - Ta cã: f '(x) = 5x4 - 8x - 4; f "(x) = 20x3 - > víi  x  0.5  f '(x) đồng biến [1, +), mà f '(1) = -7; Lim f '(x)  0.5 x    x0  (1; +) ®Ĩ f '(x0) = 0.5 Ta có bảng biến thiên: x x0 + f'(x) - + + f(x) -8 f(x0) 0.5 Dùa vào bảng biến thiên suy pt: f(x) = có nghiệm nghiệm có giá trị dơng đpcm 0.5 Bài 2: a (3đ): TXĐ: D =   5; 5 0.25 (6 ®iĨm)   Ta cã: f '(x) = +  x2  x2 =  x2  2x2  0.5  x2  x2 0.25  f '(x) =   x2  2x2  0 ; x    5;   1.0 x   x 2   x 4  2 4  x  0.5 4x  11x  20 0 0.5 Cã f(2) = 8, f(-2) = -8, f   3 , f      Max f(x) = x = 2; Min f(x) = -8 x = -2 b (3®) Do < x  y <   sinx > 0, siny > 0.5 Bất đẳng thức x3  6x y3  6y 0.25 sin x sin y XÐt f(t) = t3  6t 0.25 víi t  (0; ) Cã f '(t) =  3t2  6 sin t   t3 sin t  6t  cost 0.5 sin2 t XÐt g(t) = (3t2 - 6)sint - (t3 - 6t)cost víi t  (0; ) 0.5 Cã g'(t) = t3sint >  t  (0; ) 0.5 g(t) đồng biến (0; ) g(t) > g(0) =  f'(t) > víi t (0; ) f(t) đồng biến (0; ) 0.5 mµ x y f(x) f(y) suy đpcm Bài 3: Trờng hợp 1: Với x = hệ cã nghiÖm x = y = z = 0.5 (3 điểm) Trờng hợp 2: Với x để hệ có nghiệm x > 0, y > 0, z > 0.25 Giả sử (x, y, z) nghiệm cđa hƯ cã: 2x2 = y(1 + x2)  2xy  x  y 0.5 3y3 = z(y4 + y2 +1)  z.3y2  y  z (v× y4 + y2 +  3y2) 0.5 4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1)  x.4z3  z  x (v× z6 + z4 + z2 +  4z3) 0.5 VËy: x  y  z  x  x = y = z Khi thay vào hệ ta cã nghiÖm: x = y = z = 0.25 0.25 HÖ cã nghiÖm: x = y = z = hc x= y = z = 0.25 Bài 4: a (3đ): (C) có tâm I(1; -2), b¸n kÝnh R = 0.25 (5,5 ®) Do A BC 900  C ®èi xøng víi A qua I  C(0; -4) 0.25 0.25 cã pt đờng thẳng AC là: 2x - y - = 0.25 2S Cã SABC =  kho¶ng cách từ B đến AC là: d = AC 0.25  pt cña  cã d¹ng: 2x - y + m =  B đờng thẳng AC, cách AC khoảng b»ng d 0.25 mµ   AC khoảng cách từ A đến d  m  m 0 0.25 VËy   5  m  + Víi m = pt cđa : 2x - y = toạ độ B nghiệm hÖ: 6 0.5 y 2x x 0 x   5  hc   x  1   y  2 5 y 0  122 y   0.5 + Víi m = -8 Pt cđa  : 2x-y- = toạ độ B nghiệm cđa hƯ:  16 y 2x  x  x 2 5   hc   x  1   y  2 5 y  y  82  0.25 Vậy toạ độ C(0; - 4), toạ độ B là: (0; 0) ( ; 12 ) 55 hc (2; -4) hc ( 16 ; ) 55 b (2,5đ): Kẻ AH BC, IK BC, đặt AH = h, bán kính đờng tròn nội tiếp lµ r vµ I(x; y) Cã: h = 3r  (AB + BC + CA)r = 3BC.r 0.5 y  AB + CA = 2BC  sinC + sinB = 2sinA A  cotg B cot g C = (*) 0.5 I mµ cotg B BK ; cot g C CK 0.25 IK IK 0.25 -3 Tõ (*)  BK.CK = 3IK (**) 0.25 B Do I là0tâmKđờHng tCròn nxội tiếp K thuộc đoạn BC nªn BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK2 = y2 0.25 0.25 Thay vµo (**) ta cã: x2 + 3y2 = 0.25 Suy I thuéc ®êng cong cã phơng trình: x2 + 3y2 = Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà cho ®iÓm tèi ®a ... (1; +) ®Ĩ f ''(x0) = 0.5 Ta cã b¶ng biÕn thi? ?n: x x0 + f''(x) - + + f(x) -8 f(x0) 0.5 Dựa vào bảng biến thi? ?n suy pt: f(x) = cã mét nghiƯm nghiệm có giá