ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2008-2009 Môn:TOÁN 12 Nâng cao. Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ----------------------- ĐỀ BÀI. Câu 1 (3,5 đ): Cho hàm số: ( ) 3 2 1 2 1y x m x m= − + + − (m là tham số). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1. b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 3 2 3x x x a − + = + . Câu 2 (2,0 đ): a. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 1 x x y x − + = − . b. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số 2 4y x x = − + − trên [2;4] Câu 3 (3,5 đ): Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, · · · 0 0 60 ; 90ASB BSC ASC= = = . a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. b. Gọi H là trung điểm của AC. Chứng minh SH vuông góc mp(ABC). c. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. d. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Câu 4 (1,0 đ): Chứng minh rằng: Nếu 0, 0x y> > và 2 2 4 12x y xy+ = thì ( ) ( ) 1 ln 2 2ln 2 ln ln 2 x y x y+ − = + +∞ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM. Câu Đáp án Điể m 1 a. Với 1 m = ta có hàm số: 3 3 1y x x= − + . ⊕ TXĐ : D = ¡ . ⊕ Sự biến thiên. 1. Giới hạn: ( ) 3 3 2 3 3 1 lim 3 1 lim 1 x x x x x x x →−∞ →−∞   − + = − + = −∞  ÷   ( ) 3 3 2 3 3 1 lim 3 1 lim 1 x x x x x x x →+∞ →+∞   − + = − + = +∞  ÷   2. Bảng biến thiên: Ta có 2 3( 1); 0 1y x y x ′ ′ = − = ⇔ = ± Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( ) ; 1 1;−∞ − ∪ +∞ . Nghịch biến trên khoảng: ( ) 1;1− . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Hàm số đạt cực đại tại 1x = − ; 3 CD y = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = ; 1 CT y = − . Bảng biến thiên: -1 3 1 -1 y y' x ⊕ Đồ thị: Điểm uốn của đồ thị là: ( ) 0;1I . Đồ thị hàm số đi qua (-2;-1); (2;3) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 0;1I làm tâm đối xứng. b. Ta có: 3 3 2 3 3 1 2x x x a x x a − + = + ⇔ − + = − Nên số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng có PT 2y a= − . Vậy: 1 5a< < thì PT có 3 nghiệm phân biệt. 5a = hoặc 1a = thì PT có 2 nghiệm. 5a > hoặc 1a < thì PT có 2 nghiệm. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 a. Ta có 0.25 −∞ −∞ +∞ +∞ 2 1 1 2 1 1 1 lim lim 1 1 lim lim 1 x x x x x x y x x x y x − − + + → → → → − + = = −∞ − − + = = +∞ − Nên tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng có phương trình: 1x = ( ) ( ) 1 lim lim 0 1 1 lim lim 0 1 x x x x y x x y x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − = = − − = = − Nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng có phương trình: y x= 0.25 0.25 0.25 b. Xét hàm số: ( ) 2 4y f x x x= = − + − trên [2;4] Ta có: 1 1 ' '( ) 2 2 2 4 '( ) 0 2 4 3 y f x x x f x x x x = = − − − = ⇔ − = − ⇔ = Và (2) (4) 2; (3) 2f f f= = = Vậy [ ] [ ] 2;4 2;4 ( ) (3) 2; ( ) (2) (4) 2 x x Max f x f min f x f f ∈ ∈ = = = = = 0.25 0.25 0.25 0.25 3. Câu 3: (3,5 điểm) Hình vẽ: H A C B S a. Theo giả thiết ta có: ,SAB SBC∆ ∆ là các tam giác đều nên: AB BC a= = . SAC ∆ vuông cân tại S nên 2AC a= Ta có: 2 2 2 AB BC AC+ = nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B. b. Do các tam giác ,SAC BAC∆ ∆ là các tam giác vuông cân tại S và B nên: SH AC⊥ (1). 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Và: 2 2 2 HB HS SB+ = nên SHB∆ vuông tại H vì vậy: SH HB⊥ (2). Từ (1) và (2) ta có: ( )SH ABC⊥ . c. Ta có: 2 2 ABC a S ∆ = và 2SH a= nên 3 . 1 2 . 3 6 S ABC ABC a V S SH ∆ = = d. Ta có: 2 2 HA HB HC HS a= = = = nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm là H và bán kính 2 2 R a= nên 3 3 3 4 4 2 2 3 3 2 3 C V R a a π π π   = = =  ÷   0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 4. Từ giả thiết ta có: ( ) 2 2 2 4 12 2 16x y xy x y xy+ = ⇔ + = Nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 ln 2 ln 16 2ln 2 ln 2 ln ln 2ln 2 ln 2 ln ln 1 ln 2 2ln 2 ln ln 2 x y xy x y x y x y x y x y x y + = ⇔ + = + + ⇔ + − = + ⇔ + − = + 0.25 0.25 0.25 0.25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác vẫn cho kết quả đúng thì cho điểm tương ứng. . ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 200 8-2 009 Môn:TOÁN 12 Nâng cao. Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - ĐỀ BÀI. Câu. rằng: Nếu 0, 0x y> > và 2 2 4 12x y xy+ = thì ( ) ( ) 1 ln 2 2ln 2 ln ln 2 x y x y+ − = + +∞ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM. Câu Đáp án Điể m 1 a. Với 1 m = ta