NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: 0 1 1 2 2 2 1 1 ( ) . n n n n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C ab C b − − − − + = + + + + + 2.Nhận xét Trong khai triển Newton (a+b) n có các tính chất sau * Gồm có n+1 số hạng * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n *Các hệ số có tính đối xứng: k n k n n C C − = * Số hạng tổng quát : 1 k n k k k n T C a b − + = VD: Số hạng thứ nhất 0 1 0 1 n n T T C a + = = , số hạng thứ k 1 1 1 ( 1) 1 k n k k k n T C a b − − + − − + = 3. Một số hệ quả Hq: Ta có : 0 1 2 2 (1 ) . n n n n n n n x C xC x C x C+ = + + + + Từ khai triển này ta có các kết quả sau * 0 1 . 2 n n n n n C C C+ + + = * 0 1 2 . ( 1) 0 n n n n n n C C C C− + − + − = 3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như *Xác định hệ số của x k trong khai triển * Xác định hệ số không chứa x PP: Dùng công thức khai triển , khi đó 1 k n k k k n T C a b − + = VD1: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau 10 9 7 8 9 ) ( ) (1 2 ) ) ( ) (2 3 ) ) ( ) (1 ) (1 ) (2 ) a P x x b P x x x c P x x x x = − = + = + + − + + VD2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau 12 4 3 17 3 2 2 ) ( ) ( ) ( 0) 1 ) ( ) ( ) ( 0) a f x x x x b f x x x x = − ≠ = + > VD3: Trong khai triển của 10 1 2 ( ) 3 3 x+ thành đa thức 2 9 10 0 1 2 9 10 .a a x a x a x a x+ + + + + , hãy tìm hệ số a k lớn nhất ( 0 10k≤ ≤ ). VD4: Cho khai triển 1 1 0 3 3 2 2 (2 2 ) (2 ) . (2 ) x x x x n n n n n n C C − − − − + = + + (n là số nguyên dương). Biết trong khai triển đó 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. VD5: Xét khai triển 10 11 10 1 11 ( 1) ( 2) .x x x a x a+ + = + + + . Tính a 5 =? VD6: Với n là số nguyên dương, gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n-3 =26n. Dạng 2: Tính tổng 0 n k k k n k T a C b = = ∑ PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton 0 1 2 2 (1 ) . n n n n n n n x C xC x C x C+ = + + + + , ta chọn những giá trị x thích hợp Ví dụ 1.Cmr: 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 ) . . n n n n n n n n a C C C C C C − + + + = + + + 0 1 1 0 ) . k k k k m n m n m n m n b C C C C C C C − + + + + = Ví dụ 2: Tính các tổng sau 0 1 2 1 1 1 ) . 2 3 1 n n n n n a C C C C n + + + + + 1 2 ) 2 . n n n n b C C nC+ + + 2 3 4 ) 2.1. 3.2 4.3 . ( 1) n n n n n c C C C n n C+ + + + − 0 2 2 4 4 2006 2006 2007 2007 2007 2007 ) 2 2 . 2d C C C C+ + + + Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 2 4 . 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + = Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 1 ( ) n x x + , biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − . Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x 2 +x) 100 , chứng minh rằng 2 99 1 100 99 198 100 199 100 100 100 100 1 1 1 1 100 ( ) 101 ( ) . 199 ( ) 200 ( ) 0 2 2 2 2 C C C C− + − + = Ví dụ 6: Tính tổng 2 1 0 1 3 1 3 1 . 2 1 n n n n n S C C C n + − − = + + + + Ví dụ 7: Tính tích phân 1 2 0 (1 ) n I x x dx= − ∫ và tính tổng 0 1 3 4 1 1 1 1 ( 1) . 2 4 6 8 2( 1) n n n n n n n S C C C C C n − = − + − + + + Bài tập 1. Xét khai triển 20 1 (2 )x x + a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 2. Xác định hệ số của x 4 trong khai triển 2 10 ( ) (3 2 1)f x x x= + + 3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 28 3 15 ) ( ) ( ) n a f x x x x − = + biết rằng 1 2 78 n n n n C C − − + = với x>0. b) 7 3 4 1 ( ) ( )f x x x = + với x>0 4. Giả sử n là số ngun dương và 0 1 (1 ) . n n n x a a x a x+ = + + + . Biết rằng tồn tại số ngun k ( 1 1k n≤ ≤ − )sao cho 1 1 2 9 24 k k k a a a − + = = . Tính n=? 5. Tìm hệ số chứa x 8 trong khai triển nhị thứ Newton của 5 3 1 ( ) n x x + , biết rằng 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + 6. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1-x)] 8 . 7. Trong khai triển nhị thức 21 3 3 ( ) a b b a + tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau. 8. Cho n là số ngun dương. Tính tổng 2 1 0 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n n S C C C n + − − = + + + + 9. Tìm số ngun dương n sao cho 1 2 2 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 . (2 1)2 2005 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = 10. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x) 2n , biết n là số ngun dương thỏa mãn 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1024 n n n n n C C C C + + + + + + + + + = . 11. Giả sử 2 0 1 2 (1 2 ) . n n n x a a x a x a x+ = + + + + , biết rằng 0 1 . 729 n a a a+ + + = . Tìm n và số lớn nhất trong các số a 0 ,a 1 ,…,a n . 12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử lẻ. 13. Tính tổng 1 2 2 2 2 . n n n n S C C n C= + + + . 14. Cho 1 2 0 2.4.6 (2 2)2 (1 ) 1.3.5 (2 1)(2 1) n n n I x dx n n − = − = − + ∫ . Hãy tính tổng sau 1 2 3 1 1 1 ( 1) 1 . 3 5 7 2 1 n n n n n n S C C C C n − = − + − + + + 15. Tính các tổng sau 1 3 2 3 3 3 2 3 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ) 2 3 . 2 2 2 ) . 3 4 1 ) 3 2 3 3 3 . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S C C C n C b S C C C C C n c S C C C nC − − − = + + + + = + + + + + + = + + + + 16. .Với mỗi n là một số tự nhiên,hãy tính tổng: 0 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 . 2 2 3 4 1 n n n n n n n C C C C C n + + + + + + Bổ sung các tính chất Chứng minh các đẳng thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 4 4 1) 2) 3) 4) 2 (2 ) 5) 4 6 4 (4 ) k k k n n n k k n n k k k n n n k k k k n n n n k k k k k k n n n n n n A kA A kC nC C C C C C C C k n C C C C C C k n − − − − − − − − − − + − − − − + + = = + = + + = ≤ ≤ + + + + = ≤ ≤ 6) mọi n≥2 ta luôn có: 2 2 2 2 3 1 1 1 1 . n n A A A n − + + + = 7) Tính giá trị của biểu thức 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + biết 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = 8. Tính tổng 2 1 1 1 1 2 . . p n n n n n p n n n n C C C S C p n C C C − − = + + + + + . NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: 0 1 1 2 2 2 1 1 ( ) . n n n n n n n n n n n n. triển nhị thức Newton của 7 4 1 ( ) n x x + , biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − . Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton