PGD & ĐÀO TẠO Trường THCS Bình Minh ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2013-2014 Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu1( điểm): 1.Giải phương trình: a (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Giải bất phương trình: x x+2 + >2 x−2 x Câu2( điểm) 1.Tìm số a,b để: ax + bx + 5x − 50 chia hết cho x + 3x − 10 2.Cho a, b, c ≠ Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x2 + y + z x2 y z = + + a + b2 + c2 a2 b2 c Câu 3(2 điểm) : Cho a,b,c,d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a−d d −b b−c c−a + + + d +b b+c c+a a+d Câu 4( điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm, O giao điểm đường trung trực ∆ABC , M trung điểm BC, N trung điểm AC HA' HB' HC' + + a Tính tổng AA' BB' CC' b Chứng minh ∆AHB đồng dạng với ∆MON AH = 2.OM c Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh điểm H, G, O thẳng hàng Đáp án Đề thi toán Câu (6 điểm) 1/ (4 điểm) : Giải phương trình a/ (2 điểm) ( (x + x) + 4(x + x) = 12 Đặt x + x = t Phương trình trở thành t + 4t − 12 = ⇔ (t − 2)(t + 6) = t = ⇒  t = −6 Với t=2 ta có pt: x + x − = giải x1 = 1; x = −2 Với x=-6 ta có pt : x + x + = phương trình vô nghiệm Kết luận nghiệm PT b/ (2 điểm) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x +6 + 1+ + 1+ +1 = + 1+ + 1+ +1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 ⇔ (x + 2009)( + + − − − )=0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − ≠ 0) ⇔ x + 2009 = ( 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x = 2009 kết luận nghiệm x x+2 + >2 2/ Giải bất phương trình (2 điểm): x−2 x 2x − x2 − ⇔ >2 ⇔ >1 x(x − 2) x(x − 2) ⇔ x −2 2(x − 1) −1 > ⇔ >0 x(x − 2) x(x − 2) 0 < x < ⇔ (x − 2)(x − 1)x > ⇔  Kết luận x > ⇔ 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 1/ (2,5điểm) Xét ax + bx + 5x − 50 = (x + 5)(x − 2).Q(x) ( 5điểm −125a + 25b = 75 −5a + b = ⇔ Lần lượt cho x =-5; x = ta  ) 8a + 4b = 40 2a + b = 10 a = ⇔ kết luận b = x2 + y2 + z x2 y2 z 2/ (2,5 điểm) Do x,y,z thoả mãn: 2 = + + a +b +c a b c 2 2 2 x x y y z z ⇔ 2− + 2− + 2− =0 2 2 a a +b +c b a + b + c c a + b2 + c2 1 1 1 ⇔ x2 ( − ) + y2 ( − ) + z2 ( − )=0 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 1 1 1 Do a,b,c ≠ ⇒ − 2 > ; − 2 > ; − 2 > a a +b +c b a +b +c c a +b +c ⇒x =y=z=0 0,75đ 0,75đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ ⇒D=0 a −d d −b b −c c −a a −d d−b b−c c−a ⇒ A+4= +1+ +1+ +1+ +1 + + + d+b b+c c+a a +d d +b b+c c+a a+d a +b d+c b+a c+d 1 1 + + + + ) + (c + d)( + ) A+4 = = (a + b)( d+b b+c c+a a +d d+b c+a b+c a+d 1 Chứng minh toán: x;y>0 Ta có x + y ≥ (x + y) Áp dụng toán ta có A+4 ≥ ⇒ A ≥ d + b = c + a ⇒a=b=c=d Dấu đẳng thức xảy  b + c = a + d GTNN A=0 ⇔ a = b = c = d Câu3 (2điểm) A= 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Câu4 (7điểm) A B' N C' H B G A' O M C Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC Tương tự: ⇒ S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' HA HB HC S∆HBC + S∆HAC + S∆HAB S∆ABC + + = = =1 AA ' BB' CC' S∆ABC S∆ABC ' ' 1.0đ 0,75đ ' b) c/m MN đường trung bình ∆ ABC nên MN//AB OM//AH( ⊥ BC); ON//BH ( ⊥ AC) ⇒ góc có cạnh tương ứng song song nhọn ⇒ ∆ AHB dồng dạng ∆ MON AB AH = = ( MN đương trung bình(cmt) ) ⇒ AH=2MO MN MO c) c/m ∆ HAG đồng dạng ∆ OMG (cgc) ˆ = MGO ˆ ⇒ AGH ˆ + HGM ˆ = 1800 ( kề bù) ⇒ HGM ˆ + MGO ˆ = 1800 ⇒ H,G,O thẳng hàng Mà AGH ⇒ 0,5đ 0,75đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ