Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 A. Mục tiêu: + Hệ thống, phân loại về một số bài tập về chứng minh tính chất. + Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức trong việc giải một số bài toán về chứng minh tính chất . + Phát triển t duy suy luận, phân tích ., vẽ hình, trình bày lời giải, góp phần nắm vững kiến thức cơ bản của hình học lớp 9. B. Chuẩn bị : Thực hiện trong 6 tiết. C. Hoạt động dạy học Hoạt động 1: I. Phân loại bài tập về chứng minh tính chất * Trong hoạt động này GV giới thiệu về sự phân loại. + Các bài tập hình học trong chơng trình lớp 9 THCS đợc quy về các dạng sau: 1/ Bài tập về chứng minh tính chất 2/ Bài tập về tìm quỹ tích 3/ Bài tập về dựng hình 4/ Bài tập về tính toán (bao gồm về nhận dạng các hình, tính số đo góc, số đo cung, tính độ dài của đoạn thẳng, diện tích của một hình. + Các bài tập về chứng minh tính chất thờng đợc phân ra các dạng sau: a) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. b) Chứng minh hai góc, hai cung bằng nhau. c) Chứng minh hai đờng thẳng song song, vuông góc. d) Chứng minh tập hợp các đờng thẳng đi qua một điểm cố định e) Chứng minh tập hợp các đờng tròn đi qua một điểm cố định. f) Chứng minh tập hợp các đờng thẳng đồng quy. g) Chứng minh các tam giác bằng nhau. h) Chứng minh hai tam giác đồng dạng. i) Chứng minh các đẳng thức, hệ thức lợng trong tam giác, trong đờng tròn. k) Chứng minh Ax là tiếp tuyến tại A của đờng tròn tâm O bán kính R theo các cách sau: 1) A (O ; R) và OAx = 90 0 2) Khoảng cách từ O đến Ax bằng R 3) Nếu C là giao điểm của đờng thẳng chứa dây EF với đờng thẳng Ax thì CA 2 = CF.CE hoặc FAC = AEF l) Chứng minh tứ giác nội tiếp theo các cách sau: 1) Tổng hai góc đối diện nhau bằng 180 0 2) Có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh còn lại những góc bằng nhau. 3) Nếu hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E và EA.EC = EB.ED thì tứ giác ABCD nội tiếp. Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 1 C E x O F A R E O B A D C Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 4) Nếu AB cắt CD tại E, mà EA.EB = ED.EC thì tứ giác ABCD nội tiếp. m/ Để chứng minh n điểm A 1 , A 2 , , A n (n > 4) cùng nằm trên một đờng tròn ta phải chứng minh: - Bốn điểm trong n điểm đó cùng nằm trên một đờng tròn, rồi chứng minh các điểm còn lại cũng ở trên đờng tròn đó (có thể chứng minh điểm còn lại tập hợp với 3 trong 4 điểm ban đầu cùng thuộc một đờng tròn, lúc đó dĩ nhiên hai đờng tròn sẽ trùng nhau). +Phơng pháp để giải các bài tập về chứng minh tính chất bao gồm các bớc sau: Bớc 1: Đọc kĩ đề, căn cứ vào đề bài vẽ hình cho đúng, rõ ràng, sáng sủa. Bớc 2: Tóm tắt giả thiết, kết luận, nắm chắc các giả thiết đã cho và những điều cần chứng minh. Bớc 3: Nhớ lại các kiến thức đã biết, đã học, sử dụng các kiến thức có liên quan, vận dụng linh hoạt các kiến thức đó để tìm đờng lối giải. Bớc 4: Trình bày chi tiết (phải có lập luận chính xác và có căn cứ) lời giải tìm đợc. Hoạt động 2: Ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) với hai đờng chéo AC BD. Gọi H là giao của AC và BD. Chứng minh rằng MH CD với M là trung điểm của AB. Giải +Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4 bớc nêu trên. +Gọi E là giao điểm của tia MH với CD. Nghiên cứu gt của bài toán, yêu cầu chứng minh, các cách để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc, xem để chứng minh MH vuông góc với CD ta có thể sử dụng đợc cách nào? - Giả thiết tứ giác nội tiếp giúp ta đợc gì? - Giả thiết hai đờng chéo vuông góc, M là trung điểm sẽ giúp ta đợc điều gì? *Giả sử rằng MH CD thì suy luận ngợc lại thì nh thế nào? +Nghiên cứu đề, vẽ hình +HS nêu các suy nghĩ của mình để lớp thảo luận, đa ra lời giải: Theo giả thiết ta có tam giác ABH là giác vuông tại H, có HM là trung tuyến thuộc cạnh huyền, nên suy ra tam giác BMH cân tại M, suy ra B 1 = H 2 , lại có H 1 = H 2 (đối đỉnh). Suy ra : H 1 = B 1 (1) Mà A 1 = D 1 (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2). Ta có A 1 + B 1 = 90 0 (3) Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 2 E O B A D C 1 1 1 2 E 1 O B A H M D C Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 Từ (1); (2) và (3) suy ra H 1 + D 1 = 90 0 , vì vậy suy ra HED = 90 0 hay MH CD. Ví dụ 2: Cho bốn đờng tròn đồng tâm O, bán kính R 1 < R 2 < R 3 < R 4 . Từ điểm M nằm ngoài cả bốn đờng tròn kẻ 8 tiếp tuyến với bốn đờng tròn đó. Gọi các tiếp điểm tơng ứng là A 1 ; A 2 ; B 1 ; B 2 ; C 1 ; C 2 ; D 1 D 2 . Chứng minh rằng : 8 điểm đó cùng nằm trên một đờng tròn. Giải +Giả thiết tiếp tuyến cho ta đợc điều gì? Giả sử 8 điểm này đều cùng thuộc một đờng tròn, thì đờng tròn đó có tâm hay đờng kính là đâu? +Vẽ hình +HS thảo luận đa ra lời giải: Theo giả thiết tam giác A 1 MO vuông tại A 1 , nên điểm A 1 thuộc đờng tròn đờng kính OM. Tơng tự các điểm B 1 ; C 1 ; D 1 ; A 2 ; B 2 ; C 2 ; D 2 đều cùng thuộc đờng tròn đờng kính OM. Tức là tám điểm A 1 ; B 1 ; C 1 ; D 1 ; A 2 ; B 2 ; C 2 ; D 2 cùng thuộc một đờng tròn. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC; AO kéo dài cắt đờng tròn tại E. Chứng minh rằng: a) H, M, E thẳng hàng b) AH//OM và AH = 2 MO. Giải +Giả sử H, M, E thẳng hàng, trong khi M là trung điểm của BC, gợi ý cho ta điều gì? +Giả thiết còn lại có giúp đợc gì cho ta trong việc chứng minh đợc tứ giác BECH là hình bình hành? +Vẽ hình, nghiên cứu đề bài, kết hợp với hình vẽ để tìm lời giải. +Nếu chứng minh đợc tứ giác BECH là hình bình hành là xong. Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 3 D 2 C 2 B 2 D 1 C 1 O A 2 A 1 B 1 M E O B A H M C Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 +Từ kết quả chứng minh của câu a, và yêu cầu cần chứng minh đợc của câu b hãy lựa chọn xem quan hệ của OM và AH nh thế nào để chứng minh? Giải a) Theo giả thiết AE là đờng kính, suy ra ACE = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) hay EC AC, lại có BH AC (do H là trực tâm), suy ra BH//EC. Tơng tự CH//BE. Vậy tứ giác BECH là hình bình hành. Theo giả thiết M là trung điểm của BC (BC là đ- ờng chéo của hình bình hành BECH) nên đ- ờng chéo HE phải đi qua M, hay ba điểm H, M, E thẳng hàng. b) Theo câu a suy ra M là trung điểm HE, O là trung điểm của AE, nên OM là đờng trung bình của tam giác AEH, do đó: AH//OM và AH = 2 MO. Hoạt động 3: Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ba đỉnh cùng nằm trên đờng tròn tâm O, bán kính R. Từ M là điểm chính giữa của cung BC vẽ dây MN//AB. Gọi giao điểm của MN và AC là K. Chứng minh rằng: a) Tam giác KAM cân b) NC//AM c) MN = AC d) (AM + CN)KN = MN.CN Giải +Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4 bớc nêu trên. a) Hãy nghiên cứu giả thiết đề xuất cách chứng minh tam giác KAM cân, cân tại đỉnh nào? +Nghiên cứu đề, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của bài toán. +HS nêu các suy nghĩ của mình để lớp thảo luận, đa ra lời giải: a)Theo giả thiết M là điểm chính giữa của cung BC nên ta có BM = CM, suy ra : A 1 = A 2 (hai góc Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 4 1 2 O N B A K M C Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 b) Hãy đề xuất cách chứng minh NC//AM c) Từ giả thiết, các kết quả đã chứng minh đ- ợc thì có thể chứng minh cho AC = MN nh thế nào? *Cũng có thể sử dụng chứng minh hai tam giác bằng nhau. d) Thòng thì chứng minh các đẳng thức tích ta thờng sử dụng tam giác đồng dạng, định lí Ta lét, hay tính chất của tam giác. Nhng đẳng thức cần chng minh này lại có tổng, chúng ta hãy biến đổi đẳng thức cần chứng minh này để tìm đờng lối chứng minh. (AM + CN)KN = MN.CN +Hãy suy ra tỉ lệ thức cần thiết +Vế trái viết thành tổng của hai tỉ số, Vế phải thì viết MN thành tổng của hai đoạn thẳng nào? Rồi biến đổi tiếp ở hai vế. +Tỉ lệ thức cuối cùng có thể chứng minh đợc không? +Vậy dựa vào sự phân tích này hãy nêu và viết lời chứng minh. nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Do MN//AB, suy ra M = A 1 (so le trong) Vậy A 2 = M, nên tam giác AKM cân tại K. b) MAC = MNC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC. MAC = AMN (hai góc đáy của tam giác cân AKM theo câu a). Suy ra MNC = AMN, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên NC//AM. c) Theo câu b thì NC//AM suy ra tứ giác AMCN là hình thang, mà hình thang này nội tiếp đờng tròn (O) nên AMCN phai r là hình thang cân, do đó AC = MN. = + = + = + + 1 = + 1 = +Theo câu b thì AM//NC, theo định lí Ta lét ta có tỉ lệ thức này. Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 5 Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 + Nêu và viết lời chứng minh. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA. Chứng minh rằng: a) DE bằng đờng kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Tính góc DAE. Giải +Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4 bớc nêu trên. a) Hãy nghiên cứu hình vẽ cùng giả thiết để viết DE bằng hiệu của các đoạn thẳng nào? +Thay BE lại bằng hiệu của hai đoạn thẳng nào? +Thay các đoạn thẳng BD và CE bằng các đoạn thẳng bằng nó theo giả thiết. +Gọi gọi đờng tròn (I ; r) là đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Từ I kẻ các đoạn thẳng IM, IN, IK lần lợt vuông góc với các cạnh AC, AB, BC. Khi đó : r = IM = IN = IK Các đoạn IM, IK lại bằng các đoạn thẳng nào, vì sao? +Hãy so sánh các đoạn thẳng BN với BK; CM với CK. +Trong khi AN bằng hiệu hai đoạn thẳng nào? +Thay thế BN bởi BK. +Làm tơng tự với AM. +Suy ra 2AM = ? +Tiếp tục biến đổi để 2AM hay 2r bằng biểu thức (1). +Nghiên cứu đề, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của bài toán. +DE = BD - BE = BD (BC CE) = BD BC + CE = AB BC + AC (1) +IM = IN = AN = AM vì tứ giác AMIN là hình vuông (do có ba góc vuông và có hai cạnh kề IM = IN) +Hai tam giác BNI và BKI là hai tam giác vuông bằng nhau theo trờng hợp Cạnh huyền Góc nhọn nên BN = BK. Tơng tự CM = CK. + AN = AB BN = AB BK +AM = AC CM = AC CK +2AM = AB BK + AC CK = AB + AC (BK + CK) = AB + AC BC Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 6 E N B A K M D C I Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 b) Chú ý giả thiết tam giác vuông, các đờng phân giác của tam giác để có tâm I. Ta hãy sử dụng định lí về tổng ba góc trong tam giác để tính góc DAE. Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác thì trong tam giác DAE thì góc DAE đợc tính nh thế nào?. +Chú ý xem góc AEC bằng góc nào? Vì sao? +Ta cần chuyển đổi góc AEC tính theo góc ACB của tam giác ABC. +Tơng tự đối với góc ADB. Nh vậy 2r = AB + AC BC (2) Từ (1) và (2) suy ra DE = 2r. + DAE = 180 0 AEC - ADB +AEC = EAC (do tam giác CAE cân tại C, theo giả thiết CE = CA). Suy ra : 2AEC = 180 0 C Hay AEC = Tơng tự ADB = Vậy DAE=180 0 - - = 180 0 90 0 + - 90 0 + = = 45 0 (Vì = 90 0 do đây là hai góc nhọn của tam giác vuông ABC) Bài tập 3: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB, dây cung CD (CD không trùng với AB). M là giao các tiếp tuyến tai C và D của đờng tròn (O), N là giao của hai dây AC và BD. Chứng minh rằng: MN AB Giải +Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4 bớc nêu trên. +Nghiên cứu đề, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của bài toán. Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 7 O N P B A H M D C I Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 *Chúng ta thực hiện chứng minh theo một cách sau: Gọi P là giao điểm của AD và BC, Gọi I là trung điểm của PN, H là giao điểm của PN với AB. Tam giác ICN là tam giác gì ? Vì sao? +Tứ giác BCNH có đặc điểm gì? So sánh hai góc INC và CBA. +Góc CBA lại bằng góc nào? +Vậy hai góc ICN và OCB nh thế nào? +Hãy tính số đo của góc ICO. + Tam giác ICN là tam giác cân tại I (vì = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, nên tam giác PCN vuông tại C, có CI là trung tuyến thuộc cạnh huyền), suy ra: +Trong tam giác ABP AC và BD là hai đờng cao, nên N là trực tâm, do đó PN AB tại H, nên tứ giác BCNH là tứ giác nội tiếp (Có hai góc đối diện NHB và NCB là những góc vuông). Suy ra = (cùng bù với góc BNC), mà = (tam giác OBC cân tại O), nên = do đó: = + = + = 90 0 Suy ra CI là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Tơng tự DI cũng là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Suy ra điểm I trùng với điểm M. Vì I PN mà PN AB nên MN AB Bài tập 4: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB; M là điểm bất kì thuộc cung AC. Tia BM cắt OC tại D; cắt AC tại E. Kẻ CH vuông góc với BM. Tia AM cắt OH tại N. a) Chứng minh rằng các tứ giác BOHC và AOCN là tứ giác nội tiếp. b) Tứ giác MNCH là hình gì? Giải +Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4 +Nghiên cứu đề, vẽ hình, ghi giả thiết và kết Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 8 Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 bớc nêu trên. a) Quan sát hình vẽ, kết hợp với giả thiết xem vì sao tứ giác BOHC lại là tứ giác nội tiếp đợc? +Hãy sử dụng kết quả vừa chứng minh đợc, cùng với giả thiết để chứng minh tứ giác AOCN nội tiếp. b) Hãy dự đoán xem tứ giác MNCH là hình gì? +Xét xem nên chọn dấu hiệu nhận biết nào để chứng minh tứ giác này là hình vuông? luận của bài toán. +Theo giả thiết C là điểm chính giữa cung AB, suy ra OC AB, hay = 90 0 , lại có = 90 0 (giả thiết) nên hai điểm H và O cùng nằm trên đờng tròn dờng kính BC, hay tứ giác BOCH là tứ giác nội tiếp. Ta có = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BOCH). Lại có = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC của (O)) Suy ra = hay = . Nh vậy hai điểm O và A cùng nhìn đoạn thẳng CN dới cùng một góc bằng nhau. Mà hai điểm O và H cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ CN, nên hai điểm O và A cùng nằm trên một cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng CN, hay tứ giác AOCN là tứ giác nội tiếp. + là hình vuông +Tứ giác MNCH có = 90 0 (giả thiết) = 90 0 (do = 90 0 : Góc nội tiếp chắn nửa dờng tròn đờng kính AB) = 90 0 (giả thiết). Do tứ giác AOCN là tứ giác nội tiếp nên: + = 180 0 , suy ra = 90 0 . Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 9 C E O N BA H M D Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất (Mức độ bám sát Lớp 9) Năm học 2007 - 2008 Vậy tứ giác MNCH là hình chữ nhật. Ta có = (Cùng bù với góc BHC do tứ giác BCHO là tứ giác nội tiếp) Tam giác BOC là tam giác vuông cân tại O (OB = OC), nên = 45 0 ,nên = 45 0 suy ra đờng chéo HN là phân giác . Vậy hình chữ nhật MNCH là hình vuông. Hoạt động 4: Kiểm tra 15 phút (Đề kiểm tra đợc in ở trang riêng) Tr ờng THCS Tây Đô Bài kiểm tra môn hình học 9 Chủ đề tự chọn Mức độ bám sát Thời gian làm bài 30 phút . Họ và tên học sinh : Lớp : . Năm học 2007 2008 Điểm Nhận xét của giáo viên Đề bài I. Phần trắc nghiệm Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng đầu ý đúng trong mỗi câu sau: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu : A. Có hai góc vuông. B. Là hình thang cân. C. Có tổng hai góc bằng 180 0 D. Hai đỉnh kề nhau nhìn hai đỉnh còn lại dới cùng một góc bằng nhau. E. Các đờng trung trực của các cạnh đồng quy. F. I. Phần tự luận Cho tam giác ABC đều, đờng cao AH. Điểm M bất kì trên cạnh AC, kẻ MP AB, MQ AC. Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: a) Các điểm A, B, M, H, Q cùng nằm trên một đờng tròn. b) Có nhận xét gì về tứ giác OPHQ. Giải : Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô 10 . nhau. b) Chứng minh hai góc, hai cung bằng nhau. c) Chứng minh hai đờng thẳng song song, vuông góc. d) Chứng minh tập hợp các đờng thẳng đi qua một điểm cố. lời chứng minh. nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Do MN//AB, suy ra M = A 1 (so le trong) Vậy A 2 = M, nên tam giác AKM cân tại K. b) MAC = MNC (hai góc