Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3)

4 1.2K 12
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 2011x + 2010 x + 2011 b) Tìm số nguyên x; y cho: x + xy = c) Tìm số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7; chia cho x − dư Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 2 A= x + y + + x − y − − ( x + y − 1) + xy với x = 2011 ; y = 16 503 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B= x − x + 2011 với x>0 x2 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: a) 20113 + 113 2011 + 11 = 3 2011 + 2000 2011 + 2000 b) Nếu m; n số tự nhiên thỏa mãn : 4m + m = 5n + n : m-n 5m + 5n + số phương Câu 4: (4 điểm) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết S AOB = a ; S COD = b Tính S ABCD ? d) Nếu Dˆ < Cˆ < 90 Chứng minh BD > AC -HẾT - UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án Điểm 0,5 0,25 0,25 a/ x + 2011x + 2010 x + 2011 = x + x + x + 2010( x + x + 1) − ( x − 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2011) b/ 3x + xy = ⇔ x( 3x + y ) = Do x; y số nguyên nên ta có: x = x = x = x = ⇔ ⇔ (thỏa mãn)  (thỏa mãn) y = 3 x + y =  y = −26 3 x + y =  x = −1  x = −3  x = −3  x = −1 ⇔ ⇔ TH2:  (thỏa mãn)  (thỏa mãn)  y = −6 3 x + y = −3  3x + y = −  y = − 28 TH1:  0,25 0,5 c/ Vì x + ax + b chia cho x + dư nên ta có: x + ax + b = ( x + 1).Q( x) + 0,25 với x = −1 -1-a+b=7, tức a-b = -8 (1) Vì x + ax + b chia cho x − dư nên ta có: x + ax + b = ( x − ).P( x) + 0,25 với x = 8+2a+b=4, tức 2a+b=-4 (2) Từ (1) (2) suy a=-4;b=4 a/ Ta có: x + y + + x − y = ( x + 1) + ( y − ) ≥ với x; y nên ta có: 0,25 0,25 A= x + y + + x − y − ( x + y − 1) + xy = 0,25 x + y + + x − y − x − y − − xy + x + y + xy = x − y + = 2(2 x − y ) + Thay x = 2011 ; y = 16 503 = ( ) 503 ( ) 2011 − 2012 + = = 2012 vào A ta có: A= 2.2 0,25 x − x + 2011 2011x − 2.x.2011 + 20112 = x2 2011x 2 2010 x + ( x − 2011) 2010 ( ( x − 2011) 2010 = = + ≥ 2 2011 2011 2011x 2011x Dấu “=” xảy x = 2011 2010 Vậy GTNN B đạt x = 2011 2011 b/ B= a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi ta có a=b+c Xét vế phải đẳng thức ta có: 0,25 0,25 ( ( 20113 + 113 a + b ( a + b ) a − ab + b = = 20113 + 2000 a + c ( a + c ) a − ac + c Thay a=b+c vào a − ab + b = ( b + c ) − ( b + c ) b + b = b + bc + c a − ac + c = ( b + c ) − ( b + c ) c + c = b + bc + c 2 2 2 Nên a − ab + b = a − ac + c Vậy: ( ) ( ) )+m−n = m 20113 + 113 a + b ( a + b ) a − ab + b a+b 2011 + 11 = = = = 3 3 2 a + c 2011 + 2000 ( a + c ) a − ac + c 2011 + 2000 a +c b/Ta có 4m + m = 5n + n ⇔ 5( m − n 2 0,25 ) ) 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m (*) 0,5 Gọi d ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n d ⇒ 10m+1 d 0,25 Mặt khác từ (*) ta có: m  d2 ⇒ m d Mà 10m+1 d nên 1 d ⇒ d=1 Vậy m-n;5m+5n+1 số tự nhiên nguyên tố nhau, 0,25 thỏa mãn (*) nên chúng số phương B hình vẽ A A 0,25 B N M O D a/ Ta có C D OA OB = Do MN//DC AC BD H E K OM ON ⇒ OM=ON = DC DC OM AM OM DM = = b/ Do MN//AB CD ⇒ Do đó: CD AD AB AD ⇒ OM OM AM + MD + = =1 DC AB AD (1) ON ON + = (2) Tương tự: DC AB MN MN + =2 Từ (1);(2) ⇒ DC AB 1 ⇒ + = DC AB MN C 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ Hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích tam giác tỉ số 0,25 cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng S AOB OB S AOD OA = = S AOD OD S COD OC S S OB OA ⇒ AOB = AOD ⇒ S AOD = S AOB S COD = a b nên S AOD = ab = S AOD S COD OD OC 0,5 Tương tự S BOC = ab Vậy S ABCD = ( a + b ) 0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD H K 0,25 Do Dˆ < Cˆ < 90 nên H, K nằm đoạn CD Ta có AEˆ D = BCˆ D = Cˆ > Dˆ ⇒ AD > AE Tứ giác BCEA hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 0,25 2 DB = BK + DK > AH + CH = AC (Do AH = BK ) ⇒ BD > AC HS làm cách khác chấm điểm tối đa

Ngày đăng: 04/10/2016, 06:02

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan