Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Click I Tọa độ điểm vectơ 1) Hệ tọa độ : z Trong không gian cho trục x’Ox ; y’Oy r ;rz’Oz r vuông góc với đôi Gọi i ; j ; k véc tơ đơn vị trục cho Hệ trục gọi hệ trục tọa độ Đề vuông góc Oxyz không gian Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ x’ O y’ Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ; Đôi vuông góc gọi mặt x phẳng tọa độ Không gian với hệ trục Oxyz gọi không gian Oxyz r r r Vì i ; j ; k véc tơ đơn vị đôi vuông góc nên r r2 r2 r r r r rr i = j = k = i j = k j = k i = r k r j r i y z’ Click Trong không gian Oxyz , cho điểm M Hãy phân tích véc tơ r r r không đồng phẳng i ; j ; k cho trục Ox ; Oy : Oz Tọa độ điểm : z theo véc tơ z M (x ; y ; z ) Trongr không r r gian Oxyz , cho điểm M tùy ý Vì i ; j ; k không đồng phẳng nên có ba số ( x ; y ; z) cho uuuu r r r OM = x.i + y j + z.k r O i Ngược lại với ba số ( x ; y ; z) ta có điểm M không gian thỏa : uuuu r r r OM = x.i + y j + z.k uuuu r OM r k r j y y x x Ta gọi số ( x ; y ; z) tọa độ điểm M hệ trục cho viết : M = ( x ; y ; z) hay M(x ; y ; z) Tọa độ véctơ : r Trong không gian Oxyz , cho vectơ a Khi tồn ba số (a1;a2;a3) r r r r cho : a = a1.i + a2 j + a3 k Vậy : tọa độ véctơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) uuuu r Click Do M(x ; y ;z) ⇔ OM = ( x; y; z ) Ví dụ minh họa : Trong không Oxyz ,u cho uuu rgianuu ur u ur hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ r r r có điểm A trùng với gốc O , có AB ; AD ; AA ' theo thứ tự cùnguu hướng với u r uuu r uiu;uu rj ; kuuuu r có AB = a ; AD = b ; AA’ = c Hãy tính tọa độ véc tơ : AB ; AC ; AC ' ; AM M trung điểm C’D’ uuu r AB = ( a; 0; 0) uuur AC = (a; b ; 0) uuuu r AC ' = ( a; b ; c ) uuuu r AM = (?; ?;?) z A’ B’ uuuu r a AM = ( ; b ; c) c Or= A i B a M D’ C’ r k r j Dy b C x Thầy trò tìm ….? Click II Biểu thức tọa độ phép toán vectơ Định lí : r r Trong không gian cho vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 ) r r a ) a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r b) a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r c) k a = k ( a1 ; a2 ; a3 ) = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) Trong k số thực Chứng minh : r r r r r r r r b = b1 i + b2 j + b3 k Theo giả thiết : a = a1 i + a2 j + a3 k r r r r r ⇒ a + b = ( a1 + b1 ) i + ( a2 + b2 ) j + ( a3 + b3 ) k r r Vậy : a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) Chứng minh tương tự cho b) c) Click Hệ : a) Cho vectơ r r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Ta có : a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r b) Vectơ = ( 0;0;0 ) r r r r c) Vectơ b ≠ hai vectơ a & b phương có số k cho : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 d) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(xA ; yA ; zA) B(xB ; yB ; zB) uuu r uuu r uuu r Thì : ∗ AB = OB − OA = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) ∗ Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB :  x + x y + yB z A + z B  M A B; A ; ÷ 2   Bài tập thêm : Trong kg Oxyz cho điểm A(xA ; yA ; zA) ; B(xB ; yB ; zB) ; C(xC ; yC ;zC) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC :  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  G A B C ; A ; ÷ 3   Click III Tích vô hướng Biểu thức tọa độ tích vô hướng Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hướng vectơ r r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 ) xác định : r r a b = a1b1 + a 2b + a 3b Chứng minh : Áp dụng : r r r r r r r r a b = a1 i + a2 j + a3 k b1 i + b2 j + b3 k r2 = a1b1 i + +??? r r2 r2 r r r r rr i = j = k = i j = k j = k i = Có đpcm ( Ứng dụng a) Độ dài vectơ )( r a = ( a2 ; a2 ; a3 ) ) r ⇒ a = a12 + a 22 + a 23 b) Khoảng cách điểm : Cho điểm A(xA ; yA ; zA) B(xB ; yB ; zB) uuu r 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) Click r r c) Góc vectơ : Cho vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; br2 ;rb3 ) ab cos ϕ = r r góc ϕ vectơ a.b : r r a1b1 + a 2b + a 3b Ta có : cosϕ = cos a;b = a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 r r a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 Qua suy ( ) Bài tập làm lớp : r r r Vơi hệ Oxyz cho a = ( 3;0;1) ; b = ( 1; −1; −2 ) ; c = ( 2;1; −1) r r r r r Hãy tính : a b + c & a + b r r r r r a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) a b + c = 3.3 + 0.0 + ( −3) = r r rr b + c = ( 3;0; −3) ab = a1b1 + a2b2 + a3b3 r r r 2 + − + − = 18 ( ) ( ) a+b = a = a12 + a22 + a32 r r b + a = ( 4; −1; −1) ( ( ( ( ) ) ) ) Click IV Phương trình mặt cầu Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) , bán kính r có phương trình : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 Chứng minh : Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r uuur Nên có M ∈(S) ⇔ IM = r ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 ⇔ ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 ⇔ M(x ; y ; z) r I(a ; b ; c) Bài tập làm lớp : Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = ⇒ ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 52 Chú ý : 2 Phương trình mặt cầu viết : (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = d = a2 + b2 + c2 – r2 Cũng chứng minh pt mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = Trong r2 = A2 + B2 + C2 - D > ; tâm I(-A;-B;-C) Click Ví dụ : Xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình : x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + = Giải : Ta có : (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = −2a =  −2b = −2 −2c =  d = a2 + b2 + c2 – r2  a = −2  ⇔ b = Vậy tâm  c = −3  I ( -2 ; ; -3) Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – = ⇒ r = Bài tập trắc nghiệm : r r r I - Trong kg Oxyz cho véc tơ : a = ( −1;1;0 ) ; b = ( 1;1; ) ; c = ( 1;1;1) Hãy trả lời câu hỏi sau : Trong mệnh đề sau , mệnh đề sai ? r a A: = r c B: = r r C : a⊥b r r D : b⊥c Click 2) Trong mệnh đề sau mệnh đề ? rr AA a.c = rr CC cos b.c = ( ) r r BB a & c cung phuong r r r r DD a + b + c = uuu r r uuu r r 3) Cho hình bình hành OADB có OA = a ; OB = b (O gốc tọa độ ) > Tọa độ tâm hình bình hành OADB : A (0 ; ; 0) C (1 ; ; 1) B D (1 ; ; 0) (1 ; ; 0) Click II - Trong kg Oxyz cho điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) D(1;1;1) Gọi M , N trung điểm AB CD Tọa độ điểm G trung điểm MN : A 1 1 G ; ; ÷ 3 3 C 2 2 G ; ; ÷ 3 3 B 1 1 G ; ; ÷ 4 4 D 1 1 G ; ; ÷ 2 2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính : A C B D Click V Bài tập : Bài tập nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008 [...]... C(0;0;1) và D(1;1;1) 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ điểm G là trung điểm của MN là : A 1 1 1 G ; ; ÷ 3 3 3 C 2 2 2 G ; ; ÷ 3 3 3 B 1 1 1 G ; ; ÷ 4 4 4 D 1 1 1 G ; ; ÷ 2 2 2 2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là : A 2 C 3 B 3 4 D 3 2 Click V Bài tập : Bài tập về nhà 1;2 ;3; 4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008 ...2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? rr AA a.c = 1 rr 2 CC cos b.c = 6 ( ) r r BB a & c cung phuong r r r r DD a + b + c = 0 uuu r r uuu r r 3) Cho hình bình hành OADB có OA = a ; OB = b (O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là : A (0 ; 1 ; 0) C (1 ; 0 ; 1) B D (1 ; 0 ; 0) (1 ; 1 ; 0) Click II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0)