CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG S: 5/9/2008 TIẾT 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG I. Mơc tiªu bµi d¹y - Cđng cè kü n¨ng vËn dơng c¸c hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng vµo viƯc gi¶I bµi tËp II. Chn bÞ: HS: ¤n l¹i c¸c hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng III. Ph ¬ng ph¸p : VÊn ®¸p IV. TiÕn tr×nh bµi d¹y 1. ỉ n ®Þnh líp 2. KiĨm tra bµi cò HS1: Ph¸t biĨu vµ viÕt tỉng qu¸t c¸c hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng? 3. Néi dung bµi d¹y Ho¹t ®éng cđa GV vµ HS Ghi b¶ng ? Em nh¾c l¹i c¸c hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng? Bµi 1: BiÕt tØ sè hai c¹nh gãc vu«ng cđa mét tam gi¸c vu«ng lµ 5:6, c¹nh hun lµ 122 cm. TÝnh ®é dµi h×nh chiÕu cđa c¸c c¹nh gãc vu«ng trªn c¹nh hun. ? BiÕt tØ sè 2 c¹nh gãc vu«ng vµ biÕt c¹nh hun th× ta cã thĨ tÝnh ®ỵc g×? I.Ghi nhí: ∆ ABC, ∠ A = 90 0 , AH ⊥ BC a 2 = b 2 +c 2 b 2 = a.b’ ; c 2 = a.c’ h 2 = b’.c’ b.c = a.h 222 111 cbh += II. Bµi tËp Bµi 1: V× AB:AC = 5:6 nªn k ACAB == 65 ⇒ AB = 5k , AC = 6k Tam gi¸c ABC vu«ng ë A, theo ®Þnh lý Pitago ta cã: AB 2 + AC 2 = BC 2 hay (5k) 2 + (6k) 2 = 122 2 61k 2 = 122 2 ⇒ k 2 = 244 ⇒ k ≈ 15,62 VËy AB ≈ 15,62.5 = 78,1 (cm) AC ≈ 15,62.6 = 93,72 (cm) B H 1 A C H A B C h a c b b’ c’ ? Để tính BH, CH ta áp dụng hệ thức nào? Bài 2: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 6,15cm, đờng cao ứng với cạnh huyền là 3cm. Tính các cạnh góc vuông của tam giác. ? Để tính các cạnh góc vuông ta sử dụng hệ thức nào? ? Muốn vậy ta cần tính đợc đoạn thẳng nào trớc đã? (BH và CH) ? Để tính BH hoặc CH ta áp dụng hệ thức nào? Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đ- ờng thẳng CD tại F. Chứng minh rằng 222 4 111 AFAEAB += ? Hệ thức phải CM gợi cho chúng ta liên hệ tới kiến thức nào? ? áp dụng nó trong tam giác vuông nào? Kẻ AH BC. Ta có AB 2 = BH.BC BH = )(50 122 61,6099 122 1,78 22 cm BC AB = AC 2 =CH.BC CH= )(72 122 44,8783 122 72,93 22 cm BC AC = Bài 2: Ta có AH 2 = BH.CH hay 3 2 = BH(6,15 BH) BH 2 6.15BH +9 = 0 (BH-3,75)(BH-2,4) = 0 BH = 3,75 cm hoặc BH = 2,4cm Giả sử AB < AC, thế thì BH = 2,4cm, khi đó HC = 3,75 cm. Cũng theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ABC ta lại có: AB 2 = BH.BC=2,4.6,15=14,76 do đó AB 3,84(cm) AC 2 = CH.BC=3,75.6,15=23,0625 do đó AC 4,8cm Bài 3: Vẽ AK AF (K CD) . ABE ADK (g.g) 2 == AD AB AK AE AK = 2 1 AE Xét AKF vuông tại A, ta có 222 111 AFAKAD += 222 1 2 1 1 2 1 1 AF AEAB + = hay 222 4 111 AFAEAB += 2 H A B C 3 6,15 A B C D K E F 4. Cđng cè 5. H íng dÉn häc ë nhµ Bµi 1: Cho h×nh thang ABCD cã ∠ B = ∠ C = 90 0 , hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i H. BiÕt r»ng AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chøng minh r»ng: a. HA:HB:HC:HD = 1:2:4:8 b. 2222 1111 HCHBCDAB −=− Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC cã ∠ B =60 0 , AC = 13cm vµ BC – BA = 7cm. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC. V. Rót kinh nghiƯm TIẾT 2: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG IV. TiÕn tr×nh bµi d¹y 1. ỉ n ®Þnh líp 2. KiĨm tra bµi cò: HS1: Ch÷a bµi tËp 2 vỊ nhµ tiÕt tríc. 3. Néi dung bµi d¹y Ho¹t ®éng cđa GV vµ HS Ghi b¶ng - GV giíi thiƯu hƯ thøc liªn hƯ gi÷a 3 c¹nh tam gi¸c thêng Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã A < 90 0 , ®êng cao BH. §Ỉt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c , HC = b .’ ’ Chøng minh a 2 = b 2 + c 2 - 2bc’ ? §êng cao BH cã thĨ x¶y ra nh÷ng trêng hỵp nµo? ?TÝnh vµ biÕn dỉi biĨu thøc a 2 ? I.Ghi nhí: 1. C¸c hƯ thøc ë trªn cã ®Þnh lý ®¶o víi ®iỊu kiƯn H n»m gi÷a B vµ C 2. §èi víi ∆ ABC bÊt kú, ta cã: A = 90 0 ⇔ a 2 = b 2 + c 2 (§Þnh lý Pitago) A < 90 0 ⇔ a 2 < b 2 + c 2 A > 90 0 ⇔ a 2 > b 2 + c 2 II. Bµi tËp Bµi 1: XÐt 2 trêng hỵp H n»m gi÷a A vµ C; H n»m trªn tia ®èi cđa tia CA. C¶ 2 trêng hỵp ta ®Ịu cã: HC 2 = (AC – AH) 2 = (AH – AC) 2 = (b - HA) 2 Do ®ã BC 2 = BH 2 + HC 2 3 B CA H c a b B A H C c a b c’ Bài 2: Cho tam giác ABC có A > 90 0 , đờng cao BH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c , HC = b . Chứng minh a 2 = b 2 + c 2 + 2bc áp dụng hệ thức nào để tính a 2 ? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD BC, OE CA, OF AB. Hãy xác định vị trí của O để OD 2 +OE 2 +OF 2 nhỏ nhất. ? OD 2 + OE 2 + OF 2 = ? ? Bất đẳng thức a 2 +b 2 2 )( 2 ba + là một bất đẳng thức đúng. Em hãy chứng minh? = (AB 2 - AH 2 ) + (b AH) 2 Hay a 2 = c 2 AH 2 + b 2 2.b.AH + AH 2 = b 2 + c 2 - 2bc Bài 2: Ta có a 2 = BH 2 + HC 2 = (c 2 HA 2 ) + (b + HA) 2 = c 2 c 2 + (b + c) 2 = c 2 c 2 + b 2 + 2bc+ c 2 = b 2 + c 2 + 2bc Bài 3: Vẽ đờng cao AH và OK AH. Ta có OE 2 + OF 2 = OA 2 AK 2 Mặt khác OD = KH nên OD 2 + OE 2 + OF 2 AK 2 + KH 2 (1) áp dụng bất đẳng thức a 2 + b 2 2 )( 2 ba + , từ (1) ta suy ra OD 2 + OE 2 + OF 2 22 )( 22 AHAHAK = + (Dấu = xảy ra O là trung điểm của AH) Vậy min(OD 2 + OE 2 + OF 2 ) = 2 2 AH khi và chỉ khi O là trung điểm của AH. 4. Củng cố ? Nhắc lại các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông? GV nhấn mạnh: - Nắm chắc các hệ thức này - Nhớ: Các hệ thức này có định lý đảo với điều kiện H nằm giữa B và C - Nắm đợc các hệ thức mở rộng trong tam giác thờng 5. H ớng dẫn học ở nhà 4 B C H A a c b c A B C O EF H D K Bài1: Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB = 6cm, BC = 10cm. Các đờng phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC lần lợt ở D và E. Tính các đoạn thẳng BD và BE. Bài 2: Cho tam giác ABC cân ở B và điểm D trên cạnh AC. Biết góc BDC = 60 0 , AD= 3 dm, DC = 8dm. Tính độ dài cạnh AB. V. Rút kinh nghiệm Soạn: 12/9/2008 Tiết 3 : tỉ số lợng giác của góc nhọn I. Mục tiêu bài dạy - Củng cố các tỷ số lợng giác của góc nhọn. - HS biết sử dụng các góc khi cho một trong các tỷ số lợng giác của nó - Rèn luyện tính cẩn thận, chắc chắn trong tính toán 5 II. Chuẩn bị: Thớc kẻ, compa, thớc đo góc III. Ph ơng pháp : IV. Tiến trình bài dạy 1. ổ n định lớp 2. Kiểm tra bài cũ: HS1: Nêu các tỷ số lợng giác của góc nhon? Phát biểu định lý và ghi thành công thức tỷ số lợng giác của 2 góc phụ nhau. 3. Nội dung bài dạy - GV ghi những nội dung đã kiểm tra bài cũ lên góc bảng. ? Nếu 2 góc nhọn có một tỷ số l- ợng giác nào đó bằng nhau thì suy ra điều gì? ? ở bài tập 14- SGK ta đã chứng minh đợc các công thức nào? Nhắc lại các công thức đó? Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Biết AB = 7,5 cm ; AH = 6 cm. a) Tính AC, BC b) Tính cosB, cosC ? Tính AC, BC trớc hết phải tính gì? (Tính BH) ? áp dụng hệ thức nào để tính BH. ? áp dụng hệ thức nào để tính BC? ?áp dụng hệ thức nào để tính I.Ghi nhớ 1. Sin h = ; cos h k = ; tg k = ; cotg k = 2. Nếu 0 90 =+ thì sin = cos ; cos = sin tg = cotg ; cotg = tg 3. Nếu 2 góc nhọn và có sin = sin (Hoặc cos = cos ; hoặc tg = tg ; hoặc cotg = cotg ) thì = . 4. Với góc nhon tùy ý, ta luôn có a) sin 2 + cos 2 = 1 b) tg .cotg = 1 c) tg = cos sin d) cotg = sin cos e) 1 + tg 2 = 2 cos 1 f) 1 + cotg 2 = 2 sin 1 II. Bài tập Bài 1: a) Tam giác ABH vuông ở H, theo định lý Pitago ta có BH 2 = AB 2 AH 2 = 7,5 2 6 2 = 20,25 Suy ra HB = 4,5 (cm) Tam giác ABC vuông ở A, có AH BC, ta có AB 2 = BH.BC BC = )(5,12 5,4 25,56 5,4 5,7 22 cm BH AB === Lại áp dụng định lý Pitago với ABC vuông ta có AC 2 = BC 2 AB 2 =12,5 2 -7,5 2 = 156,25 56,25 = 100 AC = 10 (cm) Vậy AC = 10 cm , BC = 12,5 cm b) Trong tam giác vuông ABC ta có cos B = cos B = cos B = 6,0 5,12 5,7 == BC AB cos C = cos C = cos C = 8,0 5,12 10 == BC AC 6 A A C B H 7,5 6 B CA B C H A B 4. Củng cố: GV chốt lại vấn đề: Cần ghi nhớ - Các tỷ số lợng giác của góc nhọn - Tỷ số lơng giác của hai góc phụ nhau. - Một số công thức bổ sung - Công thức tính diện tích tam giác dựa vào 2 cạnh và góc xen giữa. 5. H ớng dẫn học ở nhà : Bài 1: a) Biết cos = 3 1 , tính A = 3sin 2 + cos 2 b) Biết sin = 7 8 , tính B = 4 sin 2 + 3cos 2 Bài 2: a) Biết sin = 13 5 , tính cos , tg , cotg b) Biết tg = 24 7 , tính sin , cos , cotg Bài 3: Sử dụng bảng tỷ số lợng giác của các góc đặc biệt, tinh giá trị biểu thức sau: A = 02 0202 45cot 30560sin3 g tg + 4cos30 0 .cotg30 0+ V. Rút kinh nghiệm Soạn: 21/9/2008 Tiết 4 : giảI tam giác vuông I. Mục tiêu bài dạy - Củng cố các tỷ số lợng giác của góc nhọn và hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông. - HS biết sử dụng các hệ thức đó để giảI tam giác vuông. - Rèn luyện tính cẩn thận, chắc chắn trong tính toán 7 4. Củng cố: 5. H ớng dãn học ở nhà Bài 1: Tam giác ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm và B = 60 0 a) Tính BC b) Tính S ABC . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có A = 45 0 , AB = BD = 18 cm. a) Tính AB b) Tính S ABCD V. Rút kinh nghiệm II. Chuẩn bị: Thớc kẻ, compa, thớc đo góc III. Ph ơng pháp : IV. Tiến trình bài dạy 1. ổ n định lớp 2. Kiểm tra bài cũ: HS1: Nêu các tỷ số lợng giác của góc nhon? Phát biểu định lý và ghi thành công thức tỷ số lợng giác của 2 góc phụ nhau. HS2: Phát biểu và viét công thức các hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông. 3. Nội dung bài dạy I.Ghi nhớ: b = a. sinB = a.cosC c = asinC = a.cosB b = c.tgB = c.cotgC c = c.tgB = c.cotgC II. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AC = 15cm, B = 50 0 . Hãy tính độ dài a) AB, BC b) Phân giác CD. Kết quả: AB 12,59cm ; BC 19,58cm ; CD 15,96cm Bài 2: Giải tam giác vuông ABC vuông ở A, biết: a) a = 50cm, B = 50 0 b) b = 21 cm, C = 41 0 c) c = 25 cm, B = 32 0 Kết quả: a) c 32,14cm ; b 38,30cm b) c 18,26cm ; a 27,82 cm c) b 15,62 cm ; a 29,48 cm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Đặt BC = a, CA = b và AB = c. a) Chứng minh AH = a.sinB.cosB ; BH = a.cos 2 B, CH = a.sin 2 B b) Từ đó suy ra AB 2 = BC.BH và AH 2 = BH.HC 8 A B C Soạn: 28/9/2008 Tiết 5 : giảI tam giác vuông (Tiếp) I. Mục tiêu bài dạy - Củng cố các tỷ số lợng giác của góc nhọn và hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông. - HS biết sử dụng các hệ thức đó để giải tam giác vuông và chứng minh một số dạng toán có liên quan. - Rèn luyện tính cẩn thận, chắc chắn trong tính toán II. Chuẩn bị: Thớc kẻ, compa, thớc đo góc III. Ph ơng pháp : IV. Tiến trình bài dạy 1. ổ n định lớp 2. Kiểm tra bài cũ: HS1: Nêu các tỷ số lợng giác của góc nhon? Phát biểu định lý và ghi thành công thức tỷ số lợng giác của 2 góc phụ nhau. HS2: Phát biểu và viét công thức các hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông. 3. Nội dung bài dạy Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng C c B b A a sinsinsin == Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 9cm , B = 60 0 , C = 40 0 . Tính các cạnh AB, AC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) HD: Kẻ đờng cao AH. Tính BH, CH. Suy ra BH +CH, từ đó tính đợc AH=5,1cm Suy ra AB = 5,9 cm , AC = 7,9 cm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD. a/ Chứng minh hệ thức : ACABAD 112 += b/ Hệ thức trên thay đổi thế nào nếu thay đờng phân giác trong AD bởi đờng phân giác ngoài AE. HD: a/ Tính S ABC , S ABD , S ADC . Viết hệ thức biểu thị quan hệ giữa chúng, rồi lấy nghịch đảo, từ đó suy ra hệ thức phảI chứng minh. b/ ABACAE 112 = 9 10 . 61,6 099 122 1,78 22 cm BC AB = AC 2 =CH.BC CH= )(72 122 44,8783 122 72 ,93 22 cm BC AC = Bài 2: Ta có AH 2 = BH.CH hay 3 2 = BH(6,15 BH) BH 2 6.15BH +9. kinh nghiệm Soạn: 12 /9/ 2008 Tiết 3 : tỉ số lợng giác của góc nhọn I. Mục tiêu bài dạy - Củng cố các tỷ số lợng giác của góc nhọn. - HS biết sử dụng các