TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 PHAÀN I: HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1>HAØM SOÁ 2>HAØM SOÁ 3>HAØM SOÁ 4>HAØM SOÁ SIN COS TAN COT Moät soá tính Moät soá tính Moät soá tính Moät soá tính chaát cuûa haøm chaát cuûa haøm chaát cuûa haøm chaát cuûa haøm soá y=sinx soá y=cos soá y=tanx soá y=cotx a>Taäp xaùc a>Taäp xaùc ñònh a >Taäp xaùc a>Taäp xaùc ñònh ñònh D=R D=R ñònh b>Taäp giaù trò : b>Taäp giaù trò : b>Taäp giaù trò haøm soá R c>Laø haøm soá c>Laø haøm soá b>Taäp giaù trò c>Laø haøm soá leû chaün haøm soá R soá leû d>Haøm soá d>Haøm soá c>Laø haøm d>Haøm soá tuaàn hoaøn tuaàn hoaøn leû vôùi tuaàn hoaøn vôùi vôùichu kyø 2 vôùichu kyø 2 d>Haøm soá chu kyø tuaàn hoaøn BAØI TAÄP xaùc ñònh haøm soá chu kyø Baøi 1 :Tìm taäp sau : Baøi 2 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau : PHAÀN I I : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG sin GBIAÙC I> PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN sin=a=OK M K 1>Phöông trình löôïng giaùc cô baûn : sinx=a (1) cos +Vôùi |a|>1 thì phöông trình (1) voâ nghieäm +Vôùi O H A 1 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 i/Neáu a laø giaù trò cuûa moät goùc ñaëc bieät naøo ñoù thì ñaët : a= khi ñoù ta coù : Chuù yù : ii/Neáu a laø giaù trò khoâng coù goùc ñaëc bieät thì *BAØI TAÄP : Giaûi phöông trình : 2>Phöông trình löôïng giaùc cô baûn : cosx=a (2) sin +Vôùi |a|>1 thì phöông trình (2) voâ nghieäm B +Vôùi cos=a=OH M K i/ Neáu a laø giaù trò cuûa moät goùc ñaëc bieät thì ñaët a= khi ñoù ta coù : cos O H A Chuù yù : ii/ Neáu a khoâng phaûi laø giaù trò cuûa goùc baëc bieät thì 2 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 *BAØI TAÄP : Giaûi phöông trình : 3>Phöông trình löông giaùc cô baûn tanx=a (3) +Ñieàu kieän : +Neáu a laø gía trò cuûa goùc ñaëc bieät thì Ñaët a= khi ñoù ta coù: tanx= Chuù yù : +Neáu a khoâng laø giaù trò cuûa goùc ñaëc bieät thì 4>Phöông trình löôïng giaùc cô baûn cotx=a (4) +Ñieàu kieän : +Neáu a laø giaù trò cuûa goùc ñaëc bieät thì Ñaët khi ñoù ta coù : Chuù yù : + Neáu a khoâng laø giaù trò cuûa goùc ñaëc bieät thì : BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình : 3 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 5>TOÙM LAÏI : CHUÙ YÙ : COÂNG THÖÙC NGHIEÄM CUÛA CAÙC PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN : * * * * BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc : 4 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 II>PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC THÖÔØNG GAËP 1)Phöông trình baäc nhaát * asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau : 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 4>3cosx+5=0 5> 6> 2>Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc A>Phöông trình baäc hai ñoái vôùi haøm soá sin * asin2x+bsinx+c=0 Ñaët sinx=t ñk khi ñoù ta coù : at2+bt +c=0 BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/ 4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 6/ sin23x-2sin3x- 9/ 3=0 7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 cos2x+sinx+1=0 10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> B>Phöông trình baäc hai ñoái vôùi haøm soá cos * acos2x+bcosx+c=0 Ñaët cosx=t ñk khi ñoù ta coù : at2+bt +c=0 5 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin2x+5cosx+1=0 3>cos2- 9/sin2x- 4cosx+5/2=0 4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0 7/ 8/2cos2x+cosx-1=0 2cos2x+cos2x=0 10>sin2x+cos2x+cosx=0 11> 12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x C>Phöông trình baäc hai ñoái haøm tan vaø cot * atan2x+btanx+c=0 Ñk Ñaët tanx=t khi ñoù ta coù : at2+bt +c=0 * acot2x+bcotx+c=0 Ñk : Ñaët cotx=t khi ñoù ta coù : at2+bt +c=0 BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình sau : 1>tan2x-tanx-2=0 2> 3> 4> 3>Phöông trình thuaàn nhaát baäc hai ñoái vôùi sin vaø cos Phöông trình coù daïng : Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D +B1: xeùt cosx=0 +B2 : vôùi chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x ta ñöôïc : (A-D)tan2x+Btanx+C-D=0 BAØI TAÄP : Giaûi caùc phöông trình : 4> Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sin vaø cos 6 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 (Nhaéc laïi coâng thöùc coäng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b) Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b) Phöông trình coù daïng : asinx +bcosx =c Ñeå phöông trình coù nghieäm thì ñieàu kieän laø : khi ñoù ta ñöôïc : Khi ñoù ta chia hai veá cuûa phöông trình vôùi Do neân ñaët : Khi ñoù ta ñöôïc : Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình : 7 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I>QUI TẮC ĐẾM a>Qui tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện b>Qui tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc BÀI TẬP II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a>Hoán vị : Có tập hợp A gồm n phần tử Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của b phần tử Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hoán vị Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)… 3.2.1 b>Chỉnh hợp : Cho tập A gồm n phàn tử Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : c>Tổ hợp Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập Cho tập hợp A gồm n phần tử k của n phần tử của tập đã cho Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi : a/ Có tất cả bao nhiêu cách b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ III>NHỊ THỨC NIU TƠN Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn Số hạng thứ k+1 là : 8 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 có bao nhiêu cách chọn một viên bi ? Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ? Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ nhiên Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau b> 3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ? c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ? Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c> Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ? d> Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 8 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 Có biêu cách lập một số tự nhiên a> Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ? b> Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a> Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 b> Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 c> Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550 Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a> Có 3 chữ số khác nhau b> Có 4 chữ c> Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau d> Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên : a> Số có 4 chữ số đôi một khác nhau b> Số có 5 chữ số c> Số có 3 chữ số chia hết cho 5 d> Số có 4 chữ số trong đó luôn có chữ số 1 Bài 11: Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 9 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau b> Có 3 chữ số và luôn có mặt chữ số 9 c> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> là số chẵn có 3 chữ số b> số có 4 chữ số và luôn có mặt chữ số 5 c> Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có 3 chữ số và đôi một khác nhau b> Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5 CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu : a> Các học sinh ngồi tuỳ ý b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho : a> Bạn C ngồi chính giữa b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học Có bao nhiêu cách chọn nếu: a> Phải có đủ 3 môn b> Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông ) Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp 10 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu : a> Mọi người đều vui vẽ tham gia b> Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn a> Nếu ít nhất hai nữ b> Nếu chọn tuỳ ý Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho : a> Có đúng 2 nam b> Có ít nhất 2 nam và 1 nữ Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức : Bài 31 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : , , Bài 32 : Tìm hệ số của x5 trong nhị thức sau : , , Bài 33 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : , Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 Tìm n ? Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển : Bài 37 : Tìm số hạng không chưa x trong khai triển sau : Bài 38 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức 11 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1/ PHÉP THỬ Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử Ví dụ : Gieo một đồng tiến , gieo một con súc sắc , rút một con bài từ bộ bài ,… 2/KHÔNG GIAN MẪU Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký hiệu là đọc là ô mê ga Ví dụ : tìm không gian mẫu của các phép thử sau : 1/Gieo một đồng tiến hai lần 2/Gieo một con súc sắc hai lần 3/Từ các số 1,2,3 tìm các số có 3 chữ số 3/BIẾN CỐ Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập gọi là biến cố không thể , tập gọi là biến cố chắc chắn Chú ý : biến cố có thể cho dưới dạng là một mệnh đề mô tả tập hợp , hoặc cho dưới dạng là một tập con của không gian mẫu Ví dụ : 1/gieo một đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố : A”Mặt sấp xuất hiện lần đầu tiên “ B”có ít nhất là một mặt sấp “ 2/Giéo một con súc sắc hai lần , Hãy xác định biến cố : A”Hai lần gieo có số chấm bằng nhau “ B”Hai lần gieo có tổng số chấm bằng 6 “ 3/Từ các số 1,2,3 , lập số có ba chữ số Hãy xác định biến cố : A”Số có ba chữ số bằng nhau “ B”là số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau “ BÀI TậP : Bài 1 : Gieo một con súc sắc cân đối , đồng chất và quan sát sự cố xuất hiện , lấy ngẫu a>Mô tả không gian mẫu b>xác định các biến cố sau A:”Xuất hiện mặt chẵn chấm “ B:”Xuất hiện mặt lẻ chấm “ C:”Xuất hiện mặt có chấm không nhỏ hơn 3 “ c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc Bài 2 : Một hộp đựng 3 bi trắng được đánh số tử 1 đến 3 , 2 bi đỏ được đánh số từ 4 đến 5 nhiên đồng thời 2 bi : a>Xây dựng không gian mãu b>Xác định các biến cố : A:”Hai bi cùng màu trắng “ B:”Hai bi cùng màu đỏ “ C:”Hai bi cùng màu “ D:”Hai bi khác màu “ c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc Bài 3 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa a> Xây dựng không gian mẫu b> Xác định các biến cố : 12 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp “ B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau “ C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp “ Bài 4 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất hiện của con súc sắc a> xây dựng không gian mẫu b> Xác định các biến cố sau : A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “ B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “ C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “ Bài 5 : Gieo một đồng tiền 3 lần : a> Xây dựng không gian mẫu b> Xác định các biến cố sau : A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “ B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “ C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “ Bài 6 : Gieo một con súc sắc 2 lần : a> Mô tả không gian mẫu b> Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề : A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)} B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)} C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} Bài 7 : Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4 , lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không gian mẫu a> Xác định các biến cố sau : A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “ B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn “ Bài 8 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 , lấy liên tiếp hai lần một lần một quả và xếp thứ tự từ trái sang phải a> Mô tả không gian mẫu b> Xác định các biến cố sau : A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “ B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “ C:”Hai chữ số bằng nhau “ V>XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1>ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Giả sử A là biến cố có liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Tỷ số gọi là xác suất của biến cố A ký hiệu là : P(A) n(A) là số phần tử của tập A ( Hay số kết quả thuận lợi cho biến cố A ) số kết quả có thể xảy ra của phép thử 13 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 BÀI TẬP : 1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau : a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm b/ Lần gieo đầu bằng 6 c/ Tích của hai lần gieo là một số chẳn d/ Hai lần gieo có số chấm bằng nhau 2> Một tổ có 7 nam và 3 nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh Tính xác suất sao cho : a/ Cả hai học sinh là nữ b/ không có nữ nào c/ có ít nhất là một nam d/ có đúng một hs là nữ 3> Một hộp đựng 5 viên bi trắng , 7 viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để : a/ 3 viên bi cùng màu b/ có đúng 3 bi đỏ c/ có ít nhất là hai bi trắng d/ có đủ hai màu 4> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một cái bàn tròn , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ nhau 5> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một cái bàn dài , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ nhau 6>Một hộp đựng 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu được đánh số tử 1 đến 20 lấy ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn : a/Ghi số chẵn b/Mầu đỏ c/Mầu đỏ và ghi số chẵn d/Mầu xanh hoặc ghi số lẻ 7>có 7 học sinh học môn anh văn và 8 học sinh học pháp văn và 9 học sinh học tiếng nhất chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác suất để : a/ chọn đúng có hai thứ tiếng trong đó có hai học sinh học tiếng anh b/ Chọn có đúng ba thứ tiếng 8>Một lớp có 60 học sinh trong đó 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinh học cả tiếng ành và tiếng pháp Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh Tính xác suất của các biến cố sau : a/Sinh viên được chọn học tiếng ành b/sinh viên được chọn chỉ học tiếng pháp c/Sinh viên được chọn không học tiến anh và tiếng pháp 14 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 PHẦN III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN I>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Khi chứng minh một mệnh đề phù thuộc vào số tự nhiên n thì ta dùng phương pháp qui nạp toán học Thực hiện phương pháp qui nạp toán học theo các bước sau : \ B1 : Kiểm tra mệnh đề với n=1 (2,3,…) (Nếu mệnh đề đúng thì vào bước 2 ) B2 : Giả sử mệnh đề đúng với n=1 ( gọi là giả thiết qui nạp ) B3 : Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N* 1/ 2+5+8+…+(3n-1)= 2/ 3+9+27+…+3n = 3/ 12+22+32+…+(2n-1)2= 4/ 13+23+33+…+m3= 5/ 1+2+3+…+n= 6/ 22+42+…+(2n)2= 7/ 12+22+32+…+n2= 8/ Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi ta có : ta có : 1/ n3-n chia hết cho 3 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 3 3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 4/ 2n3 -3n2 +n chia hết cho 6 5/ 4n+15n-1 chia hết cho 9 6/ 13n -1 chia hết cho 6 7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho 7 8/ 32n+2+26n+1 chia hết cho 11 Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi 1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5 II> DÃY SỐ 1>Định nghĩa dãy số : * Hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn ký hiệu (un) , ta viết Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,un,… Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , un gọi là số hạng tổng quát * Hàm số u xác định trên tập số M={1,2,3,4,…,m) với m thuộc tập số tự nhiên N* gọi là dãy số hữu hạn ký hiệu (un) ,ta viết Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,um Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , um gọi là số hạng cuối 2>cách cho một dãy số a/Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát un Ví dụ :Cho dãy số (un) : un=2n+1 b/Cho dãy số bởi biểu thức truy hồi +Cho số hạng đầu hoăc một vài số hạng đầu 15 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 +Cho biểu thức truy hồi ( Biểu thức truy hồi là biểu thức biểu diễn số hạng thứ un qua số hạng đứng trước nó hoặc một vài số hạng đứng trước nó ) Ví dụ : Cho dãy số : 3>Dãy số tăng và dãy số giảm +Một dãy số (un) gọi là số tăng nếu un+1>un với mọi n thuộc vào N* + Một dãy số (un) gọi là số giảm nếu un+10 thì đó là dãy tăng , còn An1 thì dãy số là dãy tăng , còn nhỏ hơn 1 thì dãy số là dãy giảm 4>Dãy số bị chặn +Một dãy số (un) gọi là bichặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un M với mọi n thuộc vào N* + Một dãy số (un) gọi là chặn dưới tồn tại số thực m sao cho un với mọi n thuộc vào N* BÀI TẬP Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau Bài 2 : Xét tính tăng , giảm của các dãy số sau : 16 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 III>CẤP SỐ CỘNG 1>Định nghĩa : Một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bắng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một số không đổi d (d gọi là công sai của câp số cộng ) un+1=un+d 2>Số hạng tổng qúat : Cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu là u1 thì số hạng tổng quá là : un=u1+(n-1)d 3>Tính tổng của n số hạng đầu tiên : BÀI TậP Bài 1 : Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng ? khi đó tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó ? Bài 2 : Cho dãy số : un=9-5n a/Viết 5 số hạng đầu của dãy số b/Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu và công sai c/Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên Bài 3 : Tìm công sai và tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau : a/ (un) : 4,7,10,13,16,… b/ (un) : 1,6,11,16,… Bài 4 : tính u1 và công sai d của cấp số cộng sau biết : a/ b/ c/ d/ e/ i/ Bài 5 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21và tổng bình phương của chúng bằng 155 Bài 6 : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng các số hạng đó là 143 ,hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 36 Bài 7 : tính số đó ba góc của tam giác ABC biết số đo ba góc đó là cấp số cộng 17 TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 PHẦN IV : GIỚI HẠN I > GIỚI HẠN DÃY 1/Định nghĩa 1 : dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi ký hiệu : hay 2/Định nghĩa 2 : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a khi n dần tới nếu Ký hiệu : hay 3/Một vài giới hạn đắc biệt : 4/Một số tính chất a)Nếu thì b)Nếu với mọi n và thì Chú ý : thì ta có thể viết limun=a 5/Giới hạn vô cực khi nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số a/Định nghĩa ; Ta nói dãy số un có giới hạn hạng nào đó trở đi ký hiệu : Ta nói dãy số un có giới hạn khi nếu b/Các tính chất : a Nếu Limun=a và Limvn= thì b Nếu limun=a>0 và Limvn=0 và vn>0 với mọi n thì c Nếu limun= và limvn=a >0 thì Nếu Limun.vn= 18 BÀI TẬP TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 19 Bài 1 : Tính giới hạn sau : Bài 2 : Tính giới hạn : Bài 3 Tính giới hạn sau : Bài 4 : Tính giới hạn : TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11 II>GIỚN HẠN HÀM SỐ 1>Định nghĩa 1 : Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0} Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu vớidãy số (xn) bất kỳ ,xn K\{x0} và ta có : Ta ký hiệu : 2>Các tính chât ( về giới hạn hữu hạn ) a/Giả sử và khi đó ta có : b/Nếu và thì (Chú ý dấu của F(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x0 ) NHẬN XÉT : từ đó ta có , với c là hằng số Bài 1 : Tính giới hạn : BÀI TẬP 1) 2) 3) 4) 5) Bài 2 : Tính các gới hạn sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài 3 : Tính giới hạn : 3>Giới hạn một bên Định nghĩa 2 : Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với x0Phương trình lương giác tanx=a (3) +Điều kiện : +Nếu a gía trị góc đặc biệt Đặt a= ta có: tanx= Chú ý : +Nếu a không giá trị góc đặc biệt 4>Phương trình. .. phương trình : TOAÙN HỌC THÊM ĐS? ?11 5>TÓM LẠI : CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BAÛN : * * * * BÀI TẬP : Giải phương trình