Thông tin tài liệu
UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x + 2011x + 2010 x + 2011 b) Tìm số nguyên x; y cho: x + xy = c) Tìm số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7; chia cho x − dư Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: 2 A= x + y + + x − y − − ( x + y − 1) + xy với x = 2011 ; y = 16 503 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B= x − x + 2011 với x>0 x2 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: a) 20113 + 113 2011 + 11 = 3 2011 + 2000 2011 + 2000 b) Nếu m; n số tự nhiên thỏa mãn : 4m + m = 5n + n : m-n 5m + 5n + số phương Câu 4: (4 điểm) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết S AOB = a ; S COD = b Tính S ABCD ? d) Nếu Dˆ < Cˆ < 90 Chứng minh BD > AC -HẾT - UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án Điểm 0,5 0,25 0,25 a/ x + 2011x + 2010 x + 2011 = x + x + x + 2010( x + x + 1) − ( x − 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2011) b/ 3x + xy = ⇔ x( 3x + y ) = Do x; y số nguyên nên ta có: x = x = x = x = ⇔ ⇔ (thỏa mãn) (thỏa mãn) y = 3 x + y = y = −26 3 x + y = x = −1 x = −3 x = −3 x = −1 ⇔ ⇔ TH2: (thỏa mãn) (thỏa mãn) y = −6 3 x + y = −3 3x + y = − y = − 28 TH1: 0,25 0,5 c/ Vì x + ax + b chia cho x + dư nên ta có: x + ax + b = ( x + 1).Q( x) + 0,25 với x = −1 -1-a+b=7, tức a-b = -8 (1) Vì x + ax + b chia cho x − dư nên ta có: x + ax + b = ( x − ).P( x) + 0,25 với x = 8+2a+b=4, tức 2a+b=-4 (2) Từ (1) (2) suy a=-4;b=4 a/ Ta có: x + y + + x − y = ( x + 1) + ( y − ) ≥ với x; y nên ta có: 0,25 0,25 A= x + y + + x − y − ( x + y − 1) + xy = 0,25 x + y + + x − y − x − y − − xy + x + y + xy = x − y + = 2(2 x − y ) + Thay x = 2011 ; y = 16 503 = ( ) 503 ( ) 2011 − 2012 + = = 2012 vào A ta có: A= 2.2 0,25 x − x + 2011 2011x − 2.x.2011 + 20112 = x2 2011x 2 2010 x + ( x − 2011) 2010 ( ( x − 2011) 2010 = = + ≥ 2 2011 2011 2011x 2011x Dấu “=” xảy x = 2011 2010 Vậy GTNN B đạt x = 2011 2011 b/ B= a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi ta có a=b+c Xét vế phải đẳng thức ta có: 0,25 0,25 ( ( 20113 + 113 a + b ( a + b ) a − ab + b = = 20113 + 2000 a + c ( a + c ) a − ac + c Thay a=b+c vào a − ab + b = ( b + c ) − ( b + c ) b + b = b + bc + c a − ac + c = ( b + c ) − ( b + c ) c + c = b + bc + c 2 2 2 Nên a − ab + b = a − ac + c Vậy: ( ) ( ) )+m−n = m 20113 + 113 a + b ( a + b ) a − ab + b a+b 2011 + 11 = = = = 3 3 2 a + c 2011 + 2000 ( a + c ) a − ac + c 2011 + 2000 a +c b/Ta có 4m + m = 5n + n ⇔ 5( m − n 2 0,25 ) ) 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m (*) 0,5 Gọi d ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n d ⇒ 10m+1 d 0,25 Mặt khác từ (*) ta có: m d2 ⇒ m d Mà 10m+1 d nên 1 d ⇒ d=1 Vậy m-n;5m+5n+1 số tự nhiên nguyên tố nhau, 0,25 thỏa mãn (*) nên chúng số phương B hình vẽ A A 0,25 B N M O D a/ Ta có C D OA OB = Do MN//DC AC BD H E K OM ON ⇒ OM=ON = DC DC OM AM OM DM = = b/ Do MN//AB CD ⇒ Do đó: CD AD AB AD ⇒ OM OM AM + MD + = =1 DC AB AD (1) ON ON + = (2) Tương tự: DC AB MN MN + =2 Từ (1);(2) ⇒ DC AB 1 ⇒ + = DC AB MN C 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ Hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích tam giác tỉ số 0,25 cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng S AOB OB S AOD OA = = S AOD OD S COD OC S S OB OA ⇒ AOB = AOD ⇒ S AOD = S AOB S COD = a b nên S AOD = ab = S AOD S COD OD OC 0,5 Tương tự S BOC = ab Vậy S ABCD = ( a + b ) 0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD H K 0,25 Do Dˆ < Cˆ < 90 nên H, K nằm đoạn CD Ta có AEˆ D = BCˆ D = Cˆ > Dˆ ⇒ AD > AE Tứ giác BCEA hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 0,25 2 DB = BK + DK > AH + CH = AC (Do AH = BK ) ⇒ BD > AC HS làm cách khác chấm điểm tối đa
Ngày đăng: 04/10/2016, 06:02
Xem thêm: Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3) , Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3)