A Phân tích đa thức thành nhân tử I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phơng pháp đặt nhân tử chung a) Phơng pháp : + Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đa nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử dấu ngoặc thơng phép chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tö : 1) A = 5x 2y – 10xy 2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) 3) C = (y – z)(2x 2y – yz) – (4yx + yz 2)(z – y 2) + 6x 2z(y z) Bài toán 1.1: Phân tích ®a thøc Q = (x + 2z)(3x + 5x 2y) – (7x – 3x 2y)(2z + x) Bµi toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b – 2c) – (a – 4)(2c – b ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức H = 3xmy – 9x ny2 + 15x n+1 víi m, n ∈ N, m > n Phơng pháp dùng đẳng thức a) Phơng pháp: Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) D = x2 – x + 2) E = 9(x + 5) – (x +7) 3) F = – x3 + 9x2 – 27x + 27 4) G = 27a3b6 Bài toán 1.1: Phân tích đa thøc M= x − 81y 25 Bµi toán 1.2: Phân tích đa thức N = x − y6 + (x + x2 y2 + y4 ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức K = x6 3) Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phơng pháp: Sử dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích Lu ý: Thờng ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác b)Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 xy + x – y 2) x - 2xy - z + y + 2zt – t 3) – x + 2xy – y Bài toán 1.1: Phân tích đa thức E = 3x3 75x + 6x 150 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức F = x + ( a + b + c ) x + (ab + ac + bc ) x + abc Bài toán 1.3: Phân tích đa thức G = x ( y − z ) + y ( z − x ) + z( x − y ) Ph ơng pháp phối hợp ph ơng pháp a) Phơng pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên ý chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau : Bớc 1: Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay không? ã Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với bớc tiếp tục thực đến kết cuối ã Nếu nhân tư chung, chun sang bíc Bíc 2: NÕu ®a thức có dạng hàng đẳng thức áp dụng phơng pháp đẳng thức Nếu không chuyển qua bớc Bớc 3: Dùng phơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử chung b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + – 2y2 2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 Bài toán 1.1: Phân tích đa thøc I = 3n − 12n + 27 − 3m Bài toán 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài toán 1.3: Phân tích đa thức L = 7a c + 14a c − 7ac + 28c + 7ac − 28 Ph¬ng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a) Phơng pháp: Có số đa thức nhân tử chung dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp b) VÝ dơ: VÝ dơ 1: Ph©n tÝch: x2 – 6x + Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx đà đợc tách thành hạng tử bậc Ví dụ 2: 4x2 – 4x – VÝ dô 3: 3x2 – 8x + VÝ dô 4: x – 5x + Bài toán 1.1: Phân tích đa thức H = x 21x + 38 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức I = x + 5x 14 Bài toán 1.3: Phân tích đa thức K = x2 + 4x 21 Phơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ) a) Phơng pháp: Trong số toán, ta nên đa biến phụ vào để việc giải toán đợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đa dạng tam thức bậc hai sử dụng phơng pháp khác tiếp tục phân tích b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2 Gi¶i: 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 §Ỉt x2 + x + = y ⇒ x2 + x + = y + f(x) = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta đợc: f(x) = (x2 + x 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiÕp: x2 + x – = x2 – x + 2x – = x(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x + 2) 2  19 1 1  x + x + = x + x +  ÷ − ÷ +5=x + ÷ + 2 2 2  2 2 1  19 19  Vì x + ữ 0x, x R nên x + ữ + 2 4 Và x2 +x + phân tích đợc Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5) 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) 24 Đặt y = x2 + 5x + ⇒ x2 + 5x + = y + ta đợc: h(x) = y(y + 2) – 24 = y2 + 2y – 24 = y2 - 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4) = (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + , ta đợc: h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) KÕt qu¶: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m, ta cã: g(x) = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz, ta đợc : g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 KÕt qu¶: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 ã Dạng đặc biệt Xét Q(x) = ay2 + by + c NÕu cã c¸c sè m, n cho m.n = a.c, m + n = b th× ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).NÕu a = th× y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trờng hợp a, b, c nguyên trớc hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trị tuyệt đối m n nhỏ b Sau chọn m, n thoả mÃn m + n = b Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Cách giải: đặt biến phụ y = x2 áp dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử Bài toán 1.1: Phân tích đa thức A = x − 3x + 3x − Bµi toán 1.2: Phân tích đa thức B = ( x − x ) − 14( x − x ) + 24 Bài toán 1.3: Phân tích đa thức C = ( x − x + 2)( x − x − 6) − 24 Phơng pháp thêm bớt hạng tử a) Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử có dạng đẳng thức dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thờng hay đa dạng đẳng thức đáng nhớ sau thêm bớt b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 – 3abc 2) x5 – 3) 4x4 + 81 4) x8 + x4 + Gi¶i: Các hạng tử đa thức đà cho không chứa thừa số chung, dạng đẳng thức nào, nhóm số hạng Vì ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phơng pháp phân tích đà biết 1) a3 + b3 + c3 3abc Ta thêm bớt 3a2b +3ab2 sau nhóm để phân tích tiếp a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 Ta thêm bớt x sau dùng phơng pháp nhóm: x5 = x – x + x – = (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1] 3) 4x4 + 81 Ta thêm bớt 36x2 sau nhóm hạng tử phù hợp để có dạng đẳng thức: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) 4) x8 + x + Ta thêm bớt x4 sau nhóm hạng tử sử dụng đẳng thức để phân tích tiếp: x8 + x4 + = x8 + 2x4 + – x4 = (x4 + 1)2 – x4 = (x4 + – x2)(x4 + + x2) =(x4 – x2 + 1)(x4 + 2x2 – x2 + 1) =(x4 – x2 + 1)[(x2 + 1)2 – x2 ] =( x4 – x2 + 1)(x2 + + x2)(x2 + – x2) = (x4 – x2 + 1)(2x2 + 1) Khai thác toán: Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta giải toán t ơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M = x4 + 4y Bài toán 1.2: Phân tích ®a thøc N = x4 + x2 + Bµi toán 1.3: Phân tích đa thức P = (1 + x )2 – 4x(1 + x 2) II BàI TậP Tự LUậN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tö chung: a) 3x(x – 2y) + 7(2y – x)2 b) 2ab3 + 6a2b – 14ab c) 5x(y – 3)2 – (3 – y)3 d) – 3xmy + 9xn+1y3 – 15xny víi m,n ∈ N, m > n 1 e) x(y − 1) − x y(y − 1) 3 f) (4x – 8)(x + 6) – (4x – 8)(x + 7) + 9(8 – 4x) g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7 h) 7xy5(x – 1) – 3x2y4(1 – x) + 5xy3(x – 1) Bµi 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức: a) (x y + 1) – (x – y + 1) + b) 27x – c) (a + b) – (a – b) d) 8x + 12x 2y + 6xy + y e) 64x 6y4 – 81x y2 f) 25m2 – (x – 1)2 g) x3 – 3x2 + 3x – h) 64x3 + 27 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiỊu h¹ng tư: a) ax + bx − cx + ax + bx − cx b) x2 + 4x - y2 + c) 10ay – 5by + 2ax – bx d) a2m – b2m + a2n – b2n e) m3 + 4m2 – 9m -36 f) 3x3 + 6x2 – 75 x – 150 g) 5x2 – 5xy – 3x + 3y h) x2 – xz 9y2 + 3yz Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp tách hạng tö: a) A = 4x2 - 8x + b) B = 15x2 – 31x + c) C = 12x2 - 15x + d) D = x2 + 5x + e) E = x2 – 5x + 14 f) F = x2 – 3x – g) G = a2 – 7ab + 10b2 h) H = x + x + 6x + 5x + Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp đặt ẩn phụ: a) f(x) = (x2 – 3x -1)2 – 12 (x2 – 3x – 1) + 27 b) g(x) = ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + c) h(x) = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – d) k(x) = (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – y) + e) l(x) = (x2 – 2x)(x2 – 2x -1) – f) p(x) = (x2 + 4x – 3)2 – 5x(x2 + 4x – 3) + 6x2 g) q(x) = (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp thêm bớt: a) 4x4 + y4 b) x + x + c) x4 + 5x3 +10x - d) x + x + e) x3 + y3 + z3 - 3xyz f) x4 + 64 g) x 10 + x + Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định: a) f(x) = x 6x + 11x − 6x + b) g(x) = x − x + 2x − 11x − c) h(x) = x2 + 3x + d) k(x) = x4 - 3x3 + 6x2 - 5x + Bà i 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp tìm nghiệm: a) A = 2x – 5x + 3x + 10 b) B = x5 + c) C = x3 + 3x2 - 4x + d) D = x + 4x – Bài 9: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp phối hợp phơng pháp : a) 3ab3 6a2b2 + 3a3b b) x − + (x − 2)2 c) x − 2x + x − xy d) x − 4x − 12x + 27 e) + x 64 f) x – 2xy + y2 – xz + yz g) x + ( + 2)x + h) x + x + 6x + 5x + i) a(b2 – c2) – b(c2 – a2) + c(a2 – b2) k) x − 2y − 3xy III Bµi tËp tỉng hợp Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz b) 8x (y + z) − y3 (z + 2x) − z (2x − y) c) (x + y + z)3 − x − y3 − z d) x16 − e) x + y6 Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử nhiều cách: x 7x Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp a) f(x) =5x 10xy + 5y – 20z b) g(x) = x – x + 3x2 y + 3xy2 + y – y c) h(x) = 2x + 7x – 2x – 13x + d) k(x) = 27x – 9x + 14x – e) l(x) = (x + x) + 4(x + x) – 12 f) m(x) = x + 27 g) n(x) = x + 3x2 + h) p(x) = (x + 2)(x + )(x + 4)(x + 5) – 24