Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Đồ thị hàm số toán liên quan A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tính đơn điệu hàm số 1.1 Định nghĩa Cho hàm số f xác định K , với K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Khi f đồng biến K ⇔ ( ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x )) f nghịch biến K ⇔ ( ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x )) 1.2 Điều kiện cần đủ Cho hàm số f có đạo hàm khoảng I Khi f đồng biến I ⇔ f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I f ′(x ) = số điểm hữu hạn thuộc I f nghịch biến I ⇔ f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I f ′(x ) = số điểm hữu hạn thuộc I f hàm I ⇔ f ′(x ) = 0, ∀x ∈ I Cực trị hàm số 2.1 Điều kiện cần để có cực trị Cho hàm số f có đạo hàm x Nếu hàm số f đạt cực trị x f ′(x ) = 2.2 Điều kiện đủ để có cực trị 2.2.1 Điều kiện đủ thứ Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) , x ∈ (a;b) Khi f ′(x ) đổi dấu x qua x f đạt cực trị x x x0 x x0 f ′ (x ) f ′ (x ) f (x ) CĐ f (x ) CĐ www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM 2.2.2 Điều kiện đủ thứ hai Cho hàm số f có đạo hàm cấp (a;b) chứa x , f ′(x ) = f ′′(x ) ≠ Khi f ′′(x ) < ⇒ f đạt cực đại x , f ′′(x ) > ⇒ f đạt cực tiểu x Chú ý Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai toán có yêu cầu liên quan đến cực trị điểm cụ thể cho trước 2.3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị 2.3.1 Hàm số y = f (x ) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) , (C ) Giả sử đồ thị (C ) có hai điểm cực trị A (x A; yA ) , B (x B ; yB ) Thực phép chia đa thức f (x ) cho f ′(x ) , ta f (x ) = g (x ).f ′(x ) + αx + β Khi ta có yA = f (x A ) = g (x A ) f ′(x A ) + αx A + β = αx A + β ; =0 yB = f (x B ) = g (x B ) f ′(x B ) + αx B + β = αx B + β =0 Suy A, B ∈ ∆ : y = αx + β nên ∆ đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị (C ) 2.3.2 Hàm số y = f (x ) = Giả sử đồ thị (C ) ax + bx + c (a ≠ 0) , (C ) dx + e có hai điểm cực trị A (x A ; yA ) , B (x B ; yB ) Đặt u(x ) = ax + bx + c , v(x ) = dx + e Khi f ′(x ) = u ′(x )v(x ) − u(x )v ′(x )   v(x ) u ′(x )v(x ) − u(x )v ′(x ) = ⇔ Do ta có yA = f (x A ) = 2ax A + b Nếu f đạt cực trị x u(x ) v(x ) = yB = f (x B ) = u ′(x ) u ′(x ) hay f (x ) = v ′(x ) v ′(x ) 2ax B + b d d nên ∆ đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị (C ) Suy A, B ∈ ∆ : y = 2ax + b d Chú ý Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị đồ thị hàm số Giá trị lớn giá trị nhỏ ∀x ∈ D, f (x ) ≤ M  ∀x ∈ D, f (x ) ≥ m M = max f (x ) ⇔  m = f (x ) ⇔  x ∈D x ∈D ∃x ∈ D, f (x ) = M ∃x ∈ D, f (x ) = m Nếu y = f (x ) đồng biến [a;b ] f (x ) = f (a ) max f (x ) = f (b ) x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] Nếu y = f (x ) nghịch biến [a;b ] f (x ) = f (b) max f (x ) = f (a ) x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] Tiệm cận Đường thẳng x = x gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x ) điều kiện sau thỏa mãn lim− f (x ) = +∞ ; lim+ f (x ) = +∞ ; lim− f (x ) = −∞ ; lim+ f (x ) = −∞ x →x x →x x →x x →x Đường thẳng y = y gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x ) www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM lim f (x ) = y lim f (x ) = y x →+∞ x →+∞ Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x ) lim [ f (x ) − (ax + b )] = lim [ f (x ) − (ax + b )] = x →+∞ x →−∞ Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số 5.1 Tìm điểm cố định họ đồ thị Cho hàm số y = f (x , m ) , (C m ) Khi họ (C m ) qua điểm cố định M (x ; y ) ⇔ y = f (x , m ), ∀m ⇔ gk (x ; y )m k + gk −1(x ; y )m k −1 + + g (x ; y ) = 0, ∀m   gk (x ; y ) = g (x ; y ) = ⇔  k −1 0   g (x ; y ) = 5.2 Vị trí tương đối hai đồ thị Cho hàm số y = f (x ) , (C ) hàm số y = g(x ) , (C ′) Giao điểm hai đồ thị Số giao điểm (C ) (C ′) số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm f (x ) = g (x ) Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc  f (x ) = g(x ) (C ) (C ′) tiếp xúc ⇔  có nghiệm  f ′(x ) = g ′(x )  5.3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài toán Cách giải Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Áp dụng công thức y − y = f ′(x )(x − x ) Cho (C ) : y = f (x ) M (x ; y ) ∈ (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) M Tiếp tuyến qua điểm cho trước Cho (C ) : y = f (x ) điểm A (x A ; yA ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua A Cách Gọi d đường thẳng qua A (x A ; yA ) có hệ số góc k : y = k (x − x A ) + yA Dùng điều kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k Cách Pttt d điểm M (x ; y ) bất kỳ: y − y = f ′(x )(x − x ) Vì d qua A nên yA − y = f ′(x )(x A − x ) Từ suy x Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Pttt d (C ) M (x ; y ) bất kỳ: Cho hàm số y = f (x ) , (C ) Viết phương y − y = f ′(x )(x − x ) Vì d có hệ số góc k nên trình tiếp tuyến d (C ) biết tiếp d có hệ suy f ′(x ) = k Từ suy x số góc k 5.4 Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Hàm số Đồ thị  Từ đồ thị (C ) : y = f (x ) , Do f (x ) =  f (x ), f (x ) ≥ nên ta vẽ đồ thị (C ) sau −  f (x ), f (x ) < vẽ đồ thị (C ) : y = f (x ) Giữ lại phần đồ thị (C a ) (C ) không nằm phía trục Ox Lấy đối xứng phần đồ thị lại (C ) qua trục Ox , ta phần đồ thị (C b ) Khi (C ) = (C a ) ∪ (C b )  Từ đồ thị (C ) : y = f (x ) , Ta có f x =  f (x ), x ≥ f x hàm chẵn nên đồ thị   f (−x ), x <  vẽ đồ thị (C ) : y = f x đối xứng qua trục tung Do ta vẽ đồ thị (C ) sau ( ) ( ) ( ) Giữ phần đồ thị (C a ) (C ) không nằm bên trái trục Oy Lấy đối xứng phần đồ thị lại (C ) qua trục Oy, ta phần đồ thị (C b ) Khi (C ) = (C a ) ∪ (C b ) Từ đồ thị (C ) : y = f (x ) , Ta thực sau vẽ đồ thị (C ) : Vẽ đồ thị hàm số y = f x Vẽ đồ thị hàm số y = ( ) y= f x ( ) f (x )  đồ thị Vì u x v x = u (x ) v (x ), v (x ) ≥ , nên ta vẽ C sau ( ) ( )  −u x v x , v x < ( 4)  ( ) ( ) ( ) (C ) : y = u (x ).v (x ) , vẽ đồ Từ Giữ lại phần đồ thị (C a ) (C ) ứng với u (x ) ≥ thị (C ) : y = u(x ) v(x ) Lấy phần đối xứng phần đồ thị lại (C ) qua trục hoành, ta (Cb ) Khi (C ) = (C a ) ∪ (C b ) Một số kiến thức khác liên quan 6.1 Các vấn đề liên quan đến Định lí dấu tam thức bậc hai 6.1.1 Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f (x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) Khi ta có trường hợp ∆0 x f(x) −∞ x1 dấu a x2 trái dấu a www.MATHVN.com +∞ dấu a WWW.MATHVN.COM Khảo sát hàm số 6.1.2 Điều kiện tam thức không đổi dấu » Cho tam thức f (x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) Khi ta có ∆ < ∆ < f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇔  f (x ) < 0, ∀x ∈ » ⇔   a >  a <   ∆ ≤ ∆ ≤ f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔  f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔   a >  a <   6.1.3 So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực cho trước Xét phương trình bậc hai f (x ) = ax + bx + c = (1) số thực α cho trước Khi (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn x1 < < x ⇔ P < (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn ∆ >  < x1 < x ⇔ P >  S >  ∆ >  x1 < x < ⇔ P >   S <    ∆ > x1 < x < α ⇔ af (α ) >   S  < α 2    ∆ > α < x1 < x ⇔  af (α ) >  S  > α 2 (1) có hai nghiệm x1, x thỏa mãn x1 < α < x Đặt t = x − α , phương trình (1) trở thành g (t ) = (2), ta cần phải có (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 < < t ⇔ P < 6.1.4 Liên hệ số nghiệm phương trình trùng phương phương trình bậc hai tương ứng Cho phương trình trùng phương ax + bx + c = (1) Đặt t = x , phương trình (1) trở thành at + bt + c = (2) Khi  (2) vô nghiệm ∆ < (1) vô nghiệm ⇔  ⇔   (2) có nghiệm t1 ≤ t2 < ∆ ≥ 0, P > 0, S < P = (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1 ≤ t = ⇔  S ≤   (2) có nghiệm t = t > ∆ = 0, S > (1) có hai nghiệm ⇔  ⇔   (2) có nghiệm t1 < < t P < www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM P = (1) có ba nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1 = < t2 ⇔  S >  ∆ >  (1) có bốn nghiệm ⇔ (2) có nghiệm < t1 < t ⇔ P >   S >  6.2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 = ∆2 : a 2x + b2y + c2 = Khi ∆1 ∆2 tạo với góc α cos α = a1a + b1b2 a12 + b12 a 22 + b22 Đặc biệt ∆1 song song ∆2 ⇔ a1 a2 = b1 b2 ≠ c1 c2 ∆1 vuông góc ∆2 ⇔ − a1  a  −  = −1 b1  b2  k1 k2 6.3 Khoảng cách 6.3.1 Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A(x A ; yA ) B(x B ; yB ) AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 6.3.2 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Khoảng cách từ điểm M (x M ; yM ) tới ∆ : ax + by + c = d (M , ∆) = ax M + byM + c a2 + b2 B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI Tính đơn điệu hàm số Dạng toán Tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệutrên khoảng cho trước Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + mx + (3m − 2) x + đồng biến khoảng (1; 2) Giải Cách Phương pháp đồ thị hàm số Yêu cầu toán ⇔ y ′ = x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ y ′ = x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ 1; 2 (vì y ′ liên tục x = x = )   ⇔ g (x ) = x2 − ≥ −m, ∀ ∈ 1; 2 hay g (x ) ≥ −m   2x + x ∈1;2   x = −1 ∉ 1; 2 2x + 6x +    ′ ′ g x = ⇔ Ta có g (x ) = ; ( ) x = ∈ 1; 2 , g (1) = − , g (2) =   (2x + 3)  1 Do g (x ) = g (1) = − Vậy giá trị m cần tìm m ≥ 5 x ∈1;2   Cách Phương pháp tam thực bậc hai www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Yêu cầu toán ⇔ y ′ = f (x ) = x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) Điều xảy hai điều kiện sau thỏa mãn i y ′ = x + 2mx + 3m − ≥ ∀x ∈ » , tức ∆′ = m − 3m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ ii f (x ) = có hai nghiệm x1, x thỏa mãn x1 < x ≤ ≤ x1 < x Trường hợp f (x ) = có hai nghiệm x1, x thỏa mãn x1 < x ≤ , ta có   m < ∨ m >  ′  1 ∆ = m − 3m + >   ≤ m  m > −1  S    = −m < 2 Trường hợp f (x ) = có hai nghiệm x1, x thỏa mãn < x1 < x , ta có    ′  m < ∨ m > ∆ = m − 3m + > af = 7m + ≥ ⇔ m ≥ − ⇔ m ∈ ∅   ( )   m < −2  S   = −m > 2 Kết hợp trường hợp ta giá trị m cần tìm m ≥ Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + (2m − 1) x + m − 9m + x + đồng biến ( ) khoảng (−∞;1) Giải Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞;1) y ′ = f (x ) = x + (2m − 1) x + m − 9m + ≥ ∀x ∈ (−∞;1) Điều xảy hai điều kiện sau thỏa mãn i f (x ) ≥ ∀x ∈ » ⇔ ∆′ = 3m + 5m − ≤ ⇔ − ≤ m ≤ ii f (x ) = có hai nghiệm x1, x thỏa mãn ≤ x1 < x , tương đương với   − < m < ∆′ = 3m + 5m − >   m ∈» ⇔m ( )    Kết hợp trường hợp trên, ta giá trị m cần tìm m ≤ Bài Tìm giá trị m để hàm số y = a đồng biến b đồng biến x + (2m − 1) x + (m + 1) x + 2m − », 1; +∞) ,  c nghịch biến khoảng (0;1) Giải www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Ta có y ′ = f (x ) = x + (2m − 1) x + m + a Hàm số đồng biến » y ′ = x + (2m − 1) x + m + ≥ ∀x ∈ » Khi ∆′ = (2m − 1) − m − ≤ ⇔ ≤ m ≤ Vậy giá trị m cần tìm ≤ m ≤ b Hàm số cho đồng biến 1; +∞) y ′ ≥ ∀x ∈ 1; +∞) Điều tương −x + 2x đương với g (x ) = ≤ m ∀x ∈ 1; +∞) hay max g (x ) ≤ m  x ∈1;+∞) 4x +   x = −1 ∉ 1; +∞) −4x − 2x +  Ta có g ′ (x ) = ; g ′ (x ) = ⇔ x = ∉ 1; +∞)  (4x + 1)   Bảng biến thiên x g ′ (x ) g (x ) +∞ − 1 Do ta có m ≥ Vậy giá trị m cần tìm m ≥ x ∈1;+∞) 5 c Yêu cầu toán ⇔ y ′ ≤ ∀x ∈ (0;1) y ′ ≤ ∀x ∈ 0;1 (vì y ′ liên tục x = x = ) −x + 2x ⇔ g (x ) = ≥ m, ∀x ∈  0;1 , tức g (x ) ≥ m   x ∈0;1 4x +  x = −1 ∉  0;1 1    Ta có g ′ (x ) = ⇔  ; g (0) = ; g   = g (1) = x = ∈  0;1      Do g (x ) = g (0) = nên giá trị m cần tìm m ≤ Ta thấy max g (x ) = g (1) =  x ∈0;1 Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + (2m + 1) x + x −2 nghịch biến khoảng (0;1) Giải Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) y ′ = x − 4x − 4m − (x − 2) ≥ ∀x ∈ (0;1) , tương đương với g (x ) = x − 4x − 4m − ≥ ∀x ∈ (0;1) Vì g liên tục x = x = nên g (x ) = x − 4x − 4m − ≥ ∀x ∈  0;1 hay g (x ) ≥ x ∈0;1 Ta có g ′ (x ) = 2x − = ⇔ x = ∉  0;1 ; g (0) = −4m − g (1) = −4m − Suy g (x ) = g (1) = −4m − Do giá trị m cần tìm m ≤ − x ∈0;1 Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + (m + 1) x − 2m + x − 2m (1; +∞) Giải www.MATHVN.com đồng biến khoảng Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) ⇔ y ′ = x − 4mx − 2m − (x − m ) g (x ) = x − 4mx − 2m − ≥ ∀x ∈ (1; +∞)  Ta thấy   m ≤  g (x ) > 0, ∀x ∈ » Do giá trị m cần tìm m ≤ ≥ ∀x ∈ (1; +∞) , hay ∆g′ = 6m + > ∀m ∈ » nên Dạng toán Tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + mx + mx + có hai cực trị x1, x thỏa mãn x1 − x ≥ Giải Hàm số cho có hai cực trị x1, x ⇔ y ′ = x + 2mx + 3m = có hai nghiệm phân biệt x1, x m < (1) ⇔ m − 3m > ⇔  m > Khi 2 x1 − x ≥ ⇔ (x1 − x ) ≥ 16 ⇔ (x1 + x ) − 4x1x − 16 ≥ (2) x + x = −2m m ≤ −1 Theo định lí Viet ta có  nên (2) ⇔ 4m − 12m − 16 ≥ ⇔  (3)  m ≥ x1x = 3m Kết hợp (1) (3) ta tìm giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m ≤ −1 m ≥ Bài Tìm giá trị m để hàm số y = 50 x − (2m − 1) x + x + có hai cực trị x1, x thỏa mãn x1 = 2x Giải 50 = có hai nghiệm phân biệt x1, x  m < − 10  50 ⇔ ∆ = (2m − 1) − > ⇔  (1)  + 10 m >  Hàm số cho hai cực trị ⇔ y ′ = x − (2m − 1) x + Ta có x1 = 2x nên theo định lí Viet, ta có x1 + x = 2m − ⇔ x = 2m − m =  2m − 1 50 50 50   = Khi x1x = 2x = ⇔  ⇔  9   m = −2 Hai giá trị vừa tìm m thỏa mãn (1) nên m = m = −2 thỏa yêu cầu toán Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x − (m + 4) x + (2m + 5) x + thỏa mãn a có hai cực trị lớn −1 ; b có cực trị lớn −1 ; c có cực trị lớn ; www.MATHVN.com Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM d có hai cực trị nhỏ 4; e có cực khoảng (3; 5) ; f cực trị Giải x − 4x + x −2 x = x − 4x + x − 4x +  ′ Xét hàm số g (x ) = = ⇔ ; g ′ (x ) = ; g x ( )  x −2 x = (x − 2) Bảng biến thiên 3 x −∞ −1 + + + − − − g ′ (x ) y ′ = x − (m + 4) x + 2m + ; y ′ = ⇔ m = Ta có − + 10 − −∞ −∞ +∞ + +∞ −2 g (x ) +∞ 10 Vì nghiệm phương trình y ′ = hoành độ giao điểm y = m y = g (x ) nên từ bảng biến thiên hàm số y = g (x ) ta thấy 10 < m < −2 m > 10 b Hàm số có cực trị lớn −1 m ≤ − 3 c Hàm số có cực trị lớn ⇔ m < − m > 2 d Hàm số có hai cực trị nhỏ ⇔ m < −2 < m < 10 e Hàm số có cực khoảng (3; 5) ⇔ < m < f Hàm số cực trị ⇔ −2 ≤ m ≤ a Hàm số có hai cực trị lớn −1 ⇔ − Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x + (1 − m ) x + 2m + có ba cực trị Giải ( ) Hàm số có ba cực trị ⇔ y ′ = 2x 2x + − m = có ba nghiệm phân biệt ⇔ 2x + − m = có hai nghiệm phân biệt khác ∆′ = −2 (1 − m ) > m > ⇔  ⇔   − m ≠ m ≠   m2 có ba điểm cực trị A, B,C (trong điểm A thuộc trục tung) cho tứ giác ABOC hình bình hành Bài 10 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + mx + − Giải www.MATHVN.com 10 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM 34 Cho hàm số y = x − 3x + 4m , (1) ( m tham số) a Khảo sát hàm số (1) m = b Chứng minh đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Khi xác định m để hai điểm cực trị thuộc trục hoành (m = m = 1) 35 Cho hàm số y = 2x + 3(m − 3)x + 11 − 3m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị qua điểm A(0; −1) (m = 4) 36 Cho hàm số y = mx − 3mx + (2m + 1)x + − m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh rẳng đường thẳng nối điểm cực trị qua điểm cố định (m < ∨ m > 1) 37 Tìm giá trị m để hàm số y = 2x − (2m + 1) x + 6m (m + 1) x + đạt cực đại cực tiểu cho yCD + yCT = 39 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác 40 Cho hàm số y = mx + (m − 1)x + − 2m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có điểm cực trị (m = 3) (m ≤ ∨ m ≥ 1) 41 Với giá trị m , gốc tọa độ thuộc đường thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số y= x + (m + 1)x − m + x −m (m = −1) x + mx − m + , (1) ( m tham số) x −1 a Khảo sát hàm số (1) m = −1 b Chứng minh đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu với giá trị m Tìm giá trị m để ycd2 + yct2 = 72 (m = −2) 42 Cho hàm số y = 43 Tìm m để hàm số f (x ) = x − 3x + m 2x + m có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x− 2 (m = 0) 44 Tìm m để hàm số y = x − mx − x + m + có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ (m = 0) 45 Cho hàm số y = x + 3x − (m − 1) x ,(C m ) Tìm giá trị m để a (C m ) đạt cực trị A, B cho ∆ABO vuông O; b (C m ) đạt cực trị A, B nằm khác phía trục hoành; www.MATHVN.com 26 (m = 1)   1  m ∈  ; +∞ \ {1}    4 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM c (C m ) đạt cực trị A, B cách đường thẳng y = ; d (C m ) đạt cực trị A, B nằm đường thẳng cách gốc tọa độ khoảng 1; (m = 2) (m ∈ ∅) e (C m ) có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục hoành tam giác có diện tích  1 m = ∨ m =    46 Tìm giá trị m để hàm số y = x + 4mx + (m + 1) x + có cực tiểu, cực   1 − 17 + 17     \ −1  m ; ∈ { }   8      đại 47 Tìm m để hàm số y = x + (m + 1)x − m + có cực đại cực tiểu nằm phía trục x −m Ox 48 Tìm m để hàm số y = (m < −3 − m > −3 + 3) x + mx − m + có cực tiểu có hoành độ nhỏ x −m +1 49 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + (1 − 2m )x + (2 − m )x + m + có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 50 Tìm giá trị m để hàm số y = x1, x thỏa mãn điều kiện x1 < −1 < x (m < −1      m < − ∨ m >     2      m ≠    b y = x − 2mx + 2m − 52 Cho hàm số y = 2x − 3(m + 2)x + 6(5m + 1)x − (4m + 2) Tìm m để đồ thị hàm số có a Đúng điểm cực trị có hoành độ lớn (m < 0) b Hai điểm cực trị có hoành độ nhỏ c Có điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (−1;1) d Có điểm cực trị có hoành độ lớn e Có điểm cực trị có hoành độ x i > Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 53 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau www.MATHVN.com 27 (− < m < 0) (− < m < 0) (m > 16) (m > 16 m < − 25 ) Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM x nửa khoảng (−2; 4] ; x +2 x2 + d y = ; x + x +1 f y = sin x + cos 2x ; a y = x + 3x − 9x + đoạn [−4; 4] ; c y = x + + b y = khoảng (1; +∞) ; x −1 e y = a sin x + b cos x (a + b > 0) ; cos 2x ; + cos 2x j y = sin x − cos 2x + sin x + ; sin x + cos x − ; sin x − cos x + i y = cos3 x − cos x + cos x + ; g y = k y = x + − x ; h y = l y = x +1 x2 +1 đoạn [−1; 2] 54 Chứng minh x3 x3 x5 x2 x2 x4 < sin x < x − + , với x > ; b − < cos x < − + , với x ≠ ; 3! 3! 5! 2! 2! 4!  π d e x > + x , với x > ; c sin x + tan x > 2x , với x ∈ 0;  ;   a x − f x − x2 < ln(x + 1) < x , với x > ;  π g x sin x + cos x > , với x ∈ 0;    Tiệm cận đồ thị hàm số −x + 55 Cho hàm số y = x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Xác định tọa độ giao điểm E hai tiệm cận (C ) Chứng minh đường thẳng d qua E cắt (C ) số giao điểm hai giao điểm đối xứng qua E Từ suy E tâm đối xứng (C ) x + mx − x −1 a Khảo sát hàm số m = b Với giá trị m tiệm cận xiên hàm số tạo với trục tọa độ tam giác có 56 Cho hàm số y = (m = −1 ± 2 ) diện tích x +1 , (C ) x −2 a Tìm (C ) điểm có tọa độ nguyên b Tìm (C ) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ 57 Cho hàm số y = (M 1,2 ) (2 ± 3;1 ± 3) x −1 , (C ) Chứng minh khoảng tích khoảng cách từ điểm x +1 (C ) đến hai đường tiệm cận (C ) số 58 Cho hàm số y = 59 Cho hàm số y = x +1 , (C ) Tìm tất điểm M ∈ (C ) cho khoảng cách từ M đến giao x −1 điểm hai đường tiệm cận (C ) ngắn (M (1 + www.MATHVN.com 28 ) 2;1 + ), M (1 − 2;1 − ) WWW.MATHVN.COM 60 Tìm hai nhánh khác (C ) : y = Khảo sát hàm số 4x − điểm M1, M để độ dài đoạn thẳng x −3 M1M nhỏ 61 Tìm hai nhánh khác (C ) : y = −x + 2x − điểm M1, M để độ dài đoạn x −1 thẳng M1M nhỏ Tiếp tuyến đồ thị hàm số 62 Cho hai hàm số 1 f (x ) = − x + x + g(x ) = x − x + 4 a Chứng minh đồ thị (P ) hàm số f đồ thị (C ) hàm số g tiếp xúc điểm A có hoành độ x = b Viết phương trình tiếp tuyến chung (d ) (P ) (C ) điểm A c Chứng minh (P ) nằm phía đường thẳng (d ) (C ) nằm phía đường thẳng (d ) 63 Chứng minh đồ thị ba hàm số f (x ) = x − 3x + , g(x ) = + h(x ) = −4x + x x tiếp xúc điểm 64 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + biết a Hoành độ tiếp điểm x1 = −1 , x = b Tung độ tiếp điểm y = 5, y = 65 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = x + 3x + 2x + xuất phát từ điểm uốn (C ) (y = −x ) 66 Cho hàm số y = 2x − 3x + 9x − , (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đồ thị sau a Đường thẳng (d ) : y = 7x + ; b Parabol (P ) : y = −x + 8x − 67 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y = x − 3x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x (y = −3x + 1) x − 2x + x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết tiếp tuyến a Có hệ số góc k = −2 ; b Tạo với chiều dương trục Ox góc 600 ; c Song song với đường thẳng y = −x + ; d Vuông góc với đường thẳng y = 2x + ; 68 Cho hàm số y = e Tạo với d : y = − x + góc 300 ; f Qua điểm A (0; −4) 69 Cho hàm số y = x − 3x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết tiếp tuyến: a Có hệ số góc với hệ số góc đường thẳng 12x − 2y + = ; b Song song với đường thẳng y = 6x − ; d Tạo với chiều dương Ox góc 450 ; c Vuông góc với đường thẳng y = − x + ; e Tạo với đường thẳng y = góc 450 ; f Tạo với đường thẳng y = 2x + góc 450 ; g Qua điểm A (−1; 9) www.MATHVN.com 29 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM 70 Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) : y = 71 Cho hàm số y = 3x − tạo với trục hoành góc 450 x −1 (y = −x + 2, y = −x + 6) 3x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến: −2x + x +1; c Tạo với đường thẳng y = −2x góc 450 ; a Song song với đường thẳng y = b Vuông góc với đường thẳng y = −4x d Tạo với đường thẳng y = −x góc 600 ; x + x − 2x − , (1) 3 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 72 Cho hàm số y = y = 4x + (y = 4x − 26 73 y = 4x + ) 73 Cho hàm số y = (x + 1)2 (x − 2) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Xác định giáo điểm (C ) với trục hoành chứng minh (C ) tiếp xúc với trục hoành giao điểm 2x − 74 Cho hàm số y = , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C ) Tìm điểm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (C ) M vuông góc với đường thẳng IM (M (0;1), M (2; 3)) 75 Cho hàm số y = x − 2x + 3x , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tiếp ∆ (C ) điểm uốn chứng minh ∆ tiếp tuyến  8 (C ) có hệ số góc nhỏ y = −x +    m x − x + , (1) ( m tham số) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Gọi M điểm thuộc (C m ) có hoành độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (C m ) M song 76 Gọi (C m ) đồ thị hàm số y = song với đường thẳng 5x − y = (m = 4) , (1) x a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua M (−1; 7) 77 Cho hàm số y = x + (y = 15x − y = −3x + 4) x + 2x + , (1) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C ) Chứng minh tiếp tuyến (C ) qua I 78 Cho hàm số y = www.MATHVN.com 30 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM x + x +1 , (1) x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên 79 Cho hàm số y = (y = −x ± (C ) ) −5 x +1 , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Xác định m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho 80 Cho hàm số y = (m = −1) tiếp tuyến (C ) A B song song với 2x + mx + m , (1) ( m tham số) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tiếp 81 Cho hàm số y = (m = ± 17 ) tuyến đồ thị hàm số (1) A B vuông góc với 82 Cho hàm số y = x − mx − + m , (1) ( m tham số) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) m = b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 2) (m = m = ) c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục Ox 83 Cho hàm số y = x + 3x + 3x + (C ) a CMR không tồn hai điểm (C ) để tiếp tuyến vuông góc với b Tìm k để (C ) tồn điểm cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx + m (k < 0) 84 Cho hàm số y = x + 3x + mx + (C m ) a Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C (0;1), D, E b Tìm m để tiếp tuyến (C m ) D E vuông góc   0 ≠ m <      ± 65   m =     85 Cho hàm số y = x − 3x + (C )  23  a Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua A  ; −2  9  61  y = −2, y = 9x − 25, y = − x −  27   b Tìm d : y = −2 điểm kẻ đến (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với   55  M  ; −2    27   86 Cho hàm số y = 2x + 3x − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Chứng minh qua điểm A (1; −4) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt (C ) 87 Cho hàm số y = x − 6x + 9x − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho www.MATHVN.com 31 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM b Từ điểm đường thẳng x = , kẻ tiếp tuyến (C ) 88 Cho hàm số y = −x + 3x + (C ) Tìm trục hoành điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ (M (m; 0), m > −1 ≠ m < − ) thị (C ) 2x − (C ) điểm M ∈ (C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x −1 tuyến M cắt hai tiệm cận A B a Chứng minh M trung điểm AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB số c Tìm M để chu vi tam giác IAB bé (M1(0; −1), M (2; 3)) 89 Cho hàm số y = x − 3x + 2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm điểm thuộc (C ) cho đó, tiếp tuyến (C ) có ba điểm chung phân biệt với  5 A x ; x − 3x +  , với x ∈ − 3; \ {±1} (C )  2  90 Cho hàm số y = ( ) Giao điểm đường cong đường thẳng 91 Cho hàm số y = x − m(x + 1) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m =  9 b Tìm giá trị m để phương trình x − 3m(x + 1) = có ba nghiệm phân biệt? m >    92 Cho hàm số y = −x + 2x + a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 2x = m − 2m 93 Cho hàm số y = x − (m + 2)x + m , m tham số a Tìm m để hàm số cho có cực trị x = −1 b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số ứng với m = c Biện luận theo k số giao điểm (C ) với đường thẳng y = k 94 Cho hàm số y = −x + 3mx + 3(1 − m )x + m − m , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m = b Tìm k để phương trình −x + 3x + k − 3k = có nghiệm phân biệt (−1 < k < k ≠ 0, k ≠ 2) ( c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y = 2x − m + m ) 95 Cho hàm số y = x + 2(m − 2)x + m − 5m + , (C m ) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) trục hoành c Tìm giá trị m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt 96 Cho hàm số y = x − 3x − 9x + m www.MATHVN.com 32   S = 16    15   −   < m <     Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng (m = 11) 97 Cho hàm số y = x + 3(m − 1)x + 2(m − 4m + 1)x − 4m(m − 1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng (m ≠ −1) 98 Cho hàm số y = x − 3mx + 2m(m − 4)x + 9m − m a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng (m = 1) 99 Cho hàm số y = x + mx − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = (m > −3) b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm x − 2x + , (C ) (1) x −2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y = mx + − 2m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt 100 Cho hàm số y = (m > 1) 101 Cho hàm số y = 2x − 3x − , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi dk đường thẳng qua M (0; −1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C ) điểm phân biệt 102 Cho hàm số y = (k > − k ≠ 0) −x + 3x − , (1) 2(x − 1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm m để dm : y = m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB =  ±    m =   x2 −x + x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Chứng minh tiếp tuyến tùy ý (C ) tạo với hai tiệm cận thành tam giác có diện tích không đổi x −2 104 Cho hàm số y = x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Chứng minh với giá trị m , đường thẳng d : 2x + y + m = cắt (C ) hai điểm phân biệt Xác định m để khoảng cách hai giao điểm nhỏ 105 Cho hàm số y = x − 3x + , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) 103 Cho hàm số y = www.MATHVN.com 33 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM b Gọi dm đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để dm cắt (C ) điểm phân biệt (m > x2 −x + x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số b Tìm a để đường thẳng y = a cắt (C ) hai điểm phân biệt? 15 m ≠ 24) 106 Cho hàm số y = (a < −3 a > 5) −x + x + m , (C m ) với m tham số khác x +m a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = 107 Cho hàm số y = b Tìm m để tiệm cận xiên (C m ) qua điểm A(3; 0) c Với giá trị m (C m ) cắt đường thẳng d : y = x − hai điểm phân biệt? (m < −6 − m > −6 + m ≠ 0) x +3 , (1) x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) 108 Cho hàm số y = b Chứng minh đường thẳng y = cho độ dài đoạn AB nhỏ x − m cắt (C ) điểm phân biệt A, B Xác định m (m = −2) , (1) x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho khoảng cách 109 Cho hàm số y = x + + (m = ±4) chúng 12 mx + x + m , (C m ) (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 110 Cho hàm số y = b Tìm m để (C m ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hoành độ dương   − < m < 0    111 Cho hàm số y = (x − 1)(x + mx + m ) , (C m ) (1) ( m tham số) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt (m < m > m ≠ − ) 112 Cho hàm số y = x − 3x + m , (C m ) (1) ( m tham số) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ (m > 0) x2 + x −m , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm A, B phân biệt tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A, B vuông góc với 113 Cho hàm số y = www.MATHVN.com 34 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM 114 Cho hàm số y = x − 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x − 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt 2 1   < m ≠ 1    trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 115 Cho hàm số y = x − 2mx + (2m − 1)x + m(1 − m ) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành    1 < m <   điểm phân biệt có hoành độ dương 116 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1)x − m + (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương ( < m 3) 139 Cho hàm số y = x − 4x + , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm m để phương trình x − 4x + + 2m − = có nghiệm phân biệt 140 Cho hàm số y = 2x − 9x + 12x − , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) www.MATHVN.com 37   0 < m <    Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM b Tìm m để phương trình sau x − 9x + 12 x = m có nghiệm phân biệt (4 < m < 5) 2x + x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm giá trị m để phương trình 2x − m x − + = có hai nghiệm 141 Cho hàm số y = 142 Biện luận theo m số nghiệm phương trình x (x + 3) = m + 2x + x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x − m x − + = 143 Cho hàm số y = 144 Cho hàm số y = x − 3x − a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình m +1 = x −x2 − − 3 x2 + x +1 x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x + (1 − m ) x + − m = 145 Cho hàm số y = Đề thi năm gần x + 2(m + 1)x + m + 4m , (1) ( m tham số) Cho hàm số y = x +2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông cân O (m = −4 ± ) (ĐH A_2007) mx + (3m − 2)x − , (1) ( m tham số) x + 3m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để góc hai đường tiệm cận hàm số (1) 450 Cho hàm số y = (m = ±1) (ĐH A_2008) x +2 , (C ) (1) 2x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung Cho hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông cân O ( y = −x − )(ĐH A_2009) Cho hàm số y = x − 2x + (1 − m )x + m , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x , x   − < m < ∧ m ≠ 0 (ĐH A_2010) thỏa điều kiện x12 + x 22 + x 32 <    −x + 2x − a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Cho hàm số y = www.MATHVN.com 38 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM b Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 k hệ số góc tiếp tuyến A B Tìm m để tổng k1 + k đạt (m = −1) (ĐH A_2011) giá trị lớn Cho hàm số y = −x + 3x + 3(m − 1)x − 3m − , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số (1) cách gốc tọa  1 độ O m = ±  (ĐH B_2007)   Cho hàm số y = 4x − 6x + , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9) (ĐH B_2008) Cho hàm số y = 2x − 4x , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Với giá trị m , phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt? (0 < m < 1) (ĐH B_2009) 2x + , (C ) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác Cho hàm số y = OAB có diện tích (m = ±2) (ĐH B_2010) 10 Cho hàm số y = x − (m + 1) x + m (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B,C cho OA = BC , O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung B,C hai cực trị lại (m = ± 2 ) (ĐH B_2011) 2x , (1) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (C ) M cắt trục Ox ,Oy điểm A, B 11 Cho hàm số y = cho tam giác OAB có diện tích    M − ; −2, M 1;1  (ĐH D_2007) ( )        12 Cho hàm số y = x − 3x + , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k ( k > −3 ) cắt (C ) điểm phân biệt A, I , B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB (ĐH D_2008) 13 Cho hàm số y = x − (3m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ (− < m < 1, m ≠ 0) (ĐH D_2009) 14 Cho hàm số y = −x − x + , (C ) www.MATHVN.com 39 WWW.MATHVN.COM Khảo sát hàm số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x −1 15 Cho hàm số y = (y = −6x + 10) (ĐH D_2010) 2x + x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành www.MATHVN.com 40 (k = −3) (ĐH D_2011) [...]... Cho hàm số y = b Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 6 Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m + 1) x + 4m a Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với m = −1 www.MATHVN.com 22 (m ≥ 9) WWW.MATHVN.COM Khảo sát hàm số b Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (−1;1) (m < −10) 1 3 x − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 3 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2 7 Cho hàm số. .. 2  b Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (−2; 0) 8 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + m − 1 a Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với m = 1 b Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) (m ≥ 0) 1 9 Cho hàm số y = − x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4 3 a Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với m = 2   m ≥ 12   7  b Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến... Cho hàm số y = (−1 < m < 1) x 2 − 2mx + 2 , (1) ( m là tham số) x −1 a Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B Chứng minh rằng khi đó đường thẳng 33 Cho hàm số y = AB song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0 www.MATHVN.com 25   m < 3    2  Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM 34 Cho hàm số y = x − 3x + 4m , (1) ( m là tham số) a Khảo sát hàm số (1)... giá trị m , đồ thị hàm số luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng Xác định điểm trên đường cong x +2 123 Cho hàm số y = x −3 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho b Tìm các điểm M ∈ (C ) sao cho cách đều hai đường tiệm cận của (C ) 124 Cho hàm số y = x −2 x +2 www.MATHVN.com 35 ( M 3 ± 5; 1 ± 5 ) WWW.MATHVN.COM Khảo sát hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho b Tìm các điểm M ∈ (C )... 27 Cho hàm số y = (x − m )3 − 3x , (1) ( m là tham số) a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 (m = −1) 2 28 Cho hàm số y = x + 2x + m x 2 − 2x + 2 (m = 2) a Với giá trị nào của m , hàm số đạt cực đại tại x = 2 b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2 x 2 + mx , (1) ( m là tham số) 1− x a Khảo sát sự... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 b Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1) bằng 10? (m = 4) 29 Cho hàm số y = x 2 + (2m + 1)x + m 2 + m + 4 , (1) ( m là tham số) 2(x + m ) a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 30 Cho hàm số y = b Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai... tham số) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2 b Tìm m để (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ (m > 0) x2 + x −m , (1) x −1 a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 b Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm A, B phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A, B vuông góc với nhau 113 Cho hàm số y = www.MATHVN.com 34 Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM... lập thành cấp số cộng (m ≠ −1) 98 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2m(m − 4)x + 9m 2 − m a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1 b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng (m = 1) 99 Cho hàm số y = x 3 + mx − 2 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 3 (m > −3) b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành... <   2   Khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 2 b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng (m = 11) 97 Cho hàm số y = x 3 + 3(m − 1)x 2 + 2(m 2 − 4m + 1)x − 4m(m − 1) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1 b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba... 3 x − 1 3 a Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x 2 ; ( 25 Cho hàm số y = ) b Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; c Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x 2 sao cho A = x1x 2 lớn nhất 26 Cho hàm số y = mx 4 + (m 2 − 9)x 2 + 10 , (1) ( m là tham số) a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực