Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 04 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng Kiến thức bản: 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = : d ( M , d ) = Đặc biệt: ax + by0 + c a2 + b2 + Nếu ∆: x = a d ( M , ∆) = x0 − a + Nếu ∆: y = b d ( M , ∆) = y0 − b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0 + y0 1 AB AC.sin A = AB2 AC − ( AB AC ) 2  x + x = xI 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I ⇔ IA + IB = ⇔  A B  y A + yB = yI 3) Diện tích tam giác ABC: S =  5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I trung điểm AB) I ∈ ∆ Đặc biệt: x = x A + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B  yB = − y A x = x A + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B  yB = − y A 6) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M ∈ ∆ điểm N ∈ (C) 7) Điểm M ( x; y) gọi có toạ độ nguyên x, y số nguyên Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x + x + (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) Hướng dẫn giải: Gọi A ( x0 ; y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M (−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 )  y = − x + x + 0 A, B ∈ (C ) ⇔  − = − ( − − x )3 + 3(−2 − x0 ) + y  ⇔ = − x 03 + x0 + − ( −2 − x0 ) + ( −2 − x0 ) + ⇔ x 02 + 12 x0 + = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = Vậy điểm cần tìm là: (−1; 0) (−1;6) Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x3 11 + x + 3x − 3 Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Hướng dẫn giải:  x2 = − x1 ≠  y1 = y2 Hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) ∈ (C ) đối xứng qua Oy ⇔   x2 = − x1 ≠  x1 =  x1 = −3 ⇔  x ⇔   x 11 11  x2 = −3  x2 =  − + x1 + x1 − = − + x2 + x − 3   16   16  Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M  3;  , N  −3;  3  3  Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + x + (C) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: x − y + = Hướng dẫn giải: Gọi M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x1 + x2 y1 + y2  ;  , ta có I ∈ d   I trung điểm AB nên I  ) ( ( ) − x13 + x1 + + − x23 + x2 + y1 + y2 x +x = = 2 + Ta có 2 x + x = ⇒ − ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ⇒  12 2  x1 − x1x2 + x2 = Mặt khác: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ) ( ⇒ ( x2 − x1 ) − ( x2 − x1 ) x12 + x1 x2 + x22 = ⇒ x12 + x1 x2 + x22 = 7 ; x2 = ∓ 2   x + x22 =  x1 − x1x2 + x2 =  ⇒ vô nghiệm - Xét  7⇔ x + x x + x =  x x = 2   - Xét x1 + x2 = ⇒ x1 = ±  7  7 ;2 −  ;  − ;2 +   2   2   Ví dụ 4: Cho hàm số y = x + x − x + 3 Vậy điểm cần tìm là:  Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vuông Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm (C) với trục hoành:   3 x = x + x − 3x + = ⇔  3  x = −5 5 3 ⇒ A(−5;0), B(1;0) Gọi M  a; a3 + a2 − 3a +  ∈ (C ), M ≠ A, B   5 3   5 3 ⇒ AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a +  , BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a +  AM ⊥ BM ⇔ AM BM = ⇔ (a + 5)(a − 1) + (a + 5)2 (a − 1)4 = ⇔ + (a − 1)3 (a + 5) = ⇔ a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = (*) Đặt y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = , có tập xác định D = R 2043 y′ = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y′ = có nghiệm thực a0 ≈ − ⇒ y0 ≈ − 16 Dựa vào BBT ta suy (*) có nghiệm khác –5 Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vuông Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − x + Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ Hướng dẫn giải: Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y = m (m ≥ 0) Vì d ( A, PQ) = nên m = Khi hoành độ điểm P, Q nghiệm phương trình: Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng x − x − = ⇔ x = ±2 Vậy: P(−2;9), Q(2;9) P(2;9), Q(−2;9) Ví dụ 6: Cho hàm số y = x + mx − m − (Cm) Chứng minh m thay đổi (Cm) luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vuông góc với Hướng dẫn giải: Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ = x + 2mx Các tiếp tuyến A B vuông góc với ⇔ y′ (1).y′ (−1) = −1 ⇔ (4 + 2m)2 = ⇔ m = − ; m = − 2 x+2 Ví dụ 7: Cho hàm số y = 2x −1 Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) Hướng dẫn giải: PT đường trung trực đọan AB: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm PT: x+2 1− 1+ = x ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ;x= 2x −1 2 1− 1−  1+ 1+  Hai điểm cần tìm là:  , , ;   2   2   3x − Ví dụ 8: Cho hàm số y = (C) x −2 Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận Hướng dẫn giải: Gọi M ( x; y) ∈ (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x − = y − ⇔ x − = x x 3x − x = −2 ⇔ x −2 = ⇔ = ±( x − 2) ⇔  x −2 x −2 x −2 x = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Ví dụ 9: Cho hàm số y = 2x + x +1 (C) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), ( x0 ≠ −1 ) y0 = x0 + 1 =2− x0 + x0 + Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA = x0 + , MB = y0 − = Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ≥ MA.MB = x0 + ⇒ MA + MB nhỏ x0 + = x0 + 1 =2 x0 + x = ⇔ x0 +  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Ví dụ 10: Cho hàm số y = 2x −1 x +1 Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Hướng dẫn giải:   Giả sử M  x0 ; −  ∈ (C ) PTTT ∆ (C) M là: x0 +   Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán 3 y−2+ ( x − x0 ) ⇔ 3( x − x0 ) − ( x + 1)2 ( y − 2) − 3( x0 + 1) = = x + ( x + 1)2 Thầy Đặng Việt Hùng Khoảng cách từ I(−1;2) tới tiếp tuyến ∆ là: d = Theo BĐT Cô–si: 3(−1 − x0 ) − 3( x + 1) + ( x + 1) = x0 + + ( x0 + 1) = ( x + 1)2 + ( x0 + 1)2 + ( x0 + 1)2 ≥ = ⇒ d ≤ ( x0 + 1) Khoảng cách d lớn ( x0 + 1) = ( x0 + 1)2 ⇔ ( x0 + 1)2 = ⇔ x = −1 ± Vậy có hai điểm cần tìm là: M ( −1 + ;2 − ) M ( −1 − ;2 + ) Ví dụ 11: Cho hàm số y = 2x − x +1 Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) Hướng dẫn giải: MN = (2; −1) ⇒ Phương trình MN: x + y + = Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y = x + m Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): 2x − = x + m ⇔ x + mx + m + = ( x ≠ −1) x +1 (1) (2) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = m − 8m − 32 > Khi A( x1;2 x1 + m), B( x2 ;2 x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1)  x1 + x2   m m ; x1 + x2 + m  ≡ I  − ;  (theo định lý Vi-et)    2 A, B đối xứng qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = −4  Suy (1) ⇔ x − x = ⇔  x = ⇒ A(0; –4), B(2; 0) x = Trung điểm AB I  Ví dụ 12: Cho hàm số y = 2x x −1 Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) Hướng dẫn giải: Ta có (C ) : y = + x −1   Gọi B  b;2 +     , C  c;2 +  với b < < c b −1 c −1  Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox Ta có: AB = AC; BAC = 900 ⇒ CAK + BAH = 900 = CAK + ACK ⇒ BAH = ACK { và: BHA = CKA = 90 ⇒ ∆ ABH = ∆CAK ⇒ AH = CK C HB = AK  2 − b = + c − b = −1 ⇔ Hay:  c=3 2+ = c−2 b −1  Vậy B(−1;1), C (3;3) { Ví dụ 13: Cho hàm số y = B H A K x −3 x +1 Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn Hướng dẫn giải: Tập xác định D = R \ { − 1} Tiệm cận đứng x = −1   4 a   4 b Giả sử A  −1 − a;1 +  , B  −1 + b;1 −  (với a > 0, b > ) điểm thuộc nhánh (C) Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 1 1   16  16  64 AB = (a + b)2 + 16  +  = (a + b)2 1 + ≥ 4ab 1 + = 4ab + ≥ 32   2 2 ab a b  a b   a b  a = b a = b  ⇔a=b=44 16 ⇔  4 ab = = a   ab AB nhỏ ⇔ AB = ⇔  Khi đó: A ( −1 − 4;1 + 64 ) , B ( −1 + 4;1 − 64 ) Ví dụ 14: Cho hàm số y = −x + x −2 Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : y = x Hướng dẫn giải: PT đường thẳng AB có dạng: y = − x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: −x +1 = − x + m ⇔ g( x ) = x − (m + 3) x + 2m + = (1) ( x ≠ 2) x −2 ∆ > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác ⇔  g  g(2) ≠  ⇔ (m + 3) − 4(2m + 1) > ⇔ ∀m 4 − (m + 3).2 + 2m + ≠ x + x = m + Ta có:  A B Mặt khác y A = − x A + m; yB = − xB + m  x A x B = m + Do đó: AB = ⇔ ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 = 16 ⇔ m − 2m − = ⇔  m = −1 m =   + Với m = , thay vào (1) ta được: x − x + = ⇔  x = + ⇒ y = − x = − ⇒ y = ⇒ A(3 + 2; − 2), B(3 − 2; 2) A(3 − 2; 2), B(3 + 2; − 2)  + Với m = −1 , thay vào (1) ta được: x − x − = ⇔  x = + ⇒ y = −2 −  x = − ⇒ y = −2 + ⇒ A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2) Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn