UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y) b) x2 – 12x + 35 c) x3 + 2x2 + 2x + Bài 2: (1,5điểm) Thực phép tính a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)  x2   10 − x  + + b)  ÷:  x − + ÷ x+2   x − x − 3x x +   c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2 Bài 3:( 2,0 điểm) a) Cho a số tự nhiên a > Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số 1006 b) Tính B = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) K ( + 1) + c) Tìm dư chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – Bài 4: (2,0 điểm) a) Cho abc = Rút gọn biểu thức: M = a b c + + ab+a+1 bc + b + ac + c + a 2013 + b 2013 + c 2013 b) Cho a +b +c ≠ a3 + b3 + c3 = 3abc Tính N = ( a + b + c) 2013 Bài 5: (3,0 điểm) µ = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H hình chiếu Cho hình thang ABCD có µA = D D lên AC; M, N, P trung điểm CD, HC HD a) Chứng minh tứ giác ABMD hình vuông tam giác BCD tam giác vuông cân b) Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh AQ vuông góc với DP d) Chứng minh S ABCD = 6S ABC H ẾT - UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án a) = (x – 3y)(x – 3y – 3) b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5) Bài = (x – 5)(x – 7) (1,5 đ) c) = x3 + + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 – x + 3) a) Thực phép chi theo cột dọc Kết (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1  x2   10 − x  ÷ = + + : x − + ÷  x ( x − ) ( − x ) x + ÷  x+2    Bài 2 (1,5 đ) b) = x − ( x + ) + x − : ( x − 2)( x + 2) + 10 − x ( x + 2)( x − 2) x+2 −6 x+2 −1 = = = ( x + 2)( x − 2) x−2 2− x Bài (2,0 đ) c) = (1- 3x + 3x + 4)2 = 52 = 25 a) Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Vì a ∈ N a > nên a số tự nhiên Ngoài ước ± A, có thêm ước (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Do A hợp số b) B = ( − 1) ( + 1) ( 2 + 1) ( + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,1 0,2 0,2 0,5 0,25 0,25 0,75 = ( 22 − 1) ( 2 + 1) ( + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + = ( 24 − 1) ( + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + ( ) = K = ( 21006 ) − + = 22012 c) Vì đa thức x2 – có bậc 2, nên đa thức dư có dạng r(x) = ax + b Gọi thương phép chia q(x), ta có: x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1) Đẳng thức (1) với x, với x = ta có : a + b = (2) với x = ta có : - a + b = -4 (3) Từ (2) (3) ⇒ b = a = - Vậy dư phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – là: – 4x c b Bài a) Thay abc = vào , nhân tử mẫu với a ac + c + bc + b + (2,0 đ) 0,25 0,25 0,25 ta có: M= = 0,5 a ab c + + ab+a+1 a ( bc + b + 1) ac + c + abc a ab ab+a+1 + + = =1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 0,5 B) a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a + b3 + c3 − 3abc = ⇒ a + b3 + 3ab(a + b) + c − 3ab(a + b) − 3abc = ⇒ ( a + b ) + c − 3ab(a + b + c) = ⇒ (a + b + c)(a + 2ab + b − ac − bc + c ) − 3ab(a + b + c) = 0,25 ⇒ (a + b + c)(a + b + c − ab − ac − bc) = ⇒ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c ≠ 0) ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = ⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2 ≥ ∀ a, b; (b – c)2 ≥ ∀ b,c; (c – a)2 ≥ ∀ a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ ∀ a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ∀ a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 ⇒a = b = c Mà a +b +c ≠ ⇒ a = b = c ≠ (*) Thay (*) vào N ta có: N = 0,25 a 2013 + a 2013 + a 2013 ( a + a + a) 0,25 2013 = 3a 2013 ( 3a ) 2013 = 3a 2013 = 2013 27a 0,25 Bài Hình vẽ (3,0đ) a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có cạnh lại có µA =900 nên ABMD hình vuông +/ ∆ BMD có BM đường trung tuyến ứng với cạnh DC DC ⇒ ∆ BMD vuông B · lại có BDM = 450 ⇒ ∆ BMD vuông cân B BM = 0,5 0,25 0,25 b) tứ giác DMPQ có PQ // DM PQ = DM ⇒ tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh Q trực tâm tam giác ADP ⇒ AQ ⊥ DP Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) ⇒ S ABC = S AMC mà SAMC = AD.MC = AD 2 Lại có S ABCD = S ABMD + S BCM = AD + AD = AD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AD S ABCD = = ⇒ S ABCD = S ABC S ABC AD Học sinh có cách giải khác cho đủ điểm 0,25