Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Đặt vấn đề I, Lý chọn đề tài: Toán học môn khoa học suy diễn Các k ết lu ận Toán h ọc chứng minh cách chặt chẽ Nhưng trình hình thành, trước có kết luận mang tính tổng quát, toán học ph ải tiến hành xét trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta phải đối chi ếu quan sát được, suy điều tương tự, phải thử thử lại, để từ dự đoán v ề định lý toán học, trước chứng minh chúng Bên cạnh đó, ta ph ải d ự đoán ý phép chứng minh trước vào chứng minh chi tiết Hiện nay, tiến hành đổi giáo dục Để công đổi thành công phải gắn chặt việc đổi nội dung chương trình – SGK với việc đổi phương pháp giảng dạy Một xu hướng đổi phương pháp giảng dạy môn Toán dạy cho h ọc sinh bi ết d ự đoán, dạy cho học sinh biết suy luận có lý Thực tế sách giáo khoa Toán bậc THCS nay, cấu trúc m ột học thường là: Phần Xét các trường hợp cụ thể: tính toán, đo đạc, so sánh, … đối tượng khác Phần Dự đoán kết luận khái quát: nêu mệnh đề tổng quát Phần Chứng minh ( công nhận ) mệnh đ ề tổng quát, tuỳ đ ối tượng trình độ học sinh Phần Các ví dụ tập vận dụng Như học sinh quan sát, thử nghiệm, dự đoán suy luận để đến kiến thức mới, sau vận dụng kiến thức vào tình khác Chúng ta xét số học cụ thể sau: Mục ( trang 13 SGK Toán tập I ).Giá tị tuyệt đối số… Sau đưa định nghĩa giá trị tuyệt đối số, SGK đưa tập ?1 điền vào chỗ trống Để từ phân tích, nhận xét, đưa kết tổng quát:  x; khix ≥ x = − x; khix < Kết công nhận, không chứng minh Sau tập vận dụng Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Mục ( trang 106 SGK Toán tập I ).Tổng ba góc tam giác SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo tính t ba góc tam giác nêu nhận xét Từ đưa dự đoán v ề t ba góc tam giác Sau chứng minh dự đoán Tiếp theo tập vận dụng Mục ( trang SGK Toán tập I ).Căn bậc hai đẳng thức A = A Để dẫn đến định lý: Với số a ta cố: sinh điền số thích hợp vào bảng: a a2 -2 -1 a = a , SGK yêu cầu học a2 chẽ Từ nhận xét, khái quát hoá để đưa định lý Sau phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý suy luận chặt Sau tập vận dụng Bên cạnh đó, nội dung ôn luyện Toán cho h ọc sinh gi ỏi, m ột chuyên đề thiếu chuyên đề: “ Ph ương pháp quy n ạp Toán học ” Bởi vì, thông qua việc giảng dạy chuyên đề này, ng ười th ầy d ạy Toán đã: 1) Cung cấp cho học sinh hướng suy nghĩ việc tìm tòi l ời gi ải toán; 2) Giúp học sinh giải lớp toán Số h ọc, Đại s ố Hình học thuộc đủ dạng toán: chia hết, chứng minh đ ồng nh ất th ức, ch ứng minh bất đẳng thức, mà có liên quan đến tập hợp số tự nhiên; 3) Đồng thời qua việc nghiên cứu mệnh đề toán học bao hàm số vô hạn trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng cần xét số hữu hạn trường hợp theo lôgic chặt chẽ xác, mở rộng t lôgic cho em học sinh, giúp em say mê, hứng thú học Toán Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học II Mục đích đề tài: Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi c ấp bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp giảng lại viết chuyên đề nhằm mục đích: 1) Cung cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy nạp hoàn toàn, quy nạp không hoàn toàn, nguyên lý quy nạp toán học 2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác 3) Cung cấp thêm số tập hấp dẫn nhi ều v ẻ, qua c ủng c ố mở rộng thêm kiến thức học 4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây hứng thú học toán cho học sinh III Nội dung đề tài: Nội dung đề tài bao gồm: Phần I Một số sở lý luận Phần II Vận dụng vào Dạy & Học toán trường phổ thông A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận dụng vào giải toán chia hết Vận dụng vào chứng minh đồng thức Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Vận dụng vào toán hình học C Có thể có cách giải khác? D Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán học Phần III Hiệu đề tài Phần IV Kết luận - đánh giá khái quát Với lý do, mục đích nội dung mong chuyên đề đông đảo đồng chí giáo viên em học sinh tham khảo góp ý kiến xây dựng Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Nội dung Phần I Cơ sở lý luận Quy nạp hoàn toàn không hoàn toàn: 1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào lo ạt khẳng định riêng biệt Quy nạp hoàn toàn mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập : “ Mỗi số chẵn n khoảng [ 4;100] biểu diễn dạng tổng số nguyên tố ” Muốn phân tích: = 2+2 = 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng t ỏ rằng, th ực t ế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng s ố nguyên tố 1.2 Quy nạp không hoàn toàn: Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp không hoàn toàn Quy nạp không hoàn toàn vận dụng nhiều khoa h ọc th ực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên định luật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn ch ế Bởi mệnh đề toán học bao hàm số vô hạn trường h ợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô h ạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1 mà = 12 + với n=2 : 1+3=4 mà = 2 + với n=3 : 1+3+5=9 mà = + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà 16 = + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà 25 = Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = n (1) tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp n ” Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 7) chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: S n = 13 + + 33 + + n Ta xét trường hợp riêng biệt: S1 = 13 = S = 13 + = S = 13 + + 33 = 36 = 12 = (1 + 2) S = 13 + + 33 + = (1 + + + 4) = (1 + + 3) Do nảy kết luận tổng quát : S n = (1 + + + + n) (2) Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh s ự đ ắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2) Chúng ta cần ý rằng, suy luận quy nạp dẫn đến kết luận sai, ví dụ sau: Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu số có chữ số trở lên với số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại Trong trường h ợp số có chữ số, chữ số ta thấy kết lu ận hi ệu chia h ết cho 99 Cụ thể là: ab − ba 9 abc − cba 99 Nảy kết luận quy nạp là: abcd − dcba 999 Kết luận sai chẳng hạn ta có: 2231-1322 = 909 không chia hết 999 Ví dụ 5: Khi xét số có dạng 2 n + nhà toán học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số nguyên tố Từ ông đ ưa giả thiết tất số có dạng ( với n ∈ N * ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số 32 + số nguyên tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa kết luận c nhà toán h ọc Fecma sai lầm Ví dụ Xét số S n = n + n + 17 với n ∈ N * với trường hợp n = 1, 2, 3; ; 15 ta thấy S n số nguyên tố Từ kết luận S n số nguyên tố với số n ∈ N * hay không? Với n =16 ta số S16 = 16 + 16 + 17 = 17 S16 số nguyên tố, tức kết luận quy nạp S n số nguyên tố với số n ∈ N * sai Phương pháp quy nạp toán học 2.1 Như vậy, quy nạp không hoàn toàn đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp không hoàn toàn thường dẫn đến kết sai Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn, ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường h ợp riêng mà kết luận không ( ví dụ 6: th đến l ần th ứ 16 ) Và l để đảm bảo số lần thử hữu hạn Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay hình dung tìm tòi theo ph ương pháp quy n ạp không hoàn toàn chứng minh chặt chẽ Ví dụ : Xét lại công thức (1) ví dụ Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học S n = + + + + (2n − 1) = n Giả sử ta chứng minh công thức với n =7, chứng minh công thức với n = 8, ta không cần phải tính tổng số h ạng đầu S = + + + + + 11 + 13 + 15 tổng : S = + + + + + 11 + 13 = mà ta biết viết ngay: S = + 15 = + 2.7 + = (7 + 1) = Tổng quát, sau chứng minh công thức với n = k (nghĩa ta có S k = k ), ta chứng minh với n ' = k + cách: S n ' = S k +1 = S k + ( 2(k + 1) − 1) = k + 2k + = (k + 1) = (n ' ) Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét S1 = = 12 ; việc chuyển từ đẳng thức khác : S2 = + = 22 S = + + = ; v v trường hợp riêng phép tính Khái quát điều nói trên, phát biểu quy tắc tổng quát nh sau: Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số n ∈ N * , ta cần: a) Xác lập mệnh đề với n =1 b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( k ∈ N * ) mệnh đề với n = k+1 Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” chứng minh chặt chẽ Người ta chứng minh mệnh đề tổng quát chứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, thừa nhận tiên đ ề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng nguyên lý quy n ạp mà trình bày đây, coi nguyên lý quy n ạp toán học tiên đề mức độ “ hợp pháp ” ngang 2.2 Nguyên lý quy nạp toán học: Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( n ∈ N * ) coi chứng minh với số n điều kiện sau thoả mãn: a Mệnh đề với n = b Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k suy đắn với n = k+1 2.3 Ví dụ: Sau xét vài ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề toán học Ví dụ Chứng minh rằng: Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học S n = −1 + − + − + + (−1) n (2n − 1) = ( −1) n n Giải: a) Ta có với n = ⇒ S1 = −1 = (−1)1 Do mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k ( k ∈ N * ) tức chứng minh rằng: S k = −1 + − + − + + (−1) k (2k − 1) = (−1) k k Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Nghĩa phải chứng minh: S k +1 = −1 + − + − + + (−1) k (2k − 1) + (−1) k +1 (2k + 1) = (−1) k +1 (k + 1) Thật vậy, ta có: S k +1 = S k + (−1) k +1 (2k + 1) = (−1) k k + (−1) k +1 (2k + 1) = (−1) k (k − 2k − 1) = (−1) k (− k − 1) = (−1) k +1 (k + 1) Từ theo nguyên lý quy nạp toán học ta có : S n = −1 + − + − + + (−1) n (2n − 1) = ( −1) n n với n ∈ N * Ví dụ Chứng minh : 1 1 S n = (1 − ).(1 − ) (1 − )= với ∀n ∈ N * n +1 n +1 1 Giải : a) Với n = ta có S1 = − = 1+1 => mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k ( k ∈ N * ) tức ta có 1 1 S k = (1 − ).(1 − ) (1 − )= k +1 k +1 Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 nghĩa là: Thật vậy: 1 1 S k +1 = (1 − ).(1 − ) (1 − )(1 − )= k +1 k+2 k+2 S k +1 = S k (1 − ) k+2 k +1 = = k +1 k + k + Từ theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề chứng minh 2.4 Bây đưa số ví dụ áp d ụng không phương pháp quy nạp toán học Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Ví dụ 10 Xét mệnh đề : “ Bất kỳ tập hợp h ữu h ạn s ố tự nhiên gồm toàn số nhau” Chứng minh: Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử tập hợp a) Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên : số b) Giả sử mệnh đề chứng minh với tập hợp có k phần tử Lấy tập hợp có k +1 phần tử a1 ; a ; a3 ; ; a k ; a k +1 Theo giả thiết quy nạp ta có a1 = a = = a k , theo giả thiết quy nạp ta có : a = a3 = = a k = a k +1 ; từ a1 = a = a3 = = a k = a k +1 Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy mệnh đề * Sai lầm suy luận chỗ chuyển từ k đến k+1 với k ≥ ; chuyển từ n = đến n = suy luận Ví dụ 11 Mọi số tự nhiên số tự nhiên tiếp sau Chứng minh: Giả sử mệnh đề với n = k, với k ∈ N * ; tức ta có k = k+1 Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1; tức phải chứng minh k+1 = k+2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có k = k+1 => k+1 = k+1+1 => k+1 = k+2 Từ theo nguyên lý quy nạp toán h ọc, mệnh đề v ới ∀n ∈ N * Sai lầm suy luận quên kiểm tra định lý có n = không? Ta thấy rõ ràng n = mệnh đề không ( ≠ ), ta không áp dụng phương pháp quy nạp toán học Để kết thúc đoạn này, lưu ý bạn nhi ều tr ường hợp cần phải chứng minh mệnh đề với tất số tự nhiên mà với n ≥ p ( p ∈ N * ) nguyên lý quy nạp trình bày dạng sau: Nếu : a) Mệnh đề với n = p; b) Từ giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p ta suy mệnh đề với n = k+1 Thì mệnh đề với tất số tự nhiên n ≥ p Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông Sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy Toán học Phần II Vận dụng vào việc dạy & học toán trường phổ thông a Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học Một kết tổng quát chứng minh tong trường hợp số hữu hạn trường hợp, vét hết khả xảy k ết qu ả chứng minh hoàn toàn Ta xét số ví dụ: Ví dụ Để chứng minh mệnh đề: “ Phương trình ( m – ) x – 2( 2m – ) x + 3m = (1) có nghiệm với mội giá trị tham số m ” Ta xét trường hợp: 1) Với m = 1, PT (1) trở thành -2x + = 0; PT có nghiệm x = Như trường hợp m = 1, mệnh đề 2) Với m ≠ 1, PT (1) PT bậc hai có ∆' = ( 2m – ) –( m – ).3m = m –m + > với giá trị m Do PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt Nghĩa trường hợp này, PT (1) có nghiệm Rõ ràng hai trường hợp ta xét hết khả có m Vậy PT (1) có nghiệm với giá trị tham số m Ví dụ Để chứng minh định lý tính chất góc nội tiếp: “ Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn ” ( Trang 73 – SGK Toán – Tập II ) Để chứng minh đinh lý này, ta xét trường hợp: Trường hợp 1, Tâm đường tròn nằm cạnh góc Trường hợp Tâm đường tròn nằm bên góc Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 10