Hình học 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TĨM TẮT LÝ THUYẾT ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         =∧ =++⇔=⇔⊥ ==⇔=∧⇔=⇔ ++=      = = = ⇔= ++= = ±±±=± −+−+−== −−−= 21 21 13 13 32 32 332211 3 3 2 2 1 1 332211 33 22 11 2 3 2 2 2 1 321 332211 222 ,,a .10 0 .0.a .9 0.//a .8 a .7 a .6 a .5 ,,ak. .4 ,, .3 .2 ),,( .1 bb aa bb aa bb aa b babababab b a b a b a babkab bababab ba ba ba b aaa kakaka babababa zzyyxxABAB zzyyxxAB ABABAB ABABAB cb,,a .11 đồng phẳng ( ) 0. =∧⇔ cba cb,,a .12 khơng đồng phẳng ( ) 0. ≠∧⇔ cba 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1       − − − − − − k kzz k kyy k kxx M BABABA 1 , 1 , 1 14. M là trung điểm AB       +++ 2 , 2 , 2 BABABA zzyyxx M 15. G là trọng tâm tam giác ABC       ++++++ , 3 , 3 , 3 CBACBACBA zzzyyyxxx G 16. Véctơ đơn vị : )1,0,0();0,1,0();0,0,1( 321 === eee 17. OzzKOyyNOxxM ∈∈∈ ),0,0(;)0,,0(;)0,0,( 18. OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,( 19. 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 aaaACABS ABC ++=∧= ∆ 20. ADACABV ABCD ).( 6 1 ∧= 21. / . ).( //// AAADABV DCBAABCD ∧= CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác • A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ [ →→ AC,AB ] ≠ 0  • S ∆ ABC = 2 1 →→ AC],[AB • Đường cao AH = BC S ABC ∆ .2 • S hbh = →→ AC],[AB Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành • Chứng minh A,B,C không thẳng hàng • ABCD là hbh ⇔ DCAB = Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: • [ →→ AC,AB ]. → AD ≠ 0 • V td = 6 1 →→→ AD.AC],[AB Đường cao AH của tứ diện ABCD AHSV BCD . 3 1 = ⇒ BCD S V AH 3 = • Thể tích hình hộp : [ ] / . .; //// AAADABV DCBAABCD = Dạng4: Hình chiếu của điểm M 1. H là hình chiếu của M trên mp α  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mpα : ta có α na d =  Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α) 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)  Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có d an = α  Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α) Dạng 5 : Điểm đối xứng 1.Điểm M / đối xứng với M qua mp α  Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng 4.1)  H là trung điểm của MM / 2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:  Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)  H là trung điểm của MM / TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến của mp α : n  ≠ 0  là véctơ pháp tuyến của α ⇔ n  ⊥ α ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV:NBQ DLĐK 1 TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN MẶT PHẲNG Hình học 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Cặp véctơ chỉ phương của mp α : a  b  là cặp vtcp của α ⇔ a  , b  cùng // α 3 Quan hệ giữa vtpt n  và cặp vtcp a  , b  : n  = [ a  , b  ] 4. Pt mp α qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n  = (A;B;C) A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0 (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n  = (A; B; C) 5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 1 c z b y a x =++ Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến 6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chùm mặt phẳng : giả sử α 1 ∩ α 2 = d trong đó (α 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (α 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Pt mp chứa (d) có dạng sau với m 2 + n 2 ≠ 0 : m(A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + n(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 8. Vò trí tương đối của hai mp (α 1 ) và (α 2 ) : ° 222111 C:B:AC:B:Acắt ≠⇔βα ° 2 1 2 1 2 1 2 1 // D D C C B B A A ≠==⇔ βα ° 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ===⇔≡ βα ª 0 212121 =++⇔⊥ CCBBAA βα 9.KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 222 ooo CBA D Cz By Ax ++ +++ = )d(M, α 10.Góc gi ữa hai mặt phẳng : 21 21 . . nn nn   = ),cos( βα CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C : ° Cặp vtcp: → AB , → AC ° ] )( →→ = AC , AB[nvtpt qua  ChayBhayA α Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° → = AB vtpt AB điểm trungMqua n  α Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc AB) ° ) ( AB n → ⊥ = d a vtpt nên (d) Vì Mqua  α α Dạng 4: Mp α qua M và // β : Ax + By + Cz + D = 0 ° βα βα α n n vtpt nên // Vì M qua  = Dạng 5: Mp α chứa (d) và song song (d / )  Điểm M ( chọn điểm M trên (d))  Mpα chứa (d) nên α aa d = Mpα song song (d / ) nên α ba d = / ■ Vtpt [ ] / , d d aan = Dạng 6 Mp α qua M,N và ⊥ β : ■ Mpα qua M,N nên α aMN = ■ Mpα ⊥ mpβ nên αβ bn = ° ],[ β α n nvtpt N) (hayM qua  → = MN Dạng 7 Mp α chứa (d) và đi qua ■ Mp α chứa d nên α aa d = ■ Mp α đi qua )(dM ∈ và A nên α bAM = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV:NBQ DLĐK 2 // Hình học 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ° ],[ AM nvtpt A qua → = d a  α (Cách 2: sử dụng chùm mp) TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a  = (a 1 ;a 2 ;a 3 ) Rt; tazz tayy taxx (d) 3o 2o 1o ∈      += += += : 2.Phương trình chính tắc của (d) 32 a z-z a yy a xx (d) o 1 o 0 : = − = − 3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α 1 và α 2    =+++ =+++ 0 DzBxA 0 DzBxA (d) 2222 1111 Cy Cy : Véctơ chỉ phương         = 22 11 22 11 22 11 ,, BA BA AC AC CB CB a 4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng : (d) qua M có vtcp d a  ; (d’) qua N có vtcp / d a  d chéo d’ ⇔ [ d a  , / d a ]. → MN ≠ 0 (không đồng phẳng)  d,d’ đồng phẳng ⇔ [ d a  , / d a ]. → MN = 0  d,d’ cắt nhau ⇔ [ d a  , / d a ] 0 ≠ và [ d a  , / d a ]. → MN =0  d,d’ song song nhau ⇔ { d a  // / d a và )( / dM ∉ }  d,d’ trùng nhau ⇔ { d a  // / d a và )( / dM ∈ } 5.Khoảng cách : Cho (d) qua M có vtcp d a  ; (d’) qua N có vtcp / d a Kc t ừ đ iểm đến đ ường thẳng : d d a AMa dAd ];[ ),( = Kc giữa 2 đ ường thẳng : ];[ ].;[ );( / / / d d d d aa MNaa ddd = 6.Góc : (d) có vtcp d a  ; ∆ ’ có vtcp / d a ; ( α ) có vtpt n  Góc gi ữa 2 đường thẳng : / / . . ' d d d d aa aa   = )dcos(d, Góc gi ữa đ ường và m ặt : na na d d   . . = )sin(d, α CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B    = ABaVtcp hayBquaA d d )( )( Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( ∆ ) ∆ =∆ a d a vtcp nên )( // (d) Vì qua  A d )( Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp α α α n d a vtcp nên )( (d) Vì qua  =⊥ A d)( Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên α : d / = α ∩ β  Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα ( ) ( ) ( )        =⇒ =⇒⊥ =⇒⊃ ∈ ];[ )()( )( αβ βα β αβ β β nan bn aad dquaM d d ª    )( )( )( / β α d Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 ) ] d a , d a [ avtcp qua 1 2 )(  = A d Dạng 6: PT d vuông góc chung của d 1 và d 2 : + Tìm d a = [ a  d1 , a  d2 ] + Mpα chứa d 1 , (d) ; mp β chứa d 2 , (d) ⇒ d = α ∩ β Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = α ∩ β ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV:NBQ DLĐK 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Qui ước: Mẫu = 0 thì Tư û= 0 Hình học 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- với mpα = (A,d 1 ) ; mpβ = (A,d 2 ) Dạng 8: PT d // ∆ và cắt d 1 ,d 2 : d = α 1 ∩ α 2 với mpα 1 chứa d 1 // ∆ ; mpα 2 chứa d 2 // ∆ Dạng 9: PT d qua A và ⊥ d 1 , cắt d 2 : d = AB với mpα qua A, ⊥ d 1 ; B = d 2 ∩ α Dạng 10: PT d ⊥ (P) cắt d 1 , d 2 : d = α ∩ β với mpα chứa d 1 ,⊥(P) ; mpβ chứa d 2 , ⊥ (P) TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:R)S(I, 222 =−+−+− (1) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 =+−−−++ (2) ( 0dcbavới 222 >−++ ) • Tâm I(a ; b ; c) và dcbaR −++= 222 2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:(S) 222 =−+−+− và α : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mpα :  d > R : (S) ∩ α = φ  d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp α )  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có α na d =  Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)  d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt ( ) ( ) ( )    =+++α =−+−+− 2 0DCzByAx : Rczbyax:(S) 222 *Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn: + bán kính ),( 22 α IdRr −= + Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có α na d =  Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α) 3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu      += += += tazz tayy taxx d 3o 2o 1o : (1) và ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:(S) 222 =−+−+− (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A ª ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:R)S(I, 222 =−+−+− (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R 2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Tâm I là trung điểm AB  Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R 2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α 222 )( CBA D I zC I yB S ++ +++ == I A.x )d(I, R I tâmcầu mặt Pt α Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ( ∆ ) )d(I, R I tâm ∆= )(S Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Dùng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 =+−−−++ A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ hệ pt, giải tìm a, b, c, d Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 =+−−−++ (2) A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2) I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV:NBQ DLĐK 4 MẶT CẦU Hình học 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tiếp diện α của mc(S) tại A : α qua A, → = IA n vtpt  Dạng 8: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và ⊥ ∆ + Viết pt mpα vuông góc ∆ : ),,( CBAan == ∆ + Mpα : Ax + By + Cz + D = 0 + Tìm D từ pt d(I , α ) = R Dạng 9: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b : R )d(I, từ 0CzByAx :pt ] b, a[ n D D ⇒= =+++ = α α   Dạng 10: Mp α chứa ∆ và tiếp xúc mc(S ) : nm, )d(I, R chứa mp chùm thuộc ⇒= ∆ α α ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV:NBQ DLĐK 5 .   = ),cos( βα CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C : ° Cặp vtcp: → AB , → AC ° ] )( →→ = AC , AB[nvtpt qua  ChayBhayA α Dạng 2: Mặt phẳng. na na d d   . . = )sin(d, α CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B    = ABaVtcp hayBquaA d d )( )( Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và