Chuyên đề PT – BPT HỆ PT LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng  x + y + xy + x = y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  ( x + x)( x + y − 3) = −3 y ( x; y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Ta xét hai khả năng: x = +) Nếu y = ⇒ x + x = ⇔  ⇒ hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0)  x = −2  x2 + x + x+ y =5  x2 + 2x  y = u u + v = u = 3; v = −1   +) Nếu y ≠ , HPT ⇔  , đặt  ⇔ ⇒ y u = −1; v =  x + x ( x + y − 3) = −3 v = x + y − uv = −3   y   x2 + 2x =3 u = x = y =1  - V ới  ⇔ ⇒ y v = −1   x = −6; y =  x + y − = −1  x2 + 2x = −1 u = −1  - V ới  ⇒ y ⇒ hệ vô nghiệm v =  x + y − = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) (–6; 8) (3 x + y )( x + y ) xy = 14 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ R ) 2 ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 Hướng dẫn giải: [3( x + y ) + xy ] xy = 14 Ta có, HPT ⇔  ( x + y )[( x + y ) + 12 xy ] = 36 2 2  a = x + y (3a + 4b )b = 14 3a b + 4b = 14 Đặt   → ⇔ 2 b = xy ≥  a (a + 12b ) = 36 a + 12ab = 36  a (3k + 4k ) = 14 3k + 4k Nhận thấy a = không thỏa mãn, đặt b = ka ta  ⇒ = ⇒ k = ⇔ a = 6b 2 + 12k 18  a (1 + 12k ) = 36  3+ 2 3− 2 ;y = x + y = x + y =  x =   2 Từ ta tìm a = 3; b = ⇒  ⇔ ⇒  xy =  3−2 3+ 2  xy =  ;y = x = 2  Vậy hệ cho có hai nghiệm  x + y + x + y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x + y + x + y = −2 Hướng dẫn giải:  x + y = a b2 Đặt  ⇒ x + y = a2 − 2  x + y = b Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT HỆ PT 2  2 x + y = x = a + a − b = −2 a + 5a − = a =  x + y = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ Ta có hệ phương trình  2  b = − a b =  x + y = 4 x + y =  y = −7 a + b = 2 x − y − xy = xy (1 − x)  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình    ( x + y )  +  =  xy   Hướng dẫn giải: − + xy ) = xy (2 x y )(1 2 x − y − xy + x y = xy    2 HPT ⇔  ⇔   + xy   ( x + y ) ( x + y ) + = 12   = 12     xy   xy     xy  2 x − y = (1 + xy) y = x  2 2 + xy ≠ ⇒  ⇒ 12(2 x − y ) = 4( x + y ) ⇔ 11x − 12 xy + y = ⇔   y = 11x ( x + y ) = 12  xy      + xy   Thay vào ta nghiệm hệ x = y =  x2 − y( x + y) + = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  ( x + 1)( x + y − 2) + y = Hướng dẫn giải: +) Xét y = không thỏa mãn hệ  x2 +  y − ( x + y) = a − b =  +) Với y ≠ hệ có dạng  ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 1) (−1; 2)  ( x + 1) ( x + y − 2) = −1 a (b − 2) = −1  y  x + y − xy = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  2  x + + y + = Hướng dẫn giải: Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = xy + Bình phương (2) ta x + y + ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + ( xy ) + xy + = 11 (*) t = t ≤ 11 Đặt t = xy ⇒ t + t + = 11 − t ⇔  ⇔  −35 t = t + 26 t − 105 =   35 +) Với t = − ⇒ ( x + y ) = −32 < ⇒ vô nghiệm x = y =  x + y = ±2 +) Với t = ⇒ ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = ±2 ⇒   →  xy =  x = y = − Vậy hệ có hai nghiệm ( 3; ) , ( − 3; − )  x y + x + y − 15 = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  2  x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Chuyên đề PT – BPT HỆ PT LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔  2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 Đặt  ta có hpt  ⇔ v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = u + v = −10 u + v = u = u = −1 ⇔ (vô nghiệm)  ⇔  uv = 45 uv = −3 v = −1 v = u = +) Với  ta tìm nghiệm ( x; y ) = (2;1) ( x; y ) = (−2;1) v = −1 u = −1 +) Với  ta tìm nghiệm ( x; y ) = (0;5) v = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)  x + y + x − y = Ví dụ 8: Giải hệ phương trình   y x − y = Hướng dẫn giải: v − u2 u = x − y Đặt  Điều kiện u ≥ Khi ta có y =  v = x + y u + v = (1) Hệ cho trở thành  (v − u )u = (2) Từ (1) ⇒ v = – u Thay vào (2) ta ( − u − u ) u = ⇔ u + u − 8u + = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 −3 − 17 không thoả mãn Đối chiếu điều kiện u ≥ ta có u = x=5 u =  x − y =  +) Với u = ta có  ⇔ ⇔ v = x + y =  y =    −3 + 17 13 − 17  x = − 17 u= x − 2y =   −3 + 17    2 +) Với u = ta có  ⇔ ⇔ + 17  v = 19 − 17  x + y = 19 − 17 y =    2 + 17   1  Vậy tập nghiệm hệ phương trình  5;  ,  − 17;    2  Cách 2: u = x − y u + u + 4v = Đặt  ⇒ x = u + 2v ⇒  uv = v = y ⇔ ( u − ) ( u + 3u − ) = ⇔ u = 2; u =  → u + u + = 8u ⇔ (u − 2)(u + 3u − 2) = ⇔ u = 2; u = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 Đến việc tìm nghiệm cách giải Cách 3: v − u2 u = x − y Đặt  ⇒ u − v = −4 y ⇒ y = v = x + y u + v = (1) Khi ta có hệ  (v − u )u = (2) Giải hệ tương tự cách Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Chuyên đề PT – BPT HỆ PT LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 2  x − x ( y − 1) + y = y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình  2  x + xy − y = x − y Hướng dẫn giải:  x − xy + y = y − x Hệ cho tương đương với  2  x + xy − y = x − y 2 TH1: y = ⇒ x =  y (2t − t + 1) = y (3 − t ) (1)  2  y (t + t − 3) = y (t − 2) (2) t = ±1 2t − t + − t = ⇔ 3t − 7t − 3t + = ⇔  Từ (1) (2) ta t = t +t −3 t −2  x TH2: y ≠ 0, đặt t = ⇔ x = ty thay vào hệ: y   Từ suy hệ có nghiệm (0;0);(1;1);(−1;1);  ;   43 43   x y + x + y − 15 = Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  2  x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔  2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 u = Đặt  ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔ v = −1 v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = Giải ta nghiệm hệ (2; 1), (–2; 1), (0; 5) ( u = −1  v = )  x − − y + 2 x − = −8  Ví dụ 11: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ )  y + y x − + x = 13 Hướng dẫn giải: t − y (1 + 2t ) = −8 t − y − 2ty = −8 Đặt t = x − 1, t ≥ Hệ phương trình trở thành  ⇔ 2  y + yt + t = 12 ( t − y ) + 3ty = 12 t − y = Từ (1) (2) suy ( t − y ) + ( t − y ) = ⇔  t − y = −  +) Với t = y thay vào (1) ta t = y = 5  t = ⇒ x − = ⇔ x = , nghiệm hệ  ;2  2  −3 + 61 +) Với y = t + thay vào (1) ta 4t + 6t − 13 = ⇔ t =   + 61 −3 + 61 y= y= +   −3 + 61   4 t= ⇒ ⇔ −3 + 61   x = 43 − 61  x − =  16     43 − 61 + 61   ; Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) =  ;2  ,    16      (1) ( 2) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Chuyên đề PT – BPT HỆ PT LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng   x − y + = Ví dụ 12: Giải hệ phương trình   y + ( x − 2) x + = −  ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2  u − v = Đặt u = x + 2; v = y + với u; v ≥ (*) Hệ trở thành:  v + ( u − ) u =  (1) (2) 7  Thế (1) vào (2) ta phương trình  u −  + 2u − 8u = ⇔ u + 2u − 7u − 8u + 12 = 2  u = ⇔ ( u − 1)( u − ) ( u + 5u + ) = ⇔  u = +) Với u = thay vào (1) ta v = − , không thỏa mãn +) Với u = thay vào (1) ta v = , thỏa mãn điều kiện 7  Vậy, hệ phương trình có nghiệm  2; −  4  ( x + y )3 + xy = ( x + y )( + xy )  Ví dụ 13: Giải hệ phương trình  1 =   x+ y x − y Hướng dẫn giải: x + y > Điều kiện:  x − y > Ta có: ( x + y ) + xy = ( x + y )( + xy ) ⇔ ( x + y ) − 16 ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy = 3 ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16  − xy ( x + y ) −  = ⇔ ( x + y ) −  ( x + y )( x + y + ) − xy  =   2 ⇔ ( x + y ) −   x + y + ( x + y )  = ⇔ ( x + y ) − = ⇔ y = − x >0 Thay vào phương trình ta  x = −3  y = 1 = ⇔ x2 + x − = ⇔  ⇔ x − (4 − x) x = y = xy  2  x + y + x + y = 16 Ví dụ 14: Giải hệ phương trình   x3 + x x + y − =  (1) ⇔ ( x Hướng dẫn giải: ) ( x + y ) + xy = 16 ( x + y ) ) ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y ) ) ( x + y − ) + ( x + y )( x + y − ) = +y ⇔ ( x2 + y ⇔ ( x2 + y 2 2 ⇔ ( x + y − )  x + y + ( x + y )  =  x + y = (ok ) ⇔ 2  x + y + ( x + y ) = ( Loai ) x + y > Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Chuyên đề PT – BPT HỆ PT LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng x = Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 3) = ⇔   x + x + = (VN ) Với x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (1;3) 2 x − y + − x + y = Ví dụ 15: Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) 3 − x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: u = x − y  x = 2 x − y = u Đặt  ⇒ ⇒  y = v = − x + y 5 − x + y = v Thế vào ta có hệ theo u, v Các em giải nốt nhé!  x2 y2 + =  2 Ví dụ 16: Giải hệ phương trình  ( y + 1) ( x + 1)  3 xy = x + y +  y x − y = 48  Ví dụ 17: Giải hệ phương trình   x + y + x − y = 24  y x + y − + x = y Ví dụ 18: Giải hệ phương trình  2  y ( x + y − 3) + x = 16 y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 2 xy + x + = y Ví dụ 19: Giải hệ phương trình  2 4 x y + xy + = y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 16 x y − 17 y = −1 Ví dụ 20: Giải hệ phương trình  4 xy + x − y = −1 Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y  x + y + x y + xy + xy = Ví dụ 21: Giải hệ phương trình   x + y + xy + xy = Hướng dẫn: Đặt u = x + y ; v = xy  x − x y + y − = Ví dụ 22: Giải hệ phương trình  2 2  x y − y + x − y − y + = Hướng dẫn: Đặt u = x − y; v = y  x − y + 28 y + 31 = 32 x + y + y Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình  2  x + y + xy − x − y + 14 = BÀI TẬP TỰ LUYỆN:  Bài 1: Giải hệ PT    Bài 3: Giải hệ PT   x + y + xy = x+ y =4 x+ y − x− y = x2 + y + x2 − y2 =  x − y = x − y Bài 2: Giải hệ PT   x + y = x + y +  x+ y − x− y =  Bài 4: Giải hệ PT   x − y + x + y = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng  x + y − x − y = Bài 5: Giải hệ PT  2 2  x + y + x − y = ( x − y + )( x + y ) + x − y = −6 Bài 6: Giải hệ PT   x + + y − =  2 = 13 8 ( x + y ) + xy + x + y) (  Bài 7*: Giải hệ PT  2 x + =  x+ y  x + + y − = Bài 9: Giải hệ PT   x + + y + =  x + y + + x + y = Bài 11: Giải hệ PT  3 x + y = Chuyên đề PT – BPT HỆ PT  x + y +  Bài 8: Giải hệ PT  x + y +  x y + =4 y x x2 y + =4 y x 2 y − x = 1(1) Bài 10: Giải hệ PT  3 2 x − y = y − x ( )  x + y − = Bài 12: Giải hệ PT   x − + y =  x + xy + y x2 + y + = x + y (1)  Bài 13*: Giải hệ PT    x xy + x + = xy − x − ( ) 2 2  x + y + x y = + xy Bài 14: Giải hệ PT   ( x − y )(1 + xy ) = − xy  1 1  x ( x + 1) + 1 +  = y y Bài 16: Giải hệ PT   3 2  x y + xy + x y + = y  x + y +  Bài 18: Giải hệ PT  x + y +  ( x y + =4 y x x2 y2 + =4 y x )  x + y − x − y = 12 Bài 15: Giải hệ PT   x ( x − 1) y ( y − 1) = 36  x + y + x y = 3xy  Bài 17: Giải hệ PT  1  x + y − xy =  y x   xy + xy + x + y = Bài 19: Giải hệ PT  2 x y + xy + y + x = xy  2 2  3 x + y ( x + y ) = y − y + Bài 20*: Giải hệ PT  Bài 22*: Giải hpt sau: 2  x + y + y = 22 2x   x + xy + y =    18 = y ( y − x)  ( x + y )  x + y − x − y = Bài 23: Giải hệ pt sau:  2 2  x + y + − x − y =  x + + y + = Bài 25: Giải hệ PT  ( x + 1) y + + ( y + 1) x + = 3 2 x − y = ( x − y )( xy + 3) Bài 27: Giải hệ PT  2  x − xy + y =  x + y + xy = Bài 24: Giải hệ PT   x + y − xy =  x − xy + y = ( x − y )  Bài 26: Giải hệ PT  2  x + xy + y = ( x − y )  x − y − + x − y = Bài 28: Giải hệ PT   x − y + x − y = ( x + y + xy ) x + y = 12 Bài 29: Giải hệ PT  ( x + y − xy ) x + y =  x + xy + y + = y Bài 30: Giải hệ PT  2  x + x y + x = x + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT HỆ PT  x − + x3 = + y (1)  Bài 31: Giải hệ PT  ( x − 1) = y ( ) 1 x + y =  Bài 32*: Giải hệ PT   +   +  1 +  = 18    y   x  y   x 2  y + ( x − 1) = x ( x + 1) Bài 33*: Giải hệ PT   40 x + x = y 14 x −  x + y = y + x (1)  Bài 34*: Giải hệ PT   x2 − y = 3( 2)  ( ) Nếu làm hết số này, thi Đại học, 100% em tủm tỉm cười! HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN ! Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014!