BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m2 m Giả sử l số hữu tỉ   (tối giản) Suy  hay 7n2  m2 n n (1) ẳng thức ny chứng tỏ m  m l số nguyn tố nn m  ặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) v (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại c n2  v v l số nguyn tố nn n  m n chia hết cho nn phn số m khng tối giản, tri giả thiết Vậy n khng phải l số hữu tỉ;  l số v tỉ Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) (ad bc) Cách : Từ x + y = ta c y = - x Do  : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 Vậy S =  x = y = Cách : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1, 2 Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1)  ) = 2S  S.2  mim S = x = y = b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng bc ca bc ab ca ab ; ; a b a c b bc ca bc ca  2 2 a b a b c vế ta c) Với cc lợt c: bc ab ca ab ca ab  2b ;    2a cộng a c b c b c ức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c : 3a  5b (3a + 5b)2  4.15P (vì P = a.b)  122  60P  12 12 P  max P = 5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 :  a = ; b = 6/5 Ta có b = - a,  M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) Dấu = xảy a = Vậy M =  a = b = ặt a = + x  b3 = - a3 = - (1 + x)3 = - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3 Suy : b x Ta lại c a = + x, nn : a + b + x + x = Với a = 1, b = th a3 + b3 = v a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế tri v vế phải (a b)2(a + b)     Vì | a + b | , | a b | , nên : | a + b | > | a b |  a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2  4ab >  ab > Vậy a v b l hai số cng dấu a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 4a = a2 2a + = (a 1)2 b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Do (a b)2 0, nên (a + b) 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2 Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)  2x    x  3x  11 a) 2x    x       2x   x  x   x   x  b) x2 4x  (x 2)2 33  | x |  -3 x x 2 c) 2x(2x 1) 2x  (2x 1) Nhng (2x 1)  thể : 2x =0 Vậy : x = 12 Viết ẳng thức  cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = (1) Nhn hai vế (1) với a dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = (2) Do  ta c : a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 2 13 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1) 2.1998  M 1998 Dấu = xảy c ồng thời a  10  14 Giải tng tự bi 15 a ẳng thức  16 A  Vậy M =1998a = b= g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + = 1  max A=  x   x 2  5 x 17 a)  16    Vậy  15 < b) 17    16        49  45 c) 23  19 23  16 23  2.4     25  27 3 d) Giả sử 2       Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 18 Cc số  c thể l 1,42 v    18  12  18  12  2 19.Viết lại phng trnh dới dạng : 3(x  1)2   5(x  1)2  16   (x  1)2     Vế tri phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn Vậy ẳng thức xảy hai vế ều 6, suy x = -1 20 Bất ẳng thức Cauchy ab ab viết lại dới dạng ab   ab     (*) (a, b 0) p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy Ta ợc :  2x  xy  2x.xy    4   Dấu = xảy : 2x = xy = : tức l x = 1, y =  max A =  x = 2, y = 21 Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng : p dụng ta c S > 2  ab a  b 1998 1999 22 Chứng minh nh x y x2  y2  2xy (x  y)2 23 a)     0 y x xy xy  x2 y2   x y   x2 b) Ta có : A           y x   y x  y 2 x y  x y      y x  y x 2  x2 y2   x y   y  Theo câu a :A          1      y  x  y x  y x  x4 y x2 y2  x y a) Từ cu b suy :     Vì   (câu a) y x y x   x4 y   x y b) Do  :       y x   y x 24 a) G tỉ (v l) b) Giả sử m + = m (m : số hữu tỉ)  = a (a : số hữu tỉ)  n 2 =m  =a m n l số hữu = n(a m)  l số hữu tỉ, v l 25 C, chẳng hạn  (5  2)  x y x2 y2 x2 y2 26 ặt   a     a Dễ dng chứng minh   nên y x y x y x a2 4,  | a | (1) Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 + 3a  a2 3a +  (a 1)(a 2) (2) Từ (1) suy a a -2 Nếu a th (2) ng Nếu a -2 (2) cng ng Bi ton ợc chứng minh 27 Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :     x4z2  y4 x2  z4 x2   x2 z  y2 x  z2 y xyz x2 y2z2  Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) (1) Biểu thức khng ổi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l số lớn Xt hai trờng hợp : a) x y z > Tch z x (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z)  z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) Dễ thấy x y , x3 y2z , y z , yx2 z3 nn bất ẳng thức trn ng b) x z y > Tch x y (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z)  z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) Dễ thấy bất ẳng thức trn dng Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với : 2 x  y  z  x y   1    1    1     y  z  x     28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c Ta c : b = c a Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết  số v tỉ 2 29 a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a  (a + b)2 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c Khai triển v rt gọn ta ợc : 2 2 2 3(a + b + c ) Vậy : (a + b + c) b +c) c) Tng tự nh câu b 30 Giả sử a + b >   a3 + b3 + 3ab(a + b) >  + 3ab(a + b) >  ab(a + b) >  b) a3 + b3 Chia hai vế cho số dng a + b : ab > a2 ab +  (a b)2 Vậy a + b 31 Cách  x x ;  y y nên x +  y x + y Suy  x +  y số nguyn khng vợt qu x + y (1) Theo ịnh ngha phần nguyn,  x  y số nguyn lớn khng vợt qu x + y (2) Từ (1) v (2) suy :  x +  y  x  y Cách : Theo ịnh ngha phần nguyn : x -  x < ; y -  y < Suy : (x + y) (  x +  y ) < Xt hai trờng hợp : - Nếu (x + y) (  x +  y ) <  x  y =  x +  y (1) - Nếu (x + y) (  x +  y ) < (x + y) (  x +  y + 1) < nên  x  y =  x +  y + (2) Trong hai trờng hợp ta ều c :  x +  y +  x  y     32 Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 nn tử v mẫu A l cc số dng , suy A >  : A lớn  Vậy max A = nhỏ  x2 6x + 17 nhỏ A  x = 33 Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x y z Cách : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho số dng x, y, z : A x y z x y z x y z    33  y z x y z x x y z Do           x  y  z y z x  y z x x y z  x y  y z y x y            Ta  c  (do x, y z x  y x  z x x x y z y y > 0) nn ể chứng minh    ta cần chứng m    (1) x x y z x Cách : Ta có : (1)  xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d  xy + z2 yz xz  y(x z) z(x (2) ng với giả thiết z l số nhỏ t Từ  tm ợc gi trị nhỏ z)(y z) (2) số x, y, z,  (1) ng x  y 34 Ta có x + y =  x2 + 2xy + Ta lại c (x y)2  x2 2xy + y2 Từ  suy 2(x2 + y2) 16  + y A = khi x = y = 35 p dụng bất ẳng t ho ba số khng m : + z 3 xyz (1) = (x + y + (z + x) 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) Nhn 2) (do hai vế ều khng m) : A   A = 9 2 ax A =   v x = y = z = 9 36 a) C thể b, c) Khng thể 37 Hiệu vế tri v vế phải (a b)2(a + b)  với x, y > : xy (x  y)2 a c a  ad  bc  c2 4(a  ad  bc  c2 )    bc da (b  c)(a  d) (a  b  c  d)2 b d 4(b2  ab  cd  d ) Tng tự   cd a b (a  b  c  d)2 38 p dụng bất ẳng thức (1) (2) Cộng (1) với (2) a b c d 4(a  b2  c2  d  ad  bc  ab  cd) = 4B     bc cd d a a b (a  b  c  d)2     Cần chứng minh B , bất ẳng thức ny tng ng với : 2B  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2  a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd  (a c)2 + (b d)2 : ng 39 - Nếu x -  x < 2x -  x < nên  2x =  x x -  x < 2x -  x <  2x (2  x + 1) <   2x = - Nếu  x + 40 Ta chứng minh tồn cc số tự nhin m, p cho : 96000 00    a + 15p < 97000 00    m chöõsoá0 Tức l 96 < 10k a 15p  m < 97 m 10 10 m chöõsoá0 (1) Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k a + 15 a 15 a 15p  k  k  (2) ặt x n  k  k Theo (2) 10 10 10 10 10 15 Ta có x1 < k < 10  Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc tng khng qu n vị,   x n  trải tng dần, lần trị 1, 2, 3, ến n a 15p lc no  ta c  x p  = 96 Khi  96 tức l 96 < 97 Bất  10k 10k ẳng thức (1) ợc chứng minh 42 a) Do hai vế bất ẳng g m nn ta c : |A+ B|= |A|+ |B|  + B |2 = ( | A | + | B | )2  A2 + B2 + 2AB + 2| AB |  AB = | AB | (bất ẳng thức ng) Dấu = xảy b) Ta có : M = | x | = | x + | + | x | | x + + x | = Dấu = xả hi (x + 2)(3 x)  -2 x (lập bảng xt dấu) Vậy -2 x c) Phng ho  | 2x + | + | x | = | x + | = | 2x + + x |  (2x + 5)(4 x)  -5/2 x  x  1 43 iều kiện tồn phng trnh : x2 4x   x  ặt ẩn phụ x2  4x   y  , ta ợc : 2y2 3y =  (y 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm 46 iều kiện tồn x l x Do  : A = x + x  A =  x = 47 iều kiện : x ặt  x = y 0, ta có : y2 = x  x = y2 B = y2 + y = - (y )2 + 13 13 13 11 max B =  y=  x= 4 48 a) Xét a2 b2 Từ  suy a = b     b)  13    (2  1)     Vậy hai số ny c) Ta có : n   n 1 n   n   n+1  n n 1  n        Mà n   n   n   n nên n+2  n   n   n 49 A = - | 3x | + | 3x |2 = ( | 3x 1| - )2 + Từ  suy : A =  x = x = 1/6 51 M = 52 x = ; y = ; z = -3 53 P = | 5x | + | 5x | | 5x + 5x | = P =   x 5 54 Cần nhớ cch giải số phng trnh dạng sau : A  (B  0) a) A  B   A  B B   d) A  B   A  B  A  B  b) B  A  B  A  B e) A  B  c A  B  0 B  A a) a phng trnh dạng : A  b) a phng trnh dạng : A  B c) Phng trnh c dạng : A  B d) a phng trnh dạng : A e) a phng trnh dạng : | |B|=0 g, h, i) Phng trnh  k) ặt x  = y 0, rnh dạng : | y | + | y | = Xt dấu vế tri l) ặt : 3x   v  ; 7x   z  ; 2x   t   z t Từ  suy : u = z tức l :  2 2 u  v  z  t 8x   7x   x  Ta ợc hệ 55 Cách : Xét x2  y2  2(x  y)  x2  y2  2(x  y)   2xy  (x  y  2)2  x2  y2   x2  y2 2 2 8 Cách : Biến ổi tng ng x y x  y    (x2 + y2)2 -8(x- y)2  0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 )   (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16   (x2 + y2+ 4)2  Cách : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :     x2  y2 x2  y2  2xy  2xy (x  y)2  2.1    (x  y)   (x  y) x y xy xy xy x y (x > y) Dấu ẳng thức xảy x  6 6 ; y 2  6  6 ; y 2 1  1 1  1  1 2(c b a 62         2        = a b c abc  a b c  ab bc ca a b c 1 =   Suy iều phải chứng minh a b c  x   x2  16x  60  (x  6)(x  10)   63 iều kiện :      x  10 x  x     x Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36  Nghiệm bất phng trnh  cho : x 10 64 iều kiện x2 Chuyển vế : x2  x ặt thừa chung : x  (1 - x2  x     x   1  x    x  2  3  Vậy nghiệm bất phng tr h  ; x ; x -2 2 2 65 Ta có x (x + 2y 3) + (y  (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + = - x2 Do  : A2 4A + A 3)  A A =  x = 0, max A =  x = 0,  y = 66 a) x b) B c n  4  x   x   2    x  42    x   2  x    2  x(x  2)  x  x  2x  67 a) A c ngha     2 x  x  x  2x  x   x  2x   4  x  16  x     (x  4)2   2x   x  8x     x    b) A = x2  2x với iều kiện trn c) A <   kq x  2x <  x2 2x <  (x 1)2 <  - < x <     68 ặt 0,999 99    = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin 20chöõsoá9 a l cc chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a <  a(a 1) <  a a <  a < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy 0,999 99     0,999 99    20 chöõsoá9 20chöõsoá9 69 a) Tm gi trị lớn p dụng | a + b | | a | + | b | A | x | + + | y | + = +  max A = + (khi chẳng hạn x = 2, y = - 3) b) Tm gi trị nhỏ p dụng | a b | | a | - | b A | x | - | y | - = -  A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 uy : 4 2 2 2 x +y +z xy +yz +zx Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + th a2 + b2 + c2 Do  từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 Từ (1) , (2) : A =  x= y= 71 Làm nh 8c ( 2) Thay so s n   n  n   n n   n 1  n  3 n  n  n+1 ta so sánh :  n   n 1 72 Cách : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng tổng hiệu Cách : T a A 73 p dụ b)(a b) = a2 b2 74 Ta ch g phản chứng a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà  = r  + 15 + = r2  r2  15  Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l Vậy  l số v tỉ b), c) Giải tng tự 75 a) Giả sử a > b biến ổi tng ng : 3   2 1  3  2  2      3  2   27     15   225  128 Vậy a > b l ng b) Bình phng hai vế ln so snh 76 Cách : ặt A =    , rõ ràng A > A2 =  A =     Cách : ặt B =  B =0 77 Q      2.B         2.3  2.4   2 3 78 Viết   2 3   2 3 2 3 40  2.5 ; 56  2.7 ; 140  5.7 Vậy P =   1 2 5 79 Từ giả thiết ta c : x  y2   y  x2 Bình phng hai vế ẳng thức ny ta ợc : y   x2 Từ  : x2 + y2 = 80 Xét A2 ể suy : A2 Vậy : A =  x = ; max A =  x = 81 Ta có : M   a b    a b    a b   2a    a b maxM    ab  a  b  82 Xt tổng hai số : 2a  b  cd    2c  d  ab   a  b  =  a  c   a  b    c  d   a 2 83 N     18  = 2    32 2 2 32  84 Từ x  y  z  xy    z x      x y 4 6 2 = 2 2 x y   cd  a  c =  0 Vậy x = y 85 p dụ ng thức Cauchy cho v ( i = 1, 2, 3, n ) 86 p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b v ab 0, ta có : a  b  ab  2(a  b) ab hay  a b   2(a  b) ab Dấu = xảy a = b 87 Giả sử a b c > Ta c b + c > a nn b + c + bc > a hay  b c   a Do  : b  c  a Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh tam giác 88 a) iều kiện : ab ; b Xt hai trờng hợp : * Trờng hợp : a ; b > : A  b.( a  b) a a b a     1 b b b b b