Lượng giác Trần Sĩ Tùng cos α = x = OH sin α = y = OK sin α tan α = = AT cos α cos α cot α = = BS sin α sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM ) = α Giả sử M ( x; y ) tang CHƯƠNG VI VI CHƯƠNG GÓC –– CUNG CUNG LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC GÓC CÔNG THỨC THỨC LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC CÔNG B K   π  α ≠ + kπ ÷   cotang S M α O ( α ≠ kπ ) T H A cosin Nhận xét: • ∀α , − ≤ cos α ≤ 1; − ≤ sin α ≤ • tanα xác định α ≠ π + kπ , k ∈ Z • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z • sin(α + k 2π ) = sin α • tan(α + kπ ) = tan α cos(α + k 2π ) = cos α cot(α + kπ ) = cot α Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 π 300 π π π 2π 3π π 3π 2π 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 –1 –1 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot Trang 56 − − 2 − –1 3 –1 − 0 Lượng giác Trần Sĩ Tùng Hệ thức bản: sin 2α + cos2α = ; tanα cotα = ; + tan α = cos2 α Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α Góc π ; + cot α = sin2 α Góc phụ π  sin  − α ÷ = cos α 2  π  cos  − α ÷ = sin α 2  π  tan  − α ÷ = cot α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Góc π sin(π + α ) = − sin α π  sin  + α ÷ = cos α 2  cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α ÷ = − sin α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α ÷ = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α ÷ = − tan α 2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Hệ quả: tan a + tan b − tan a.tan b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a.tan b tan(a + b) = π  + tan α tan  + α ÷ = , 4  − tan α π  − tan α tan  − α ÷ = 4  + tan α Công thức nhân đôi sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α tan 2α = tan α − tan α ; Trang 57 cot 2α = cot α − cot α Trần Sĩ Tùng Lượng giác Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) − cos2α + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α sin 3α = 3sin α − 4sin3 α cos3α = cos3 α − 3cos α 3tan α − tan3 α tan 3α = − 3tan α sin2 α = Công thức biến đổi tổng thành tích sin(a + b) cos a.cos b sin(a − b) tan a − tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b − a) cot a − cot b = sin a.sin b a+b a−b cos 2 a+b a−b cos a − cos b = − 2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos tan a + tan b =   π π sin α + cos α = 2.sin  α + ÷ = 2.cos  α − ÷ 4 4     π π sin α − cosα = sin  α − ÷ = − cos  α + ÷  4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng Trang 58 Lượng giác Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG Bài Xác định dấu biểu thức sau: 21π  2π  3π 4π π 4π 9π sin  − c) C = cot d) D = cos sin tan cot ÷   3 Bài Cho 0 < α < 900 Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin 500.cos(−300 ) b) B = sin 2150.tan a) A = sin(α + 900 ) b) B = cos(α − 450 ) c) C = cos(2700 − α ) d) D = cos(2α + 900 ) π Xét dấu biểu thức sau: a) A = cos(α + π ) b) B = tan(α − π )   2π  3π  c) C = sin  α + d) D = cos  α − ÷ ÷     Bài Cho tam giác ABC Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin A + sin B + sin C b) B = sin A.sin B.sin C A B C A B C c) C = cos cos cos d) D = tan + tan + tan 2 2 2 Bài Cho < α < Bài a) VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính GTLG lại Cho biết sinα , tính cosα , tanα , cotα • Từ sin α + cos2 α = ⇒ cos α = ± − sin2 α – Nếu α thuộc góc phần tư I IV cos α = − sin α – Nếu α thuộc góc phần tư II III cos α = − − sin2 α sin α • Tính tan α = ; cot α = cos α tan α Cho biết cosα , tính sinα , tanα , cotα • Từ sin α + cos2 α = ⇒ sin α = ± − cos2 α – Nếu α thuộc góc phần tư I II sin α = − cos2 α – Nếu α thuộc góc phần tư III IV sin α = − − cos2 α sin α • Tính tan α = ; cot α = cos α tan α Trang 59 Trần Sĩ Tùng Lượng giác Cho biết tanα , tính sinα , cosα , cotα • Tính cot α = tan α 1 = + tan2 α ⇒ cos α = ± • Từ cos2 α + tan α – Nếu α thuộc góc phần tư I IV cos α = + tan2 α – Nếu α thuộc góc phần tư II III cos α = − + tan α • Tính sin α = tan α cos α Cho biết cotα , tính sinα , cosα , tanα • Tính tan α = cot α 1 = + cot α ⇒ sin α = ± • Từ sin α + cot α – Nếu α thuộc góc phần tư I II sin α = + cot α – Nếu α thuộc góc phần tư III IV sin α = − + cot α II Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị biểu thức • Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác biết tổng – hiệu GTLG Ta thường sử dụng đẳng thức để biến đổi: A2 + B2 = ( A + B)2 − AB A4 + B = ( A2 + B )2 − A2 B A3 + B3 = ( A + B)( A2 − AB + B ) A3 − B3 = ( A − B)( A2 + AB + B2 ) IV Tính giá trị biểu thức cách giải phương trình • Đặt t = sin x , ≤ t ≤ ⇒ cos2 x = t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính • Thiết lập phương trình bậc hai: t − St + P = với S = x + y; P = xy Từ tìm x, y Bài Cho biết GTLG, tính GTLG lại, với: , 2700 < a < 3600 5 π c) sin a = , < a < π 13 3π e) tan a = 3, π < a < a) cos a = b) cos α = ,− π Chứng minh: 3 a b a+b a b (a + b)3 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (1 − sin x ) cot x + − cot x b) (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2 c) e) g) i) Bài a) cos2 x + cos2 x.cot x 2 sin x + sin x.tan x sin x − tan x cos2 a − cot x d) ( x.sin a − y.cos a)2 + ( x.cos a + y.sin a)2 f) sin x − cos2 x + cos4 x cos2 x − sin2 x + sin x + cos x − cos x − ; x ∈ (0, π ) sin x (1 + cot x ) + cos2 x(1 + tan x ) h) − cos x + cos x  π 3π   π π + sin x − sin x 2 + ; x ∈ − ; ÷ k) cos x − tan x − sin x ; x ∈ ; ÷ 2  − sin x + sin x  2 Chứng minh biểu thức sau độc lập x: ĐS: 3(sin x + cos4 x ) − 2(sin x + cos6 x ) b) 3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin x ) + 6sin x ĐS: c) (sin x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot x + 2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot x + 3cos2 x − cot x + sin x ĐS: e) ĐS: sin x + 3cos4 x − 6 sin x + cos x + 3cos x − Trang 63 Trần Sĩ Tùng f) g) Lượng giác tan2 x − cos2 x + cot x − sin2 x sin x sin x + cos6 x − ĐS: cos2 x ĐS: sin x + cos x − Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin B = sin( A + C ) A+B C c) sin = cos 2 b) cos( A + B) = − cos C e) cos( A + B − C ) = − cos 2C f) cos g) sin A + B + 3C = cos C d) cos( B − C ) = − cos( A + 2C ) −3 A + B + C = − sin A A + B − 2C 3C h) tan = cot 2 Bài a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a tan a + tan b tan( a + b ) = sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a − tan a.tan b cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b tan a − tan b tan(a − b) = cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b + tan a.tan b Hệ quả: π  + tan α tan  + α ÷ = , 4  − tan α π  − tan α tan  − α ÷ = 4  + tan α Bài Tính giá trị lượng giác góc sau: π 5π 7π ; ; 12 12 12 Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết:  π π 38 − 25 tan  α + ÷ sin α = , < α < π ĐS:  3 11 π  12 3π (5 − 12 3) cos  − α ÷ sin α = − , < α < 2π ĐS: 3  13 26 1 119 ĐS: − cos(a + b).cos(a − b) cos a = , cos b = 144 sin(a − b), cos(a + b), tan(a + b) sin a = , tan b = a, b góc nhọn 17 12 21 140 21 ĐS: ; ; 221 221 220 π π tan a + tan b, tan a, tan b < a, b < , a + b = tan a.tan b = − 2 Từ a) 150 ; 750 ; 1050 Bài a) b) c) d) e) b) Trang 64 Lượng giác Trần Sĩ Tùng ĐS: 2 − ; tan a = tan b = − 1, a = b = suy a, b π Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 20o + sin 100o + sin2 140o b) B = cos2 10o + cos110o + cos2 130o c) C = tan 20o.tan 80o + tan 80o.tan140o + tan140o.tan 20o d) D = tan10o.tan 70o + tan 70o.tan130o + tan130 o.tan190o e) E = cot 225o − cot 79o.cot 71o ĐS: − − tan15o + tan15 ĐS: –3 ĐS: cot 259o + cot 251o f) F = cos2 75o − sin2 75o g) G = 3 ĐS: ĐS: –3 ĐS: ĐS: 3 h) H = tan150 + cot150 ĐS: HD: 40 = 600 − 20 ; 800 = 60 + 200 ; 50 = 600 − 100 ; 70 = 600 + 100 Bài Chứng minh hệ thức sau: a) sin( x + y ).sin( x − y ) = sin x − sin y 2sin( x + y ) cos( x + y ) + cos( x − y )     π π 2π  2π  c) tan x.tan  x + ÷+ tan  x + ÷.tan  x + ÷+ tan  x + ÷.tan x = −  3  3     b) tan x + tan y =     π π π 3π  d) cos  x − ÷.cos  x + ÷+ cos  x + ÷.cos  x + (1 − 3) ÷=  3  4  6   e) (cos 70o + cos 50o )(cos 230o + cos 290o ) +(cos 40o + cos160o )(cos 320o + cos380o ) = f) tan x.tan x = tan2 x − tan2 x − tan 2 x.tan x Bài Chứng minh hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) tan a = tan(a + b) sin b = sin a.cos(a + b) b) tan a = tan(a + b) 3sin b = sin(2a + b) c) tan a.tan b = − cos(a + b) = cos(a − b) 1− k d) tan(a + b).tan b = cos(a + 2b) = k cos a 1+ k HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A sin C b) = tan A + tan B ( A, B ≠ 90 ) cos A.cos B c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 ) d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = Trang 65 Trần Sĩ Tùng Lượng giác A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C f) cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 cos C cos B g) cot B + = cot C + ( A ≠ 90o ) sin B.cos A sin C.cos A A B C A B C A B C A B C h) cos cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i) sin + sin + sin = + 2sin sin sin 2 2 2  A B C HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng  + ÷+ = 900 2 2 A B C g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos  + + ÷ 2 2 A B C i) Khai triển sin  + + ÷ 2 2 B C A B C A B C Chú ý: Từ cos  + ÷ = sin ⇒ cos cos = sin + sin sin 2 2 2 2 2 A B C A A B C ⇒ sin cos cos = sin + sin sin sin 2 2 2 Bài Cho tam giác A, B, C Chứng minh: a) tan A + tan B + tan C ≥ 3, ∀ ∆ ABC nhoïn e) tan b) tan A + tan B + tan C ≥ 9, ∀ ∆ ABC nhoïn c) tan A + tan B + tan C ≥ 81, ∀ ∆ ABC nhoïn A B C + tan + tan ≥ 2 A B C e) tan + tan + tan ≥ 2 tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si HD: a, b, c) Sử dụng d) Sử dụng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca d) tan tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 e) Khai triển  tan A + tan B + tan C ÷ sử dụng câu c)  2 2 Bài a) Trang 66