BA PHNG PHP C BN TèM GI TR LN NHT,GI TR NH NHT CA HM S,BIU THC A.BI TON M U : Tỡm giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s: y= (x + 1)2 + (x 3)2 Gii Hm s vit li: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 6x + 9) = 2x2 4x + 10 Cỏch 1.(Dựng Bt ng thc )(BT) Ta cú y = 2x2 4x + 10 = 2(x2 2x + 1) + = 2(x - 1)2 + x R ng thc xy x = Vy GTNN = v ch x = Cỏch 2.(Dựng iu kin phng trỡnh cú nghim)(PT) Gi y l giỏ tr hm s nờn phng trỡnh y = 2x2 4x + 10 cú nghim ( n l x) Phng trỡnh tng ng 2x2 4x +10 y = cú nghim v ch 20 + y y ng thc xy phng trỡnh cú nghim kộp x = Do ú GTNN y = v ch x = Cỏch (Dựng phng phỏp o hm)( H) Xột hm s y = 2x2 4x + 10 cú o hm y = 4x - y = x = Ta cú bng bin thiờn : x y + + y - Da vo bng bin thiờn ta cú GTNN y = v ch x = B.NI DUNG PHNG PHP Ni dung bi vit ny ch nờu lờn ba phng phỏp c bn nht m ta thng s dung tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca mt hm s hay biu thc no ú Tu theo bi toỏn c th m ta cú th s dng mt ba phng phỏp trờn mt cỏch ti u hn.( ụi lỳc cú nhiu bi s dng vect, phng phỏp ta , lng giỏc húa) Lu ý: Khi tỡm giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ta luụn ch trng hp ng thc xy Ta hay nhm ln trng hp ỏnh giỏ khụng ỳng cho mt bt ng thc Vớ d trờn, nu khụng thn trng ta núi : y= (x + 1)2 + (x 3)2 thỡ hng ri! BI TP MINH HO Vớ d 1.Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht : S = sin x + cos x HD.cỏch 1.( BDT) Ta cú = sin x + cos x sin x + cos x = S S = S = sin x + cos x (1 + 1)(sin x + cos x ) = 2 sin( x + ) 2 MaxS = 2 Cỏch 2.( H) S = sin x + cos x S = s inx + cos x + s inx.cos x t t = sinx + cosx Dựng phng phỏp o hm gii cos x + sin x + khong ( ; ) cos x sin x + cos x + sin x + phi cú nghim HD.cỏch 1.(PT) tn ti giỏ tr S thỡ phng trỡnh S = cos x sin x + S = (S + 2) sin x + (1 S ) cos x cú nghim (S + 2) + (1 2S ) (4S 3) S 11 Vớ d 2.Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht S = x Cỏch 2.( H) t t = tg sin x = 2t t2 = ; cos x Bin i S thnh hm s hu t n 1+ t2 1+ t2 t.Dựng phng phỏp o hm hoc iu kin phng trỡnh bc hai cú nghim ,suy kt qu Vớ d Tỡm gớỏ tr ln nht ca biu thc : f = x + x + x x HD.cỏch 1(H).Dựng o hm trc tip ,chỳ ý hm s liờn tc on ; [ ] Cỏch 2.t t = x + x ủieu kieọn t Dựng phng phỏp o hm, hoc PT Cỏch 3.( Vevt) t u = ( x;1; x ), v = (1; x ; x) u.v = x + x + x x v u v = x + + (2 x ) + (2 x ) + x = 3 = Ta cú : u.v u v x + x + x x x = k ng thc xy = k x x = x = kx Vớ d Cho hai s thc x , y thay i v tha iu kin: x.(1 y ) = y x Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca t s x y HD.iu kin x tn ti giỏ tr ln nht v nh nht ca Bin i x.(1 y ) = y x ) ( x = x + x t y x thỡ x 0; y y x = h (h 0) Biu thc vit li : y h = x + x l mt hm s liờn tc on [ ;2] Vớ d 5.Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc : S = HD Lớ lun x chia t v mu cho x2 t t = x xy + y x + xy + y (x, y R ) y Kho sỏt hm s S n t,hoc kpt x Vớ d Cho cỏc s thc x,y tho iu kin: x2 + y2 = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc : S = x + xy xy y + HD.Cỏch 1.Th iu kin x2 + y2 = vo S gii nh bi trờn Cỏch 2.t x = sin y = cos a hm s S= S (sin , cos ) Dựng kpt Vớ d 7.Cho hai s thc x,y thay i v tha iu kin : x2 + y2 = 2x2y + y2x Tớnh giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ca biu thc S = + x y HD. y = tx, th vo iu kin v biu thc S ,kho sỏt hm s S n t Vớ d Cho hai s thc dng x,y tho iu kin :x+y = Tớnh giỏ tr nh nht ca biu thc : f = x x + y y HD.t x = sin y = cos , 0; x2 Vớ d 9.Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s : f ( x) = e sin x + x HD.Dựng phng phỏp o hm Vớ d 10.(1993 bng A) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f ( x ) = x (2007 + 2009 x ) xỏc nh ca nú [ ] Li gii :Min xỏc nh ca hm s D = 2009 ; 2009 Nhn thy f(x) l hm s l nờn ta xột hm s D ' = 0; 2009 p dng bt ng thc BCS ta cú [ ] f ( x ) = x (2007 + 2009 x ) = x ( 2007 2007 + 2009 x ) x 2010 2007 + 2009 x x + 2007 + 2009 x = 2008 2008 Vy GTLN = 2008 2008 v ch x = 2008 GTNN= 2008 2008 v ch x = 2008 2008 Vớ d 10.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :Q = sin2A + sin2B sin2C ú A,B,C l ba gúc ca mt tam giỏc HD.(BT) a v tng bỡnh phng C Dựng phng phỏp H gii 1 Vớ d 11.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S = + + A B C sin sin sin 2 Vớ d 12 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S = cos A + + cos B + + cos C + 3 Hoc a v mt bin x = sin HD.Chỳ ý Dựng phng phỏp gii nh bỏo Toỏn hc ,Tui tr (thỏng 3-20007) A+ B Gii bi 12.Cỏch 1.Gi s A = Max{A; B; C} A cos + < ,ta cú: 3 A+ B A B A+ B cos A + + cos B + = cos + cos + (1) cos 3 A+ B Cú dng f ( A) + f ( B ) f C+ Tng t cos C + + cos + cos (2) + 3 3 Cng (1) v (2) ta cú : cos A + + cos B + + cos C + + cos + cos 3 3 3 S = cos A + + cos B + + cos C + cos = 3 3 A+ B Cỏch 2.Gi s A = Max{A; B; C} A cos + < ,ta cú: 3 A+ B A B A+ B cos A + + cos B + = cos + cos + cos 3 A+ B Cú dng f ( A) + f ( B ) f A+ B+C cos A + + cos B + + cos C + = f ( A) + f ( B ) + f (C ) f ( ) = cos = 3 3 ng thc xy v ch tam giỏc ABC u Cỏch 3.a v tng bỡnh phng ,hoc tam thc bc hai Vớ d 13 Cho a,b,c l ba s khụng õm thoiu kin : a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca (a3 + b3 + c3 ) HD: a + + 3a Vớ d 14.Cho x,y,z l ba s dng tho iu kin : x.y.z = Chng minh rng : HD : x2 y2 z2 + + 1+ y 1+ z 1+ x z2 1+ x + x 1+ x Vớ d 15 Cho cỏc s thc dng x,y,z tha iu kin : x + y + z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : S = x3 y3 z3 + + y+z x+z x+ y x3 y+z + + 3x y+z Cỏch 2: S ( y + z + x + z + x + y ) ( x + y + z ) HD: Cỏch p dng Vớ d 16 Cho cỏc s thc dng a,b,c tha iu kin a2 + b2 + c2 12 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 1 + + + ab + ab + ab 1 + ab + (1) ng thc xy ab = + ab 25 1 + bc 1 + ca (2) ; (3) + + + bc 25 + ca 25 HD :p dng Tng t Ly (1) + (2) + (3) ta cú P + P+ P= + ab + bc + ca ab + bc + ca + + P+ + 25 25 25 25 25 a2 + b2 + c2 12 + P+ + P 25 25 25 25 5 ng thc xy a = b = c = Vớ d 17 Cho a,b,c l ba s dng tha : a + b + c = Chng minh rng : a + 3b + b + 3c + c + 3a HD : Ta cú a + 3b a + 3b + + Vớ d 18 Cho x,y,z l ba s tha x + y + z = Chng minh rng : + x + + y + + z HD:Cỏch 1.Ta cú + x 44 1.1.1.4 x = 28 x Cỏch Dựng phng phỏp vect x 1 + = y z 1 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thcự:S= + + 2x + y + z 2x + y + z 2x + y + z 1 1 1 16 + + = + + + HD x y z x x y z 2x + y + z y ) 256 Vớ d 20 Chng minh rng vi mi x,y > ta cú: (1 + x)(1 + )(1 + x y Thớ d 19 Cho x,y,z cỏc s dng tha + HD : (1 + y + y + y ) 44 27 ( y )3 (1 + y ) 194 36 y3 1+ y y y y y3 = 1+ + + 44 ; x 3x 3x 3x 29 x 1+x = + x x x x3 + + 3 3 Vớ d 21 Gi s x,y l hai s dng thay i tha iu kin x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : S = HD: Cỏch Thay y = 4 + x 4y 5 x S= + ; 0