UBND HUYỆN PHÚC THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán Ngày thi: 21 - - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI CHÍNH Bài 1: (4,5 điểm) 6x +   + − Cho biểu thức: A =  ÷: ( x + 2)  x +1 x +1 x − x +1  a) Rút gọn A b) Tìm x để A >1 với x ≠-1; x≠-2 c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B với B = x3 − x + x ( x + 1) Bài 2: (4 điểm) a) Cho a, b, c ba số hữu tỉ thỏa mãn abc = a b c a b2 c + + = + + b c2 a2 c a b Chứng minh ba số a, b, c bình phương số hữu tỉ b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a Bài 3: (3 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x – = b) Giải phương trình sau: ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1) Bài 4: (6,5 điểm) Cho ∆ABC vuông A, AB = 6cm, AC = 8cm Kẻ đường cao AH, (H∈BC), kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC, (M∈AB, N∈AC) a) Tính độ dài cạnh MN b) Chứng minh AM AB = AN AC c) Tính diện tích tứ giác AMHN d) Trên tia HC lấy diểm D cho HA = HD, từ D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC E Lấy I trung điểm BE Gọi P giao điểm HI với AD Tính tỉ số AP PD Bài 5: (2 điểm) Cho abc ≠ ± 1, abc ≠ 0, thỏa mãn: Chứng minh rằng: a = b = c ab + bc + ac + = = b c a - Hết (Giám thị coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN (2015 – 2016) Bài Bài (4,5 điểm) Nội dung 6x +   + − a) A =  ÷: ( x + 2)  x +1 x +1 x − x +1  với x ≠ -1; x ≠ -2 Biểu điểm 1,5(điểm)  x2 − x + + 6x + − 2x −  = ÷: ( x + 2) ( x + 1).( x − x + 1)   x + 3x + = = ( x + 1)( x − x + 1)( x + 2) x − x + b) với x ≠ - 1; x ≠ - A>1 ⇔ 1,5(điểm) −x + x >1⇔ > (*) x − x +1 x − x +1 2 Do x2 - x + > với x nên (*) ⇔ - x2 + x > ⇔ < x < Kết luận x3 − x + x x = c) với x ≠ - 1; x ≠ - Ta có: P = A.B = x − x + ( x + 1) ( x + 1) 1,5(điểm) Đặt t = x + ⇔ x = t - Khi P = t −1 1 1 1 1 = −( − + ) + = −( − ) + ≤ ⇒ GTLN P = 1/4 t t t 4 t 4 ⇔ t = ⇔ x = (t/m) Bài a b c a b2 c + + Ta có: + + = (4 b c a c a b điểm) 3 3 3 ⇔ a c + b a + c b = b c + c a + a b ( a 2b 2c = abc =1) ⇔ ( a 2b 2c − a 3c ) − ( b3a − a 3b ) − ( c 3b − c 3a ) + ( b 3c − abc ) = ⇔ a 2c ( b − a ) − ba ( b − a ) − c ( b − a ) + bc ( b − a ) = ⇔ ( b − a ) ( a 2c − ba ) − ( c − bc )  = ⇔ ( b − a ) ( c − b ) ( a − c ) = ⇒ a = b b = c c = a Vậy ba số a, b, c phải bình phương số hữu tỉ 2(điểm) b) Do a, b > 1+ b ≥ 2b ∀a, b nên: a ab ab ab ≥ a− = a− = a− 1+ b 1+ b 2b Đẳng thức xảy ⇔ b = Chứng minh tương tự ta có: b c bc ca ; Đẳng thức xảy ⇔ c = 1; b = ≥ b− ≥ c− 1+ c 1+ a a b c  ab + bc + ca  + + ≥ ( a +b + c) − ⇒ ÷ 2 + b + c 1+ a   a b c  ab + bc + ca  + + ≥3− Hay ÷ (1) 2 + b + c 1+ a   Mặt khác, a + b + c = ⇒ (a + b + c) = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = (2) Mà a + b + c = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )  ≥ ab + bc + ca (3) Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c Từ (2)và (3) ⇒ ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ ≥ ( ab + bc + ca ) (4) a b c + + ≥3− Từ (1) (4) ⇒ 2 1+ b 1+ c 1+ a a b c + + ≥ Dấu = sảy ⇔ a = b = c = ⇔ 2 1+ b 1+ c 1+ a Bài a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x - 1= (3 Ta có: 2x2 + y2 + 4x – = ⇔ 2.(x + 1)2 = - y2 (*) điểm) Vì: 2.(x + 1)2 ≥ với x, 2.(x + 1)2 số chẵn với x nguyên nên từ (*) ta có Nếu PT (*) có nghiệm 3- y2 ≥ chẵn ⇒ y2 lẻ mà y nguyên ⇒ y = ± Khi x = ; x = - Vậy tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đề (0, 1); (0, -1); (-2, 1); (- 2, -1) b) Giải phương trình sau: ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1) ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1) ⇔ ( x2 + x + 1)2 =3((x2 +1)2 - x2) ⇔ ( x2 + x + 1)2 = 3(x2 – x + 1)( x2 + x + 1) ⇔ ( x2 + x + 1)(x2 + x + 1- 3x2 + 3x - 3) = ⇔ -2(x2 + x + 1)(x2 - 2x + 1) = Lập luận để tìm x = Kết luận 2(điểm) 1,5(điểm) 1,5(điểm) Bài (6,5 điểm) a) Vẽ hình tính MN Tính BC =10 cm - Lập luận để có AMHN hình chữ nhật ⇒ MN = AH - Tính AH = 4,8cm ⇒ MN = 4,8cm 2(điểm) A N P M B b) Chứng minh ∆AMN ∼ ∆ACB (g.g) ⇒ I SABC = D AN H AM = ⇔ AM AB = AN AC AC AB c) ∆AMN ∼ ∆ACB (g.g) ⇒ E C 1,5(điểm) S AMN  MN   4,8  144 = ÷ = ÷ = S ABC  BC   10  625 AH.BC = 24 cm 1,5(điểm) ⇒ SAMN = 5,5296cm2 ⇒ SAMHN = 11,0592 cm2 d) Tam giác ABE vuông A có AI trung tuyến nên AI= BE BE ⇒ AI = DI Do đó: ∆AHI = ∆DHI (c.c.c ) nên suy HI tia phân giác AP góc AHD ⇒ P trung điểm AD ⇒ = PD Tương tự DI= Bài (2 điểm) Cho abc ≠ ± abc ≠ thỏa mãn: 1,5(điểm) ab + bc + ac + = = b c a Chứng minh : a = b = c ab + bc + ac + 1 1 = = ⇒ a+ =b+ =c+ b c a b c a 1 b−c Do : a − b = − = (1) c b bc c−a a −b ;c − a = Tương tự: b − c = ac ab (a − b).(b − c ).(c − a) ⇒ (a - b)(b - c)(c - a) = a 2b c HD: Từ ⇔ (a - b)(b - c)(c - a)(a2b2c2 - 1) = Do có abc ≠ ± nên (a - b)(b - c)(c - a) = - Nếu a – b = ⇒ a = b thay vào (1) ta có b = c => a = b= c Tương tự TH lại ta có a = b= c Chú ý: - Điểm lấy đến 0.25 - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 2(điểm)